Seminář 4Příklad 1: Načrtněte uvedené množiny a rozhodněte, zda jsou konvexní:

a){ (x,y): x^2+y^2<2}


b) { (x,y): x^2+y^2>8}



c){ (x,y): x y <= 1}



d){ (x,y): x>=0, y >= 0}


e){ (x,y): x>=0, y >= 0, x y >=1}


f){ (x,y): sqrt(x)+sqrt(y) <= 2}



Příklad 2: Rozhodněte o konvexitě/konkávnosti uvedených funkcí:

a)



b)



c)



Příklad 3: Ukažte, že funkce g(x, y)= x^3 + y^2 - 3x - 2ydefinovaná pro x>0, y>0je ryze konvexní a
najděte její minimum.



Příklad 4: Funkce f(x_1, x_2, x_3)= x_1^2 + x_2^2 + 3x_3^2 - x_1x_2 + 2x_1x_3 + x_2x_3má jeden
stacionární bod. Ukažte, že tento stacionární bod je bodem lokálního minima.







Příklad 5: Nechť

je funkce definovaná pro každé reálné x, y.

a) Ukažte, že body [0, 0] a [1, 1] jsou jediné reálné stacionární body.

b) Ověřte definitnost Hessovy matice v těchto bodech

c) Určete, jakého typu jednotlivé stacionární body jsou.



Příklad 6: Určete stacionární body následujících funkcí.


a)








b)


Příklad 7: Firma produkuje dva výrobky, označme je A a B. Náklady na den jsou


kde x je počet jednotek A a y je počet jednotek B (x>0, y>0). Firma prodává výrobek A za 13 Kč a

výrobek B za 8 Kč. Najděte funkci zisku pi(x, y) a hodnoty x , y pro které nastává maximální zisk.