5. seminář: Optimalizace s omezením ve tvaru rovnosti, Lagrangeova funkce
Příklad 1:
a) Uvažujte problém minimalizace x2 + y2 za podmínky x + 2y = a (a je konstanta). Řešte problém tak, že ho transformujete na jednu proměnou.
b) Vysvětlete řešení studiem vrstevnic funkce f(x, y) = x2 + y2 a grafu přímky x + 2y = a. Můžete popsat problém geometricky? Má odpovídající maxi-malizační problém řešení?
Příklad 2: Řešte následující problémy převedením na jednorozměrnou optimalizaci.
a) max lOx^y^ za podmínky 2x + 4y = m.
b) max x^y^ za podmínky 50 OOOx + 0, 08y = 1 000 000.
c) max ^Xyŕy za, podmínky 3x + 4y = 12.
Příklad 3: Předpokládejme, že cena jednotky prvního výrobku je $2 a že cena jednotky druhého výrobku je $4. Osoba s užitkovou funkcí
u(x, y) = lOOxy + x + 2,
kde x, ?/ jsou množství nakoupených výrobků, má rozpočet $1000. Vyřešte problém maximalizace užitku, je-li třeba utratit celou částku.
Příklad 4: Užitím metody Lagrangeových multiplikátorů řešte problém:
a) max xy za podmínky x + 3y = 24.
b) min -4OQ1+QI-2Q1Q2-2OQ2+Q2 za podmínky Q1+Q2 = 15.
c) max ř7(xi,X2) = Iln(l+ xi) +1 ln(l+ X2)   s podmínkou   2xi+3x2 = m. (za předpokladu m > 4)
d) max 100 — x2 — y2 — z2      s podmínkou      x + 2y + z = a.
Příklad 5:
a) Řešte problém
max f (x, y) = 24x — x2 + 16y — 2y2 za podmínky g(x, y) = x2 + 2y2 = 44.
b) Jaká je přibližná změna v optimální hodnotě funkce f (x,y), zvýší-li se pravá strana omezení o 1?
Příklad 6:
a) Reste problém
max(min) f (x, y, z) = x2 + y2 + z za podmínky g (x, y, z) = x2 + 2y2 + 4z2 = 1. (Graf omezení je povrch elipsoidu v M3. Tato množina je uzavřená a ohraničená.)
b) Předpokládané omezení je změněno na x2 + 2y2 + Az2 = 1,02. Jaká je aproximace změny v maximální hodnotě f(x:y:z)7
Příklad 7: Řešte problém
,       /   . x      , ,   ,   ,    í x2 + 2y2 + z2 = l
a) max(min) x + y za podmínek <
1       v     7        y F \      x + y + z = 1
b) max x+iy+z      s podmínkami      x2+y2+z2 = 216   a   x+2y+3z = 0.
c) max x2 + y2 + z2   s podmínkami   x2 + y2 + 4z2 = 1   a   x + 3y + 2z = 0.