3. seminář: Funkce více proměnných: gradient, směrová derivace, Taylorův polynom
Příklad 1: Určete symetrickou matici A, která je určena kvadratickou formou.
a)   x2 + 2xy + y2  b)   ax2 + bxy + cy2  c)   Sxf — 2x\x^ + 3x\x^ + x\ + x\
Příklad 2: Pomocí Sylvestrova kritéria rozhodněte o definitnosti kvadratické formy (s využitím sw ověřte také dle znamének vlastních čísel):
a)   2x2 — 2xy + y2  b)   — 3x2 + 8xy — 6y2  c)   —x\ + 4xix2 + 10x2£3 + ^x\ + 6x3
Příklad 3: Vypočítejte gradienty všech následujících funkcí v zadaných bodech.
a) f(x, y) = y2 + xy    v bodě [2,1]
b) g(x, y, z) = xexy — z2    v bodě [0,0,1]
c) h(x, y, z) = ex + e2y + e3z    v bodě [0,0,0]
d) k(x, y, z) = ex+2y+3z     v bodě [0,0,0]
Příklad 4: Vypočítejte směrovou derivaci následujících funkcí v daném bodě a v daném směru.
a) f{x, V) = %x + V ~ 1    v bodě [2,1] a ve směru daném vektorem (1,1)
b) g(x, y, z) = xexy — xy — z2    v bodě [0,1,1] a ve směru daném vektorem (1,1,1)
Příklad 5: Najděte kvadratickou aproximaci (Taylorův polynom druhého řádu) v bodě [0,0] pro funkce
a) f(x, y) = exy
b) f{x,y) = ex2-y2
c) f(x,y) = ln(l + x2y)
d) f(x,y) = ln{l + x2 + y2)