Derivace složené funkce, případ více proměnných
Mějme funkci z = F(x, y), kde x = f (t, s), y = gr(ŕ, s). Potom z je funkcí proměnných s a ř, neboť z = F(/(ŕ, s), gr(ŕ, s)). Potřebujeme-li vyjádřit změnu proměnné z v závislosti na změnách s a ŕ, dostaneme
dz as	= Fx(x,		y i ds	= Fx(x,	y)Us,t) + F^x,	y)g's(s, t)
dz ar	= F'x{x,		y i ot	= Fx(x,	y)f{(s, t) + F;(x,	y)9l(s, t)
Derivace složené funkce, případ více proměnných
Mějme funkci z = F(x, y), kde x = f (t, s), y = gr(ŕ, s). Potom z je funkcí proměnných s a ř, neboť z = F(/(ŕ, s), gr(ŕ, s)). Potřebujeme-li vyjádřit změnu proměnné z v závislosti na změnách s a ŕ, dostaneme
dz as	= Fx(x,		y i ds	= Fx(x,	y)Us,t) + F^x,	y)g's(s, t)
dz ar	= F'x{x,		y i ot	= Fx(x,	y)f{(s, t) + F;(x,	y)9l(s, t)
Příklad : Vyjádřete parciální derivace podle s a t pro funkci složenou z
F(x, y) = x2 + 2y2 a x = t - s2 a y = st.
Derivace složené funkce, případ více proměnných
Mějme funkci z = F(x, y), kde x = /(ŕ, s), y = gr(ŕ, s). Potom z je funkcí proměnných s a ř, neboť z = F(/(ŕ, s), gr(ŕ, s)). Potřebujeme-li vyjádřit změnu proměnné z v závislosti na změnách sat, dostaneme _
dz ds	= F'x(x,	y)I + F'y{x,	y i ds	= F'x(x,	y)f>(s, t) + F>(x,	y)g's(s, t)
dz dt	= Fx(x,	y)f + F'y{x,	y) ot	= Fx(x,	y)ř/(s, t) + Fy(x,	y)9l(s, t)
Příklad : Vyjádřete parciální derivace podle s a t pro funkci složenou z
f(x, y) = x2 + 2y2 a x = t - s2 a y = st. Řešení: Vyjádříme
f;(x, y) = 2x, f;(x, y) = 4y, |f = -2s, % = ř, f = 1, f = s, takže aplikací pravidla dostaneme
ff = 2x • (-2s) + 4y • ř = 2(t - s2)(-2s) + 4tst = -4st + 4s3 + 4t2s, % = 2.x ■ 1 + 4y • s = 2(ř - s2) + 4řss = 2ř - 2s2 + 4řs2.
Derivace složené funkce, případ více proměnných
Mějme funkci z = F(x, y), kde x = f (t, s), y = g(t, s). Potom z je funkcí proměnných s a ŕ, neboť z = F(/(ŕ, s), gr(ŕ, s)). Potřebujeme-li vyjádřit změnu proměnné z v závislosti na změnách s a ř, dostaneme
dz as			y i ds	= Fx(x,	y)Us,t) + F^x,	y)g's(s, t)
dz ar	= F'x{x,		y i ot	= Fx(x,	y)f{(s, t) + F;(x,	y)9l(s, t)
Příklad : Vyjádřete parciální derivace podle s a t pro funkci složenou z
F(x, y) = x2 + 2y2 a x = t - s2 a y = st. Řešení: Vyjádříme
F;(x, y) = 2x, F;(x, y) = 4y, |f = -2s, g = ř, f = 1, % = s, takže aplikací pravidla dostaneme
ff = 2x • (-2s) + 4y • ř = 2(ř - s2)(-2s) + 4řsř = -4sř + 4s3 + 4ř2s, |f = 2x • 1 + 4y • s = 2(ř - s2) + 4tss = 2t- 2s2 + 4řs2.
Zobecněme pravidlo pro funkci n proměnných z = F(xi,..., xn), kde
Xi = U {U , . . . , tm\ . . . , Xn = fm{U , . . . , tm).
H = #4^ + ...^^. Dro/ = 1,
Optimalizační úlohy s parametrem
Uvažujme problém maximalizace funkce f (x, r), kde r je parametr. Bod optima obvykle závisí na parametru, označme jej tedy x*(r). Dosazením bodu optima do účelové funkce dostaneme optimální hodnotu, kterou můžeme opět chápat jako funkci parametru: /*(r) = /(x*(r), r),. Můžeme také psát
f*(r) = maxxf(x, r) , přičemž f*(r) nazýváme hodnotovou funkcí.
Optimalizační úlohy s parametrem
Uvažujme problém maximalizace funkce f (x, r), kde r je parametr. Bod optima obvykle závisí na parametru, označme jej tedy x*(r). Dosazením bodu optima do účelové funkce dostaneme optimální hodnotu, kterou můžeme opět chápat jako funkci parametru: /*(r) = /(x*(r), r),. Můžeme také psát
f*(r) = maxxf(x, r) , přičemž f*(r) nazýváme hodnotovou funkcí.
Příklad : Najděte maximum funkce f{x) = -x2 + 2ax + 4a2 pro libovolnou hodnotu parametru a g M a zjistěte, jakou změnu optimální hodnoty vyvolá změna parametru a.
Optimalizační úlohy s parametrem
Uvažujme problém maximalizace funkce f (x, r), kde r je parametr. Bod optima obvykle závisí na parametru, označme jej tedy x*(r). Dosazením bodu optima do účelové funkce dostaneme optimální hodnotu, kterou můžeme opět chápat jako funkci parametru: /*(r) = /(x*(r), r),. Můžeme také psát
f*(r) = maxxf(x, r) , přičemž f*(r) nazýváme hodnotovou funkcí.
Příklad : Najděte maximum funkce f{x) = -x2 + 2ax + 4a2 pro libovolnou hodnotu parametru a g M a zjistěte, jakou změnu optimální hodnoty vyvolá změna parametru a.
Řešení: Podmínka pro stacionární bod je ť(x) = —2x + 2a = 0, jejímž řešením dostaneme x* = a, což dá /* = /(x*) = -a2 + 2aa + 4a2 = 5a2. Derivováním podle a dostaneme /*7(a) = 10a.
Optimalizační úlohy s parametrem
Uvažujme problém maximalizace funkce f (x, r), kde r je parametr. Bod optima obvykle závisí na parametru, označme jej tedy x*(r). Dosazením bodu optima do účelové funkce dostaneme optimální hodnotu, kterou můžeme opět chápat jako funkci parametru: /*(r) = /(x*(r), r),. Můžeme také psát
f*(r) = maxxf(x, r) , přičemž f*(r) nazýváme hodnotovou funkcí.
Příklad : Najděte maximum funkce f{x) = -x2 + 2ax + 4a2 pro libovolnou hodnotu parametru a g M a zjistěte, jakou změnu optimální hodnoty vyvolá změna parametru a.
Řešení: Podmínka pro stacionární bod je ť(x) = —2x + 2a = 0, jejímž řešením dostaneme x* = a, což dá f* = /(x*) = -a2 + 2aa + 4a2 = 5a2. Derivováním podle a dostaneme /*'(a) = 10a. K tomuto výsledku jsme mohli dojít i jiným způsobem. Označme zadanou f{x) jako funkci dvou proměnných F(x, a). Optimální hodnotu /* můžeme pak vyjádřit jako složenou funkci F(x*, a). Podle pravidla o derivování složené funkce platí /*7(a) = F{(x*, a) • x*/ + F^(x*, a) • 1. První člen je však díky stacionaritě funkce v bodě optima nulový, F{(x*, a) = ť(x*) = 0. Stačí tedy spočítat parciální derivaci F(x, a) podle a: F^(x, a) = (-x2 + 2ax + 4a2)'a = 2x + 8a a dosadit sem za x optimální hodnotu x* = a, takže máme F/(x*, a) = 2x* + 8a = 2a + 8a = 10a .
Obálková věta
Postup z předchozího příkladu můžeme zobecnit pro libovolný optimalizační problém maxX£Mf{x, r) (resp. /77//7XG^ř(x, r)), jehož bod optima x* leží pro každé r uvnitř oblasti M\
Věta : Má-li hodnotová funkce f*(r) derivaci, platí pro ni /*'(r) = [/^(x, r)]x=x*. Toto tvrzení bývá označováno jako obálková věta.
Obálková věta
Postup z předchozího příkladu můžeme zobecnit pro libovolný optimalizační problém maxxeMf(x, r) (resp. minx^Mf{x, r)), jehož bod optima x* leží pro každé r uvnitř oblasti M\
Věta : Má-li hodnotová funkce f*(r) derivaci, platí pro ni f*'(r) = [/^(x, r)]x=x*. Toto tvrzení bývá označováno jako obálková věta.
Poznámka : k intepretaci obálkové věty: Při změně parametru r se mění optimální hodnota f* ze dvou důvodů, jednak přímo, protože hodnotu r dosazujeme do /(x*, r), jednak nepřímo prostřednictvím vlivu na x*. Věta ukazuje, že tento nepřímý efekt lze ignorovat, neboť změna v x má v okolí stacionárního bodu zanedbatelný vliv na optimální hodnotu /*.
Obálková věta
Postup z předchozího příkladu můžeme zobecnit pro libovolný optimalizační problém maxxeMf(x, r) (resp. minx^Mf{x, r)), jehož bod optima x* leží pro každé r uvnitř oblasti M\
Věta : Má-li hodnotová funkce f*(r) derivaci, platí pro ni f*'(r) = [/^(x, r)]x=x*. Toto tvrzení bývá označováno jako obálková věta.
Poznámka : k intepretaci obálkové věty: Při změně parametru r se mění optimální hodnota f* ze dvou důvodů, jednak přímo, protože hodnotu r dosazujeme do /(x*, r), jednak nepřímo prostřednictvím vlivu na x*. Věta ukazuje, že tento nepřímý efekt lze ignorovat, neboť změna v x má v okolí stacionárního bodu zanedbatelný vliv na optimální hodnotu f*.
Poznámka : geometrický význam obálkové věty: Označme gx(r) = f(r,x)
funkci s pevnou hodnotou argumentu x. Protože f*(r) vyjadřuje maximální hodnotu, kterou může funkce /(x, r) pro dané r nabývat, je f*(r) > gx(r) Vx g M. Tedy graf hodnotové funkce leží nad všemi křivkami gx(r), x g M. Současně pro každé r existuje x*, takové že /*(r) = gx*(r), takže se graf hodnotové funkce v každém bodě některé z těchto křivek dotýká, můžeme říct, že je "obaluje".
Obálková věta - příklad
Příklad : Je dána funkce     r) = y/x — rx. Podle zavedeného značení f*(r) = maxxgx(r), kde gx(r) = f(r,x). Znázorněme na obrázku několik funkcí gx(r) pro vybrané hodnoty x, například
9\ (0 = \/T - r, gf4(r) = 2 - 4r, g9(r) = 3 - 9r, atd.
Obálková věta - příklad
Příklad : Je dána funkce f(x, r) = y/x - rx. Podle zavedeného značení /*(r) = maxxgx(r), kde gx(r) = f{r,x). Znázorněme na obrázku několik funkcí gx(r) pro vybrané hodnoty x, například 9\ (r) = vT - r, g4(r) = 2 - 4r, g9(r) = 3 - 9r, atd.
Obálková věta - příklad
Příklad : Je dána funkce f(x, r) = vx - rx. Podle zavedeného značení /*(r) = maxxgx(r), kde gx(r) = f(r,x). Znázorněme na obrázku několik funkcí gx(r) pro vybrané hodnoty x, například
9\ (r) = vT - r, g4(r) = 2 - 4r, g9(r) = 3 - 9r, atd.
Nyní jsme přidali též funkci f*(r) = maxxgx(r), jejíž graf shora "obaluje"znázorněné křivky.
Obálková věta - příklad
Příklad : Dořešme optimalizační problém z předchozího příkladu a určeme, jakou změnu optimální hodnoty vyvolá "jednotková změna"parametru. Stacionární bod pro maximalizaci funkce f(x, r) = y/x - rx získáme řešením podmínky ťx(x, r) = ^= - r = 0. Odtud vyjádříme x* = ^■ Aniž bychom
explicitně vyjádřili hodnotovou funkci /*, můžeme podle obálkové věty zjistit její derivaci f*'(r) = f^x*, r) = [-x]x=x* = f^. (Tento výsledek lze snadno
ověřit pomocí dosazení f*(r) = f(x*, r) = f{^j) = h ~    = h- Tedy hodnotová funkce má opravdu derivaci f*'(r) = f^).
Obálková věta pro více parametrů
Formulace obálkové věty pro případ více parametrů r =    ,..., rk) je následující:
Věta : Nechť ř*(r) = maxxf(x, r) a x*(r) značí bod optima funkce f(x, r) Pokud existují parciální derivace hodnotové funkce, pak pro ně platí:
Obálková věta pro více parametrů
Formulace obálkové věty pro případ více parametrů r =    ,..., rk) je následující:
Věta : Nechť ř*(r) = maxxf(x, r) a x*(r) značí bod optima funkce f(x, r) Pokud existují parciální derivace hodnotové funkce, pak pro ně platí:
Poznámka : S pomocí této věty se dají odvodit některá významná tvrzení ekonomické teorie, jako je například Hotellingovo lemma.
Obálková věta pro optimalizaci s omezením
Formulace obálkové věty pro případ optimalizace funkce f(x, r) pro x splňující podmínky      r) = 0, j = 1,..., m, je modifikována pomocí Lagrangeovy funkce /.(x, r) = f(x, r) - YljL\ ^j9j{x, 0 do následující podoby:
df*(r) _
on ~
dL(x,r)
dn
. x=x*(r)
/ = 1
k.
Obálková věta pro optimalizaci s omezením
Formulace obálkové věty pro případ optimalizace funkce f(x, r) pro x splňující podmínky      r) = 0, j = 1,..., m, je modifikována pomocí Lagrangeovy funkce /.(x, r) = f(x, r) - YljL\ ^j9j{x, 0 do následující podoby:
/ — 1,..., k.
_ x=x*(r)
Poznámka : Aplikací na konkrétní ekonomické problémy lze dospět k významným tvrzením jako jsou Shephardovo lemma a Royova identita.
Obálková věta pro optimalizaci s omezením
Formulace obálkové věty pro případ optimalizace funkce f(x, r) pro x splňující podmínky g/(x, r) = 0, j = 1,..., m, je modifikována pomocí Lagrangeovy funkce /.(x, r) = f(x, r) - YljL\ ^j9j{x, 0 do následující podoby:
/ — 1,..., k.
_ x=x*(r)
Poznámka : Aplikací na konkrétní ekonomické problémy lze dospět k významným tvrzením jako jsou Shephardovo lemma a Royova identita.
Poznámka : Speciální případ dostaneme pro případ, kdy se parametry nevyskytují v účelové funkci, ale pouze jako absolutní členy omezujících rovností: maxxf(x) pro x splňující podmínky gry-(x) = cy, j = 1,..., m. Pak obálková věta říká, že pro hodnotovou funkci /*(c) a Lagrangeovu funkci
L(x, C) = /(X) - Ey=i Ay(flfy(x) - Cy) platí
df*(c) _ dd
()L(x.c)
d d
_ x=x*(c)
= A„ / = 1
m,
Obálková věta pro optimalizaci s omezením
Formulace obálkové věty pro případ optimalizace funkce f(x, r) pro x splňující podmínky g/(x, r) = 0, j = 1,..., m, je modifikována pomocí Lagrangeovy funkce /.(x, r) = f(x, r) - YljL\ ^j9j{x, 0 do následující podoby:
/ — 1,..., k.
_ x=x*(r)
Poznámka : Aplikací na konkrétní ekonomické problémy lze dospět k významným tvrzením jako jsou Shephardovo lemma a Royova identita.
Poznámka : Speciální případ dostaneme pro případ, kdy se parametry nevyskytují v účelové funkci, ale pouze jako absolutní členy omezujících rovností: maxxf(x) pro x splňující podmínky gry-(x) = cy, j = 1,..., m. Pak obálková věta říká, že pro hodnotovou funkci /*(c) a Lagrangeovu funkci
L(X, C) = /(X) - Ey=i Ay(flfy(x) - Cy) platí
df*(c) _ dd
()L(x.c)
d d
— A/, / — 1,..., a77,
J x=x*(c)
což už jsme zjistili dříve diskuzí ekonomické interpretace významu Lagrangeových multiplikátorů.
Implicitně zadané funkce
Až dosud jsme pracovali s funkcemi v explicitním vyjádření y = f(x\,..., xn).
V ekonomických aplikacích však nejsou vždy vztahy mezi endogení veličinou a exogenními veličinami vyjádřeny v této ideální podobě, často je dostaneme
v podobě rovnice (nebo soustavy rovnic) F(x^,..., xn, y) = 0.
Implicitně zadané funkce
Až dosud jsme pracovali s funkcemi v explicitním vyjádření y = f(x\,..., xn).
V ekonomických aplikacích však nejsou vždy vztahy mezi endogení veličinou a exogenními veličinami vyjádřeny v této ideální podobě, často je dostaneme
v podobě rovnice (nebo soustavy rovnic) F(x^,..., xn, y) = 0.
Pokud z této podmínky lze pro každé (*i,..., xn) jednoznačně vyjádřit proměnnou y, pak řekneme že vztah definuje implicitně funkci y = f(xi,..., xn). Ne vždy však umíme tento předpis nalézt. Přesto by nás zajímala odpověď na otázku, jak změny jednotlivých exogenních proměnných ovlivní endogenní proměnnou y.
Implicitní funkce - príklad
Příklad : Obecná rovnice přímky 3x + 4y - 12 = 0 definuje implicitně lineární funkci y = 3 - |x.
Implicitní funkce - príklad
Příklad : Obecná rovnice přímky 3x + 4y - 12 = 0 definuje implicitně lineární funkci y = 3 - |x.
Příklad : Obecná rovnice kružnice x2 + y2 = 1 je složitějším případem implicitní funkce. Pro x > 1 nebo x < -1 neexistuje žádné y, které by podmínce vyhovovalo, pro x g (-1,1) zase nelze vyjádřit y jednoznačně (dostaneme dvě možnosti y = ±V1 - *2)- Situace je ilustrována na obrázku.
Implicitní funkce - derivace
Uvažujme nejprve jednoduchý případ funkce y = f (x) definované na intervalu / podmínkou F(x,y) = c. Graf funkce je reprezentován vrstevnicí funkce dvou proměnných. Podaří-li se nám v bodě x e / vyjádřit derivaci y/ = f'(x), určíme tak sklon vrstevnice v tomto bodě.
6 5 4 3 2 1 0		2/' = ? \\    F(x, y) = c
-1	01 2345678	
Implicitní funkce - derivace
Uvažujme nejprve jednoduchý případ funkce y = f (x) definované na intervalu / podmínkou F(x,y) = c. Graf funkce je reprezentován vrstevnicí funkce dvou proměnných. Podaří-li se nám v bodě x e / vyjádřit derivaci y/ = f'(x), určíme tak sklon vrstevnice v tomto bodě.
6 5 4 3 2 1 0		2/' = ? \\    F(x, y) = c
-1	01 2345678	
Přepišme definiční podmínku jako F(x, f(x)) = c a uplatněme na ni pravidlo o derivaci složené funkce F'x(x,y) • 1 + Fý(x,y) • y/ = 0. (Na pravé straně podmínky byla konstanta, proto je po zderivování nulová.) Ze získané rovnice
můžeme vyjádřit: y/ = - pj£ yj, a to pro všechny body, ve kterých platí
Derivace implicitní funkce - příklad
Příklad : Vrátíme-li se k předchozímu příkladu x2 + y2 = 1, kde
F(x, y) = x2 + y2, a tedy F^(x, y) = 2x a F^(x, y) = 2y, dostaneme
^' = ~ p[x y) = ~ip> co^ v^ak nen' definováno pro y=0. (Z obrázku je zřejmé, že y/ neexistuje v bodech (1,0) a (-1,0), protože tečna ke kružnici je v těchto bodech svislá)
✓K
1.5-
x2 + y2 = 1
-0.5
Derivace implicitní funkce - příklad
Příklad : Užijte vztah pro vyjádření derivace funkce y = f(x) zadané implicitně podmínkou xy = 4.
Derivace implicitní funkce - příklad
Příklad : Užijte vztah pro vyjádření derivace funkce y = f (x) zadané implicitně podmínkou xy = 4.
Řešení: Pro F(x,y) = xy máme F'x(x,y) = y, Fý(x,y) = x, takže y/ = - \. Můžeme ověřit, že y =    takže vztah y/ =     =      skutečně platí. Situaci
A A A
máme znázorněnu na obrázku, kde je vyznačen bod (2,2), ve kterém je derivace rovna -1.
2 ■-
S -
5 ■
4 ■
3 ■
1 ■
y =
-i
Ekonomická interpretace derivace implicitní funkce
Využití aparátu impliciních funkcí je užitečné například v teorii spotřebitele (předpokládejme, že spotřebovává pouze dva produkty , jejichž množství je x, resp. y). Je-li k dispozici užitková funkce spotřebitele u(x,y), lze jeho preference vyjádřit pomocí indiferenčních křivek s analytickým vyjádřením
u(x,y) = konst. Derivace y/ = - ufyYy) vyjadřuje sklon indiferenční linie. Její absolutní hodnota, tj. podíl mezních užitků -y/ = ^f- udává mezní míru substituce ve spotřebě.
Ekonomická interpretace derivace implicitní funkce
Využití aparátu impliciních funkcí je užitečné například v teorii spotřebitele (předpokládejme, že spotřebovává pouze dva produkty , jejichž množství je x, resp. y). Je-li k dispozici užitková funkce spotřebitele u(x,y), lze jeho preference vyjádřit pomocí indiferenčních křivek s analytickým vyjádřením
u(x,y) = konst. Derivace y/ = - ufyYy) vyjadřuje sklon indiferenční linie. Její absolutní hodnota, tj. podíl mezních užitků -y/ = ^f- udává mezní míru substituce ve spotřebě.
Příklad : Spočtěte mezní míru substituce pro funkci u{x,y) = xa • yb, kde a, Ďjsou kladné konstanty.
Řešení: MUX = u'x = axa_1 • yb, MUy = u'= bxa • yĎ_1, tedy
mr^ — MMx — axa A-yb — ě±
ivino — MUy — bxa.yb-A — b.x-
Derivace implicitní funkce - obecný případ
Odvodíme nejprve pro funkci dvou proměnných z = f(x,y) zadanou implicitně podmínkou F(x,y, z) = c. Opět použijeme pravidlo o derivování složené funkce na tento vztah zapsaný jako F(x, y, f(x, y)) = c. Pravá strana je konstantní a tudíž má nulovou derivaci podle obou proměnných x i y:
F'x • 1 + F'z • z'x = 0, F'y • 1 + F'z • z'y = 0, odkud vyjádříme
Derivace implicitní funkce - obecný případ
Odvodíme nejprve pro funkci dvou proměnných z = f(x,y) zadanou implicitně podmínkou F(x,y, z) = c. Opět použijeme pravidlo o derivování složené funkce na tento vztah zapsaný jako F(x, y, f(x, y)) = c. Pravá strana je konstantní a tudíž má nulovou derivaci podle obou proměnných x i y:
= 0, odkud vyjádříme
Fic
Fí
4 = o,
Fy
■x
F'
-J, (proF^O)
Příklad : Užijte vztah pro vyjádření parciálních derivací funkce z = f(x, y) zadané implicitně podmínkou x - 2y - 3z + z2 = -2.
Derivace implicitní funkce - obecný případ
Odvodíme nejprve pro funkci dvou proměnných z = f(x,y) zadanou implicitně podmínkou F(x,y, z) = c. Opět použijeme pravidlo o derivování složené funkce na tento vztah zapsaný jako F(x, y, f(x, y)) = c. Pravá strana je konstantní a tudíž má nulovou derivaci podle obou proměnných x i y:
F'x • 1 + F'z • z'x = 0, F'y • 1 + F'z • z'y = 0, odkud vyjádříme
4 = -g, 4 = -§' (Pro Fz 7^0)
Příklad : Užijte vztah pro vyjádření parciálních derivací funkce z = f(x, y) zadané implicitně podmínkou x - 2y - 3z + z2 = -2. Řešení: Pro F(x, y, z) = x - 2y - 3z + z2 máme
Fx(x, y, z) = 1, F;(x, y, z) = -2, F^(x, y, z) = -3 + 2z, takže pro z ^ 3/2 máme zC = -ň^, z' =
x 2z-3'    y 2z-3-
Derivace implicitní funkce - obecný případ
Odvodíme nejprve pro funkci dvou proměnných z = f(x,y) zadanou implicitně podmínkou f(x,y, z) = c. Opět použijeme pravidlo o derivování složené funkce na tento vztah zapsaný jako f(x, y, f(x, y)) = c. Pravá strana je konstantní a tudíž má nulovou derivaci podle obou proměnných x i y:
F'x • 1 + F'z • z'x = 0, F'y • 1 + F'z • z'y = 0, odkud vyjádříme
4 = -g, 4 = -§' (Pro Fz 7^0)
Příklad : Užijte vztah pro vyjádření parciálních derivací funkce z = f(x, y) zadané implicitně podmínkou x - 2y - 3z + z2 = -2. Řešení: Pro f(x, y, z) = x - 2y - 3z + z2 máme
f;(x, y, z) = 1, f;(x, y, z) = -2, f^(x, y, z) = -3 + 2z, takže pro z ^ 3/2 máme z^ = — 2^33, zy = žž~š-
Pro implicitně zadanou funkci n proměnných dostaneme v bodech, kde % ± 0 vztah f(xi