4. seminář: Konvexní množiny, konvexní funkce, optimalizace bez omezení
Příklad 1: Načrtněte uvedené množiny a rozhodněte, zda jsou konvexní:
a) {(x,y) :x2 + y2<2}
b) {{x,y) : x2 + y2 > 8}
c) {{x,y) : xy <1}
d) {(x,y):x>0, y>0}
e) {(x, y) : x > 0, y>0, xy > 1}
f) {(x,y): v^+v^<2}
Příklad 2: Rozhodněte o konvexitě/konkávnosti uvedených funkcí
a) z = x + y — ex — ex+y
b) z = ex+y + ex-y - f
c) w = (x + 2y + 3z)2
Příklad 3: Dokažte, že funkce g(x, y) = x3 + y2 — 3x — 2y definovaná pro x > 0:y > Oje ryze konvexní a najděte její minimum.
Příklad 4: Funkce
f(x\,X2, Xs) = Xi~\- X2~\- 3x3 — X\X2 + 2x\X2, + X2X2,
definovaná na M3 má jeden stacionární bod. Ukažte, že tento stacionární bod je bodem lokálního minima.
Příklad 5: Nechť f(x, y) = x3 + y3 — 3xy je funkce definovaná pro každé x,y E M2.
a) Ukažte, že body [0,0] a [1,1] jsou jediné stacionární body.
b) Ověřte definitnost Hessovy matice v těchto bodech
c) Určete, jakého typu jednotlivé stacionární body jsou
Příklad 6: Určete stacionární body (a jejich typy) následujících funkcí.
a) fix: V: z) = x2 + x2y + y2z + y2 + z2 — 4z
b) f(x\,X2, x%, x 4) = 20^2 + 48^3 + 6x4 + 8x1X2 — 4xf — 12x3 — x\ — 4x2
Příklad 7: Firma produkuje dva výrobky, označme je A a B. Náklady na den jsou
C(x, y) = 0,04x2 - 0, Olxy + y2 + 4x + 2y + 500,
kde x je počet jednotek A a y je počet jednotek B (x > 0, y > 0). Firma prodává výrobek A za 13 Kč a výrobek B za 8 Kč. Najděte funkci zisku 7í(x, y) a hodnoty x a, y pro které nastává maximální zisk.