LINIE ROZPOČTU, PREFERENCE A UŽITEK - řešené příklady
Linie rozpočtu
1. Spotřebitel nakupuje pouze dva statky: statek 1 a statek 2 a má lineární linii rozpočtu. Cena statku 1 klesne na 1/2, cena statku 2 klesne na 1/3 a jeho příjem klesne na 1/3 původní hodnoty. Pokud nakreslíme statek 1 na vodorovnou osu, bude jeho linie rozpočtu strmější nebo plošší? Bude ležet nad nebo pod původní linií rozpočtu?
Řešení
Původní linie rozpočtu spotřebitele má tvar piXi + P2X2 = m, kde pi a P2 jsou ceny a x\ a X2 množství statků 1 a 2 a m je příjem. Pokud z nové rovnice vyjádříme X2, získáme původní linii rozpočtu ve tvaru
X2
m
P2
Pi
---Xl
P2
Po změnách cen a příjmu má linie rozpočtu tvar
Pi      , P2
TX1 + TX2 =
m 3"'
Pokud z této rovnice vyjádříme X2, dostaneme novou linii rozpočtu ve tvaru
X2
3pi
-Xl
P2 2p2
Původní linie rozpočtu měla sklon —P1/P2, nová linie rozpočtu má sklon — 3pi/2p2- Nová linie rozpočtu je tedy strmější. Obě linie rozpočtu protínají vertikální osu na hodnotě m/p2- Protože je nová nová linie rozpočtu strmější, bude ležet pod původní linií rozpočtu. Následující obrázek ukazuje vliv změny cen a příjmu na tvar linie rozpočtu. Původní linie rozpočtu je označena jako BL, nová linie rozpočtu jako BL'.
sklon = -£i
P2
Spotřebitel nakupuje pouze dva statky: statek 1 a statek 2. Cena statku 1 je pi = 2 Kč, cena statku 2 je P2 = 5 Kč. Spotřebitel má příjem m = 100 Kč. Jaký tvar bude mít jeho nová linie rozpočtu, pokud bude muset zaplatit paušální daň s = 25 Kč, množstevní daň ze statku 1 ve výši r = 1 Kč a hodnotovou daň ze statku 2 ve výši i = 0,5.
Řešení
Původní linie rozpočtu spotřebitele má tvar
P1X1 +P2X2 = m
2a; 1 + 5x2 = 100. Nová linie rozpočtu je
(pi + r)xi + (1 + t)p2X2 = m — s 3xi + 7,5x2 = 75.
Spotřebitel nakupuje pouze dva statky: statek 1 a statek 2. Jeho linie rozpočtu má tvar úsečky. Spotřebitel si může dovolit přesně 10 jednotek statku 1 a 6 jednotek statku 2 nebo 15 jednotek statku 1 a 4 jednotky státu 2. Pokud spotřebitel utratí celý svůj příjem na statek 2, kolik jednotek tohoto statku si může koupit?
Řešení
Ze zadání víme, že linie rozpočtu spotřebitele má tvar p\X1 + P2X2 = m, kde p1 a P2 jsou ceny, x1 a X2 jsou množství statků 1 a 2 a m je příjem. Dále víme, že tato linie rozpočtu spotřebitele prochází body (xi,X2) = (10,6) a (xi,X2) = (15,4). Pokud tyto body dosadíme do linie rozpočtu, získáme soustavu dvou rovnic
10pi + 6p2 = m 15pi + 4p2 = m.
Chceme zjistit, jaké množství statku 2 si může spotřebitel koupit za celý svůj příjem m. Zajímá nás tedy, kolik je m/p2- Ve výše uvedených rovnicích se potřebujeme zbavit ceny statku 1 p±. To můžeme udělat několika způsoby. Jestliže na příklad první rovnici vynásobíme —1,5, dostaneme
— 15pi — 9p2 = —1, 5m 15pi + 4p2 = m. Součtem těchto dvou rovnic získáme
-5p2
m
P2
-0,5
-0, 5m
10.
Spotřebitel si může koupit maximálně 10 jednotek statku 2.
Preference a užitek
4. Spotřebitel nakupuje statek 1 a statek 2. Jeho indi-ferenční křivky mají rovnici 22 = C/xi, kde vyšší konstanta C odpovídá vyšší indiferenční křivce.
(a) Napište užitkovou funkci spotřebitele.
(b) Spočítejte sklon indiferenční křivky X2 = 10/xi v bodech (2:1,2:2) = (2,5) a (21,22) = (5,2). Jsou sklony indiferenční křivky v těchto bodech v souladu s klesající mezní mírou substituce?
Řešení
(a)
Užitková funkce «(■) přiřazuje spotřebním košům užitek tak, aby platilo, že pokud je koš X preferovaný před košem Y, tedy (21,22) >-(ž/ijž/2), potom musí platit, že «(21,22) > « (j/i,j/2). Tuto podmínku splňuje mnoho užitkových funkcí. Nejjednodušší je položit užitek spotřebního koše «(21,22) ležícího na indiferenční křivce 22 = C/21 rovný konstantě C. Potom platí, že
22 = u(xi, X2)/X\ u(xi, 22) = 2i22.
(b) Sklon indiferenční křivky v bodě (21,22) = (2,5) se rovná derivaci indiferenční křivky podle 21
tÍ22 d(10/a;i) dxi dxi
10
Sklon indiferenční křivky v bodě (2,5) se rovná i mezní míře substituce užitkové funkce u(xi, 22) = 2122 v bodě (2, 5):
MRS
du dx± du dxn
22 2l
Řešení
(a) Statky 1 a 2 jsou dokonalé substituty. Spotřebitel má stejný užitek např. ze spotřebních košů (21,22) = (2,0) a (0,1). Preference tohoto spotřebitele popisuje užitková funkce «(21,22) = 21 + 222 a její libovolné monotónní transformace. Následující obrázek znázorňuje tři možné indiferenční křivky pro užitkovou funkci «(21,22) = 21 + 222.
1 2 3 xi
(b) Statky 1 a 2 jsou dokonalé komplementy. Spotřebitel má stejný užitek např. ze spotřebních košů (21,22) = (1,2), (2,2) a (1,3). Preference tohoto spotřebitele popisuje užitková funkce «(21,22) = min{22i,22} a její libovolné monotónní transformace. Následující obrázek znázorňuje dvě možné indiferenční křivky pro užitkovou funkci «(21,22) = min{22i, 22}.
X2
ICi
Sklon indiferenční křivky v bodě (5, 2) je
1 2
x1
dX2
dxi
MRS
Sklony indiferenční křivky v těchto bodech jsou v souladu s klesající mezní mírou substituce, protože I - 5/21 > | - 2/5|.
5. Spotřebitel nakupuje dva statky: statek 1 a statek 2.
(a) Jaký tvar bude mít užitková funkce spotřebitele, pokud je ochotný statek 1 a 2 nahrazovat v konstantním poměru 2 jednotky statku 1 za 1 jednotku statku 2. Nakreslete indiferenční křivku pro tuto užitkovou funkci.
(b) Jaký tvar bude mít užitková funkce spotřebitele, pokud spotřebovává tyto statky vždy v konstantním poměru 1 jednotka statku 1 se 2 jednotkami statku 2. Nakreslete indiferenční křivku pro tuto užitkovou funkci.