Analytická geometrie v rovině Štěpán Křehlík Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita podzim 2018 Štěpán Křehlík Lineární prostory Parametrické vyjadrení přímky Víme, že každé dva různé body A, B určují přímku, kterou označujeme AB, nebo častěji p apod. Rozumíme tomu, že přímka je množina bodů, které splňují nějaké pravidlo. Příklad Bod A[l,2] a bod 6[5,4] jednoznačně určují přímku p. Najděte body C,D,E na přímce p, tak aby: • bod bod B byl středem úsečky AC 9 bod bod C byl středem úsečky AD • bod bod D byl středem úsečky A E Při nalezení bodu C je úsečka \AC\ dvakrát delší než \ AB\, a \AD čtyřikrát delší než \AB\, atd. Vymyslete obecný vzoreček pro nalezení koncového bodu úsečky B', tak abychom úsečku AB mohli zvětěěšit n-krát a náležela přímce p. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Parametrické vyjadrení přímky Víme, že každé dva různé body A, B určují přímku, kterou označujeme AB, nebo častěji p apod. Rozumíme tomu, že přímka je množina bodů, které splňují nějaké pravidlo. Příklad Bod A[l,2] a bod 6[5,4] jednoznačně určují přímku p. Najděte body C,D,E na přímce p, tak aby: • bod bod B byl středem úsečky AC 9 bod bod C byl středem úsečky AD • bod bod D byl středem úsečky A E Při nalezení bodu C je úsečka \AC\ dvakrát delší než \ AB\, a \AD čtyřikrát delší než \AB\, atd. Vymyslete obecný vzoreček pro nalezení koncového bodu úsečky B', tak abychom úsečku AB mohli zvětěěšit n-krát a náležela přímce p. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Parametrické vyjádření přímky Jestliže pomocí navrženého vzorečku umíme najít takto speciální body, které leží na přímce p. Můžeme potom jednoduchou modifikaci nalézt všechny body ležící na přímce p. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Parametrické vyjadrení přímky Jestliže pomocí navrženého vzorečku umíme najít takto speciální body, které leží na přímce p. Můžeme potom jednoduchou modifikaci nalézt všechny body ležící na přímce p. Rovnice X = A + tu tel se nazývá parametrická rovnice přímky nebo také parametrické vyjádření přímky určené bodem A a vektorem Ú. Proměnná t se nazývá parametr. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Přímka v rovině Otázky k zamyšlení: • Je přímka určena jen jedinou dvojicí bodů? 9 Má přímka jeden, nebo více směrových vektorů? Jestliže jich má víc, jak spolu souvisí? • Je nulový vektor směrnicovým vektorem nějaké přímky? Bod přímky Příklad Zjistěte zda body P[l, 2], (?[3,1] leží na přímce p, která má parametrické vyjádření x = 2 - t z = 3 + 2ř. t e R Štěpán Křehlřk Lineární prostory Bod přímky r Příklad_' Zjistěte zda body P[l, 2], Q[3,1] leží na přímce p, která má parametrické vyjádření x = 2 - t z = 3 + 2í, t e R Řešení: Aby bod P ležel na přímce p, muselo by existovat takové ř £ IR, že následující rovnice by byly obě splněny. l = 2?t, 2 = 3 + 2ŕ, t e R. Ovšem zde neexistuje t pro které by byly obě rovnice splněny. Tedy bod P neleží na přímce p. Pro Q máme rovnice 3 = 2?t, l = 3 + 2t, ŕ G /?. Z obou rovnic dostaneme ŕ =?1, tedy Q je bodem jpřímky p. Štěpán Křehlík Lineární prostory Vzájemná poloha dvou přímek Dvě přímky v rovině mohou mít tyto vzájemné polohy: • rovnoběžné • růzé 9 totožné • různoběžné Dvě přímky p(P, u) a q(Q,v) jsou spolu rovnoběžné právě tehdy, když vektor v je k násobkem vektoru u. Pro dvě přímky p(P, u) a q(Q,v) platí: Je-li vektor v je k násobkem vektoru u a bod Q náleží zároveň přímce p, jsou přímky rovnoběžné totožné. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Obecná rovnice přínky Vektor který je kolmý ke směrovému vektoru přímky se nazýva normálový vektor. Úkol: Předpokládejme, že máme přímku se směrovým vektorem u = (3,2), najděte normálový vektor. Nejprve zakreslete obrázek a obecně stanovte pravidlo pro nalezení normálového vektoru. Dále ověřte pomocí skalárního součinu jeho platnost. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Ukol: x Zamyslete se nad podmínkou, případně najděte podmínku zahrnující dva vektory, kterou musí splňovat souřadnice bodu X[x,y], aby tento bod ležel na přímce p která obsahuje bod P[3,?l] a má normálový vektor n = (1,2). Nápověda: Bod X leží n z\ n P" i m ŕ"*^ lc fi \/7 \/^ řCTOi^x/ n ^ xC ■ Z-^ i ^ŕ*) 11 n z\ \/7^\ i ^ m Icŕ*) I m p Hlpnŕínŕí Donminkŕí tpnv ip- x-3 + 2y + 2 = 0 x + 2y - 1 = 0 Ukol: x Zamyslete se nad podmínkou, případně najděte podmínku zahrnující dva vektory, kterou musí splňovat souřadnice bodu X[x,y], aby tento bod ležel na přímce p která obsahuje bod P[3,?l] a má normálový vektor n = (1,2). Nápověda: Bod X leží na přímce, když vektory n a XIP jsou navzájem kolmé. Hledaná podmínka tedy je: (l,2)-(x-3,y + l) = 0 x-3 + 2y + 2 = 0 x + 2y - 1 = 0 Obecně: Označíme n = (a, b), P[pl,p2]. Potom bod X[x,y] leží na přímce p, která obsahuje normálový vektor n a bod P právě tehdy, když n • (X - P) = 0 (a, b)-(x-pi,y-p2) = 0 ax — api + by — bp2 = 0 ax + by — apl — bp2 = 0 Položme —api — 6p2 = c a dostaneme výsledný vztah ve tvaru ax + by + c = 0 Tuto rovnici nazýváme obecné vyjádření přímky. Dvě přímky zadané obecně mohou mít v rovině tyto vzájemné polohy: o rovnoběžné • růzé • totožné o různoběžné Dvě rovnice přímky určují stejnou přímku je-li jedna rovnice k násobkem druhé. Dvě přímky které mají rovnice ax + by + c = 0 a'x + b/y + c/ = 0 jsou rovnoběžné právě tehdy, když vektor n = (a, b) je k násobkem vektoru n1 — (a;, //). Štěpán Křehlřk Lineární prostory Úkol Napište obecnou rovnici přímky p p : x = 1 — ŕ, y = 3 + 2ŕ, ŕ G /? Napište parametrické vyjádření přímky q : 3x?2y + 1 = 0 Štěpán Křehlřk Lineární prostory Polohové úlohy Určete vzájemnou polohu p, q p : x = 3?2t y =11 + ŕ, ŕ?/? (7:4x-y + 5 = 0 □ [S1 ► < ► < = Štěpán Křehlík Lineární prostory Metrické úlohy U kol: Určete vzdálenost bodu xA[l, 5] od přímky q : 2x?y?2 = 0. Postup řešení: O Bodem A vedeme kolmici p k přímce q. Q Najdeme průsečík Q přímek q a p. O Určíme vzdálenost bodů A a Q. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Metrické úlohy Odchylka dvou přímek p, q se směrnicovými vektory u,v je číslo (f) G (0, |), Pro které platí COS (() — u v u v Ukol: ' Vypočítejte odchylku dvou přímek p, q p : x = 1 + ř, y = 2 + 3t, ř € R g:2x + y- l = 0 Štěpán Křehlík Lineární prostory "O ^ O'