Reálna funkce reálne proměnné Stepán Křehlík Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita podzim 2018 □ iS1 Štěpán Křehlík Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Reálna funkce Reálná funkce reálné proměnné Z minulé přednášky známe: • nejzákladnější typy funkcí • základní vlastnosti • grafy funkcí • rovnost funkcí □ Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Exponenciální funkce Dělení buněk: Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Složené úročení Počáteční kapitál 1000 Kč úročíme složeným úročením po dobu 9 let úrokovou sazbou 25 %. Úrokové období je jeden rok. Úroky jsou připisovány ke kapitálu vždy na konci roku. 7000 roky S peníze 1000 1250 1562,5 1953,125 2441r406 3051,758 3814,698 4768,373 5960,466 Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Reálna funkce Základní typy funkcí (druhá část) • Exponenciální funkce - obecný předpis y = ax,aGR • předpis y = exp(x) y = ex • D(f) = R, H(f) = R+ • spojitá, je prostá, rostoucí, není sudá ani lichá A 4 ■-I ■J ■-I ■1 1 4 3 1 1 0 ! Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Logaritmická funkce Model který popisuje jak narůstá promile alkoholu v krvi Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Reálna funkce Základní typy funkcí (druhá část) • Logaritmická funkce - obecný předpis y = loga(x),aGE+,a^l • předpis y = In (x) • D(f) = R+,H(f) = R • spojitá, je prostá, rostoucí, není sudá ani lichá Štěpán Křehlřk □ iS1 Reálna funkce reálne proměnné - druhá část Racionálně lomená funkce Mějme Pn(x) je polynom stupně n a Qm(x) je nenulový polynom stupně m. Funkce tvaru R(x) = Qm(x) se nazývá racionálně lomená funkce, a to • ryze lomená, je-li n < m, • neryze lomená, je-li n > m Příklad Racionální funkce R(x) = x3+2x-5 x2 + l je neryze lomená. Racionální funkce R(x) = _ x3+2x-5 x5+x3+l je ryze lomená. Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Reálná funkce Operace s funkcemi: • sčítání, • odčítání, o násobení, • dělení, skládání. Štěpán Křehlík Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Složená reálná funkce Skládání funkcí: Švestky Uložení (nádoba) Zhřátí (pálení) Slivovice f(x) g(x) g(f(x)) Švestky Zhřátí (pálení) Uložení (nádoba) Povidla g(x) f(x) f(g(x» Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Složená reálná funkce Formální zavedení složené funkce: Máme funkci f \ y — f{u) s definičním oborem D(f) a funkci g : u = g(x) s oborem hodnot H(g). Jestliže je H(g) C D(f), pak funkci h \ y — f(g(x)) nazveme složenou funkcí. Poznámka Již víme, žefog^gof. Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Složená reálná funkce Příklad Spotřebu elektrické energie 100 W žárovky můžeme vyjádřit jako funkci q = 100 • t, kde t je počet hodin. Dejme tomu, že cena jedné kWh je 4 Kč, pak funkce y = 4 • cenu za spotřebovanou energii, kde q je spotřebovaná energie v Wh. Jak zkombinovat tyto dvě funkce, aby jsme rovnou vypočítali cenu za: a) 10 hodin svícení? a) 4 hodiny svícení? b) 50 hodin svícení? Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Složená reálná funkce Nakreslete grafy funkcí: • y = x • y = exp(x) 9 y = |exp(x)| • y = exp(|x|) o y = ln(x) + 2 • y = ln2(x) Štěpán Křehlík Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Složená reálná funkce Transformace grafu funkce • Posunutí ve směru osy x • y = f(x ± a) o Posunutí ve směru osy y • y = f (x) ± a • Kontrakce a dilatace ve směru osy x • y = f (a • x) • Kontrakce a dilatace ve směru osy y • y = a • f(x) • Překlopení podle osy y • y = f (-*) • Překlopení podle osy x • y = -fM Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Procvičení Za předpokladu, že znáte graf funkce y = ŕ(x), který je na obrázku, načrtněte grafy funkcí: a) y = f (x) + 3 b) y = f(x + 3) c) y = -f(x) d) y = \f(x + 3)\ £. f(x) J_ 6 5 4 3 2 1 \ _ i 1 I Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Procvičení Nakreslete graf funkce y = ex a dále pak načrtněte: a) y = ex + 2 b) y = ex_1 c) y = e"x d) y = "(e^1) e) y = -0,5X Načrtněte grafy funkce y — — log2(x) a ukažte, ze y — logi (x) se 2 rovná y — — log2(x). Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Procvičení Určete předpis lineární funkce na obrázku Štěpán Křehlík Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Periodické funkce Periodická funkce je v matematice funkce, jejíž hodnoty se pravidelně opakují s určitou periodou. Přesněji můžeme říci, že funkce ŕ je periodická s periodou P, jestliže f (x + P) = f(x) pro všechny hodnoty x v definiční oblasti f. Pro všechna celá čísla n také platí f(x + nP) = f(x). Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Goniometrická funkce Nechť a je libovolný úhel. Uvažujme jednotkovou kružnici v rovině a paprsek, který jde z počátku pod úhlem a. Nechť (x,y) jsou souřadnice průsečíku paprsku a jednotkové kružnice. Pak definujeme: sin(ce) = y cos(a) = x tan(a) = £ cotan(a) = ^ Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Funkce sinus a cosinus y=sin(x) y=cosin(x) Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Funkce tangens a cotangens y=tan(x) u A 4 t. I / -ľ 2 X / m i m A -4 1 Štěpán Křehlík y=cotan(x) u i. o I \ \ 1 1 mí I_ľ Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Hodnoty goniometrických funkcí 0° 30° jl 6 45° it 4 50* n 3 j. ■ ■■i 2 120' 2it 3 I35ů 3u A 150' 5ti Ě 180° ji 210° Ir. 6 225° 5n A 240' 4tt : 270° 3ti 2 300° 5n 3 315° 7ji 4 330° 1 1ti Ě 360° 2tc Siílx 0 1 2 2 V3 2 1 2 V2 2 1 2 0 1 2 <2 2 V3 2 -1 */3 2 V2 2 1 2 0 COSK 1 2 <2 2 1 2 0 1 2 V2 2 V3 2 -1 V3 2 12 2 1 2 0 1 2 V2 2 2 1 0 ^3 3 1 V3 W3 -1 3 0 ^3 3 1 V3 • -V3 -1 ^3 3 0 cot& <3 1 Í3_ 3 0 V3 3 -1 -V3 • V3 1 43 3 0 _A 3 -1 W3 ■ Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Příklady Zjistěte v kterých bodech se se protíná funkce y = 3X + 3X+ a konstantní funkce y = 108. Najděte body ve kterých funkce y = 16x — 6 • 4X + 8 protíná osu x. □ [fp1 ► < ► < = -š Q, O Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Pravidla pro úpravu logaritmů Předpokládejme, že základ a je opravdu základ logaritmu, tj. a > 0, a 7^ 1. Dále nechť xi a x2 jsou libovolná kladná reálná čísla. Pak platí: • loga(xi • x2) = loga xi + loga x2 • loga % = loga xl - 'Oga x2 9 loga xr = r • loga x Vr€l • l0ga 3=1 • alog-x = x Štěpán Křehlík Reálná funkce reálné proměnné - druhá část Příklady Zjistěte v kterých bodech se se protíná funkce y = log(x + 5) — log(x — 1) a funkce y — 1 — log2 Ukažte, že funkce y = log4(x2 — 9) — log^(x + 3) má právě jeden společný bod s s funkcí y = 3 a to [67, 3]. Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné - druhá část