Lineární prostory Štěpán Křehlík Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita podzim 2018 Štěpán Křehlík Lineární prostory Dvojice číselných os x, y v rovině , pro které platí: 1. obě osy jsou navzájem kolmé, 2. jejich průsečíku odpovídá na obou osách číslo 0, se nazývá kartézská soustava souřadnic v rovině a označuje s Oxy. Každý bod roviny lze zapsat pomocí dvou souřadnic. A=[2,2] .B=[3,1] 1 2 3 x □ rS1 ► < ► < = Štěpán Křehlík Lineární prostory Trojice číselných os x,y, z v prostoru, pro které platí: 1. každé dvě z nich jsou navzájem kolmé, 2. všechny procházejí bodem O, 3. bod 0 odpovídá na všech osách bou 0 se nazývá kartézská soustava souřadnic v rovině a označuje s Oxy. Každý bod prostoru lze zapsat pomocí tří souřadnic. 2\ ... \B=[2,3,2] -J [5P ► < .g ► ■< = Štěpán Křehlřk Lineární prostory Vzdálenost bodů - rovina Pomocí souřadnic lze spočítat vzdálenost dvou bodů v rovině 1 2 3 x Víme že bod C q 1 i r\ i o 2 - 1J_= 1 h /lni \2 + Štěpán Křehlřk Lineární prostory Vzdálenost bodů - rovina Pomocí souřadnic lze spočítat vzdálenost dvou bodů v rovině 1 2 3 x Víme, že bod C má souřadnice [3,1] 3 l=2a|eC = 2 1=1 h />>1 \2 + Štěpán Křehlřk Lineární prostory Vzdálenost bodů - rovina Pomocí souřadnic lze spočítat vzdálenost dvou bodů v rovině 1 2 3 x Víme, že bod C má souřadnice [3,1] Dále platí \AC 3-1 = 2a BC = 2-1 =1 h />>1 \2 + Štěpán Křehlík Lineární prostory Vzdálenost bodů - rovina Pomocí souřadnic lze spočítat vzdálenost dvou bodů v rovině 1 2 3 x Víme, že bod C má souřadnice [3,1]. Dále platí |>4C| = |3 - 1| = 2 a \BC\ = |2 - 1| = 1 Z Pythagorovi věty dostáváme AB = a/22 + l2 = V5- h A)o 1 VIIIC \2 + Štěpán Křehlřk Lineární prostory Vzdálenost bodů - rovina Pomocí souřadnic lze spočítat vzdálenost dvou bodů v rovině: 1 2 3 x Víme, že bod C má souřadnice [3,1]. Dále platí |>4C| = |3 - 1| = 2 a \BC\ = |2 - 1| = 1 Z Pythagorovi věty dostáváme AB = a/22 + l2 = V5- Vzorec Vzdálenost dvou bodů A[ai, 32], B[£>i, £»2] v rovině AB\ = ^(b1-a1y + {b2-a2y Štěpán Křehlřk Lineární prostory Vzdálenost bodů - prostor Pomocí souřadnic lze spočítat vzdálenost dvou bodů v prostoru -4 B' Vzorec Vzdálenost dvou bodů A[ai, 32, 33], B[bi, 62, b3\ v prostoru AB\ =^/\A'Bf + (b3-a3)2 =y/(bi - ai)2 + (b2- a2)2 + (bs - a3)2. Štěpán Křehlík Lineární prostory Střed úsečky Střed úsečky je charakterizován, že dělí úsečku na dvě stejné poloviny. Uvažujme úsečku AB na číselné ose a bodům A a B odpovídají čísla a a b, potom střed najdeme: S = a + b Q/^i iř^rl n ir-& cŕrnrlii ^fc c cl /ic&r\s\/ AR \sr\o A \ 3 6 [í?!, b2i ^3]/ jsou si = 3o -\- bo s2 = -^-, S3 = 33 + k Štěpán Křehlřk Lineární prostory Střed úsečky Střed úsečky je charakterizován, že dělí úsečku na dvě stejné poloviny. Uvažujme úsečku AB na číselné ose a bodům A a B odpovídají čísla a a b, potom střed najdeme: Vzorec Souřadnice středu S[si, sj, S3] úsečky AB, kde A[a\, 32, 33] 3 6[61, 62, 63], jsou si = 31 + Dl S2 = 32 + 02 S3 = 33 + D3 Štěpán Křehlík Lineární prostory Vektor Vektorové veličiny jsou velmi užitečné ve fyzice. Důležitou charakteristikou vektorové veličiny je to, že má jak velikost tak i směr. Musí mít obě tyto vlastnosti, aby byla zadána jednoznačně Příklad Vektorovou veličinou je například posunutí. Posunutí nám říká, jak daleko jsme od výchozího (fixního) bodu a také náš směr vzhledem k tomuto bodu. Příklad Vektorová veličina je i rychlost v určitém směru, 60 km/h na sever, Štěpán Křehlík Lineární prostory Vektor Vektory můžeme reprezentovat jako orientované úsečky. Obrázek níže ukazuje dva vektory. Pro určení směru jsme jsme použili malou šipku. První vektor směřuje z bodu A do bodu B. Kdyby byla šipka obráceně, jednalo by se o opačný vektor, čili o vektor z bodu B do bodu A Štěpán Křehlřk Lineární prostory Polohový vektor Někdy je vektor vázán k určitému bodu, například k počátku soustavy souřadnic. Takový vektor se nazývá polohový vektor. Vychází z počátku a končí v koncovém bodě P. Při psaní jej můžeme značit jako OP, případně r. Oba dva tyto výrazy odkazují na stejný vektor. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Sčítaní vektorů Pri sčítaní dvou vektorů se na ně díváme jako na posunutí. Nejprve provedeme první posun a pak druhý. Takže druhé posunutí musí začínat tam, kde první posunutí skončilo. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Sčítaní vektorů Existuje i další způsob, jak sčítat dva vektory. Místo toho, aby druhý vektor začínal tam, kde první končí, mohou oba začínat na stejném místě, a pak je doplníme na rovnoběžník. Součtem vektorů je úhlopříčka rovnoběžníku neboli třetí strana trojúhelníku. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Sčítání vektorů Příklad: V rovině jsou dány body A[1,3],B[-1,2],C[1J],D[-1,1]. Určete vektory AB a CD a ty pak sečtěte. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Odečítání vektorů Stačí když si rozdíl a — b přepíšeme do tvaru a + (—£>), kdy — b stejnou velikost jako b ale jeho směr bude opačný, nazýváme ho proto opačný vektor k b. -b Tedy odečíst dva vektory: a — b znamená připočítat — b k a. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Násobení vektorů číslem Co se stane, když sčítáme a se sebou samým třeba i několikrát? Dostaneme násobek a. Například a + a + a = 3a. Podobně bychom postupovali, kdybychom chtěli n-násobek a. Sčítali bychom vektor n-krát. n ■ a — a + a + • • • + a v-v-' n—krat Štěpán Křehlřk Lineární prostory Velikost vektoru Již jsem zavedli, že každý vektor je určený směrem a zároveň velikostí. Velikost vektoru Ú budeme značit u nebo u Vzorec Pro každý vektor Ú — (u\ \ U2 \ U3) v prostoru platí. u = \ u} + Uo + Uo Pro každý vektor Ú — (u\ \ U2) v rovině platí. u Remark Nulový vektor je takový, který má nulovou velikost, značíme ho o Štěpán Křehlřk Lineární prostory Jednotkový vektor Ješte nám k vysvětlení zbývá jeden pojem a tím je jednotkový vektor. Jestliže a je nějaký vektor, pak symbolem ä značíme jednotkový vektor ve směru a. Jednotkovým vektorem nazýváme takový vektor, jehož délka je 1, čili = 1 Toto značení nám dává další možnost jak zapsat a a — \a\- ä. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Jednotkový vektor Příklad: Uvažujme vektor a — (3,2,6), zkraťte tento vektor, tak aby měl jednotkovou délku, ale zachoval směr. Štěpán Křehlík Lineární prostory Jednotkový vektor Jednotkovým vektorem k a je á jehož délka je 1 a jeho směr je stejný jako směr a. Vypočítáme ho jako podíl a a jeho délky |a] a = a Štěpán Křehlřk Lineární prostory Skalární součin Jedním ze způsobů, jak můžeme se dvěma vektory operovat, je skalární součin. Výsledkem skalárního součinu dvou vektorů, jak již název napovídá, je skalár. Uvažujme dva vektory a a b na Obrázku 1. Všimněte si, že tyto dva vektory začínají ve stejném bodě. Uhel mezi nimi je označen 6. Obrázek 1. Vektory a a b, mezi kterými je úhel 9. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Skalární součin Skalární součin vektoru a a vektoru b definujeme následovně Skalární součin vektorů a a b je definován jako a-b = b • cos 9, kde |a| je modul (velikost) vektoru a, \b\ je modul (velikost) vektoru ba 9 je úhel mezi vektory a a b. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Skalární součin Příklad Uvažujme dva vektory a a b (Obrázek 2). Předpokládejme, že vektor a má velikost 4, vektor b má velikost 5 a úhel mezi nimi je 60( lO Obrázek 2. Dva vektory a a b, mezi kterými je úhel 60°. Podle výše uvedené definice nalezneme skalární součin vektorů a a b a-b = b • cos 9 = 4 x 5 x cos 60 o 4 x 5 x - = 10 2 Štěpán Křehlřk Lineární prostory Skalární součin Další způsob učení skalárního součinu je: a • b = ai • bi + a2 • £>2- Příklad: Určete skalární součin vektorů Ú — (1; 2; —1) a v = (3;1;5). J-i7=l-3 + 2-l + (-l)-5 = 0. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Vlastnosti Skalárního součinu Skalární součin je komutativní, když a • b = b • a. Skalární součin je distributivní, když a-(b + c) = a- b + a- c nebo také ekvivalentně (b + c) • a = b • a + c • a. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Uhel mezi vektory Vzorec Uhel mezi vektory (důsledek skalárního součinu) uv COS if = u v V( a \/ Nm> III \\/ ImJ W> o9 i / i \9 = V = V -L + ^ = 2 _ ./E m7 = 3 •! + (-!) -2 = 1 Ve COS (f = v lUv b 5^2 5 tZOÍ/ V / Štěpán Křehlřk Lineární prostory Uhel mezi vektory Vzorec Uhel mezi vektory (důsledek skalárního součinu) uv COS if = u v Příklad V rovině jsou dány dva vektory u = (3; —1), v = (1; 2). Určete velikost úhlu mezi vektory Ú a v. Nm> III \\/ ImJ \^ \^ o9 i / i \9 = V 2 _ ./E Ve m7 = 3 •! + (-!) -2 = 1 COS (f = v lUv b 5^2 5 tZOÍ/ V / Štěpán Křehlřk Lineární prostory Uhel mezi vektory Vzorec Uhel mezi vektory (důsledek skalárního součinu) uv COS if = u v Příklad V rovině jsou dány dva vektory u = (3; —1), v = (1; 2). Určete velikost úhlu mezi vektory Ú a v. Velikost obou vektorů u = A/32 + (-l)2 = VTÔ v = Vl2 + 22 = VŠ. Skalární součin uv = 3 • 1 + (-1) -2 = 1 Velikost úhlu

Štěpán Křehlřk Lineární prostory Lineární závislost vektorů Dokažte, že: O vektory ai = 3 1 Doplňte obrázkem 3 1 Doplňte obrázkem O vektory ai = a 32 — a 32 = jsou lineárně závislé. jsou lineárně nezávislé. S1 Štěpán Křehlřk Lineární prostory Lineární závislost vektorů Řešení: O Platí, že 32 = 2ai, tj. ai — 2a2 = 0, neboť c\ — 2 a C2 = — 1, pak je zřejmé, že c\a\ + C2&2 = 0 a podmínka je splněna. Tedy vektory jsou lineárně závislé. Dále vektor a2 má stejný směr jako vektor ai a je dvakrát tak dlouhý. Ukázka na Obr.l O V tomto případě přepíšeme rovnici c\a\ + C2&2 — 0 do tvaru: 3ci + C2 = 0 Cl + 2c2 = 0 Pro tyto dvě rovnice existuje jen jedno řešení a to c\ — C2 — 0, tedy vektory jsou lineárně nezávislé. Štěpán Křehlřk Lineární prostory Obr. 1 Vektory jsou lineárně Obr. 2 Vektory jsou lineárně závislé nezávislé