CVIČENÍ 2: LINIE ROZPOČTU, PREFERENCE A UŽITEK Linie rozpočtu 1. (!) Petr má rozpočtové omezení p1x1 + p2x2 = m. (a) Napište, jak bude vypadat nové Petrovo rozpočtové omezení, pokud dostane dávku (paušální dotaci) s ve výši poloviny svého příjmu m a zároveň je uvalena na statek 2 daň z přidané hodnoty t ve výši 50 %. Zakreslete původní a nové rozpočtové omezení do grafu. (b) Jak bude vypadat nové rozpočtové omezení z (a), když převedeme statek 2 na numeraire? Pokud je statek 2 určitý produkt, např. rohlík, je zároveň kompozitním statkem? Vysvětlete. 2. (!) Lucie dbá na zdravou výživu. Za své kapesné si kupuje pouze rajčata a jogurty. Pokud utratí celé své kapesné, může si dovolit přesně 15 rajčat a 2 jogurty nebo 5 rajčat a 4 jogurty. (a) Pokud by utratila celé své kapesné pouze za jogurty, kolik by si jich mohla koupit? (b) Jak velké je Luciino kapesné, pokud víme, že jedno rajče v místním konzumu stojí 2 Kč? 3. (!) Lucie má sestřenici Nikitu. Nikita si za své kapesné kupuje plastové bazuky a mačety v místním hračkářství. Pokud utratí celý svůj rozpočet, může získat 4 bazuky a 3 mačety. Jedna bazuka stojí dvakrát tolik co jedna mačeta. Tento měsíc rodiče Nikitě dali dvojnásobné kapesné. Pokud si bude chtít nadále kupovat 4 bazuky, kolik mačet si může maximálně pořídit? 4. ( ) Šalamoun je nejmoudřejší člověk na světě. Každý den udílí lidem rady. Za den může udělit maximálně 30 rad a za každou dostane jeden šekel stříbra. Šalamoun nepotřebuje jíst ani pít, jeho jediným životním cílem je postavit chrám. Jedna cihla do chrámu stojí 3 šekele. (a) Napište rovnici Šalamounova denního rozpočtového omezení. Nakreslete Šalamounovu linii rozpočtu, u které bude na vodorovné počet rad R a na svislé ose počet cihel C. Vyznačte rozpočtovou množinu. (b) Jak se změní rozpočtové omezení a linie rozpočtu, pokud bude mít Šalamoun kromě příjmu z udílení rad ještě příjem z daní, který obnáší 90 šekelů za den? (c) Jak se změní rozpočtové omezení a linie rozpočtu z bodu (b), pokud bude ze svého příjmu z udílení rad odvádět chrámovou daň ve výši 20 %? 5. ( ) Karel má stresující povolání. Proto chodí každý pracovní den hned po práci do cukrárny. Přijde tam vždy přesně hodinu před zavíračkou. Jí zde pouze věnečky V a trubičky T. Na útratu má každý den 150 Kč. Jeden věneček stojí ho stojí 15 Kč a jedna trubička 10 Kč. Karel nemůže jíst zákusky moc rychle. Zatímco jeden věneček sní přesně za 5 minut, trubičku jí 10 minut, protože se mu drolí. Pokud nestihne dojíst před zavíračkou, majitelka cukrárny ho vyhodí a zákusky mu sebere. Nakreslete Karlovo rozpočtové omezení a vyznačte jeho rozpočtovou množinu. 6. ( ) Lada má zvláštní stravovací návyky. Jí pouze párky v rohlíku a to jen, pokud je zakoupí v pravé poledne. Párky navíc nakupuje pouze na jednom místě v Brně a na jednom místě v Praze. Ladin denní rozpočet je 50 Kč a jeden párek v rohlíku stojí 10 Kč, ať už je zakoupen v Praze nebo v Brně. Zakreslete Ladinu denní rozpočtovou množinu, kde na vodorovné ose jsou párky v rohlíku zakoupené v pravé poledne v Praze a na svislé ose párky v rohlíku zakoupené v pravé poledne v Brně. 7. ( ) V současnosti ve Spojených státech funguje systém tzv. školních obvodů (school districts). Všechny rodiny musí platit školní daně, z kterých se financují veřejné školy v daném obvodu. Pokud se rodina rozhodne poslat děti do soukromé školy, nadále platí provoz státních škol prostřednictvím školních daní. Manželé Smithovi mají příjem m a platí školní daň d. Pokud pošlou své dítě do soukromé školy, platí stále školní daň d a navíc musí platit skoukromé školné s. Předpokládejme, že je v okolí na výběr velké množství soukromých škol s libovolnou výší školného vyšší s > d. Nakreslete rozpočtové omezení Smithových s částkou v, která půjde na vzdělání jejich dítěte, na vodorovné ose a kompozitním statkem y na svislé ose. Předpokládejte přitom, že se tato částka utracená na vzdělání v bude přesně rovnat školním daním d v případě, že jejich dítě navštěvuje veřejnou školu, a školnému s v případě, že navštěvuje soukromou školu. Preference a užitek 8. (!) Odpovězte na následující otázky: (a) Proč předpokládáme, že preferenční relace spotřebitele je tranzitivní, úplná a reflexivní? (b) Proč zavádíme předpoklad monotónosti a konvexnosti? Jsou tyto předpoklady realistické? (c) Jak funguje užitková funkce? Co je to monotónní transformace užitkové funkce? (d) Co je to mezní míra substituce? Jaká je její in- terpretace? 9. (!) Alenka z říše divů spotřebovává pouze houby h a dortíky d. Alenčiny indiferenční křivky mají rovnici d = konstanta − 3 √ h, kde vyšší konstanta odpovídá vyšší indiferenční křivce. (a) Napište Alenčinu užitkovou funkci. Jak se jmenují tyto preference? (b) Spočítejte mezní míru substituce v bodech (h, d) = (4, 9) a (9, 12). (c) Vykazuje tato Alenčina indiferenční křivka klesající mezní míru substituce? 10. (!) Kamila Pilná chce mít vždy co nejvíc bodů. Chodí na cvičení k Ing. Slavíkovi, který má na cvičeních dvě průběžné písemky. Do konečné známky však počítá pouze body z písemky, která dopadla lépe. (a) Napište její užitkovou funkci, pokud b1 jsou body z první a b2 body z druhé písemky. Jaký tvar budou mít Kamiliny indiferenční křivky mezi kombinacemi bodů z první a druhé písemky? (b) Jak bude vypadat její užitková funkce, pokud bude chodit do cvičení k Ing. Krkavcovi, který naopak započítává pouze horší výsledek z obou písemek? Jaký tvar budou mít její indiferenční křivky? 11. (!) Udo chodí každý rok na Oktoberfest s kolegou z práce Jürgenem. Udo má rád pivo a pije ho rychle. Je mu jedno, jestli ho pije z půllitru nebo z tupláku. Naproti tomu Jürgen je „Feinschmecker a nemá rád zvětralé pivo. Když mu Udo přinese tuplák, vypije polovinu a polovinu vylije pod stůl. (a) Pokud počet půllitrů označíme p a počet tupláků t, jak by mohla vypadat Udova a Jürgenova užitková funkce? (b) Jakou budou mít mezní míru substituce, pokud počet tupláků vyznačíme na vodorovné ose? 12. ( ) Kromě piva spotřebovává Udo také bavorské klobásky. Preferuje vždy více piva před méně pivem, ale z klobásek se mu časem začne dělat špatně. Dokud jich sní méně než 20, chutnají mu tak, že by byl ochotný je směňovat v konstantním poměru 2 klobásky za 1 pivo. Pak se jich ale přejí a každou další klobásu by byl ochotný sníst jen v případě, že by si k němu dal jedno pivo. Udo obvykle za večer na Oktoberfestu vypije 10 piv a sní 10 klobás. Dnes Udo na soutěži jedlíků spořádal 24 klobás. Kolik si bude muset dát piv, aby se cítit stejně dobře jako obvykle? 13. ( ) Dr. Dobrák má 3 průběžné písemky. Nejhorší skóre z těchto tří písemek pak nepočítá a dává každému studentu jeho průměrné skóre ze dvou zbývajících písemek. Jedna z jeho studentek dostala 70 ze své první písemky. x2 je skóre z její druhé písemky a x3 je skóre z její třetí písemky. Nakreslete její indiferenční křivku, která bude procházet bodem (x2, x3) = (50, 80). 14. ( ) Toto jsou užitkové funkce vybraných pohádkových postav: Rampa McQuack: U(x, y) = xy; Jerry: U(x, y) = xy(1 − xy); Tom: U(x, y) = 1000xy + 2000; Dulík: U(x, y) = −1/(10 + xy); Pat: U(x, y) = x/y; Mat: U(x, y) = −xy. (a) Které postavy mají stejný tvar indiferenčních křivek jako Rampa McQuack? (b) Které postavy mají stejné preference jako Rampa McQuack? 15. ( ) Tan Tee má rád silný zelený čaj, čím silnější, tím lepší. Síla čaje se měří počtem čajových lístků x v konvici. Nedokáže však rozlišit malé rozdíly. V průběhu let jeho žena zjistila, že Tan Tee preferuje čaj s x lístky před čajem s x lístky (tedy x x ), pouze pokud x − x > 2. Jinak je mezi těmito dvěma čaji indiferentní (tedy x ∼ x ). (a) Ukažte na příkladu, že ∼ není pro Tan Tee tran- zitivní. (b) Ukažte, že je pro Tan Tee tranzitivní. 16. ( ) Fifinka a Bobík se vrací po tůře na horách domů vlakem. Ve vlaku je hrozné vedro. Pro oba dva je velmi nepříjemné mít na sobě těžké horské boty. Problém spočívá v tom, že oběma (i Fifince!) strašně smrdí nohy. Nyní se rozhodují, kolik času budou mít pohorky na noze (vodorovná osa) a kolik času je budou mít na sobě pouze ponožky. Nakreslete tvar Fifinčiných a Bobíkových indiferenčních křivek a směr preferencí, pokud víte, že Fifince vadí, že smrdí, když na sobě nemá boty, zatímco Bobíkovi je to uplně jedno. (a) Předpokládejte přitom, že mají oba konvexní pre- ference. (b) Jak budou vypadat jejich indiferenční křivky, pokud nemají nutně konvexní preference. 17. ( ) Předpokládejme, že preference jsou monotónní a konvexní. Jak by vypadaly indiferenční křivky u (nedokonalých) substitutů a komplementů? Vymyslete situaci, kdy by mohly být u jednoho spotřebitele dva statky (např. rohlík a bábovka) pro nízký užitek substituty a pro vysoký komplementy? VÝSLEDKY Linie rozpočtu 1. (a) p1x1 + p2(1 + t)x2 = m + s p1x1 + 1, 5p2x2 = 1, 5m (b) – 2. (a) 5. (b) 50 Kč. 3. 14. 4. (a) 3C −R = 0 nebo C = 1 3 R pro R ∈ 0, 30 , úsečka rostoucí z bodu (R, C) = (0, 0) do bodu (30,10). Trojúhelníková plocha pod úsečkou. (b) 3C − R = 90 nebo C = 1 3 R + 30 pro R ∈ 0, 30 , úsečka rostoucí z bodu (R, C) = (0, 30) do bodu (30,40). (c) 3C − 0, 8R = 90 nebo C = 4 15 R + 30 pro R ∈ 0, 30 , úsečka rostoucí z bodu (R, C) = (0, 30) do bodu (30,38). 5. V grafu budou dvě „linie rozpočtu - peněžní linie rozpočtu z bodu (V ; T) = (10; 0) do (0; 15) a časová z (12; 0) do (0; 6). Karlova linie rozpočtu bude zalomená část těchto dvou linií z bodu (V ; T) = (10; 0) do (9; 1,5) a z bodu (9; 1,5) do bodu (0; 6). Jeho rozpočtová množina bude ležet pod touto zalomenou linií rozpočtu. Preference a užitek 9. (a) U(d, h) = d + 3 √ h. Kvazilineární preference. (b) Pro h = 4, MRS = −3/4, a pro h = 9, MRS = −1/2. (c) Ano. 10. (a) U(b1, b2) = max{b1, b2}. Indiferenční křivky budou mít tvar obráceného písemene L – úsečky doleva a dolů od zlomu. (b) U(b1, b2) = min{b1, b2}. Indiferenční křivky budou mít tvar písemene L. 11. (a) Udo: U(p, t) = p + 2t; Jürgen: U(p, t) = p + t. (b) Udo: −2, Jürgen: −1. 12. 9. 13. Indiferenční křivka se bude skládat ze tří úseček. První povede z bodu (x2, x3) = (0, 80) do bodu (70, 80), druhá z (70, 80) do (80, 70) a třetí z (80, 70) do (80, 0). 14. (a) Tom, Jerry, Mat a Dulík. (b) Tom a Dulík.