Adobe Systems 1 Polhůtní, předlhůtní úrok, lineární a exponenciální úročení Adobe Systems 2 Úvod do Socrative Room name: FIMA Jak hodnotíte své znalosti? Adobe Systems 3 Motivace? Adobe Systems 4 Základní typy úročení ̶Způsoby úročení: ̶Jednoduché – ̶Složené – ̶ ̶ ̶Dle připisování úroků: ̶Polhůtní – ̶Předlhůtní – vyplácené úroky se k původní uložené peněžní částce nepřičítají a dále se neúročí. úroky se připisují k uložené peněžní částce a spolu s ní se dále úročí. úroky se platí (připisují) na konci úrokového období. úroky se platí na začátku úrokového období. animace Adobe Systems 5 Předlhůtní / polhůtní úročení Tok času: 100 Kč 110 Kč 99 Kč 110 Kč r = 10 % d = 10 % Ekvivalentní převádění: můžeme přeskočit Adobe Systems Jednoduché úročení (polhůtní) §Výpočet úroků vychází ze stále stejného základu – úroky se k původnímu kapitálu nepřidávají a dále neúročí. §Nejčastější v situacích, kdy doba půjčky není delší než jeden rok. Kde: FV – budoucí hodnota PV – současná hodnota r – úroková míra t – doba úročení I - úrok 6 Adobe Systems Socrative room name: ABCDE 7 Vzorový příklad – jednoduché úročení Klient měl od 8.3.2021 do 5.5.2021 uloženo ve spořitelně 15 000Kč s 8% úrokovou sazbou p.a. Kolik korun činil úrok za tuto dobu? (30/360) Jak řešíme? Adobe Systems 8 Vzorový příklad - řešení ̶t = 57 dní = 57/360 ̶PV = 15 000 ̶r = 8 % = 0,08 (p.a.) ̶ ̶ ̶ Adobe Systems 9 Jednoduché úročení předlhůtní = obchodní diskont ̶Nehovoříme o úroku, ale o diskontu. ̶Stanovení diskontu z konečné výše kapitálu v čase t (FV). ̶Pokud je tedy diskont 10 %, potom z částky 100 Kč, obdrží dlužník pouze 90 Kč, ale v den splatnosti musí vrátit 100 Kč. ̶Typické pro operace se směnkami (eskont směnek, operace s dluhopisy tzv. diskontované dluhopisy). ̶Současnou hodnotu kapitálu P neboli jistinu, získáme z následujícího vzorce: ̶ ̶ Kde: FV – splatná jistina, PV – současná hodnota, d – diskontní míra, t – doba úročení, D - diskont Adobe Systems 10 Vzorový příklad - diskont Dostal jste se do finančních problémů a nutně potřebujete prostředky. Máte směnku na 2 000 000 Kč, kterou donesete do banky, aby Vám ji eskontovala (odkoupila). Banka Vám vyplatí 1 950 000 Kč, její diskontní sazba je 5 % p.a., kolik dní před splatností je Vaše směnka? (30/360) Jak řešíme? Adobe Systems 11 Vzorový příklad - řešení ̶FV = 2 000 000 ̶PV = 1 950 000 ̶d = 5 % = 0,05 (p.a.) ̶ Adobe Systems Složené úročení ̶Úroky se přidávají k původnímu kapitálu a dále se úročí, tzv. úroky z úroků. ̶Exponenciální narůstání základu. ̶ 12 jednoduché úročení složené úročení Splatná částka Čas Adobe Systems 13 Vzorový příklad – složené úročení Určete výši zúročeného kapitálu 12 000 Kč, je-li úroková sazba 1 % p.a. při složeném úročení, jestliže úročení je měsíční a tato částka je uložená 3 roky. Jak řešíme? Adobe Systems 14 Vzorový příklad - řešení ̶n = 3 roky ̶PV = 12 000 ̶r = 1 % = 0,01 p.a. ̶Měsíční frekvence úročení Adobe Systems 15 Kombinované úročení ̶Je kombinací jednoduchého a složeného úročení. ̶Vychází z předpokladu, že celá úrokovací období se úročí podle složeného úročení a zbytek podle jednoduchého úročení. ̶ ̶ ̶ ̶t = n + N = doba splatnosti v letech ̶n = počet celých let ̶N = neukončená část posledního roku Jednoduché úročení Složené úročení Adobe Systems 16 Vzorový příklad – kombinované úročení Kolik musíte vložit na bankovní účet, abyste za 5 let a 7 měsíců získali částku 1 452 000 Kč. Roční úroková sazba činí 5,5 % a úrok banka připisuje ročně. Jak řešíme? Adobe Systems 17 Vzorový příklad - řešení ? Složené úročení celých ÚO Jednoduché úročení necelého ÚO 1 452 000 Kč 1 2 3 4 5 Přidat animaci nejprve 1. rovnice, pak 2. rovnice Adobe Systems 18 Příklad Socrative 2 (room name: FIMA) Kolik bude činit připsaný úrok ke konci roku, pokud víte následující informace: Klient uložil do banky 4.1. částku 8 000 Kč, dne 18.2. částku 4 500 Kč a 14.4. částku 2 400 Kč. Úroková sazba byla 6 % p.a. (30/360) Adobe Systems 19 Příklad Socrative 2 - řešení Adobe Systems 20 Příklad Socrative 3 Dlužník vystavil dlužní úpis na 20 000 Kč, splatných i s úrokem za 8 měsíců při úrokové sazbě 8 % p.a. Za měsíc po vystavení dlužního úpisu jej věřitel prodal jiné osobě, která diskontuje dlužní úpisy diskontní sazbou 9 % p.a. Kolik dostane věřitel za dlužní úpis? Adobe Systems 21 Příklad Socrative 3 - řešení t = 8 měsíců, r = 8 % p.a. t = 7 měsíců, d = 9 % p.a. X % 100 % 100 % X % Adobe Systems 22 Příklad Socrative 4 Jak dlouho bylo uloženo 15 000 Kč, jestliže tento vklad vzrostl na 21 000 Kč při složeném úročení a 4% úrokové sazbě p.a., úrok se připisuje jednou ročně? Adobe Systems 23 Příklad Socrative 4 - řešení ̶PV = 15 000 ̶FV = 21 000 ̶r = 4 % p.a. ̶t = ? Obsah obrázku text Popis byl vytvořen automaticky Adobe Systems 24 Příklad Socrative 5 Určete úrokovou míru p.a., při které se zvýší počáteční hodnota kapitálu na svůj dvojnásobek za 16 let při měsíčním úročení. Adobe Systems 25 Příklad Socrative 5 - řešení ̶r = ? p.a. ̶PV = ? ̶FV = 2 PV ̶t = 16 let ̶ÚO = 1 měsíc Adobe Systems Room name: FIMA 26 Příklad Socrative 6 Jak dlouho musíte nechat na BÚ částku 4 500 Kč, abyste si mohli nárokovat 8 300 Kč? Víte, že úrok banka počítá 2x/rok a úroková sazba činí 4,2 % p.a. Maximalizujte užitek. Adobe Systems 27 Příklad Socrative 6 - řešení V rovnici máme dvě neznámé n a N: Nejprve vypočteme n použitím pouze složeného úr.: A dopočteme N: Abychom získali požadovanou částku, musí být uloženo alespoň 14 let 8 měsíců a 22 dní Adobe Systems 28 Otázky na závěr? (+Socrative) Adobe Systems 29 Děkuji za aktivní účast v případě dotazů se ptejte, nebo piště J