Logika:
ŕ\   ŕ\   íio\   ía\ a
Mějme vl =    2    , v2 =    2    , v3 = í 10    , vA =    6    a v5 = (
vl<-c(l,2,3);v2<-c(3,2,l);v3<-c(10,10,10);v4<-c('a','b','c');v5<-c(l,10)
Př.l: Rozhodněte, které prvky vektoru ul jsou větší než prvky vektorů «2 a
vS.
vl>v2; vl>v3
Př.2: Rozhodněte, zda-li všechny prvky vektoru v3 jsou aspoň tak veliké, jako prvky v2. all(v3>=v2)
Př.3: Rozhodněte, zda alespoň jeden prvek vektoru v3 je větší než 2. any(v3>2)
Př.4: V Rstudiu vyzkoušejte porovnat libovolné vektory. all(v4 != v3) all(v4 > v3) all(v4 = v3)
v4 < v5
any(vl<v2) & all(v2<v3)
if (any(vl>v3)|all(v2 > 1)) print("ahoj") else print("Cau") Matice:
í1 2 °A    /o i i\
Př.l: Mějme A = í 0   -1    l j a B = \^_2  Q   J . Spočtěte BA, A2, BT.
Dále určete hodnost matice A a určete její determinant.
A<-matrix(c(l,0,2,2,-1,0,0,l,-l),3);B<-matrix(c(0,-2,1,0,1,1),2)
B%*%A
A%*%A
t(B)
qr(A)$rank det(A)
/2    1    -2 -1\ Př.2: Mějme A = I J . Pomocí Laplaceova rozvoje určete
\8    1     1     2 /
|A|.
A<-matrix(c(2,1,4,8,1,-1,2,1,-2,-1,2,1,-1,1,1,2),4)
/l    1 1\ Př.3: Mějme A =     6    5   4    . Určete A-1. \13   10 8/ A<-matrix(c(l,6,13,l,5,10,l,4,8),3)
1
B<-solve(A) A%*%B
C<-round(solve(A))
A%*%C
C%*%A
Systém lineárních rovnic:
Př.l: Vyřešte soustavu rovnic
x + 2y =5. y - 3z =5, 3x — z =4.
(A<-matrix(c(l,0,3,2,l,0,0,-3,-l),3));(b<-c(5,5,4))
x<-solve(A,b)
A%*%x
all(A%*%x == b) Př.2: Vyřešte soustavu rovnic
2x — y + z =0. x + 2y - 2z =0, 3x + y — z =0.
(A<-matrix(c(2,1,3,-1,2,1,l,-2,-l),3));(b<-c(0,0,0))
(x<-solve(A,b))
det(A)
install.packages("pracma") library(pracma) rref(cbind(A, b))
Př.3: Vyřešte soustavu rovnic
2a + b - c + d =1, 3a-2b + 2c-3d =2, 2a - 6 + c - 3d =4, 5a + b- c + 2d = - 1.
(A<-matrix(c(2,3,2,5,l,-2,-l,1,-1,2,1,-1,l,-3,-3,2),4));(b<-c(l,2,4,-l))
(x<-solve(A,b))
det(A)
rref(cbind(A,b))
2
Vlastní čísla a vlastní vektory:
Př.l: Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice A =
(A<-matrix(c(2,l,1,-3,-2,-3,1,1,2),3)) eigen(A)
Funkce a definiční obor:
x < 0
Př.l: Zakreslete funkci f (x) = {   x -1    ...   0 < x < 1
x > 1
Př.2: Určete definiční obor funkce f (x) = v x_2—.
Př.3: Určete definiční obor funkce f (x) =- Vx2 x 2
lux
Limita funkce:
inst all. packages (" car acas ") library(caracas) Caracas: :inst all _ sympy () x <- symbol("x")
OIJUI-LCI.C inn ^2 i o • Př.5: Spočtěte lim    9_ ,t
lim(sqrt(x-l)/(xA2+2), x, 1) lim((4-sqrt(x+17))/(2*x+2),
x,-l)
Př.2: Spočtěte lim £±1*1
xÁ —3x
Př.3: Spočtěte lim X-T^4ß.
x-^>3 x Zl
Př.6: Spočtěte lim 3aJ^ .
lim((xA2-3*x)/(xA3-27), x, 3)   Př.7: Spočtěte lim yf ti%%.
, , =    x lim(sqrt((32*x-96)/(xA2-2*x-
Př.4: Spočtěte lim        - j . 3^ ^ 3)
lim(l/(x-3)-5/(xA2-x-6), x, 3) L'Hospitalovo pravidlo:
Př.l: Spočtěte lim
lim((l-cos(x))/(x*sin(x)), x, 0)
Př.2: Spočtěte lim (1 - sina;)tgx.
lim((l-sin(x))*tan(x), x, pi/2) Př.3: Spočtěte lim x\nx.
x->0+
lim(x*log(x), x, 0, dir = '+')
3
Př.4: Spočtěte Jim - -^) .
lim(l/sin(x) - l/(exp(x)-l), x, 0, dir = '+')
Tečna funkce:
Př.l: Nalezněte tečnu funkce y = ln(2x — 1) v bodě T = [1, ?]. f=expression(log(2*x-l))
slope<-eval(x<-l;D(f,'x')) #prvni derivace v zadaném bode
yO<-eval(x<-l;f) #y-souradnice bodu dotyku
yint <- yO - slope #prusecik s y
plot(function(x) log(2*x-l), xlim = c(0,10), lwd=2)
curve(yint + slope*x, add=T, col = 4, lwd=2)
points(l,y0, pch=19, col = 2)
Lokální extrémy funkce:
Př.l: Nalezněte lokální extrémy funkce y = x — \Ar — 1. plot(function(x) x-sqrt(x-l), xlim = c(l,3)) xyr <-expression(x-sqrt (x-1)) Dl <- D(xyr, 'x') f = function(x) eval(Dl) uniroot(f,c(l,2))
Asymptoty funkce:
Př.l: Nalezněte asymptoty k funkci y = jzfj-
Př.2: Nalezněte asymptoty k funkci y = x + ^f-.
Př.3: Vyšetřete funkci y = xarccotga:.
Globální extrémy funkce:
Př.l: Nalezněte globální extrémy funkce y = x2 - 2x + 2 na množině (0, 2}. plot(function(x) xA2-2*x+2, xlim = c(0,2))
Průběh funkce:
Př.l: Vyšetřete funkci y = x+2 ■
plot(function(x) abs(x-l)/(x+2), xlim = c(-10,20))
plot (function (x) (l-xA2)A2, xlim = c(-2,2))
Př.3: Vyšetřete funkci y = x2oTx.
plot (function (x) xA2*exp(-x), xlim = c(-l,4))
Taylorův polynom:
4
Př.l: Určete Taylorovu řadu k funkci f(x) = sin x se středem xq = 0. library(pracma) f <- function(x) sin(x) p <- taylor(f, 0, 6)
Př.2: Pomocí Taylorova polynomu pro n = 3 určete přibližně \/30. f <- function (x) xA(l/3) p <- taylor(f, 27, 3) # zkusit si ruzne stredy polyval(p, 30)
Funkce více proměnných:
Př.l: Znázorněte definiční obor funkce z = yj{l — lny)(ln —x).
Př.2: Vypočtěte všechny parciální derivace až do řádu dva z = (x + y)e~x. install. packages (" mosaicC ale ") library(mosaicCalc) D ((x+y) *exp (-x) ~x) D((x+y)*exp(-x)~y) D ((x+y) *exp (-x) ~xfcx) D ((x+y) *exp (-x) ~x&y) D ((x+y) *exp (-x) ~y&;x) D ((x+y) *exp (-x) ~y&y)
Př.3: Vyšetřete lokální extrémy funkce f(x, y) = (x + y2)eä. install .packages(" plot3D") library(plot3D)
X<- seq(-10,10, length.out = 20)
Y<- seq(-10,10, length.out = 20)
M<-mesh(X,Y)
x<-M$x
y<-M$y
z=(x+yA2)*exp(x/2)
perspbox(x,y,z, bty = "b2", ticktype = "detailed", d = 2, main = "funkce z")
persp3D(x,y,z,add = T)
Př.4: Vyšetřete lokální extrémy funkce f(x, y) = (x2 — 1)(1 — x4 — y2). X<-seq(-2,2,length.out = 100) Y<-seq(-2,2,length.out = 100) M<-mesh(X,Y) ;x<-M$x;y<-M$y z=(xA2-l)*(l-xA4-yA2)
perspbox(x,y,z, bty = "b2", ticktype = "detailed", d = 2, main = "funkce z")
surf3D(x,y,z,add = T)
5
Neurčitý integrál:
library(mosaicCalc) antiD( a*xA2 - 3*x ~ x)
Př.l: Spočtěte / ^=f- dx.
G = antiD((x-l)A2/sqrt(x)~:
Př.2: Spočtěte J tg2xd:c. Př.3: Spočtěte / ^ dx. Pi A: Spočtěte / dx. Př.5: Spočtěte J xex dx.
Určitý integrál:
Př.l: Spočtěte f02 cosxdx. Př.5: f<-function(x) cos(x) integrate(f.0.pi/2)
Př.2: Spočtěte j^^fdx.
f<-function(x) Př.6:
(l+exp(x))/exp(x)
integrate(f.O.l)
Př.3: Spočtěte jq2 x\A4 — x2 dx.
f<-function(x) x*sqrt(4-xA2) Př.7: integrate(f,0,2)
Př.4: Spočtěte obsah plochy ohraničené y = x2 — 4x + 6 a -2x2 + 8x - 3.
fl <- function(x) xA2 - 4*x + 6
f2 <- function(x) -2*xA2+8*x-3 Př.8:
curve(fl,ŕrom=le-
l,to=lel,log="xy")
curve(f2, add=T, col=3)
a<-uniroot(function(x) fl(x)-
f2(x),c(0.9,1.5),extendlnt="yes")
b<-uniroot(function(x) fl(x)-
f2(x),c(1.5,5),extendlnt="yes")
F1 <-integrate(f 1 ,a$root ,b$root)
F2<-integrate(f2,a$root,b$root)
F2$value-Fl$value
Př.6: Spočtěte / ^ dx.
Př.7: Spočtěte jlnxdx.
Př.8: Spočtěte J x2ex+1 dx.
f Q- Spočtěte J sin x cosxdx.
Spočtěte f™ ^4^2 dx.
f<- function(x)
l/(xA2+xA4)
integrate(f,l,Inf)
Spočtěte J^äg^dx. f<-function(x) atan(x)/(l+xA2) integrate(f,l,Inf)
Spočtěte j02^. f<- function(x) l/x integrate(f,0,2) integrate(f,0,2,
rel.tol=.Machine$double.epsA0.056)
Spočtěte Jj^lnlxldx. f<-function(x) log(abs(x)) integrate(f,0,l)$value+integrate(f,-l,0)$value
6