Matice - pokročilé partie Ze základního kurzu matematiky je třeba znát následující témata: (stačí např. V rozsahu http://mathstat.econ.muni.cz/materiály/matematika) • Matice a základní operace s maticemi • Determinant matice o Inverzní matice • Systémy lineárních rovnic • Elementární transformace, Gaussova eliminační metoda o Euklidovský prostor • Lineární nezávislost vektorů, hodnost matice Matice a lineární zobrazení Pomocí matic můžeme definovat lineární zobrazení Příklad : Matice A = ( 1 ? ) definuje lineární zobrazení přiřazující vektoru x x2 2 1 g R2 vektor A • x 1X! + 2x2 2x\ +1 x2 Matice a lineární zobrazení Pomocí matic můžeme definovat lineární zobrazení 1 2 Příklad : Matice A = ( 2 1 definuje lineární zobrazení přiřazující vektoru x X1 IeK2 vektor A • x *2 1X! + 2x2 2x\ +1 x2 Například pro vektor x = ^ J ^ dostaneme A • x = ^ ^ 3 ■ 2.5- 1.5- 0.5 Ax ■n-r- 0 0.5 1 1.5 X 2.5 3.5 Matice a lineární zobrazení Pomocí matic můžeme definovat lineární zobrazení Příklad : Matice A = ( 1 ? ) definuje lineární zobrazení přiřazující vektoru x x2 2 1 g R2 vektor A • x 1X! + 2x2 2x\ +1 x2 Pro y=[ ^ ) dostaneme A • y = í ^ 2.5 1.5 Ax 0.5 0 0.5 1 1.5 X 2.5 3.5 Matice a lineární zobrazení, příklad Pokud bychom chtěli provést totéž pro vektor z = x + y = 1 1 díky linearitě zobrazení nemusíme počítat součin A • (x + y), ale stačí sečíst A x + A y = ( 2 ) + ( i 3 Matice a lineární zobrazení, příklad Pokud bychom chtěli provést totéž pro vektor z = x + y= ^ ^ díky linearitě zobrazení nemusíme počítat součin A ■ (x + y), ale stačí sečíst Ax + Ay = ( 2 ) + ( i 3 sf A(x+y) Matice a lineární zobrazení, příklad Pokud bychom chtěli provést totéž pro vektor z = x + y= ^ ^ díky linearitě zobrazení nemusíme počítat součin A ■ (x + y), ale stačí sečíst Ax + Ay = ( 2 ) + ( i 3 /f A(x+y) Vektor z = x + y z příkladu má jednu zajímavou vlastnost. Při násobení maticí A se nezměnil jeho směr, ale pouze se ztrojnásobila jeho délka. Takový vektor pak nazýváme vlastním vektorem matice A příslušející vlastnímu číslu 3. Vlastní čísla a vlastní vektory Definice : Pokud pro čtvercovou matici A existuje číslo A a nenulový vektor x takové že Ax = Ax, pak číslo A nazýváme vlastním číslem matice A a x nazveme vlastním vektorem odpovídajícím číslu A. Vlastní čísla a vlastní vektory Definice : Pokud pro čtvercovou matici A existuje číslo A a nenulový vektor x takové že Ax = Ax, pak číslo A nazýváme vlastním číslem matice A a x nazveme vlastním vektorem odpovídajícím číslu A. Příklad : Existují pro matici A z předchozího příkladu nějaké další vektory příslušející vlastnímu číslu 3? A(x+y) Ax Vlastní čísla a vlastní vektory Definice : Pokud pro čtvercovou matici A existuje číslo A a nenulový vektor x takové že Ax = Ax, pak číslo A nazýváme vlastním číslem matice A a x nazveme vlastním vektorem odpovídajícím číslu A. Příklad : Existují pro matici A z předchozího příkladu nějaké další vektory příslušející vlastnímu číslu 3? Příklad : Existuje pro matici A nějaké jiné vlastní číslo? (hint: najdete na obrázku nějaký jiný vektor, který nemění transformací směr?) = ► < = ► = A(x+y) Ax Vlastní čísla a vlastní vektory, příklad Řešení: Přepišme si soustavu rovnic, pomocí které jsou vlastní čísla definována. + 2x2 = \x<\ 2x\ + x2 = Ax2 Anulováním rovnic dostaneme homogenní systém (1 - X)xA +2x2 = 0 2xA + (1 - X)x2 = 0 Kdy má homogenní systém i jiné než triviální (rozuměj nulové) řešení? Matice soustavy A - AI = ^ 1 2 ^ 1 - A ) ^kcle ' zna^' Jec|notkovou matici) musí být singulární, tedy její determinant musí být nulový. Vlastní čísla a vlastní vektory, příklad Řešení: Přepišme si soustavu rovnic, pomocí které jsou vlastní čísla definována. + 2x2 = \x<\ 2x\ + x2 = Ax2 Anulováním rovnic dostaneme homogenní systém (1 - X)xA + 2x2 = 0 2xA + (1 - X)x2 = 0 Kdy má homogenní systém i jiné než triviální (rozuměj nulové) řešení? Matice soustavy A - AI = ^ 1 2 ^ 1 - A ) ^kcle ' zna^' Jec|notkovou matici) musí být singulární, tedy její determinant musí být nulový. Rozepišme tuto podmínku podrobněji: |A - Al| = (1 - A)2 - 4 = 0, tedy (1 - A)2 = 4 a (1 - A) = ±2. Dostali jsme dvě vlastní čísla X^ = 3 a A2 = -1. Vlastní čísla a vlastní vektory, příklad Řešení: Přepišme si soustavu rovnic, pomocí které jsou vlastní čísla definována. + 2x2 = \x<\ 2xi + x2 = Ax2 Anulováním rovnic dostaneme homogenní systém (1 - X)xA + 2x2 = 0 2xA + (1 - A)x2 = 0 Kdy má homogenní systém i jiné než triviální (rozuměj nulové) řešení? Matice soustavy A - AI = ^ 1 2 ^ 1 - A ) ^kcle ' zna^' Jec|notkovou matici) musí být singulární, tedy její determinant musí být nulový. Rozepišme tuto podmínku podrobněji: |A - Al| = (1 - A)2 - 4 = 0, tedy (1 - A)2 = 4 a (1 - A) = ±2. Dostali jsme dvě vlastní čísla X^ = 3 a A2 = -1. Jaké vektory příslušejí těmto vlastním číslům zjistíme již snadno jako řešení systémů Ax = Aix a Ax = A2x. První systém nemusíme řešit, víme že rovnici vyhovuje Vlastní čísla a vlastní vektory, příklad Pro A2 1 dostaneme: Po anulování: dostáváme řešení x-\ + 2x2 = —x-\ 2x\ + x2 = x2 2xA + 2x2 = 0 2xA + 2x2 = 0 -x2, x2 = t g M. Odpovídající vlastní vektor je tedy lib. Vlastní čísla a vlastní vektory, návod Shrňme si nyní postup nalezení vlastních čísel a vlastních vektorů pro obecnou čtvercovou matici A: • Odečteme A od každého z diagonálních prvků matice A e Vyjádříme determinant |A - Al| , tzv. charakteristcký polynom • Položíme tento polynom roven nule, čímž získáme tzv. charakteristickou rovnici |A - Al| =0 • Nalezneme reálné kořeny charakteristické rovnice • Ke každému vlastnímu číslu A, sestavíme systém rovnic (A - A,l)x = 0 , jeho řešením získáme odpovídající vlastní vektor(y) v,. Vlastní čísla a vlastní vektory, návod Shrňme si nyní postup nalezení vlastních čísel a vlastních vektorů pro obecnou čtvercovou matici A: • Odečteme A od každého z diagonálních prvků matice A e Vyjádříme determinant |A - Al| , tzv. charakteristcký polynom • Položíme tento polynom roven nule, čímž získáme tzv. charakteristickou rovnici |A - Al| =0 • Nalezneme reálné kořeny charakteristické rovnice • Ke každému vlastnímu číslu A, sestavíme systém rovnic (A - A,l)x = 0 , jeho řešením získáme odpovídající vlastní vektor(y) v,. Příklad : Najděte vlastní čísla a vlastní vektory pro matici B Vlastní čísla a vlastní vektory, návod Shrňme si nyní postup nalezení vlastních čísel a vlastních vektorů pro obecnou čtvercovou matici A: • Odečteme A od každého z diagonálních prvků matice A e Vyjádříme determinant |A - Al| , tzv. charakteristcký polynom • Položíme tento polynom roven nule, čímž získáme tzv. charakteristickou rovnici |A - Al| =0 • Nalezneme reálné kořeny charakteristické rovnice • Ke každému vlastnímu číslu A, sestavíme systém rovnic (A - A,l)x = 0 , jeho řešením získáme odpovídající vlastní vektor(y) v,. bohužel v reálném oboru řešení, takže neexsitují žádná reálná vlastní čísla matice B. Příklad : Najděte vlastní čísla a vlastní vektory pro matici B Řešení: Sestavíme charakteristický polynom: |B - All = ^ \ = A2 + 1. Charakteristická rovnice A2 + 1 0 nemá Vlastní čísla a vlastní vektory, příklad Příklad : Najděte vlastní čísla a vlastní vektory pro matici □ s Vlastní čísla a vlastní vektory, příklad Príklad : Najděte vlastní čísla a vlastní vektory pro matici 5 -6 -6 C = [ -1 4 2 3 -6 -4 Řešení: Sestavíme charakteristickou rovnici: 5 - A -6 -6 C — Al| = -1 4 - A 2 3 -6 -4 - A -(A-1)(A-2); 0. Vlastní čísla a vlastní vektory, příklad Příklad : Najděte vlastní čísla a vlastní vektory pro matici 5 -6 -6 C = [ -1 4 2 3 -6 -4 Řešení: Sestavíme charakteristickou rovnici: 5 - A -6 -6 C-AI|= -1 4 - A 2 3 -6 -4 - A Pro Ai = 1 dostaneme systém -13 2 úpravami převedeme na 0 3 1 0 0 0 -(A-1)(A-2); 0. 4 -6 -6 0 -1 3 2 0 3 -6 -5 0 který elementárními 0 0 I. Z druhé rovnice získáme pro lib. 0 nenulové t e R : x2 = -t, x3 = 3t, což nám po dosazení do první rovnice dá 3 X! = 31, tedy vlastní vektor je ví = | -1 3 Vlastní čísla a vlastní vektory, příklad pokračování Pro A2,3 = 2 dostaneme systém 3 -6 -6 0 -1 2 2 0 3 -6 -6 0 který elementárními úpravami převedeme na Tato soustava má řešení závislé -12 2 0 0 0 0 0 0 na dvou parametrech, pro volbu x2 = teRax3 = seR dopočítáme x^ =2t + 2s. Každé řešení tedy můžeme zapsat jako kombinaci si 0 + ř 1 Řekneme, že vlastnímu číslu 2 odpovídají dva vlastní 2\ (2 vektory, v2= \ 0 a 1/3 = 1 1 / 0 Vlastní čísla a vlastní vektory, využití Vlastní čísla a vlastní vektory jsou využívány v mnoha oblastech matematiky a statistiky: • Diagonalizace a rozklady matic • Systémy diferenciálních rovnic 9 Analýza hlavních komponent https : //en.wikipedia.org/wiki/Principal_component_analysis • Vícerozměrná optimalizace • Teorie grafů Vlastní čísla a vlastní vektory, využití Vlastní čísla a vlastní vektory jsou využívány v mnoha oblastech matematiky a statistiky: • Diagonalizace a rozklady matic • Systémy diferenciálních rovnic o Analýza hlavních komponent https : //en.wikipedia.org/wiki/Principal_component_analysis o Vícerozměrná optimalizace • Teorie grafů Mají nesmírný praktický význam v řadě aplikačních oblastí: • Zpracování obrazu (rozpoznávání tváří apod.) https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenface • Komprese a dekomprese dat https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid= ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxuYXNsdW5kZXJpY3xneDpkMTI40TIlNTc4YJRIOC • Analýza tržního rizika, predikce vývoje na burze • Google Pagerank algoritmus "The $25,000,000,000 Eigenvector" • Fyzika, stavební inženýrství a další Vlastní čísla a vlastní vektory diagonálni matice Příklad : Najděte všechna vlastní čísla matice / 3 0 0 D = cŕ/gg(3,2,1) =020 V 0 0 1 ) □ s1 Vlastní čísla a vlastní vektory diagonálni matice Příklad : Najděte všechna vlastní čísla matice / 3 0 0 D = cŕ/gg(3,2,1) =020 V 0 0 1 ) □ s1 Vlastní čísla a vlastní vektory diagonálni matice Příklad : Najděte všechna vlastní čísla matice / 3 0 0 D = cŕ/ag(3,2,1) = 0 2 0 \ 0 0 1 Poznámka : Každá diagonálni matice D = diag(^, c/2,..., dn) má vlastní čísla rovna svým diagonálním prvkům a vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu d i je příslušný sloupec jednotkové matice e,, / = 1,..., n. Diagonalizace matice Definice : Řekneme, že čtvercová matice A řádu a? je diagonalizovatelná, jestliže existují diagonální matice D a regulární matice P řádu a?, takové že P1AP = D. Diagonalizace matice Definice : Řekneme, že čtvercová matice A řádu a? je diagonalizovatelná, jestliže existují diagonální matice D a regulární matice P řádu a?, takové že P1AP = D. Nyní bychom chtěli vědět, za jakých podmínek je čtvercová matice diagonalizovatelná, a jak nalezneme matici P. Na obě otázky nám odpoví následující věta: Věta : Matice A řádu n je diagonalizovatelná tehdy a jen tehdy, má-li n lineárně nezávislých vlastních vektorů xi,... xn. Potom P~1 AP = diag{\\,..., A„), kde P je matice sestavená ze sloupců x^,..., xn a Ai,..., Xn jsou odpovídající vlastní čísla. Diagonalizace matice Definice : Řekneme, že čtvercová matice A řádu a? je diagonalizovatelná, jestliže existují diagonální matice D a regulární matice P řádu a?, takové že P1AP = D. Nyní bychom chtěli vědět, za jakých podmínek je čtvercová matice diagonalizovatelná, a jak nalezneme matici P. Na obě otázky nám odpoví následující věta: Věta : Matice A řádu n je diagonalizovatelná tehdy a jen tehdy, má-li n lineárně nezávislých vlastních vektorů xi,... xn. Potom P~1 AP = diag{\\,..., A„), kde P je matice sestavená ze sloupců x^,..., xn a Ai,..., Xn jsou odpovídající vlastní čísla. Poznámka : V ekonomii se často pracuje se symetrickými maticemi. Každá symetrická matice řádu a? je diagonalizovatelná, protože má právě a? vlastních čísel a jejich odpovídající vlastní vektory jsou nezávislé (lze ukázat, že jsou dokonce vzájemně ortogonální) Diagonalizace matice, příklad Příklad : Diagonalizujte matici A = Diagonalizace matice, příklad Příklad : Diagonalizujte matici A Řešení: Již dříve jsme nalezli -- 1 1 2 2 1 3, A2 = -1 a X! = 1 1 x2 = 1 1 Pro matici P takže P-1 = -1 1/2 1/2 1/2 -1/2 1 1 -1 -1 -1 \ / 1/2 1/2 -1 <\ ) { 1/2 -1/2 1 2 \ / 1 1 \ _ / 3 0 2 1 ) ' \ 1 -1 I ~ \ 0 -1 spočteme inverzi. Determinant je roven |P| = -2 . Můžeme tedy zapsat: Diagonalizace matice, využití Poznámka : S výhodou lze využít diagonalizace při výpočtu vyšších mocnin matice A. Platí: P1 AP = D, tedy AP = PD a A = PDP1. Pro A2 dostaneme A2 = PD2P_1, neboť PDP-1 • PDP-1 = PD • DP~1. Tento postup můžeme opakovat k vyjádření Am = PD™P~1. Mocniny diagonální matice D = diag{\\,..., \n) spočteme snadno, Dm = diag(\™,..., A™). □ s Diagonalizace matice, využití Poznámka : S výhodou lze využít diagonalizace při výpočtu vyšších mocnin matice A. Platí: P~1 AP = D, tedy AP = PD a A = PDP-1. Pro A2 dostaneme A2 = PD2P_1, neboť PDP1 PDP1 = PD • DP_1. Tento postup můžeme opakovat k vyjádření Am = PD^P-1. Mocniny diagonální matice D = diag{\\,..., \n) spočteme snadno, Dm = diag(\™,..., A™). Příklad : Pro matici A z předchozího příkladu spočtěte A4 Řešení: P1 AP = D, tedy AP = PD a A = PDP1 ( 81 1 \ / 1/2 1/2 \_/41 40\ ^81 -1 )'\ 1/2 -1/2 )~ \ 40 41 ) Kvadratické formy V mnoha aplikacích se setkáváme se speciálním případem funkcí dvou proměnných ve tvaru Q(x-|, x2) = &\\x2 + ai2*i*2 + 321*2*1 + 222*2- Takovou funkci nazýváme kvadratická forma 2 proměnných. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že ai2 = a2i (kdyby byly koeficienty různé, lze je oba nahradit výrazem (ai2 + a2i)/2 protože xAx2 = x2x\). Kvadratické formy V mnoha aplikacích se setkáváme se speciálním případem funkcí dvou proměnných ve tvaru Q(x-|, x2) = &\\x2 + ai2*i*2 + 321*2*1 + £22*2- Takovou funkci nazýváme kvadratická forma 2 proměnných. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že ai2 = a2i (kdyby byly koeficienty různé, lze je oba nahradit výrazem (ai2 + a2i)/2 protože xAx2 = x2x\). Označíme-li A = (a,)),^..^ a x = ,x2)/, z definice maticového násobení je zřejmé, že funkci Q(x^, x2) lze zapsat jako Kvadratické formy V mnoha aplikacích se setkáváme se speciálním případem funkcí dvou proměnných ve tvaru Q(x-|, x2) = &\\x^ + ai2*i*2 + 321*2*1 + £22*2- Takovou funkci nazýváme kvadratická forma 2 proměnných. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že ai2 = a2i (kdyby byly koeficienty různé, lze je oba nahradit výrazem (ai2 + a2i)/2 protože xAx2 = x2x\). Označíme-li A = (a,)),^..^ a x = ,x2)/, z definice maticového násobení je zřejmé, že funkci Q(x^, x2) lze zapsat jako Příklad : Určete matici kvadratické formy Q(x^, x2) = xf + 5x^x2 + 3x| Kvadratické formy V mnoha aplikacích se setkáváme se speciálním případem funkcí dvou proměnných ve tvaru Q(x-|, x2) = &\\x^ + ai2*i*2 + 321*2*1 + £22*2- Takovou funkci nazýváme kvadratická forma 2 proměnných. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že ai2 = a2i (kdyby byly koeficienty různé, lze je oba nahradit výrazem (ai2 + a2i)/2 protože x^x2 = x2x^. Označíme-li A = (a,)),^..^ a x = ,x2)/, z definice maticového násobení je zřejmé, že funkci Q(x^, x2) lze zapsat jako Příklad : Určete matici kvadratické formy Q(x^, x2) = xf + 5x^x2 + 3x| Kvadratické formy Uveďme obecnou definici kvadratické formy pro prípad n proměnných: Definice : Kvadratickou formou n proměnných nazveme funkci Q(xi ,...,*„) = Y!í=\ Z)yLi äijXjXj. Bez újmy na obecnosti předpokládejme a,j = ajh i, j = 1,... a?. Symetrickou matici A = (aý-)/^,...,, nazýváme maticí kvadratické formy. Poznámka : Při označení x = (x^,..., xn)' lze opět psát Q(x^ ,...,*„) = x'Ax Kvadratické formy Uveďme obecnou definici kvadratické formy pro prípad n proměnných: Definice : Kvadratickou formou n proměnných nazveme funkci Q(xi ,...,*„) = Y!í=\ Z)yLi äijXjXj. Bez újmy na obecnosti předpokládejme a,j = ajh i, j = 1,... a?. Symetrickou matici A = (aý-)/^,...,, nazýváme maticí kvadratické formy. Poznámka : Při označení x = (x^,..., xn)' lze opět psát Q(x^ ,...,*„) = x'Ax Příklad : Zapište kvadratickou formu Q(x!, x2, x3) = 3x2 + 6x!x3 + xf - 4x2x3 + 8x| maticově. Kvadratické formy Uveďme obecnou definici kvadratické formy pro prípad n proměnných: Definice : Kvadratickou formou n proměnných nazveme funkci Q(xi ,...,*„) = Y!í=\ zCyLi Bez újmy na obecnosti předpokládejme a,y = a//, /,/ = 1,... a?. Symetrickou matici A = (aý-)/^,...,, nazýváme maticí kvadratické formy. Poznámka : Při označení x = (x^,..., xn)' lze opět psát Q(x^ ,...,*„) = x'Ax Příklad : Zapište kvadratickou formu Q(x!, x2, x3) = 3xf + 6xix3 + xf - 4x2x3 + 8xf maticově. Řešení: Q(x) = x ( 3 0 3 0 2 Definitnost kvadratické formy V praktických úlohách nás často zajímá, co musí splňovat koeficienty, aby kvadratická forma "neměnila znaménko". Definice : Kvadratickou formu Q(x) nazýváme • pozitivně semidefinitní <^ Vx e Rn : Q(x) > 0 • pozitivně definitní <^> V nenulové xeM": Q(x) > 0 • negativně semidefinitní <^ Vx e Rn : Q(x) < 0 • negativně definitní <^> V nenulové xgM": Q(x) < 0 • indefinitní <=> existují vektory x,yGl" takové, že Q(x) > 0 a Q(y) < 0. Definitnost kvadratické formy V praktických úlohách nás často zajímá, co musí splňovat koeficienty, aby kvadratická forma "neměnila znaménko". Definice : Kvadratickou formu Q(x) nazýváme • pozitivně semidefinitní <^ Vx e Rn : Q(x) > 0 • pozitivně definitní <^> V nenulové xeM": Q(x) > 0 • negativně semidefinitní <^ Vx e Rn : Q(x) < 0 • negativně definitní <^> V nenulové xgM": Q(x) < 0 • indefinitní <=> existují vektory x,yGl" takové, že Q(x) > 0 a Q(y) < 0. Příklad : Určete definitnost kvadratických forem d = —xf - xf, Q2 = - 2*1 x2 + x|, Q3 = xf - xf Definitnost kvadratické formy V praktických úlohách nás často zajímá, co musí splňovat koeficienty, aby kvadratická forma "neměnila znaménko". Definice : Kvadratickou formu Q(x) nazýváme • pozitivně semidefinitní <^ Vx e Rn : Q(x) > 0 • pozitivně definitní <^> V nenulové xeM": Q(x) > 0 • negativně semidefinitní <^ Vx e Rn : Q(x) < 0 • negativně definitní <^> V nenulové xgM": Q(x) < 0 • indefinitní <=> existují vektory x,yGl" takové, že Q(x) > 0 a Q(y) < 0. Příklad : Určete definitnost kvadratických forem d = —xf - xf, Q2 = xf - 2xAx2 + x|, Q3 = xf - xf Řešení: Výraz -xf - xf je vždy nekladný a pokud je alespoň jedna složka nenulová, tak je dokonce záporný. Forma Q^ je tedy negativně definitní. Definitnost kvadratické formy V praktických úlohách nás často zajímá, co musí splňovat koeficienty, aby kvadratická forma "neměnila znaménko". Definice : Kvadratickou formu Q(x) nazýváme • pozitivně semidefinitní <^ Vx e Rn : Q(x) > 0 • pozitivně definitní <^> V nenulové xeM": Q(x) > 0 • negativně semidefinitní <^ Vx e Rn : Q(x) < 0 • negativně definitní <^> V nenulové xgM": Q(x) < 0 • indefinitní <=> existují vektory x,yGl" takové, že Q(x) > 0 a Q(y) < 0. Příklad : Určete definitnost kvadratických forem d = -x2 - xf, Q2 = - 2*1 x2 + xf, Q3 = xf - xf Řešení: Výraz -xf - xf je vždy nekladný a pokud je alespoň jedna složka nenulová, tak je dokonce záporný. Forma Q^ je tedy negativně definitní. Výraz x2 - 2x|X2 + xf lze upravit na (xi - x2)2, což nabývá pouze nezáporných hodnot, ale může být rovno nule např. pro xi = x2 = 1. Kvadratická forma Q2 je tedy pozitivně semidefinitní Definitnost kvadratické formy V praktických úlohách nás často zajímá, co musí splňovat koeficienty, aby kvadratická forma "neměnila znaménko". Definice : Kvadratickou formu Q(x) nazýváme • pozitivně semidefinitní <^ Vx e Rn : Q(x) > 0 • pozitivně definitní <^> V nenulové xeM": Q(x) > 0 • negativně semidefinitní <^ Vx e Rn : Q(x) < 0 • negativně definitní <^> V nenulové xgM": Q(x) < 0 • indefinitní <=> existují vektory x,yGl" takové, že Q(x) > 0 a Q(y) < 0. Příklad : Určete definitnost kvadratických forem d = -x2 - xf, Q2 = - 2*1 x2 + xf, Q3 = xf - xf Řešení: Výraz -xf - xf je vždy nekladný a pokud je alespoň jedna složka nenulová, tak je dokonce záporný. Forma Q^ je tedy negativně definitní. Výraz x2 - 2x|X2 + xf lze upravit na (xi - x2)2, což nabývá pouze nezáporných hodnot, ale může být rovno nule např. pro xi = x2 = 1. Kvadratická forma Q2 je tedy pozitivně semidefinitní Výraz xf - xf může nabývat kladné hodnoty (např. pro x^ = 1, x2 = 0 ) i záporné hodnoty (např. pro x^ = 0, x2 = 1 ). Forma Q3 je tedy indefinitní. Definitnost kvadratické formy dvou proměnných Příklad : Určete definitnost kvadratické formy Q = 5xf - 2x\x2 + xf. Definitnost kvadratické formy dvou proměnných Příklad : Určete definitnost kvadratické formy Q = 5x2 - 2^x2 + xf. Řešení: Doplníme první dva členy výrazu na čtverec: Q = 5(x2 - 1^x2) + x2 = 5(x2 - §x!x2 + 2^x| - 2^x|) + xf = 5(x! - lx2)2 - Ixf + x| = 5(x! - lx2)2 + |x|. Vidíme, že koeficienty u obou kvadratických výrazů jsou kladné, forma je tedy pozitivně definitní. Definitnost kvadratické formy dvou proměnných Příklad : Určete definitnost kvadratické formy Q = 5x2 - 2x\x2 + xf. Řešení: Doplníme první dva členy výrazu na čtverec: Q = 5(x2 - §xix2) + xf = 5(x2 - \xAx2 + ^xf - ^xf) + xf = 5(X! - lx2)2 - lx| + xf = 5(X! - lx2)2 + \xl Vidíme, že koeficienty u obou kvadratických výrazů jsou kladné, forma je tedy pozitivně definitní. Pokud bychom provedli postup doplnění na čtverec pro formu s obecnými koeficienty, dostali bychom následující pravidlo: Věta : Kvadratická forma Q{xA, x2) = a\ ^ xf + 2a^\ x2 + a22xf je • pozitivně semidefinitní <=> an > 0, a22 > 0, ana22 - af2 > 0 • pozitivně definitní <=> an > 0, ana22 - a22 > 0 • negativně semidefinitní <=> an < 0, a22 < 0, ana22 - af2 > 0 • negativně definitní <=> an < 0, ana22 - af2 > 0 Definitnost kvadratické formy, Sylvestrovo kritérium K uvedení kritéria pro rozhodnutí o definitnosti kvadratické formy potřebujeme připomenout pojem vedoucích hlavních minorů matice A. Vedoucím hlavním minorem řádu k rozumíme determinant Dk submatice vytvořené z prvních k řádků a sloupců matice A. Na obrázku vidíme barevně jednotlivé submatice naznačeny. Oni an2 ai (12,1 a mi Definitnost kvadratické formy, Sylvestrovo kritérium K uvedení kritéria pro rozhodnutí o definitnosti kvadratické formy potřebujeme připomenout pojem vedoucích hlavních minorů matice A. Vedoucím hlavním minorem řádu k rozumíme determinant Dk submatice vytvořené z prvních k řádků a sloupců matice A. Na obrázku vidíme barevně jednotlivé submatice naznačeny. ťlll «12 • - • CL\n «21 a22 ... a2„, "ni a.„2 • - • ann Nyní stačí určit znaménka vedoucích hlavních minorů matice A příslušné formě Q. O Jestliže > 0, D2 > 0,..., Dn > 0, je Q pozitivně definitní. O Jestliže < 0, D2 > 0,..., Dn > 0, je Q negativně definitní. Definitnost kvadratické formy, Sylvestrovo kritérium Příklad : Rozhodněte o definitnosti formy Q = 3xf + 6x1 x3 + xf - 4x2x3 + 8x|. Definitnost kvadratické formy, Sylvestrovo kritérium Příklad : Rozhodnete o definitnosti formy Q = 3xf + 6x! x3 + xf - 4x2x3 + 8x|. 3 0 3 Řešení: Matice formy A = [ 0 1 -2 3-2 8 má řídící hlavní minory d =3, Do = 3 0 0 1 3 0 3 3, D3 = 0 1 -2 = 3 3 -2 8 > 0, D2 > 0, D3 > 0, tedy forma Q je pozitivně definitní. Definitnost kvadratické formy a vlastní čísla Příklad : Rozhodněte o definitnosti formy s maticí D = c//ag(-1, -4, -5). Definitnost kvadratické formy a vlastní čísla Příklad : Rozhodněte o definitnosti formy s matici D = c//ag(-1, -4, -5). Máme-li čtvercové matice A, P, kde P je regulární, pak A a P-1 AP mají stejná vlastní čísla. Toto důležité tvrzení nám umožní rozhodnout o definitnosti matice na základě její diagonalizace. Definitnost kvadratické formy a vlastní čísla Příklad : Rozhodněte o definitnosti formy s maticí D = diag(-Jl, -4, -5). Máme-li čtvercové matice A, P, kde P je regulární, pak A a P~1 AP mají stejná vlastní čísla. Toto důležité tvrzení nám umožní rozhodnout o definitnosti matice na základě její diagonalizace. Věta : Pro kvadratickou formu Q(x) se symetrickou maticí A, která má vlastní čísla Ai, A2,..., An, platí, že tato forma je: • pozitivně semidefinitní <^> Ai, A2,..., Xn > 0 • pozitivně definitní <^> Ai, A2,..., Xn > 0 • negativně semidefinitní <^> Ai, A2,..., Xn < 0 • negativně definitní <^> Ai, A2,..., Xn < 0 • indefinitní <=> má kladná i záporná vlastní čísla. □ [51