Rada veličin, které ekonomové zkoumají (například příjmy, spotřeba, úspory, atd.), jsou zaznamenávaný v daných časových intervalech (např. denní, týdenní, čtvrtletní či roční záznamy). Rovnice, které vyjadřují vztah mezi hodnotami veličiny v různých časových okamžicích, se nazývají diferenční rovnice. Jsou obdobou diferenciálních rovnic, rozdíl je v chápání času jako diskrétní (ne spojité) veličiny. Diferenční rovnice - úvod Řada veličin, které ekonomové zkoumají (například příjmy, spotřeba, úspory, atd.), jsou zaznamenávaný v daných časových intervalech (např. denní, týdenní, čtvrtletní či roční záznamy). Rovnice, které vyjadřují vztah mezi hodnotami veličiny v různých časových okamžicích, se nazývají diferenční rovnice. Jsou obdobou diferenciálních rovnic, rozdíl je v chápání času jako diskrétní (ne spojité) veličiny. Definice : Označme t = 0,1,2,... diskrétní časové okamžiky, (ř = 0 se obvykle nazývá počáteční okamžik. Diferenční rovnicí prvního řádu rozumíme rovnici xř+i = ŕ(ŕ,xŕ), ř = 0,1,2,... Řada veličin, které ekonomové zkoumají (například příjmy, spotřeba, úspory, atd.), jsou zaznamenávaný v daných časových intervalech (např. denní, týdenní, čtvrtletní či roční záznamy). Rovnice, které vyjadřují vztah mezi hodnotami veličiny v různých časových okamžicích, se nazývají diferenční rovnice. Jsou obdobou diferenciálních rovnic, rozdíl je v chápání času jako diskrétní (ne spojité) veličiny. Definice : Označme t = 0,1,2,... diskrétní časové okamžiky, (ř = 0 se obvykle nazývá počáteční okamžik. Diferenční rovnicí prvního řádu rozumíme rovnici xř+i = ŕ(ŕ,xŕ), ř = 0,1,2,... Vhodnějším označením by mělo být spíše rekurentní rovnice, protože pojmenování diferenční rovnice je odvozeno od pojmu diference Axt = xř+1 - xt. Nicméně snadnou úpravou lze výše uvedený tvar rovnice převést na Axt = /(ŕ, xt) - xu t = 0,1,2,.... Řešení diferenční rovnice Jestliže je dána počáteční hodnota x0, můžeme řešení diferenční rovnice získat postupným dosazováním: X! = r(0,x0), x2 = ř(1, f(0, x0)) x3 = ř(2,ř(1,ř(0,x0))), atd. Takto se můžeme postupně dostat k libovolnému t. □ rS1 = 1 >OQ,o Řešení diferenční rovnice Jestliže je dána počáteční hodnota x0, můžeme řešení diferenční rovnice získat postupným dosazováním: = r(0,xo), x2 = /(V(0,xb)) x3 = ŕ(2,ŕ(V(0,x0))), atd. Takto se můžeme postupně dostat k libovolnému t.Řešení získané postupným dosazováním obvykle nepopisuje dostatečně chování rovnice (ekonomy zajímá též kvalitativní analýza, např. jak se veličina chová pro velká ŕ, závislost řešení na parametrech, apod.) Navíc jde o výpočetně náročný postup. Řešení diferenční rovnice Jestliže je dána počáteční hodnota x0, můžeme řešení diferenční rovnice získat postupným dosazováním: = r(0,xo), x2 = /(V(0,xb)) x3 = ŕ(2,ŕ(V(0,x0))), atd. Takto se můžeme postupně dostat k libovolnému t.Řešení získané postupným dosazováním obvykle nepopisuje dostatečně chování rovnice (ekonomy zajímá též kvalitativní analýza, např. jak se veličina chová pro velká ŕ, závislost řešení na parametrech, apod.) Navíc jde o výpočetně náročný postup. Někdy je možné odvodit pro xt jednoduchý předpis. Obecným řešením rovnice nazveme funkci tvaru xt = g(t,A) , pokud je rovnice splněna pro jakoukoliv hodnotu konstanty A Obvykle pro každou počáteční hodnotu x0 existuje právě jedno A, pro něž g(0, A) = x0. Diferenční rovnice - příklad Příklad : Najděte řešení diferenční rovnice xř+1 = a • xtl t = 0,1,2,.... Pozn Takováto rovnice se nazývá homogenní, protože je-li xř* řešením, pak je řešením i Ax? pro libovolnou konstantu A. Diferenční rovnice - příklad Příklad : Najděte řešení diferenční rovnice xŕ+1 = a • xtl t = 0,1,2,.... Pozn: Takováto rovnice se nazývá homogenní, protože je-li xř* řešením, pak je řešením i Ax? pro libovolnou konstantu A. Řešení: Je-li dáno x0, můžeme postupně dosazovat a získáme tak x<\ = a • x0, x2 = a • x<\ = a2 • x0 x3 = a3 • x0, atd. Obecně tedy xŕ+1 = ar • x0, t = 0,1,2,.... Přímým dosazením lze ověřit, že jde o řešení rovnice, a toto řešení je jediné pro danou hodnotu x0. Diferenční rovnice - příklad Příklad : Najděte řešení diferenční rovnice xŕ+1 = a • xtl t = 0,1,2,.... Pozn: Takováto rovnice se nazývá homogenní, protože je-li xř* řešením, pak je řešením i Ax? pro libovolnou konstantu A. Řešení: Je-li dáno x0, můžeme postupně dosazovat a získáme tak x<\ = a • x0, x2 = a • x<\ = a2 • x0 x3 = a3 • x0, atd. Obecně tedy xŕ+1 = ar • x0, t = 0,1,2,.... Přímým dosazením lze ověřit, že jde o řešení rovnice, a toto řešení je jediné pro danou hodnotu x0. Uvažujme zobecnění předchozího příkladu v podobě nehomogenní rovnice xŕ+1 = a • xt + ř = 0,1,2,... . Přímou substitucí opět dostaneme xŕ = ar • x0 + (ar~1 + ar~2 + ... + a2 + a + 1 )£>, ř = 0,1,2,... Diferenční rovnice - příklad Příklad : Najděte řešení diferenční rovnice xř+1 = a • xtl t = 0,1,2,.... Pozn: Takováto rovnice se nazývá homogenní, protože je-li xř* řešením, pak je řešením i Ax? pro libovolnou konstantu A. Řešení: Je-li dáno x0, můžeme postupně dosazovat a získáme tak x<\ = a • x0, x2 = a • x<\ = a2 • x0 x3 = a3 • x0, atd. Obecně tedy xŕ+1 = ar • x0, t = 0,1,2,.... Přímým dosazením lze ověřit, že jde o řešení rovnice, a toto řešení je jediné pro danou hodnotu x0. Uvažujme zobecnění předchozího příkladu v podobě nehomogenní rovnice xŕ+1 = a • xt + £>, ŕ = 0,1,2,... . Přímou substitucí opět dostaneme xŕ = ar • x0 + (ar~1 + ar~2 + ... + a2 + a + 1 )£>, ŕ = 0,1,2,... Podle vzorce pro součet geometrické řady je (aŕ_1 + aŕ~2 + ... + a2 + a+1) = , a 7^ 1. Tedy dostaneme řešení nehomogenní rovnice ve tvaru (1-a) b (1-a) t = 0,1,2,..., a7^ 1 Diferenční rovnice - příklad Příklad : Najděte řešení diferenční rovnice xŕ+1 = a • xtl t = 0,1,2,.... Pozn Takováto rovnice se nazývá homogenní, protože je-li xř* řešením, pak je řešením i Ax? pro libovolnou konstantu A. Řešení: Je-li dáno x0, můžeme postupně dosazovat a získáme tak x<\ = a • x0, x2 = a • x<\ = a2 • x0 x3 = a3 • x0, atd. Obecně tedy xŕ+1 = ar • x0, t = 0,1,2,.... Přímým dosazením lze ověřit, že jde o řešení rovnice, a toto řešení je jediné pro danou hodnotu x0. Uvažujme zobecnění předchozího příkladu v podobě nehomogenní rovnice xŕ+1 = a • xt + ř = 0,1,2,... . Přímou substitucí opět dostaneme xŕ = ar • x0 + (ar~1 + ar~2 + ... + a2 + a + 1 )£>, ř = 0,1,2,... Podle vzorce pro součet geometrické řady je (aŕ_1 + aŕ~2 + ... + a2 + a+1) = , a 7^ 1. Tedy dostaneme řešení nehomogenní rovnice ve tvaru Poznámka : Pro a = 1 je ař_1 + ar~2 + ... + á1 + a + 1 = ř, tedy dostaneme řešení xt = x0 + t • £>. □ [fpi ► < ► < -ě: 3 >0^O Rovnováha a stabilita diferenční rovnice Bude-li počáteční podmínka předchozí rovnice x0 = , dostaneme xo = ffzijjDokonce nemusí jít jen o počáteční stav, ale platí obecně, že pokud xs bude rovno této hodnotě v libovolném okamžiku s, pak už veličina xt zůstane na této konstantní úrovni pro všechna t > s. Konstantu x* = nazýváme rovnovážným stavem rovnice xŕ+1 = a - xt + b. (vzorec pro rovnovážný bod lze odvodit též z rovnice x* = ax* + b). Rovnováha a stabilita diferenční rovnice Bude-li počáteční podmínka předchozí rovnice x0 = , dostaneme xo = ffzijjDokonce nemusí jít jen o počáteční stav, ale platí obecně, že pokud xs bude rovno této hodnotě v libovolném okamžiku s, pak už veličina xt zůstane na této konstantní úrovni pro všechna t > s. Konstantu x* = nazýváme rovnovážným stavem rovnice xŕ+1 = a - xt + b. (vzorec pro rovnovážný bod lze odvodit též z rovnice x* = ax* + b). Věta : Pro a splňující |a| < 1 platí á 0, tedy xt x* = pro ř oo. Rovnice je globálně asymptoticky stabilní. Rovnováha a stabilita diferenční rovnice Bude-li počáteční podmínka předchozí rovnice x0 = , dostaneme xo = ffzijjDokonce nemusí jít jen o počáteční stav, ale platí obecně, že pokud xs bude rovno této hodnotě v libovolném okamžiku s, pak už veličina xt zůstane na této konstantní úrovni pro všechna t > s. Konstantu x* = nazýváme rovnovážným stavem rovnice xŕ+1 = a - xt + b. (vzorec pro rovnovážný bod lze odvodit též z rovnice x* = ax* + b). Věta : Pro a splňující |a| < 1 platí á 0, tedy xt x* = pro ř oo. Rovnice je globálně asymptoticky stabilní. Příklad : Vyjádřete řešení diferenční rovnice xř+1 = |- + 3, určete její rovnovážný bod a rozhodněte, zdaje stabilní Rovnováha a stabilita diferenční rovnice Bude-li počáteční podmínka předchozí rovnice x0 = , dostaneme xo = ffzijjDokonce nemusí jít jen o počáteční stav, ale platí obecně, že pokud xs bude rovno této hodnotě v libovolném okamžiku s, pak už veličina xt zůstane na této konstantní úrovni pro všechna t > s. Konstantu x* = nazýváme rovnovážným stavem rovnice xŕ+1 = a - xt + b. (vzorec pro rovnovážný bod lze odvodit též z rovnice x* = ax* + b). Věta : Pro a splňující |a| < 1 platí á 0, tedy xt x* = pro ř oo. Rovnice je globálně asymptoticky stabilní. Příklad : Vyjádřete řešení diferenční rovnice xř+1 = |- + 3, určete její rovnovážný bod a rozhodněte, zdaje stabilní Řešení: Podle formule použité pro hodnoty koeficientů a=\, b = 3 dostaneme x* = (1_^/2) = 6. Řešením rovnice je xt = (|)r (x - 6) + 6. Rovnováha je stabilní, protože |a| = |i| < 1. Rovnováha a stabilita diferenční rovnice Na následujícím obrázku jsou znázorněny dva případy stability, a to monotónní konvergence k ekvilibriu (a) a tlumené oscilace (b) a dva případy nestability (c,d) a) x0 > x* = 0 < a < 1 b) x0 < x* = -1 < a < 0 .to 0 1 2 3 4 5 I \ 1 / \ 1 / \ I / \ . ---;---( l í I / \ I 'Pp 1 2 3 4 5 6 7 c) x0 < x* = 1 < a d) x0 < x* = a < -1 Aplikace lineární diferenční rovnice Pomocí diferenční rovnice lze vysvětlit i tzv. pavučinový model popisující dynamiku na trhu. Označme pt cenu produktu a St a Dt nabídku a poptávku po produktu v období t. Model předpokládá lineární tvar poptávkové a nabídkové funkce, přičemž na straně nabídky existuje zpoždění, tedy Dt = a - bpt, St = -qí + /3př_i pro dané koeficienty a, £>, a, /3 > 0. Aplikace lineární diferenční rovnice Pomocí diferenční rovnice lze vysvětlit i tzv. pavučinový model popisující dynamiku na trhu. Označme pt cenu produktu a St a Dt nabídku a poptávku po produktu v období t. Model předpokládá lineární tvar poptávkové a nabídkové funkce, přičemž na straně nabídky existuje zpoždění, tedy Dt = a - bpt, St = -qí + /3př_i pro dané koeficienty a, £>, a, /3 > 0. Vyjádřeme podmínku pro ekvilibrium: St = Du tj. a - bpt = -a + fípt-\ Osamostatníme pt\ pt = ^ ~ hPř-i Aplikace lineární diferenční rovnice Pomocí diferenční rovnice lze vysvětlit i tzv. pavučinový model popisující dynamiku na trhu. Označme pt cenu produktu a St a Dt nabídku a poptávku po produktu v období t. Model předpokládá lineární tvar poptávkové a nabídkové funkce, přičemž na straně nabídky existuje zpoždění, tedy Dt = a- bptl St = -a + fipt-} pro dané koeficienty a, b,a,/3 > 0. Vyjádřeme podmínku pro ekvilibrium: St = Dt, tj. a - bpt = -a + fípt-\ Osamostatníme pt\ pt = ^ - f Př-i Zjednodušíme pomocí nových parametrů: pt = A - Bpř-i Řešení dostaneme ve tvaru pt = C(-fí)r + ^ Aplikace lineární diferenční rovnice Pomocí diferenční rovnice lze vysvětlit i tzv. pavučinový model popisující dynamiku na trhu. Označme pt cenu produktu a St a Dt nabídku a poptávku po produktu v období t. Model předpokládá lineární tvar poptávkové a nabídkové funkce, přičemž na straně nabídky existuje zpoždění, tedy Dt = a - bpt, St = -qí + /3př_i pro dané koeficienty a, £>, a, /3 > 0. Vyjádřeme podmínku pro ekvilibrium: St = Du tj. a - bpt = -a + /3př_-i Osamostatníme pt\ pt = ^ - f Př-i Zjednodušíme pomocí nových parametrů: pt = A - Bpř_i Řešení dostaneme ve tvaru pt = C(-6)r + ^ Pro 0 < B = | < 1 pak pt konverguje k rovnovážné ceně P* = ^ = a) | < 1 => cena konverguje k ekvilibriu P* b)| > 1 => divergence Lineární diferenční rovnice druhého řádu Diferenční rovnici druhého řádu můžeme zapsat jako xř+2 = /r(ř,xř,xř+1) . Pro pevné hodnoty x0 a x^ lze spočítat x2 = /(O, x0, x^), x3 = r(1, x^, x2), atd. Takto můžeme jednoznačně určit hodnotu xt pro každé t. Vidíme, že úloha má obecně nekonečně moho řešení, pokud nezadáme konkrétní hodnoty pro první dvě období. Obecným řešením rozumíme funkci tvaru xt = g(t, A, 6), přičemž volbou vhodných hodnot A a B dostaneme libovolné řešení. Lineární diferenční rovnice druhého řádu Diferenční rovnici druhého řádu můžeme zapsat jako xř+2 = /r(ř,xř,xř+1) . Pro pevné hodnoty x0 a x^ lze spočítat x2 = /(O, x0, x^), x3 = r(1, x^, x2), atd. Takto můžeme jednoznačně určit hodnotu xt pro každé t. Vidíme, že úloha má obecně nekonečně moho řešení, pokud nezadáme konkrétní hodnoty pro první dvě období. Obecným řešením rozumíme funkci tvaru xt = g(t, A, 6), přičemž volbou vhodných hodnot A a B dostaneme libovolné řešení. Definice : Je-li funkce f lineární, tj. Ize-li rovnice zapsat ve tvaru *r+2 + ařxř+1 + btxt = ct, (kde bt ^ 0), hovoříme o lineární diferenciální rovnici 2. řádu. Nahradíme-li pravou stranu nulou, dostaneme přidruženou homogenní rovnici xt+2 + ařxř+1 + btxt = 0 . Lineární diferenční rovnice druhého řádu Diferenční rovnici druhého řádu můžeme zapsat jako xř+2 = /r(ř,xř,xř+1) . Pro pevné hodnoty x0 a x^ lze spočítat x2 = /(O, x0, x^), x3 = r(1, x^, x2), atd. Takto můžeme jednoznačně určit hodnotu xt pro každé t. Vidíme, že úloha má obecně nekonečně moho řešení, pokud nezadáme konkrétní hodnoty pro první dvě období. Obecným řešením rozumíme funkci tvaru xt = g(t, A, 6), přičemž volbou vhodných hodnot A a B dostaneme libovolné řešení. Definice : Je-li funkce f lineární, tj. Ize-li rovnice zapsat ve tvaru *r+2 + ařxř+1 + btxt = ct, (kde bt ^ 0), hovoříme o lineární diferenciální rovnici 2. řádu. Nahradíme-li pravou stranu nulou, dostaneme přidruženou homogenní rovnici xř+2 + ařxř+1 + btxt = 0 . Věta : Obecným řešením homogenní lineární diferenční rovnice 2. řádu je xt = Au^ + Buf^ , kde uf^ jsou dvě nezávislá řešení a A, B libovolné konstanty. Obecným řešením nehomogenní lineární diferenční rovnice 2. řádu je xt = Au^ + BuP + u f , kde Au^ + Buf^ je řešení přidružené homogenní úlohy a je jakékoliv partikulární řešení nehomogenní rovnice. Lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty Uvažujme lineární diferenční rovnici xř+2 + axř+1 + bxt = 0, kde koeficienty a, b nezávisí na čase a b ^ 0. Na základě předchozí zkušenosti můžeme odhadnout, že řešení můžeme očekávat ve tvaru xt = m\ kdy xř+1 = a77r+1, xt+2 = mt+2, takže rovnice je splněna pokud m^m2 + am + b) = 0. Pro m/0 můžeme pravou i levou stranu vydělit výrazem m*. Lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty Uvažujme lineární diferenční rovnici xř+2 + axř+1 + bxt = 0, kde koeficienty a, b nezávisí na čase a b ^ 0. Na základě předchozí zkušenosti můžeme odhadnout, že řešení můžeme očekávat ve tvaru xt = m\ kdy xř+1 = a77r+1, xt+2 = mt+2, takže rovnice je splněna pokud m^m2 + am + b) = 0. Pro m/0 můžeme pravou i levou stranu vydělit výrazem m*. Dostaneme tzv. charakteristickou rovnici (m2 + am + b) = 0 (levá strana se nazývá charakteristickým polynomem rovnice). Kořeny můžeme vyjádřit jako Lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty Uvažujme lineární diferenční rovnici xř+2 + axř+1 + bxt = 0, kde koeficienty a, b nezávisí na čase a b ^ 0. Na základě předchozí zkušenosti můžeme odhadnout, že řešení můžeme očekávat ve tvaru xt = m\ kdy xř+1 = a77r+1, xt+2 = mt+2, takže rovnice je splněna pokud m^m2 + am + b) = 0. Pro m/0 můžeme pravou i levou stranu vydělit výrazem m*. Dostaneme tzv. charakteristickou rovnici (m2 + am + b) = 0 (levá strana se nazývá charakteristickým polynomem rovnice). Kořeny můžeme vyjádřit jako a77152 = - \{a± V a2 - 4b j .Shrňme výsledky do přehledné věty: Věta : Obecné řešení diferenční rovnice xř+2 + axŕ+1 + bxt = 0, (b ^ 0) můžeme vyjádřit v závislosti na řešení charakteristické rovnice O Pro a2 - 4b > 0 (dva různé reálné kořeny) ve tvaru xt = Am\ + Bm{2 , kde a77l2 = -\{a± V a2 4b j O Pro a2 - 4b = 0 (jeden dvojitý reálný kořen) ve tvaru xt = (A + Sř)rnř, kde a?? = -^a O Pro a2 - 4b < 0 (žádný reálný kořen) ve tvaru xt = rř(/lcos((9ř) + Bsin(0ř)) , kde r = cos(<9) Lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty, příklad Příklad : Najděte obecné řešení diferenčních rovnic O xf+2 - 5xř+1 + 6xř = 0. O Xf+2 - 6xř+1 + 9xř = 0. O xř+2 - xř+1 + xt = 0. Lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty, příklad Příklad : Najděte obecné řešení diferenčních rovnic O xt+2 - 5xř+1 + 6xt = 0. O xt+2 - 6xř+1 + 9xt = 0. 0 xt+2 -xř+i +xt = 0. Řešení: O Charakteristická rovnice je m2 - 5m + 6 = 0, její kořeny jsou mA = 2 a at72 = 3, takže obecné řešení je xt = A2f + 63r. O Charakteristická rovnice je m2 - 6m + 9 = (m - 3)2 = 0, jejím kořenem je m = 3, takže obecné řešení je xř = (>A + 6ř)3r. O Charakteristická rovnice je m2 - m + 1 =0 jejíž diskriminant je záporný, takže spočteme r = VE='\, cos 9 = \ a dostaneme obecné řešení xř = /Acos f ř + Ssin f ř. Poznámka : V případě záporného diskriminantu řešení osciluje. Číslu r se říká faktor růstu. Je-li \r\ < 1, pak rr 0 pro ř oo a oscilace jsou tlumené. Nehomogenní lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty Zobecněme výsledky pro rovnici s nenulovou pravou stranou xt+2 + axř+1 + bxt = c, (b, c^O) Již víme, že řešení nehomogenní rovnice lze vyjádřit jako xt = Au^ + Buf^ + uf, kde Au^ + Buf^ je řešení přidružené homogenní úlohy a ur* je jakékoliv partikulární řešení nehomogenní rovnice. Postup, jak nalézt první člen, byl popsán na předchozích slajdech, teď zbývá určit ur*. Nehomogenní lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty Zobecněme výsledky pro rovnici s nenulovou pravou stranou xt+2 + axř+1 + bxt = c, (b, c^O) Již víme, že řešení nehomogenní rovnice lze vyjádřit jako xt = Au^ + Buf^ + uf, kde Au^ + Buf^ je řešení přidružené homogenní úlohy a ur* je jakékoliv partikulární řešení nehomogenní rovnice. Postup, jak nalézt první člen, byl popsán na předchozích slajdech, teď zbývá určit ur*. Hledáme konstantní řešení xt = C. Potom také xŕ+1 = C, xŕ+2 = C, takže dosazením získáme C + aC + bC = c. Odtud C = ^+ca+b , pokud 1 +a + £>^ 0. Nehomogenní lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty Zobecněme výsledky pro rovnici s nenulovou pravou stranou xt+2 + axř+1 + bxt = c, (b, c^O) Již víme, že řešení nehomogenní rovnice lze vyjádřit jako xt = Au^ + Buf^ + uf, kde Au^ + Buf^ je řešení přidružené homogenní úlohy a ur* je jakékoliv partikulární řešení nehomogenní rovnice. Postup, jak nalézt první člen, byl popsán na předchozích slajdech, teď zbývá určit ur*. Hledáme konstantní řešení xt = C. Potom také xŕ+1 = C, xŕ+2 = C, takže dosazením získáme C + aC + bC = c. Odtud C = ^+ca+b , pokud 1 +a + £>^ 0. Příklad : Najděte řešení diferenční rovnice 3xř+2 - 2xt = 4. Nehomogenní lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty Zobecněme výsledky pro rovnici s nenulovou pravou stranou xt+2 + axř+1 + bxt = c, (b, c^O) Již víme, že řešení nehomogenní rovnice lze vyjádřit jako xt = Au^ + Buf^ + uf, kde Au^ + Buf^ je řešení přidružené homogenní úlohy a ur* je jakékoliv partikulární řešení nehomogenní rovnice. Postup, jak nalézt první člen, byl popsán na předchozích slajdech, teď zbývá určit ur*. Hledáme konstantní řešení xt = C. Potom také xŕ+1 = C, xŕ+2 = C, takže dosazením získáme C + aC + bC = c. Odtud C = ^+ca+b , pokud 1 +a + £>^ 0. Příklad : Najděte řešení diferenční rovnice 3xř+2 - 2xt = 4. Řešení: Nejprve vyjádříme řešení homogenní rovnice pomocí kořenů charakteristického polynomu 3m2 -2 = 0. Dostaneme m^2 = ±^/§- K řešení zhomogenizované úlohy A^\ + B ^-y^fj musíme ještě přičíst konstantní řešení pro C = = 4. Tedy celkem xt = A^J\ + B (-\f\ \ + 4- Stabilita lineární diferenční rovnice druhého řádu Přidáme-li k rovnici počáteční podmínky, bude její řešení jednoznačně určeno konkrétními hodnotami konstant. Pokud je diferenční rovnicí popsána dynamika ekonomické veličiny, jistě je dobré vědět, jak změna počtečních podmínek ovlivní řešení. Bude mít i malá změna vliv na chování veličiny v dlouhodobém horizontu, nebo bude její efekt slábnout pro t oo? Proto nás zajímá otázka stability řešení, odpověď nám dává následující věta. Stabilita lineární diferenční rovnice druhého řádu Přidáme-li k rovnici počáteční podmínky, bude její řešení jednoznačně určeno konkrétními hodnotami konstant. Pokud je diferenční rovnicí popsána dynamika ekonomické veličiny, jistě je dobré vědět, jak změna počtečních podmínek ovlivní řešení. Bude mít i malá změna vliv na chování veličiny v dlouhodobém horizontu, nebo bude její efekt slábnout pro t oo? Proto nás zajímá otázka stability řešení, odpověď nám dává následující věta. Věta : Rovnice xř+2 + axŕ+1 + bxt = c je globálně asymptoticky stabilní, jestliže kořeny charakteristické rovnice m2 + am + b = 0 jsou v absolutní hodnotě menší než 1, \m^^\ < 1 ■ Stabilita lineární diferenční rovnice druhého řádu Přidáme-li k rovnici počáteční podmínky, bude její řešení jednoznačně určeno konkrétními hodnotami konstant. Pokud je diferenční rovnicí popsána dynamika ekonomické veličiny, jistě je dobré vědět, jak změna počtečních podmínek ovlivní řešení. Bude mít i malá změna vliv na chování veličiny v dlouhodobém horizontu, nebo bude její efekt slábnout pro t oo? Proto nás zajímá otázka stability řešení, odpověď nám dává následující věta. Věta : Rovnice xř+2 + axŕ+1 + bxt = c je globálně asymptoticky stabilní, jestliže kořeny charakteristické rovnice m2 + am + b = 0 jsou v absolutní hodnotě menší než 1, \m^^\ < 1 ■ Poznámka : Podmínka věty je splněna pokud \a\ a £> < 1. Příklad : Rozhodněte o stabilitě diferenční rovnice 3xř+2 - 2xt = 4. Řešení: Kořeny splňují podmínku \m^^\ = ^/| < 1, tedy rovnice je globálně asymptoticky stabilní. Evidentně první dva členy řešení xt = A^f\ + B ^-y^fj + 4 konvergují k nule pro t oo, tedy xt x* = 4. Systémy diferenčních rovnic Systém 2 diferenčních rovnic prvního řádu můžeme zapsat jako xf+1 = m,xt,yt), Xf+i = k(t,xt,yt), t = 0,1,2,... □ iS1 Systémy diferenčních rovnic Systém 2 diferenčních rovnic prvního řádu můžeme zapsat jako xř+i = /i(f,xř,yř), /ř+1 = r2(ř,xř,yř), ř = 0,1,2,... Jsou-li známy počáteční hodnoty x0, yo, můžeme postupným dosazováním získat xř, y pro libovolné ř. Obecným řešením systému rozumíme funkce *t = 01 (ř, Ci, C2), y = g2(ŕ, C\, C2), kde vhodnou volbou konstant C\, C2 můžeme získat libovolné řešení. Systémy diferenčních rovnic Systém 2 diferenčních rovnic prvního řádu můžeme zapsat jako xř+i = ři(ř,xř,yř), yř+i = ŕ2(ŕ,xŕ,yŕ), ř = 0,1,2,... Jsou-li známy počáteční hodnoty x0, yo, můžeme postupným dosazováním získat xt, yt pro libovolné ř. Obecným řešením systému rozumíme funkce xt = g\ (ŕ, Ci, C2), y = g2(ŕ, Ci, C2), kde vhodnou volbou konstant Ci, C2 můžeme získat libovolné řešení. Příklad : Najděte řešení systému xř+1 = \xt + \yu yř+1 = \x{ + |yř, ŕ = 0,1,2,____ □ s Systémy diferenčních rovnic Systém 2 diferenčních rovnic prvního řádu můžeme zapsat jako xř+i = ři(ř,xř,yř), y+1 = fe(ř,xř,yř), ř = 0,1,2,... Jsou-li známy počáteční hodnoty x0, yo, můžeme postupným dosazováním získat xŕ, y pro libovolné ř. Obecným řešením systému rozumíme funkce xt = (ŕ, Ci, C2), y = g2(ŕ, Ci, C2), kde vhodnou volbou konstant Ci, C2 můžeme získat libovolné řešení. Příklad : Najděte řešení systému xř+1 = \xt + \yu y+1 = \xt + |y, ř = 0,1,2,____ Řešení: Z první rovnice vyjádříme y = 3xř+1 - |xř, což můžeme dosadit do druhé rovnice a získat tak y+i = 2xř+1 - \xt. Posunutím času (nahradíme t časem ř + 1) v první rovnici pak xř+2 = ^xř+1 + ly+1, takže substitucí za y+i dostaneme diferenční rovnici druhého řádu xř+2 - |xř+1 + lxř = 0. Systémy diferenčních rovnic Systém 2 diferenčních rovnic prvního řádu můžeme zapsat jako xř+i = /i(ř,xřjyř), /ř+1 = fe(ř,xřjyř), ř = 0,1,2,... Jsou-li známy počáteční hodnoty x0, yo, můžeme postupným dosazováním získat xu yt pro libovolné ř. Obecným řešením systému rozumíme funkce xt = 01 (ŕ, Ci, C2), y = g2(ŕ, C\, C2), kde vhodnou volbou konstant C\, C2 můžeme získat libovolné řešení. Příklad : Najděte řešení systému xř+1 = \xt + \yt, y+1 = + |yř, ř = 0,1,2,____ Řešení: Z první rovnice vyjádříme y = 3xř+1 - \xu což můžeme dosadit do druhé rovnice a získat tak y+1 = 2xř+1 - \xt. Posunutím času (nahradíme t časem t + 1) v první rovnici pak xř+2 = \xt+\ + ^yř+i, takže substitucí za y+i dostaneme diferenční rovnici druhého řádu xř+2 - ^xř+1 + = 0. Řešením charakteristické rovnice at72-|a?7+^=0 dostaneme kořeny = 1, at72 = i, které dávají xř = >A + 6 (l)r. Dodatečně dosadíme do yř = 3xř+1 - |xř = 3/1 + 36 (l)ŕ+1 - \A - \B = \A - B (l)ŕ. Maticový zápis lineárního systému diferenčních rovnic V případě lineárního systému xř+1 = a^xt + a^yt + b^ yř+1 = a2ixř + a22yt + b2, ř = 0,1,2,... můžeme označit A = ( ^11 V b = ( ^ ) , a systém přepsat jako (xř+1,yř+1)T =A-(xt,yt)T + b, ř = 0,1,2,.... Maticový zápis lineárního systému diferenčních rovnic V případě lineárního systému xř+i = auxt + a^yt + b^, /ř+1 = *i*ř + a22yř + b2, t = 0,1,2,... můžeme označit A = ^ ^11 ^12 ^ , £> = ^ ^1 ^ , a systém přepsat jako (xř+1, yř+1 )T = >A • (xř, yř)T + £>, ř = 0,1,2,.. ..Obdobně jako u jednodimenzionálního případu můžeme z výchozího (x0,yo)T dostat postupným dosazováním (x^, yi )T = A • (x0, yo)T + £>, (*2, y2)T = A • (;<í, yA )T + Ď = A2 • (x0, yo)T + >4 • £> + £>, atd. Pro obecný čas pak máme (xř, yř)T = >Ař • (x0, y0)T + (/ + /A + >A2 + ... /Ař"1) • £>. Maticový zápis lineárního systému diferenčních rovnic V prípade lineárního systému xř+i = auXt + a^yt + th, /ř+1 = 32i*ŕ + a22yŕ + b2, t = 0,1,2,... můžeme označit A = ( a11 a12 ) , £> = ( ^1 ) , a systém přepsat jako (xŕ+1, yŕ+1 )T = >A • (xŕ, yŕ)T + b, t = 0,1,2,.. ..Obdobně jako u jednodimenzionálního případu můžeme z výchozího (xo,/o)T dostat postupným dosazováním (x^, yi )T = >A • (x0, yo)T + b, (*2, y2)T = A • , yA )t + ď = A2 • (x0, yo)T + >4 • £> + £>, atd. Pro obecný čas pak máme (xŕ, yŕ)T = >Aŕ • (x0, y0)T + (/ + /A + >A2 + ... /Aŕ"1) • £>. Pravá strana může být ještě zjednodušena pomocí rovnosti (/ + A + A2 + ... Af~^ )(i-A) = l- A1. Pro případ, kdy je matice / - A regulární, tj. \l - A\ ^ 0, máme tedy (/ + A + A2 + ... Af~^ ) = (I-At)-(I- A)-^. Celkové řešení pak lze vyjádřit ve tvaru (xř,yt)T = A1 • (x0,y0)T + ( / - >4r) • ( / - A)~' • Ď . Stabilita lineárního systému diferenčních rovnic Systém nazveme globálně asymptoticky stabilní, pokud první část řešení Af • (x0,yo)T odpovídající zhomogenizovanému systému konverguje nezávisle na počátečních podmínkách k nulové matici, tj. Af 0 pro t oo. Nutnou a postačující podmínku pro tuto konvergenci vyjadřuje následující věta: Věta : Systém lineárních diferenčních rovnic (xŕ+1,y+1)T = A • (xŕ,y)T + b je globálně asymptoticky stabilní <=> vlastní čísla matice A jsou v absolutní hodnotě menší než 1, |Ai?2 < 11 ■ Stabilita lineárního systému diferenčních rovnic Systém nazveme globálně asymptoticky stabilní, pokud první část řešení Af • (x0,yo)T odpovídající zhomogenizovanému systému konverguje nezávisle na počátečních podmínkách k nulové matici, tj. Af 0 pro t oo. Nutnou a postačující podmínku pro tuto konvergenci vyjadřuje následující věta: Věta : Systém lineárních diferenčních rovnic (xŕ+1,yŕ+1)T = A • (xŕ,yŕ)T + b je globálně asymptoticky stabilní <=> vlastní čísla matice A jsou v absolutní hodnotě menší než 1, |Ai?2 < 11 ■ Poznámka : V části věnované maticím jsme s využitím diagonalizace matice pomocí vlastních čísel vyjádřili její mocninu jako A* = P • D* • P~1, kde D = diag{\\, A2) a tudíž Dr = diag{\\, A£). Prvky této matice se evidentně blíží k nule, je-li |Ai?2 < 11- Stabilita lineárního systému diferenčních rovnic Systém nazveme globálně asymptoticky stabilní, pokud první část řešení Af • (x0,yo)T odpovídající zhomogenizovanému systému konverguje nezávisle na počátečních podmínkách k nulové matici, tj. Af 0 pro t oo. Nutnou a postačující podmínku pro tuto konvergenci vyjadřuje následující věta: Věta : Systém lineárních diferenčních rovnic (xŕ+1,yŕ+1)T = A • (xŕ,yŕ)T + b je globálně asymptoticky stabilní <=> vlastní čísla matice A jsou v absolutní hodnotě menší než 1, |Ai?2 < 11 ■ Poznámka : V části věnované maticím jsme s využitím diagonalizace matice pomocí vlastních čísel vyjádřili její mocninu jako A* = P • D* • P~1, kde D = diag{\\, A2) a tudíž Dr = diag{\\, A£). Prvky této matice se evidentně blíží k nule, je-li |Ai?2 < 11- Věta : Jsou-li splněny předpoklady předchozí věty, pak je matice (/ - A) regulární a každé řešení rovnice konverguje k rovnovážnému stavu (xř*,yř*)T = (/-/l)-1 b. Stabilita lineárního systému diferenčních rovnic Systém nazveme globálně asymptoticky stabilní, pokud první část řešení Af • (x0,yo)T odpovídající zhomogenizovanému systému konverguje nezávisle na počátečních podmínkách k nulové matici, tj. Af 0 pro t oo. Nutnou a postačující podmínku pro tuto konvergenci vyjadřuje následující věta: Věta : Systém lineárních diferenčních rovnic (xŕ+1,y+1)T = A • (xŕ,y)T + b je globálně asymptoticky stabilní <=> vlastní čísla matice A jsou v absolutní hodnotě menší než 1, |Ai?2 < 11 ■ Poznámka : V části věnované maticím jsme s využitím diagonalizace matice pomocí vlastních čísel vyjádřili její mocninu jako A* = P • D* • P~1, kde D = diag{\\, A2) a tudíž Dr = diag{\\, A£). Prvky této matice se evidentně blíží k nule, je-li |Ai?2 < 11- Věta : Jsou-li splněny předpoklady předchozí věty, pak je matice (/ - A) regulární a každé řešení rovnice konverguje k rovnovážnému stavu (xř*,yř*)T = (/-/l)-1 b. Tvrzení dostaneme, nahradíme-li ve výrazu pro řešení (xřj y)T = Af • (x0, y0)T + (/ - Af) • (/ - >A)~1 • b matici Af nulovou maticí.