POPTÁVKA A SLUTSKÉHO ROVNICE – řešené příklady
Poptávka
1. Spotřebitel, který nakupuje pouze statek 1 a statek
2, má užitkovou funkci u(x1, x2) = x
1/3
1 x
2/3
2 ,
kde x1 je množství statku 1 a x2 množství statku
2. Cena statku 1 je p1 a cena statku 2 je p2. Příjem
spotřebitele je m.
(a) Odvoďte poptávku po statcích 1 a 2.
(b) Jakou část svého příjmu bude spotřebitel
utrácet za statky 1 a 2?
(c) Odvoďte Engelovy křivky pro statky 1 a 2.
Řešení
(a) Spotřebitel si ze své rozpočtové množiny vybírá
spotřební koš s maximálním užitkem.
Řešíme tedy následující úlohu:
max
x1,x2
u(x1, x2) = x
1/3
1 x
2/3
2
při omezení p1x1 + p2x2 ≤ m.
Spotřebitel má Cobb-Douglasovy preference.
Výdaje spotřebitele se budou rovnat jeho příjmu,
tedy p1x1 + p2x2 = m. Navíc platí,
že při optimálním volbě bude mít jeho linie
rozpočtu stejný sklon jako indiferenční
křivka, tedy MRS = −p1/p2. Optimální spotřební
koš (x∗
1, x∗
2) je tedy řešením následujících
dvou rovnic o dvou neznámých:
MRS = −
p1
p2
p1x∗
1 + p2x∗
2 = m.
Z první rovnice si můžeme vypočítat poměr,
ve kterém budou oba statky v optimu spotřebovávány,
tedy
MRS = −
p1
p2
−
1
3 x∗
2
2
3 x∗
1
= −
p1
p2
x∗
2 =
2p1
p2
x∗
1. (1)
Po dosazení do linie rozpočtu si vyjádříme
poptávkovou funkci pro statek 1
m = p1x∗
1 + p2
2p1
p2
x∗
1
m = 3p1x∗
1
x∗
1 =
m
3p1
.
Dosazením do vztahu (1) získáme poptávkovou
funkci pro statek 2
x∗
2 =
2p1
p2
m
3p1
x∗
2 =
2m
3p2
.
(b) Podíl příjmu vynaložený na statek 1 dostaneme
tak, že vynásobíme poptávané množství
statku 1 cenou statku 1, a výsledné výdaje
na tento statek podělíme příjmem spotřebitele.
Místo poptávaného množství x∗
pak dosadíme
m
3p1
:
p1x∗
1
m
=
p1
m
m
3p1
.
p1x∗
1
m
=
1
3
.
Podobně postupujeme u statku 2:
p1x∗
1
m
=
p1
m
2m
3p1
.
p1x∗
1
m
=
2
3
.
(c) Engelovu křivku pro statek 1 odvodíme z poptávkové
funkce x∗
1 = m
3p1
tak, že si vyjádříme
příjem jako optimálního množství. Engelova
křivka pro statek 1 je
m(x∗
1) = 3x∗
1p1.
Engelova křivka pro statek 2 je
m(x∗
2) =
3
2
x∗
2p2.
2. Spotřebitel může nakupovat pouze dva statky, statek
1 a statek 2. Spotřebitel má užitkovou funkci
u(x1, x2) =
√
x1 + x2.
(a) Odvoďte poptávku spotřebitele po statcích 1
a 2 a Engelovu křivka pro statek 1 obecně pro
ceny statků p1 a p2 a příjem spotřebitele m.
(b) Jaká budou poptávaná množství statku 1 a 2
při cenách p1 = 1 a p2 = 4 a příjmu m1 = 12.
Jaká budou poptávaná množství, pokud příjem
klesne na m2 = 3?
Řešení
(a) Spotřebitel si ze své rozpočtové množiny vybírá
spotřební koš s maximálním užitkem.
Řešíme tedy následující úlohu:
max
x1,x2
u(x1, x2) =
√
x1 + x2
při omezení p1x1 + p2x2 ≤ m.
Preference spotřebitele jsou monotónní
(a spojité). Výdaje na spotřební koš se rovnají
příjmu spotřebitele. Optimalizační úloha
je tedy
max
x1,x2
u(x1, x2) =
√
x1 + x2
při omezení p1x1 + p2x2 = m.
Z linie rozpočtu si můžeme vyjádřit množství
statku 2
x2 =
m
p2
−
p1x1
p2
. (2)
Dosazením zpět do užitkové funkce získáme
neomezenou optimalizační úlohu s jednou ne-
známou
max
x1
u(x1) =
√
x1 +
m
p2
−
p1x1
p2
.
Množství statku 1 x∗
1, pro které má tato
funkce extrém, najdeme tak, že položíme
první derivaci rovnou nule:
du(x1)
dx1
=
1
2 x∗
1
−
p1
p2
= 0.
x∗
1 =
p2
2p1
2
=
p2
2
4p2
1
.
Všiměte si, že poptávané množství x∗
1 závisí
pouze na cenách p1 a p2 a nezávisí na příjmu
spotřebitele m.
Nyní si ověříme, zda je tento extrém maximum
nebo minimum pomocí druhé derivace:
d2
u(x1)
dx2
1
= −
1
4x
∗ 3
2
1
< 0.
Protože spotřebovávané množství x∗
1 je nezáporné
číslo, druhá derivace je záporná. Spotřebitel
tedy při množství x∗
1 maximalizuje
užitek.
Spotřebitel si tedy koupí x∗
1 jednotek
statku 1, pokud má na to dostatečně velký
příjem, tedy pokud m ≥ p1x∗
1. V případě,
že mu jeho příjem na zakoupení množství
x∗
1 nebude stačit, bude mít tato úloha rohové
řešení. Pokud má spotřebitel konvexní
indiferenční křivky, bude při nízkém rozpočtu
celá indiferenční křivka strmější než linie rozpočtu.
Spotřebitel pak bude poptávat maximální
dostupné množství statku 1 m/p1 (viz
obrázek na konci příkladu).
Poptávka spotřebitele po statku xd
1 je tedy
xd
1 =
x∗
1 když m ≥ p1x∗
1,
m
p1
když m < p1x∗
1.
Pomocí vztahu (2) pak odvodíme poptávku
po statku 2
xd
2 =
x∗
2 = m
p2
−
p1x∗
1
p2
když m ≥ p1x∗
1,
0 když m < p1x∗
1.
(b) Při cenách p1 = 1 a p2 = 4 bude
x∗
1 =
p2
2
4p2
1
= 4.
Pokud je příjem spotřebitele m1 = 12, platí,
že m1 > p1x∗
1. Poptávaná množství obou
statků budou
xd
1 = x∗
1 = 4,
xd
2 =
m1 − p1x∗
1
p2
= 2.
Pokud příjem klesne na m2 = 3, bude spotřebitel
nakupovat pouze statek 1. Poptávaná
množství obou statků pak budou
xd
1 =
m2
p1
= 3,
xd
2 = 0.
x2
x143
2
IC1
IC2
BL2
BL1
Slutského rovnice
3. Spotřebitel může nakupovat pouze dva statky, statek
1 a statek 2. Má užitkovou funkci u(x1, x2) =
x1x2, kde x1 je množství statku 1 a x2 množství
statku 2. Příjem spotřebitele je m = 20. Dříve byly
ceny statků p1 = 1 a p2 = 1. Nyní cena se cena
statku 2 zvýšila na p2 = 2.
(a) Spočítejte původní a nový optimální spotřební
koš.
(b) Jak velký by musel být příjem spotřebitele,
aby si mohl při nových cenách dovolit svůj
původní spotřební koš?
(c) O kolik jednotek se změní spotřeba statku 2
kvůli Slutského substitučnímu efektu? O kolik
kvůli důchodovému efektu?
Řešení
(a) Kdybychom spočítali příklad 1(a) pro užitkovou
funkci u(x1, x2) = x1x2, získali bychom
poptávkové funkce
x1 =
m
2p1
a x2 =
m
2p2
.
Dosazením do těchto poptávek získáme optimální
spotřební koš při původních cenách
(x1, x2) = (10, 10) a optimální spotřební koš
při nových cenách (x1, x2) = (10, 5).
(b) Aby si spotřebitel s novou cenou statku 2
mohl dovolit původní spotřebu, jeho příjem
by musel být
m = m + ∆m = m + (p2 − p2)x2 =
= 20 + 10 = 30.
(c) Substituční efekt je změna v poptávaném
množství statku při změně ceny a kompenzovaném
příjmu, tedy
∆xs
2 = x2(p2, m ) − x2(p2, m) =
= 7, 5 − 10 = −2, 5.
Důchodový efekt je změna v poptávaném
množství statku při nových cenách a změně
důchodu z kompenzovaného na nekompenzovaný,
tedy
∆xn
2 = x2(p2, m) − x2(p2, m ) =
= 5 − 7, 5 = −2, 5.
Následující obrázek znázorňuje řešení tohoto příkladu.
Při původní linii rozpočtu BL spotřebitel
nakupuje koš (x1, x2) = (10, 10). Po změně ceny
statku 2 si spotřebitel může právě dovolit tento koš
při linii rozpočtu s kompenzovaným příjmem BLk
(šedá barva). Zvolí si ale spotřební koš (15, 7,5).
Substituční efekt je rozdíl ve spotřebě statku 2 při
liniích rozpočtu BLk
a BL: ∆xs
2 = 7,5−10 = −2,5.
Při nové linii rozpočtu BL spotřebitel nakupuje
koš (x1, x2) = (10, 5). Důchodový efekt odpovídá
rozdílu ve spotřebě statku 2 při liniích rozpočtu
BL a BLk
: ∆xn
2 = 5 − 7,5 = −2,5.
x1
x2
10
7,5
5
10 15
BL
BL
IC
IC
∆xs
2
∆xn
2
BLk
4. Spotřebitel, který může nakupovat pouze dva
statky, statek 1 a statek 2, má příjem m = 80
a užitkovou funkci u(x1, x2) = x1 + 2x2, kde x1 a
x2 jsou množství statků 1 a 2. Cena statku 1 je
p1 = 4 a cena statku 2 je p2 = 10.
(a) Jak velký bude Slutského substituční a
důchodový efekt poklesu ceny statku 2 na
p2 = 5?
(b) Jak velký bude Slutského substituční a
důchodový efekt poklesu ceny statku 2 z na
p2 = 5 na p2 = 4?
Řešení
(a) Pro výpočet Slutského substitučního
a důchodového efektu potřebujeme znát poptávku
po statku 2, která se rovná
x2 =



m/p2 když p2 < 2p1,
mezi 0 a m/p2 když p2 = 2p1,
0 když p2 > 2p1.
Slutského substituční efekt měří změnu v poptávaném
množství při změně ceny a při kompenzovaném
příjmu.
Pro výpočet kompenzovaného příjmu potřebujeme
znát původní spotřebu statku x2,
která je x2 = 0, protože p2 > 2p1. Kompenzovaný
příjem je
m = m + ∆m = m + (p2 − p2)x2 =
= 80 + (5 − 10) × 0 = 80.
Protože p2 < 2p1, substituční efekt změny
ceny z p2 na p2 je
∆xs
2 = x2(p2, m ) − x2(p2, m) =
= m /p2 − 0 = 16 − 0 = 16.
Důchodový efekt měří změnu v poptávaném
množství, když se při nových cenách (p1, p2)
změní příjem z m na m, tedy
∆xn
2 = x2(p2, m) − x2(p2, m ) =
= m/p2 − m /p2 = 16 − 16 = 0.
Následující obrázek znázorňuje řešení tohoto
příkladu. Při původní linii rozpočtu BL je
optimum spotřebitele (x1, x2) = (20, 0). Při
kompenzované linii rozpočtu BLk
si spotřebitel
koupí koš (0, 16). Substituční efekt je
pak ∆xs
2 = 16 − 0 = 16. Nová linie rozpočtu
BL se shoduje s linií rozpočtu s kompenzovaným
příjmem BLk
. Spotřebitel bude poptávat
koš (0, 16) a jeho důchodový efekt bude
∆xn
2 = 16 − 16 = 0.
x1
x2
BL
BLk
= BL
IC
∆xs
2
IC
16
20
(b) Původní cena je nyní p2 = 5. Poptávané
množství statku 2 při této ceně je x2 =
m/p2 = 16 a kompenzovaný příjem je nyní
m = m + ∆m = m + (p2 − p2)x2 =
= 80 + (4 − 5) × 16 = 64.
Substituční efekt změny ceny z p2 na p2 je
∆xs
2 = x2(p2 , m ) − x2(p2, m) =
= m /p2 − m/p2 = 16 − 16 = 0.
Důchodový efekt je
∆xn
2 = x2(p2 , m) − x2(p2 , m ) =
= m/p2 − m /p2 = 20 − 16 = 4.
Následující obrázek ukazuje, že spotřeba při
původní linii rozpočtu BL je (x1, x2) =
(0, 16). Při kompenzované linii rozpočtu BLk
(šedá barva) si spotřebitel koupí koš (0, 16).
Substituční efekt je pak ∆xs
2 = 16 − 16 = 0.
Při nové linii rozpočtu BL bude spotřebován
koš (0, 20). Důchodový efekt je ∆xn
2 =
20 − 16 = 4.
x1
x2
BL
IC
∆xn
2
16
20
20
IC
BLBLk