9. seminář: Separovatelné a lineární diferenciální rovnice 1. řádu
Příklad 1:
a) Ukažte, že x(ť) = Ce~tjr\é je pro libovolnou hodnotu konstanty C řešením diferenciální rovnice x(t) + x(t) = é.
b) Ukažte, že x(ť) = Ct2 je pro libovolnou hodnotu konstanty C řešením diferenciální rovnice tx = 2x. Najděte partikulární řešení procházející bodem
(1.2).
Příklad 2: Rozhodněte, které z diferenciálních rovnic jsou separovatelné: a)   x = x2 — 1 b)   x = xt + t c)   x = xt + t2
d)  xíč = ex+tVTT¥ e)   x = yWTx f)   x = F(t) + G(x)
Příklad 3: Řešte následující diferenciální rovnice:
a)   x = ŕ — t b)   x = té — t c)   e^ič = t + 1
Příklad 4: Najděte obecné řešení následujících diferenciálních rovnic. Také najděte partikulární řešení procházející zadanými body.
a) tx = x(l — t), (to, xo) = (1,1/e)
b) (1 + t3)x = t2x,       (t0,x0) = (0,2)
c) xx = t, (to,x0) = (y/2,1)
d) e2íi - x2 - 2x = 1,   (t0,x0) = (0,0)
Příklad 5: Najděte obecné řešení rovnice. Určete rovnovážný stav rovnice a posuďte jeho stabilitu. Také načrtněte typickou integrální křivku.
a)  x + x = 10 b)  x — 3x = 27
c)   i + ±x = \ d)  4± + 5x = 100
Příklad 6: Nalezněte obecné řešení následujících diferenciálních rovnic a pro každou z nich určete integrální křivku pro (ícb^o) = (0,1).
a)  x — 3x = 5 b)  3x + 2x + 16 = 0
c)   i = x + í d)   ič + 2x = í2
Příklad 7: Najděte obecné řešení následujících diferenciálních rovnic: a)  tx + 2x + í = 0,  t ^ 0 b)  i -     = í í > 0
c)   i - Trrrx = t,     t > 1 d)i-|x+2^ = 0, í>0