Logika
Mějme vektory:
"■=(i) •*=(i) ■->-- (E) ••*=(!) 0-
vl <- c(l,2,3); v2 <- c(3,2,l); v3 <- c(10,10,10); v4 <- c("a","b","c"); v5 <- c(l,10)
• Rozhodněte, které prvky vektoru v\ jsou větší než prvky vektorů «2 a «3. vl > v2; vl > v3
• Rozhodněte, zda-li všechny prvky vektoru «3 jsou aspoň tak veliké, jako prvky v2.
all(v3 >= v2)
• Rozhodněte, zda alespoň jeden prvek vektoru «3 je větší než 2. any(v3 > 2)
• V Rstudiu vyzkoušejte porovnat libovolné vektory. all(v4 != v3)
all(v4 > v3) all(v4 = v3) v4 < v5
any(vl < v2) & all(v2 < v3)
if (any(vl > v3)  I all(v2 > 1)) print("ahoj") else printO'Cau")
Matice
• Mějme A
a B
Spočtěte BA, Ä2, B1
Dále určete hodnost matice A a určete její determinant.
A <- matrix(c(l, 0, 2, 2, -1, 0, 0, 1, -1), 3)
B <- matrix(c(0, -2, 1, 0, 1, 1), 2)
B '/,*'/, A
A •/.*•/. A
t(B)
qr(A)$rank det(A)
• Mějme A \A\.
(2 1-2
1 -1 1
-1 1 4
\ 2 1 8
Pomocí Laplaceova rozvoje určete
1
A <- matrix(c(2, 1, 4, 8, 1, -1, 2, 1, -2, -1, 2, 1, -1, 1, 1, 2), 4)
A <- matrix(c(l, 6, 13, 1, 5, 10, 1, 4, 8), 3) B <- solve(A) A '/,*'/, B
C <- round(solve(A)) A •/.*•/. C C •/.*•/. A
Systém lineárních rovnic
• Vyřešte soustavu rovnic:
(A <- matrix(c(l,0,3,2,1,0,0,-3,-1) ,3));  (b <- c(5,5,4)) x <- solve(A,b) A */,*•/, x
all (A '/,*'/, x == b)
• Vyřešte soustavu rovnic:
(A <- matrix(c(2,1,3,-1,2,1,1,-2,-1),3));  (b <- c(0,0,0))
(x <- solve(A,b))
det(A)
install.packages("pracma") library(pracma) rref(cbind(A, b))
• Vyřešte soustavu rovnic:
• Mějme A
x + 2y = 5, y — 3z = 5, 3x — z = 4.
2x — y + z = 0, x + 2y - 2z = 0, 3x + y — z = 0.
2a + b- c + d=l,
3a - 2b + 2c-3d =2, 2a - b + c - 3d = 4, 5a + b-c + 2d= -1
2
(A <- matrix(c(2,3,2,5,l,-2,-l,l,-l,2,l,-l,l,-3,-3,2),4));  (b <- c(l,2,4,-1))
(x <- solve(A.b))
det(A)
rref(cbind(A,b))
Vlastní čísla a vlastní vektory
• Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice A
A <- matrix(c(2, 1, 2, -3, -2, 0, 1, 1, -1), 3) eigen(A)
Funkce a definiční obor
(x2-l
• Zakreslete funkci f(x) = < x — 1
I lna:
• Určete definiční obor funkce f(x)
• Určete definiční obor funkce f(x)
Limita funkce
install.packages("Caracas") library(caracas) Caracas::install_sympy() x <- symbol("x")
• Spočtěte lim^i ^f"* . lim(sqrt(x-l)/(x~2+2), x, 1)
• Spočtěte lim;c_>o+
• Spočtěte lim-j.^ xs_o%-lim((x-2-3*x)/(x-3-27), x, 3)
• Spočtěte \imx^a ^ - x2_5x_6.
... x < 0 ... 0 < x < 1 ... x > 1
x — 2 \/x2—x — 2
lim(l/(x-3)-5/(x-2-x-6), x, 3)
• Spočtěte limx^_i
2x+2
lim((4-sqrt(x+17))/(2*x+2), x, -1)
• Spočtěte lima^2
i
3
2 1 3a a —2 '
• Spočtěte liixit-^3
t2-2t-3 '
32t-96
lim(sqrt((32*x-96)/(x~2-2*x-3)), x, 3)
• Spočtěte limx^0+ ^ -
lim(l/sin(x) - l/(exp(x)-l), x, 0, dir = "+")
L'Hospitalovo pravidlo
lim((l-cos(x))/(x*sin(x)), x, 0)
• Spočtěte limx^T/2(l — sinx) tana;. lim((l-sin(x))*tan(x), x, pi/2)
• Spočtěte limx^o+ xlnx. lim(x*log(x), x, 0, dir = "+")
Tečna funkce
• Nalezněte tečnu funkce y = ln(2x — 1) v bodě T = [1, ?]. f=expression(log(2*x-l))
slope<-eval(D(f,"x"),x<- 1) #prvni derivace v zadaném bode y0<-eval(f,x<- 1) #y-souradnice bodu dotyku yint <- yO - slope #prusecik s y plot(function(x) log(2*x-l) , xlim = c(0,10)) curve(yint + slope*x, add=T, col = 4, lwd=2) points(l,y0, pch=19, col = 2)
• Spočtěte líního
1—COS X
x sin x
1
Lokální extrémy funkce
• Nalezněte lokální extrémy funkce y = x — y/x — 1.
plot(function(x) x-sqrt(x-1), xlim = c(l,3))
xyr<-expression(x-sqrt(x-1))
Dl <- D(xyr, "x")
f = function(x) eval(Dl)
uniroot(f,c(l,2))
Asymptoty funkce
• Nalezněte asymptoty k funkci y =
• Nalezněte asymptoty k funkci y = x+l^ x.
• Vyšetřete funkci y = x ■ arccot(rr).
Globální extrémy funkce
• Nalezněte globální extrémy funkce y = x2 — 2x + 2 na množině (0, 2>.
plot(function(x) x"2-2*x+2, xlim = c(0,2))
Průběh funkce
• Vyšetřete funkci y = .
plot(function(x) abs(x-l)/(x+2), xlim = c(-10,20))
• Vyšetřete funkci y = (1 — x2)2. plot(function(x) (l-x~2)~2, xlim = c(-2,2))
• Vyšetřete funkci y = x2e~x.
plot(function(x) x"2*exp(-x), xlim = c(-l,4))
Taylorův polynom
• Určete Taylorovu řadu k funkci f(x) = sin a; se středem xq = 0.
library(pracma)
f <- function(x) sin(x)
p <- taylor(f, 0, 6)
5
• Pomocí Taylorova polynomu pro n = 3 určete přibližně \/30 f <- function(x) x~(l/3)
p <- taylor(f, 27, 3) # zkusit si ruzne středy polyvaKp, 30)
Funkce více proměnných
• Znázorněte definiční obor funkce z = 1/(1 — lny)(ln(— x)).
• Vypočtěte všechny parciální derivace až do řádu dva z = (x + y)e~x.
install.packages("mosaicCalc")
1ibrary(mosaicCalc)
D((x+y)*exp(-x)~x)
D((x+y)*exp(-x)~y)
D((x+y)*exp(-x)~x&x)
D((x+y)*exp(-x)~x&y)
D((x+y)*exp(-x)~y&x)
D((x+y)*exp(-x)~y&y)
• Vyšetřete lokální extrémy funkce f(x, y) = (x + y2)ex/2.
install.packages("plot3D") library(plot3D)
X <- seq(-10, 10, length.out=20)
Y <- seq(-10, 10, length.out=20) M <- mesh(X,Y)
x <- M$x y <- M$y
z = (x+y"2)*exp(x/2)
perspbox(x,y,z, bty="b2", ticktype="detailed", d=2, main="funkce z") persp3D(x,y,z,add=T)
• Vyšetřete lokální extrémy funkce f(x, y) = (x2 — 1)(1 — x4 — y2).
X <- seq(-2,2,length.out = 100)
Y <- seq(-2,2,length.out = 100) M <- mesh(X,Y)
x <- M$x y <- M$y
z = (x-2-l)*(l-x"4-y-2)
perspbox(x,y,z, bty = "b2" , ticktype = "detailed", d = 2, main = "funkce z") surf3D(x,y,z,add = T)
Neurčitý integrál
• j(x — l)2\/x dx
6
1ibrary(mosaicCalc)
G = antiD((x-l)~2/sqrt(x) " x)
G = antiD((x-l)~2*x~-0.5 " x)
dx
jxex dx
• j^dx
• jln(x)dx
• j x2ex+1 dx
• j sin(x) cos(x) dx
Určitý integrál
• j02 cos (a;) dx
f <- function(x) cos(x) integrate(f, 0, pi/2)
f <- function(x) (1 + exp(x)) / exp(x) integrate (f, 0, 1)
f <- function(x) x * sqrt(4 - x~2) integrate(f, 0, 2)
• Compute the area bounded by y = x2 — Ax + 6 and —2a;2 + 8a; — 3.
fl <- function(x) x"2 - 4*x + 6 f2 <- function(x) -2*x"2 + 8*x - 3
a <- uniroot(function(x) fl(x) - f2(x), c(0.9, 1.5)) b <- uniroot(function(x) fl(x) - f2(x), c(1.5, 5)) Fl <- integrate(fl, a$root, b$root) F2 <- integrate(f2, a$root, b$root) F2$value - Fl$value
•/c
•/c
dx
• ii
'CO
1
7s dx
7
f <- function(x) 1 / (x~2 + x~4) integrate(f, 1, Inf)
roo arctan(x) 7
• 1 —t;—5— ax
f <- function(x) atan(x) / (1 + x~2) integrate(f, 1, Inf)
• f„2 - dx
jo x
f <- function(x) 1 / x integrate(f, 0, 2)
integrate(f, 0, 2, rel.tol = .Machine$double.eps~0.056)
• ln(|a;|) dx
f <- function(x) log(abs(x))
integrated, 0, l)$value + integrate(f, -1, 0)$value
8