MONOPOL A MONOPOLNÍ CHOVÁNÍ - řešené příklady
Monopol
1. Monopol s nákladovou funkcí c(y) = 2y2 + 10 působí na trhu s poptávkou y (p) = 20 — 0,5p.
(a) Jak velké množství produktu bude monopol prodávat a jaký bude jeho zisk?
(b) Jak velké množství produktu bude monopol prodávat při množstevní dani t = 8?
Řešení
(a) Obecný tvar ziskové funkce monopolu je
n (y) = r(y) - c(y),
kde r (y) = p(y)y je příjmová funkce. Dále můžeme postupovat dvěma způsoby.
Řešení 1
Z poptávkové funkce y(p) si vyjádříme inverzní poptávkovou funkci p(y) = 40 — 2y a dosadíme ji do ziskové funkce
7r(2/) = (40 - 2y)y - 2y2 - 10
a funkci upravíme do tvaru
Tr(y) = -Ay2 + AOy - 10.
Monopol si volí takový výstup y* > 0, při kterém maximalizuje zisk
max7r(y) = -Ay2 + AOy - 10. y
Z podmínky prvního řádu vypočítáme výstup odpovídající extrému funkce:
tt'(y*) = -8y + 40 = 0
y* = 5.
Protože druhá derivace ziskové funkce je
tt'V) = -8 < 0,
firma při výstupu y* = 5 maximalizuje zisk. Zisk firmy při výstupu y* = 5 je
7r(y*) = -Ay*2 + AOy* - 10 = 90. Řešení 2
Při řešení tohoto příkladu bychom také mohli  z  obecného tvaru ziskové funkce
ir(y) = r(y) — c(y) nejdřív odvodit podmínku prvního řádu
MR(y*) = MC(y*)
a podmínku druhého řádu
MC'(y*) > MR'(y*).
Pak vypočítat mezní příjmy a mezní náklady monopolu:
MR(y) = r'(y) = (p(y)y)' =
= (40y - 2y2Y = 40 - Ay. MC(y) = c'(y) = (2y2 + 10)' = Ay.
Dosazením do podmínky prvního řádu pak najít výstup odpovídající extrému ziskové funkce
MR(y*) = MC(y*) 40 - Ay* = Ay*
y = 5.
Dosazením do podmínky druhého řádu pak zjistit, že výstup y* = 5 odpovídá maximu funkce, protože
MC'(y*) = 4 > -4 = MR'(y*).
(b) Tento bod vyřešíme pouze dosazením do ziskové funkce. Když monopol platí množstevní daň ve výši 8, jeho nákladová funkce c(y) = 2y2 + 8y + 10. Zisková funkce pak bude mít tvar
7r(y) = r(y) - c(y)
7r(z/) = (40 - 2y)y - 2y2 - 8y - 10 7r(2/) = -Ay2 + 2,2y - 10.
Z podmínky prvního řádu vypočítáme výstup odpovídající extrému této funkce:
7i-'(y*) = -8y* +32 = 0
y* = 4.
Protože druhá derivace ziskové funkce
tt'V) = -8 < 0, firma při výstupu y* = A maximalizuje zisk. Zisk monopolu se rovná
TT(y*) = -Ay*2 + 32y* - 10 = 54.
Monopolní chování
2. Monopol prodává svůj produkt na dvou trzích. Inverzní poptávka na trhu 1 je p\{y{) = 200 — y\
a inverzní poptávka na trhu 2 je ^2(2^2) = 250—^2-Monopol má nákladovou funkci c{y\ + y2) = (y± + j/2)2:- Jaké budou optimální ceny a množství na obou trzích? Jaký bude zisk monopolu? Nakreslete situaci této firmy do grafu.
Řešení
Obecný tvar ziskové funkce monopolu s dvěma oddělenými trhy je
^{yi,v2)= ri(yi) + r2(y2) - c(yx +y2),
kde ri(yi) = p(yi)yi a r2(y2) = v{v2)v2 jsou příjmy monopolu na trzích 1 a 2. Dále můžeme postupovat dvěma způsoby.
Řešení 1
Dosazením do obecného tvaru ziskové funkce získáme ziskovou funkci
tt(2/i, y2) = 200yi -y\ + 250y2 -y\- (yi + y2)2-
Monopol bude dodávat na trh 1 a 2 takové výstupy y\ a y\, pro které je jeho zisková funkce maximální. Podmínky prvního řádu jsou
dyi
dn(y1,y2) dy2
200 - 2y*-2(y*+y*) = 0, 250- 2y*2-2(y*1+y*2) = 0.
Řešením těchto dvou rovnic o dvou neznámých dostaneme optimální množství dodávané na oba trhy
y*i = 25, y*2 = 50.
Dosazením do funkcí poptávek na obou trzích spočítáme ceny
Řešení 2
Z obecného tvaru ziskové funkce můžeme odvodit podmínky prvního řádu ve tvaru
MR1(y*) = MC(y*1+y*2)
MR2(y*)=MC(y*1+y*2).
kde
MR1(y1) = r'1(y1) = 200- 2Vl MR2{y2) = r'2{y2) = 250 - 2y2 MC(Vl + y2) = c'(Vl + y2) = 2{Vl +
y 2)
jsou mezní příjmy na trhu 1 a 2 a mezní náklady monopolu. Dosazením konkrétních tvarů funkcí mezních příjmů a nákladů do podmínek prvního řádu získáme dvě rovnice o dvou neznámých, jejichž řešením pak budou stejné optimální výstupy na obou trzích y^ a y^ jako v Řešení 1.
Graf dole znázorňuje poptávky na trhu 1 a 2 D\ a D2, mezní příjmy na trzích 1 a 2 MR\ a MR2 a mezní náklady monopolu MC. Všimněte si, že se mezní příjmy MR\ při optimálním množství yl = 25 a mezní příjmy MR2 při množství y2 = 50 rovnají mezním nákladům MC při celkovém vyráběném množství yl + y2 =75.
p
25 50 75
p*i = 200 - y{ = 175, p2 = 250 -y2 = 200. Zisk monopolu bude
7t = pIvI + p2y2 - (i/í + y*2f
175 x 25 + 50 x 200 - 75 = 8 750.