Matematická analýza funkcí více proměnných Předpokládejme dále, že funkce f je spojitě diferencovatelná až do řádu 2. Gradient funkce Matematická analýza funkcí více proměnných Předpokládejme dále, že funkce f je spojitě diferencovatelná až do řádu 2. Gradient funkce Buď X c Rn, f : X M funkce a? proměnných. Gradientem funkce ř v bodě t = (ři,..., tn) e X nazýváme vektor V/(t) = (Cl(t),...,Cn(t))T. Matematická analýza funkcí více proměnných Předpokládejme dále, že funkce ŕ je spojitě diferencovatelná až do řádu 2. Gradient funkce Buď X c Rn, f : X R funkce n proměnných. Gradientem funkce / v bodě t = (ři,..., tn) £ X nazývame vektor V/(t) = (Cl(t),...,^(t))T. Hessova matice Hessovou maticí funkce / v bodě t = (ři,..., tn) g X nazývame symetrickou matici řádu n\ w(t) = (íUTC=i Matematická analýza funkcí více proměnných Předpokládejme dále, že funkce ŕ je spojitě diferencovatelná až do řádu 2. Gradient funkce Buď X c Rn, f : X R funkce n proměnných. Gradientem funkce f v bodě t = (ři,..., tn) £ X nazývame vektor V/(t) = (Cl(t),...,^(t))T. Hessova matice Hessovou maticí funkce / v bodě t = (ři,..., tn) g X nazývame symetrickou matici řádu n\ = (c;,xy(t))^=1 Příklad : Určete gradient a Hessovu matici funkce f(x,y) = x ■ y2 v bodě (5,3). Matematická analýza funkcí více proměnných Předpokládejme dále, že funkce f\e spojitě diferencovatelná až do řádu 2. Gradient funkce Buď X c Rn, f: X M funkce a? proměnných. Gradientem funkce / v bodě t = (ři,..., tn) e X nazýváme vektor V/(t) = (^(t),...,^(t))T. Hessova matice Hessovou maticí funkce f v bodě t = (ři,..., tn) e X nazýváme symetrickou matici řádu n\ «(t) = (C;(t))"y=i Příklad : Určete gradient a Hessovu matici funkce f(x,y) = x ■ y2 v bodě (5,3). Řešení: Parciální derivace prvního řádu jsou: ^(x>y) = y2> ^(x>y) = 2x • y, tedy Vř(5,3) = (9,30)T. Matematická analýza funkcí více proměnných Předpokládejme dále, že funkce f\e spojitě diferencovatelná až do řádu 2. Gradient funkce Buď X c Rn, f: X -> R funkce n proměnných. Gradientem funkce f v bodě t = (ři,..., tn) e X nazýváme vektor V/(t) = (ř;(t),...,^(t))T. Hessova matice Hessovou maticí funkce / v bodě t = (ři,..., f„) e X nazýváme symetrickou matici řádu n\ Příklad : Určete gradient a Hessovu matici funkce f(x, y) = x ■ y2 v bodě Řešení: Parciální derivace prvního řádu jsou: f'x(x, y) = y2, fý(x, y) = 2x- y, tedy Vř(5,3) = (9,30)T. Parciální derivace druhého řádu jsou: fx'x(x, y) = 0, %(x, y) = 2y, f>>y(x, y) = 2x, tedy H{5,3) = ( ° ^ J Směrové derivace Uvažujme X c R", funkci /: X R, bod t e X a jednotkový vektor s e R". Vytvoříme funkci jedné proměnné "(0).) □ rS1 Směrové derivace Uvažujme X c Rn, funkci f : X M, bod t g X a jednotkový vektor s g Mn. Vytvoríme funkci jedné proměnné (f (x) = f (t + x.s). Hodnotu "(0).) Dá se ukázat, že platí £(t) = s-W(t), #(t) = s-H(t)-sT. Příklad : Určete první a druhou derivaci funkce f(x, y) = x • y2 ve směru s = (72' Směrové derivace Uvažujme X c Rn, funkci f : X R, bod t g X a jednotkový vektor s e Mn. Vytvoříme funkci jedné proměnné cp(x) = f(t + x.s). Hodnotu "(0).) Dá se ukázat, že platí £(t) = s-W(t), #(t) = s-H(t)-sT. Příklad : Určete první a druhou derivaci funkce f(x, y) = x • y2 ve směru s = (72' Řešení: Víme, že W(x,y) = (y2, 2xy)T, tedy /£(x,y) = ^±§^. Směrové derivace Uvažujme X c Rn, funkci f : X R, bod t g X a jednotkový vektor s e Mn. Vytvoříme funkci jedné proměnné cp(x) = f(t + x.s). Hodnotu "(0).) Dá se ukázat, že platí £(t) = s-W(t), #(t) = s-H(t)-sT. Příklad : Určete první a druhou derivaci funkce f(x, y) = x • y2 ve směru s = (72' Řešení: Víme, že W(x,y) = (y2, 2xy)T, tedy /£(x,y) = ^±§^. Hessova matice je: H(x,y) = y) = I • (0 + 2y + 2y + 2x) = 2y + x. U 2 >,edy Grafické znázornění funkce dvou proměnných V třírozměrném prostoru si můžeme graf funkce dvou proměnných představit jako zemský povrch. Pro znázornění povrchu ve 2D se používají většinou vrstevnice funkce. Grafické znázornění funkce dvou proměnných Podobným způsobem si můžeme znázornit třeba funkci f(x, y) X -2 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Grafické znázornění funkce dvou proměnných -2 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Vrstevnicí funkce f{x,y) "o nadmořské výšce c"rozumíme množinu všech bodů (x,y) g M2 takových, že platí f(x,y) = c. Například pro výše uvedenou funkci f(x, y) určíme nultou vrstevnici jako množinu všech řešení rovnice o dvou neznámých = 0- Zřejmě musí být x = 0, ale y je libovolné, tedy dostaneme množinu {(0,y), y e R}. Grafické znázornění gradientů funkce dvou proměnných Gradient V/(x, y) většinou znázorňujeme jako vektor vycházející z bodu (x, y) do bodu (x + ťx(x, y), y + fý(x, y)). Na obrázku vidíme gradienty funkce y) = -v v bodech pravidelné sítě. Gradienty a vrstevnice Znázorníme-li gradienty funkce do stejného obrázku s vrstevnicemi, můžeme si všimnout, že se jeví jako normálové vektory vrstevnic. Dá se ukázat, že libovolná funkce f v zadaném bodě x nejprudčeji roste ve směru gradientu W(x) a nejstrměji klesá ve směru -W(x). Totální diferenciál Nechť z = f(x,y) je funkce definovaná v daném 5-okolí U$([a, b\) bodu [a, b], která má v bodě [a, b] spojité parciální derivace fx, fý. Potom funkci df v proměnných dx, dy, danou vztahem dfa,b(dx, dy) = ťx(a, b)dx + ťy{a, b)dy nazýváme totálním diferenciálem funkce f(x,y) v bodě [a, b]. □ [51 Totální diferenciál Nechť z = f(x,y) je funkce definovaná v daném 5-okolí Us([a, b]) bodu [a, b], která má v bodě [a, b] spojité parciální derivace ťx, fý. Potom funkci df v proměnných c/x, dy, danou vztahem dfa,b{dx, dy) = ťx{a, b)dx + ťy{a, b)dy nazýváme totálním diferenciálem funkce f(x,y) v bodě [a, b]. Příklad : Napište diferenciál funkce z = x3y4 v bodě [2,3]. Totální diferenciál Nechť z = f(x,y) je funkce definovaná v daném 5-okolí Us([a, b]) bodu [a, b], která má v bodě [a, b] spojité parciální derivace ťx, fý. Potom funkci df v proměnných c/x, dy, danou vztahem dfa,b{dx, dy) = fx(a, b)dx + ťy{a, b)dy nazýváme totálním diferenciálem funkce f{x,y) v bodě [a, b]. Příklad : Napište diferenciál funkce z = x3y4 v bodě [2,3]. Řešení: Funkce z = x3y4 má spojité parciální derivace ťx(x,y) = 3x2y4 a y) = 4x3y3 v každém bodě [x, y], tedy i v bodě [2,3]. Dostáváme pak dz = (3x2y4)[253]dx + (4x3y3)[253]dy, dz = 972 dx + 864 dy. Totální diferenciál Pro totální diferenciál platí následující věta. Věta : Má-li funkce f(x, y) v bodě [a, b] spojité parciální derivace prvního řádu, potom existují ô > 0 a funkce /?(/?, k) tak, že pro všechna /?, k splňující [a -\- h, b -\- k] g Uô([a,b\) platí:_ /(a + /?, Ď + /c) - /(a, Ď) = ^(a, b)h + /£(a, b)/c + r](h, k) a zároveň lim ^(frfr) - n Totální diferenciál Pro totální diferenciál platí následující věta. Věta : Má-li funkce f(x, y) v bodě [a, b] spojité parciální derivace prvního řádu, potom existují ô > 0 a funkce /?(/?, k) tak, že pro všechna /?, k splňující [a -\- h, b -\- k] g Uô([a,b\) platí:_ /(a + /?, Ď + /c) - /(a, Ď) = ^(a, b)h + /£(a, b)/c + r](h, k) a zároveň lim Ä = 0. Význam věty: /(a + c/x, ď + c/y) - /(a, b) je přírůstek funkce při přechodu z bodu [a, £>] do bodu [a + c/x, b + c/y]. Předchozí vztah lze tedy zapsat takto Af = f (a + dx, b + dy) - /(a, £>) = dfa,b(dx, dy) + 7?(dx, dy). Jestliže nahradíme přírůstek Af přírůstkem na tečné rovině df, dopustíme se chyby r]{dx, dy), tato chyba se blíží k nule, blížíme-li se k bodu [a, b}. Totální diferenciál n proměnných Analogicky lze zavést diferenciál funkce n-proměnných. Definice : Jestliže funkce z = /(X), X = [x-i,..., xn], a? g N má v oblasti q spojité parciální derivace 1. řádu, pak_ dfx(dxi ,...,dx„) = ^ (X)dxi + • • • + ťXn{X)dxn nazýváme totálním diferenciálem funkce z = /(X) v bodě X = ... ,x„] g Q. Totální diferenciál n proměnných Analogicky lze zavést diferenciál funkce n-proměnných. Definice : Jestliže funkce z = f(X), X = [x-i,..., xn], n e N má v oblasti Q spojité parciální derivace 1. řádu, pak_ dfx(dxi ,...,dx„) = ^ {X)dx^ + • • • + fXn(X)dxn nazýváme totálním diferenciálem funkce z = f(X) v bodě X = [xi,... ,xn] e Í2. Analogicky případu n = 2 lze formulovat větu, ze které vyplývá, že pokud má funkce f(X), X = [xi,..., xn] v bodě X° = [x^,..., x°] spojité parciální derivace 1. řádu, pak_ f{x° + dxA,..., x° + dx„) - /(x?, (Ab)cř*i + • • • + fXn(X0)dxn. Totální diferenciál vyjadřuje přírůstek na tečné nadrovině, přejdeme-li z bodu X° = [x?,..., x°] do bodu X = [x° + c/x!,..., x° + c/xn]. Taylorův polynom Formulujeme pouze pro funkci dvou proměnných z = f(x, y) mající v jistém okolí Us{[a, b]) bodu [a, b] spojité všechny parciální derivace až do řádu 3 včetně. Označme 7"2(x,y) následující polynom v proměnných x, y: 72(x, y) = /(a, b) + 1 (£(a, fc)(x - a) + /£(a, fc)(y - f>)) + +Jj (&(a, f>)(x - a)2 + 2^(a, f>)(x - a)(y - f>) + ^(a, f>)(y - bf). Formulujeme pouze pro funkci dvou proměnných z = f(x, y) mající v jistém okolí Us{[a, b]) bodu [a, b] spojité všechny parciální derivace až do řádu 3 včetně. Označme 7"2(x,y) následující polynom v proměnných x, y: 72(x, y) = /(a, f>) + ± (£(a, b){x - a) + /£(a, fc)(y - b)) + +Jj (&(a, f>)(x - a)2 + 2^(a, f>)(x - a)(y - f>) + ^(a, f>)(y - bf). Podíváme-li se blíže na polynom T2(x,y), vidíme, že tento polynom má v bodě [a, b] stejnou funkční hodnotu jako funkce /(x,y) a všechny odpovídající si parciální derivace funkcí /(x,y) a 7"2(x,y) až do řádu 2 se v bodě [a,b] sobě rovnají. Polynom 7"2(x,y) nazýváme Taylorovým polynomem řádu 2 příslušným k funkci ř(x,y) v bodě [a, £>]. Taylorův polynom - příklad Příklad : Pomocí Taylorova polynomu funkce f{x,y) = xy ve vhodném bodě odhadněte 0,911. Taylorův polynom - příklad Příklad : Pomocí Taylorova polynomu funkce f(x,y) = xy ve vhodném bodě odhadněte 0,91>1. Řešení: Spočteme parciální derivace funkce f(x,y): fx(x,y) = y.Xy-i f;(x,y) = Xy-ln(x) fxA*,y) = y-(y-i)-xy-2 fx'y(x,y) = y-xy-' ■ln(x) + Xy-' f"(x,y) = xy-lrf(x) Taylorův polynom - příklad Příklad : Pomocí Taylorova polynomu funkce f(x,y) = xy ve vhodném bodě odhadněte 0,91>1. Řešení: Spočteme parciální derivace funkce f(x,y): fí(x,y) = y.Xy-i f;(x,y) = Xy-ln(x) fxA*,y) = y-(y-i)-xy-2 %(x,y) = y-xy-' ■ln(x) + Xy-' yy(x,y) = xy-irf(x) Hodnoty těchto derivací ve vhodném bodě [1,1] jsou £(1,1) = 1, £(1,1) = 0, &(1,1) = 0, ^(1,1) = 1, ^(1,1) = 0, takže r2(x,y) = 1 + l\(x-1) + |(x-1)(y-1) Taylorův polynom - příklad Příklad : Pomocí Taylorova polynomu funkce f{x,y) = xy ve vhodném bodě odhadněte 0,91,1. Řešení: Spočteme parciální derivace funkce f(x,y): Ux,y) = y-Xy-i f^x,y)=Xy.ln(x) VAx,y) = y-(y-i)-*y-2 fZy(x,y) = y-xy-i-ln(x) + xy-i yy(x,y) = Xy.ln?(x) Hodnoty těchto derivací ve vhodném bodě [1,1] jsou £(1,1) = 1, £(1,1) = 0, &(1,1) = 0, r£(1,1) = 1, ^(1,1) = 0, takže T2(x,y) = 1 + l(x- 1) + !(x - 1)(y- 1) Aplikujeme tento vztah pro odhad 0,91,1 pomocí r2(0,9; 1,1): 0,91-1 « r2(0,9;1,1) = 1 + ^(0,9-1)+ |(0,9-1)(1,1 -1) = 0,89. □ rS1 ► < ► < 3 >o^o