Seminář 5Příklad 1: a) Uvažujte problém minimalizace funkce

za podmínky x + 2y = a (aje konstanta). Řešte problém tak, že ho transformujete na jednu proměnou.





b)Vysvětlete řešení studiem vrstevnic funkce f(x, y) = x^2 + y^2a grafu přímky x + 2y = a. Můžete
popsat problém geometricky? Má odpovídající maximalizační problém řešení?


Vykreslíme například pro a=5




Příklad 2: Řešte následující problémy převedením na jednorozměrnou optimalizaci.

a) max



za podmínky


b) max



za podmínky 50000 x + 0,08 y = 1000000.


c) max


za podmínky 3x + 4y = 12




Příklad 3: Předpokládejme, že cena jednotky prvního výrobku je 2$ a že cena jednotky druhého
výrobku je 4$. Osoba s užitkovou funkcí

, kde x, yjsou množství nakoupených výrobků, má rozpočet 1000$, který celý vynaloží na uvedené
výrobky.  Vyřešte problém maximalizace užitku.



Příklad 4: Užitím metody Lagrangeových multiplikátorů řešte problém:


a) max xy


za podmínky x + 3y = 24





b) min  -40Q1 + Q1^2 - 2Q1 Q2 - 20Q2 + Q2^2


za podmínky  Q1 + Q2 = 15



c) max  U(x1, x2)= ln(1 + x1)/2 + ln(1 + x2)/4


za podmínky  2x1 + 3x2 = m


d) max  100 - x^2 - y^2 -z^2



za podmínky  x + 2y + z = a




Příklad 5: a) Řešte problémmax f(x, y) = 24x - x^2 + 16y - 2y^2


za podmínky


g(x, y) = x^2 + 2y^2 = 44



b) Jaká je přibližná změna v optimální hodnotě funkce f(x, y), zvýší-li se pravá strana omezení o
1?


Optimální hodnota účelové funkce se změní přibližně o λ*1=1


Příklad 6: a) Řešte problémmax(min) f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z


za podmínky


g(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 4z^2 = 1


b) Předpokládané omezení je změněno na x^2 +2y^2 + 4z^2 = 1,02. Jaká je aproximace změny v
maximální hodnotě f(x, y, z)?


Optimální hodnota účelové funkce se změní přibližně o λ*0,02=(-1/4)*0,02=-0,005 v případě
minimalizace a λ*0,02=(1)*0,02=0,02 v případě maximalizace


Příklad 7: Řešte problém

a) min(max)


za podmínek



b) max


s podmínkami




c) max


s podmínkami