Adobe Systems 1 Anuitní počty - spoření a důchod Adobe Systems 2 Prezentace příkladů ̶Tým 7 ̶Tým 8 ̶ Na příští týden odevzdávají týmy 9 + 10 komentované prezentace! Adobe Systems 3 Základní pojmy ̶Spoření vs. investice ̶Spořící účty ̶Termínované vklady, vkladní knížky ̶Stavební spoření ̶Je doplňkové penzijní spoření (penzijní připojištění) opravdu spoření (pojištění)? ̶Důchod = pravidelný příjem (mzda, výnos z majetku, transfer) ̶Státní ̶Soukromý ̶Doživotní ̶Nekonečný ̶Předlhůtní/polhůtní ̶Anuita Představuje stálou platbu hrazenou v pravidelných časových intervalech po dané období. Při hodnocení těchto plateb se uplatňuje koncept časové hodnoty peněz. ̶Předlhůtní anuita ̶Polhůtní anuita ̶ Adobe Systems 4 Vše, co potřebujete znát a1 = 1 q = ? Adobe Systems Definujte zápatí - název prezentace / pracoviště 5 Jak to funguje - FVA? Začít v 1:40 Adobe Systems 6 Budoucí hodnota anuity (= spoření) Kde FVA je budoucí hodnota anuity, a je výše anuitní platby, r je úroková míra, n je počet období. Adobe Systems Socrative room name: FIMA 7 Jak to funguje - PVA? Adobe Systems Socrative room name: FIMA 8 Hraní si s časovými hodnotami Skripta: „Princip důchodového počtu je založen na kalkulaci částky, ze které následně budou vypláceny anuity v průběhu daného časového intervalu. Tato částka musí být rovna součtu současných hodnot budoucích anuit.“ a PV a a a a Alternativně: Cílem je vyjádřit PV všech budoucích anuit. Toho lze však dosáhnout i tak, že využijeme nejprve dopočítání FV všech anuit, což již umíme ze spořícího počtu. Teprve následně budeme vypočtenou souhrnnou FV diskontovat do času 0, abychom spočítali PV. Tohoto typicky lze využít pro snadnější výpočet aritmetické řady v rámci PO < ÚO. a PV a a a a FV Adobe Systems 9 Současná hodnota anuity (= důchod) Kde PVA je současná hodnota anuity, a je výše anuitní platby, r je úroková míra, n je počet období. Adobe Systems Socrative room name: FIMA 10 Nekonečný důchod Adobe Systems 11 Jaké příklady budeme řešit? ̶Co hledám? •FVA vs. PVA •Výši anuity = a •Délku spoření = n ̶Pozor na úrokové období, zadanou úrokovou míru a typ úročení •Kdy ukládáme prostředky = před/polhůtní spoření? •Ukládáme častěji během jednoho úrokového období? •Ukládáme méně často, než je náš účet úročen? •Je třeba upravit nominální úrokovou míru na úrokové období? •Úročí banka standardně (složeně), nebo jinak (např. spojitě)? ̶Zohledňuji daň, inflaci, poplatky •Daň se platí vždy ze zisku!!! •Pozor na období: rozdíl mezi ÚO a DO, poplatky za správu apod. •Výpočet FVA lze využít i pro pravidelné měsíční poplatky apod. •Diskontuji FVA na reálnou hodnotu = totožný postup co známe • ̶Dynamický vývoj: průběžné změny v úrokové sazbě, inflaci apod. ̶ Adobe Systems 12 Než začneme počítat 1.UO = PO Tvoří geometrickou řadu. 2.UO < PO Tvoří geometrickou řadu, pozor na kvocient. 3.UO > PO Tvoří aritmetickou a geometrickou řadu. r – roční míra l – počet UO během roku m – počet vkladů během roku n – počet let Adobe Systems 13 Vzorový příklad - spoření Kolik bude činit Vaše pravidelná úložka, kterou si zabezpečíte při měsíčním spoření během 10 let částku 850.000 Kč? Banka připisuje úrok ročně a úroková sazba činí 3 % p. a. Prostředky vkládáte na BÚ na začátku měsíce. Kolik bude výška vkladu, jestli bude vklad polhůtní. Jak řešíme? Adobe Systems 14 Vzorový příklad – řešení 1a Kolik bude činit Vaše pravidelná úložka, kterou si zabezpečíte při měsíčním spoření během 10 let částku 850.000 Kč? Banka připisuje úrok ročně a úroková sazba činí 3 % p. a. Prostředky vkládáte na BÚ na začátku měsíce. 1 2 3 4 5 6 Jaká je úložka za celé ÚO, jeden rok? Suma úložek = 12a, ale co úroky? •V rámci jednoho ÚO jednoduché úročení •Každý měsíc vložíme a, tedy každé další a je za rok úročené o r/12 méně, než předešlé •Vzniká aritmetická řada: 7 9 8 11 10 12 Adobe Systems a = ? FVA = 850 000 r = 3 % p. a. n = 10 let m(a) = 12 (měsíční spoření) m(r) = 1 (ÚO = 1 rok) m(a)>m(r) = AR na začátku měsíce 15 Vzorový příklad – řešení 1a Adobe Systems 16 Vzorový příklad – řešení 1b - tabule Kolik bude činit Vaše pravidelná úložka, kterou si zabezpečíte při měsíčním spoření během 10 let částku 850.000 Kč? Banka připisuje úrok ročně a úroková sazba činí 3 % p. a. Kolik bude výška vkladu, jestli bude vklad polhůtní. 1 2 3 4 5 6 Jaká je úložka za celé ÚO, jeden rok? Suma úložek = 12a, ale co úroky? •V rámci jednoho ÚO jednoduché úročení •Každý měsíc vložíme a, tedy každé další a je za rok úročené o r/12 méně, než předešlé •Vzniká aritmetická řada 7 9 8 11 10 12 Adobe Systems 17 Vzorový příklad – řešení 1b Kolik bude činit Vaše pravidelná úložka, kterou si zabezpečíte při měsíčním spoření během 10 let částku 850.000 Kč? Banka připisuje úrok ročně a úroková sazba činí 3 % p. a. Kolik bude výška vkladu, jestli bude vklad polhůtní. 1 2 3 4 5 6 Jaká je úložka za celé ÚO, jeden rok? Suma úložek = 12a, ale co úroky? •V rámci jednoho ÚO jednoduché úročení •Každý měsíc vložíme a, tedy každé další a je za rok úročené o r/12 méně, než předešlé •Vzniká aritmetická řada •PŘIDÁME ČLEN PRO ZJEDNODUŠENÍ: 7 9 8 11 10 12 Adobe Systems a = ? FVA = 850 000 r = 3 % p. a. n = 10 let m(a) = 12 (měsíční spoření) m(r) = 1 (ÚO = 1 rok) m(a)>m(r) = AR na konci měsíce 18 Vzorový příklad – řešení 1b Adobe Systems 19 Příklady Socrative 1 - 3 na zamyšlení + Hlasování: Pro který případ lze představený přístup (výpočet FVA pomocí součtu geometrické, případně i aritmetické řady) využít: A) V případě standardního úročení jednorázového vkladu, pokud u tohoto vkladu musíme platit pravidelné poplatky vyjádřené jako procento ze zisku? B) V případě standardního úročení jednorázového vkladu, pokud u tohoto vkladu musíme platit pravidelné poplatky vyjádřené v absolutní částce (např. poplatek za správu 50 Kč každé čtvrtletí)? Adobe Systems 20 Příklad Socrative 4 - spoření Kolik naspoříte za pět a půl roku, pokud budete pravidelně ukládat na konci každého pololetí částku 1.500 Kč? Bankovní instituce nabízí sazbu 3,7 % p. a. a připisuje úrok každý měsíc. Připisované úroky podléhají srážkové dani ve výši 15%. Adobe Systems 21 Příklad Socrative 4 – řešení a = 1 500 FVA = ? r = 3,7 % p. a. n = 5,5 let m(a) = 2 (pololetní spoření) m(r) = 12 (ÚO = 1 měsíc) Tax = 15% na konci měsíce ̶ Adobe Systems 22 Příklad Socrative 5 - spoření Jak často musíte vkládat na bankovní účet částku 750 Kč vždy na začátku platební periody, jestliže za 8 let si naspoříte částku 250.275,3 Kč. Banka poskytuje úrokovou sazbu 0,3 % p. m. a úrokové období je tři měsíce. Adobe Systems 23 Příklad Socrative 5 – řešení a = 750 FVA = 250 275,3 Kč r = 0,3 % p. m. n = 8 let m(a) = ? m(r) = 4 (ÚO = 1 kvartál) na začátku periody ̶ Adobe Systems 24 Vzorový příklad - důchod Kolik anuit vyplatíte a jak dlouho budete vyplácet částku 789 Kč v pravidelných 15 denní intervalech, pokud víte, že máte k dispozici objem prostředků ve výši 135 250,64 Kč. Finanční ústav, který vám bude spravovat prostředky, garantuje po celou dobu úrokovou sazbu 1,8 % p. q. Úrok je počítán 24 krát do roka. Dále víte, že se jedná o předlhůtní důchod. Adobe Systems 25 Vzorový příklad - řešení PV = 135 250,64 Kč = D0 a = 789 Kč r = 1,8 % p.q. = 0,3 % p.15d. PO = 15 dní ÚO = 15 dní PV a1=a a2 a3 ...... počet anuit, tj. 10 let Adobe Systems 26 Příklady Socrative 6 – 7 na zamyšlení Adobe Systems Socrative room name: FIMA 27 Příklad Socrative 8 - důchod Kolik prostředků musíte mít k dispozici, abyste zajistili pravidelný dvoudenní důchod ve výši 10,- po dobu 12 let, jestliže víte, že úroková sazba, kterou po celou dobu bude banka garantovat, činí 3,4 % p. a. Banka připisuje úrok každý měsíc. Uvažujte předlhůtní úrok. Adobe Systems 28 Příklad Socrative 8 – řešení a = 10 Kč n = 12 let r = 3,4 % p.a. ÚO = 30 D PO = 2 D m = 15 D0 = ? Nejprve vypočtěme co se stane v rámci 1 úrokovacího období a dosadíme za a1 do geometrické řady, kde jeden člen odpovídá úrokovacímu období: Adobe Systems 29 Příklad Socrative 8 – řešení a = 10 Kč n = 12 let r = 3,4 % p.a. ÚO = 30 D PO = 2 D m = 15 D0 = ? Příklad lze samozřejmě zapsat v jedné rovnici: což lze upravit do tvaru: kde r = 0,034/12 a kde n = 12*12 Adobe Systems Socrative room name: FIMA 30 Příklad Socrative 9 - důchod Vypočítejte částku, která vám zajistí měsíční polhůtní věčný důchod ve výši 30 000,--. Víte, že úroková sazba činí 5 % p.a. a úrokovací období je jeden měsíc. Proveďte zkoušku (na tabuli). Jak by se změnil výpočet, kdyby ÚO = 6 měsíců? (na tabuli) Adobe Systems 31 Příklad Socrative 9 – řešení 1/2 a = 30 000 Kč n = ∞ r = 5 % p.a. ÚO = 1 M PO = 1 M Polhůtní D1 = ? alternativně lze zkrátit: Zkouška: Pokud má být důchod věčný, tak musí být vyplácená anuita rovna (nebo menší) naběhlému úroku za dané období. Jinými slovy se dostupný kapitál po zúročení a výplatě anuity nesmí snižovat. D1 + I - a = D1 ............... Adobe Systems 32 Příklad Socrative 9 – řešení 2/2 a = 30 000 Kč n = ∞ r = 5 % p.a. ÚO = 6 M PO = 1 M Polhůtní D1 = ? Jak by se změnil výpočet, kdyby ÚO = 6 měsíců? Adobe Systems 33 Zamyšlení: Pokud platíme vstupní poplatek a roční průběžné poplatky, jak je zakomponujeme do výpočtu? Uvažujte situaci: Na konci každého roku platíte poplatek za vedení účtu 100 Kč. Poplatek za zřízení účtu je 1 000 Kč, chceme zjistit anuitu, díky které za dané období naspoříme 100 000 Kč = toto si budeme moci z účtu vybrat. Adobe Systems Socrative room name: FIMA 34 Příklad Socrative 10 - spoření Stanovte výši předlhůtní anuity, která vám při spojitém úročení vygeneruje během 15 let 900.000,-. Víte, že kvartální efektivní úroková sazba činí 0,8 %. Prostředky vkládáte na bankovní účet v 15-denních intervalech. Na konci každého roku platíte poplatek za vedení účtu 300 Kč. Poplatek za zřízení účtu je 9 000 Kč Adobe Systems 35 Příklad Socrative 10 – řešení a = ? předlhůtní FVA = 900 000 Kč r = 0,8 % p. q. n = 15 let m(a) = 24 (15-denní interval) m(r) = nekonečno= spojité úročení Poplatek správa = 300 Kč/rok/na konci Zřizovací poplatek = 9 000 Kč Adobe Systems Socrative room name: ABCDE 36 Příklad Socrative 11 - spoření Na účet jsme vložili 200 000 Kč na 5 let při sazbě 2% p.q. a čtvrtletním připisování úroků. Za zřízení účtu jsme z vkladu zaplatili poplatek 5000 Kč. Dále jsme platili půlroční poplatek ve výši 200 Kč (na konci). Kolik jsme na konci spoření měli na účtu prostředků? Adobe Systems 37 Příklad Socrative 11 – řešení PV = 200 000 Kč jednorázově r = 2 % p. q. n = 5 let m(r) = 4 (čtvrtletní ÚO) Poplatek = 200 Kč/půlrok/polhůtní m(poplatek) = 2 Zřizovací poplatek = 5 000 Kč FV_netto = ? ̶ Adobe Systems Socrative room name: ABCDE 38 Příklad Socrative 12 - spoření Na účet jsme vložili 200 000 Kč na 5 let při sazbě 2 % p.q. a čtvrtletním připisování úroků. Za zřízení účtu jsme zaplatili poplatek 5000 Kč. Dále jsme platili půlroční poplatek ve výši 200 Kč (na konci). Jaká byla průměrná roční výnosnost investice? Adobe Systems 39 Příklad Socrative 12 – řešení PV = 200 000 Kč jednorázově n = 5 let FV = 287 354 Kč r_výnosnost = ? p. a. ̶ Adobe Systems 40 Příklad Socrative 13 - spoření Jak dlouho musíte spořit pravidelnou úložku ve výši 2 000 Kč vždy na konci pololetí, jestliže si chcete našetřit na dovolenou v hodnotě 82238,05 Kč? Úroková sazba nabízená bankou je 1,8 % p. s. a úrok je připisován v měsíčních intervalech. Počítejte s efektivní úrokovou mírou. ̶ Adobe Systems 41 Příklad Socrative 13 – řešení a = 2 000 FVA = 82 238,05 Kč r = 1,8 % p. s. n = ? m(a) = 2 (pololetní spoření) m(r) = 6 (ÚO = 1 měsíc, 6x/půlrok) m(a)