Cvičné úlohy, BKM_OPRO
Problém 1: Environmentální aspekty výroby
Jste provozním manažerem americké společnosti Lovejoy Chemicals, která vyrábí pět typů
produktů. Výroba bude nově podléhat nařízení Agentury na ochranu životního prostředí
(EPA), která stanoví limity pro emise pevných částic pro následující období. Očekává se, že
poptávka po produktech společnosti Lovejoy zůstane relativně stabilní minimálně na dalších
pět let. Relevantní údaje pro jednotlivé produkty jsou následující (poznámka: t značí
tuny).
prodejní variabilní emise
potenciál náklady příjmy částic
produkt (t/rok) ($/t) ($/t) (kg/t produkce)
A 2000 700 1000 0,0010
B 1600 600 800 0,0025
C 1000 1000 1500 0,0300
D 1000 1600 2000 0,0400
E 600 1300 1700 0,0250
Vaše výrobní zařízení je střídavě využíváno pro produkci jednotlivých produktů, protože
je schopno vyrábět pouze jeden výrobek najednou. Výrobní rychlost u jednotlivých výrobků
se liší v závislosti na požadavcích zpracování. Výroba jedné tuny výrobku A trvá 0,3 hodiny,
výroba B trvá 0,5 hodiny a výroba jedné tuny C, D nebo E trvá každá jednu hodinu. Výrobní
zařízení může být provozováno až 4000 hodin ročně. EPA navrhuje pro vaše průmyslové
odvětví tzv. "politiku bubliny". V této formě regulace si představte, že bublina obaluje výrobní
zařízení a jsou regulovány pouze celkové částice, které unikají z bubliny. Tento druh
politiky nahrazuje historické pokusy EPA o mikromanagement emisí uvnitř ﬁrmy a umožňuje
managementu ﬁrmy provádět jakékoli změny, pokud jsou celkové emise částic z jeho
zařízení udržovány pod určitými ročními limity. Současný návrh je zavádět přísná omezení
emisí částic postupně v příštích pěti letech. Stanovené limity na celkové emise částic jsou
uvedeny v tabulce níže.
rok 1 2 3 4 5
limit na emise (kg/rok) - 80 60 40 20
Možnou strategií pro splnění těchto předpisů je upravit produktový mix a případně snížit
výrobu některých výrobků. Vedení společnosti si přeje tuto strategii prozkoumat, než
začne uvažovat o zakoupení nového výrobního zařízení.
1. Určete maximální zisk, jehož může ﬁrma ze své produkce v nadcházejícím roce (rok
1) dosáhnout.
1
Problém 2: Nákup komponent
American Electronics Corporation (AEC) je předním výrobcem sítě propojených počítačových
systémů a příslušenství. Jejich produktové portfolio se skládá ze dvou řad, řady
Desktop (DK) a řady Workstation (WS). V každé řadě jsou zahrnuty různé modely, jak je
uvedeno v tabulce marketingových údajů. V tabulce níže najdete odhady maximální potenciální
poptávky, které marketingové oddělení v příštím čtvrtletí očekává, a to pro vybrané
jednotlivé modely a pro každou řadu zvlášť. Kromě toho jsou zde uvedeny informace o
minimální úrovni poptávky, kterou představují smlouvy o prodeji již uzavřené s hlavními
distributory.
min. max. prodejní
Model poptávka poptávka cena [$]
DK-1 – 1800 3000
DK-2 600 – 2000
DK-3 – 300 1500
DK řada 3600
WS-1 500 – 1500
WS-2 400 – 800
WS řada 2500
AEC vyrábí mnoho svých klíčových komponent ve vlastních továrnách. Nedávno se centrála
společnosti AEC dozvěděla od své divize polovodičů, že dodávky nových CPU čipů
jsou velmi omezené. Také mají omezenou kapacitu vyroby pevných disků a navíc dochází
ke zpřísňování přídělu paměťových čipů (které AEC nakupuje externě). Tyto informace v
podobě čtvrtletních dodávek spolu s informacemi o nárocích jednotlivých modelů na tyto
komponenty jsou shrnuty v tabulce níže.
potřeba pro model dostupné
komponenta DK-1 DK-2 DK-3 WS-1 WS-2 množství
CPU čip 1 1 1 1 1 6000
pevný disk 1 2 1 2 1 9000
paměťový čip 4 2 2 2 1 12000
Byli jste požádáni, abyste vytvořili pro problém optimálního plánování výroby model
lineárního programování. Vzhledem k tomu, že v AEC není plánováno propouštění zaměstnanců
a téměř všechny výrobní náklady jsou ﬁxní, měl by model maximalizovat tržby pro
nadcházející čtvrtletí za podmínky omezení nabídky a poptávky.
1. Určete optimální produktový mix. Jaká je maximální tržba?
2
Problém 3: Plánování automobilové výroby
Společnost Auto Company of America (ACA) vyrábí čtyři typy vozů: malé, kompaktní,
střední a luxusní. ACA také vyrábí nákladní automobily a dodávky. Kapacita dodavatelů
omezuje celkovou výrobní kapacitu na maximálně 1 200 000 vozidel ročně. Malé a kompaktní
vozy jsou vyráběny společně v zařízení s celkovou roční kapacitou 620 000 automobilů.
Střední a luxusní vozy jsou vyráběny v jiném zařízení s kapacitou 400 000 vozů
a zařízení pro nákladní automobily a dodávky má kapacitu 275 000 vozidel. Marketingová
strategie ACA vyžaduje, aby malé a kompaktní vozy tvořily alespoň polovinu produktového
mixu ze čtyř typů vozů. Ziskové marže, tržní potenciál a účinnost využití paliva jsou shrnuty
níže.
zisk tržní potenciál účinnost
Typ ($/vůz) (tisíc ks) (MPG)
malý 150 600 40
kompaktní 225 400 34
střední 250 300 15
luxusní 500 225 12
nákladní 400 325 20
dodávka 200 100 25
Současné vládní normy pro průměrnou účinnost využití paliva vyžadují průměrnou účinnost
využití paliva vozového parku nejméně 27 mil na galon. ACA by ráda použila lineární
programování k porozumění dopadům vládní a ﬁremní politiky na plán výroby.
1. Určete optimální výrobní plán pro ACA. Jaký je maximální zisk a příslušný produktový
mix?
3
Problém 4: Rozvrh Rezervací
Společnost Roth Auto Rentals, která se specializuje na pronájem SUV vozů, sestavuje plán
pro uspokojení poptávky na příští týden. Vrchol poptávky přichází o víkendu, kdy může
nadostatek SUV vozů. Níže jsou uvedeny zaznamenané požadavky zákazníků.
Dny Zákazníků
Pá –Po 1
Pá –So 4
Pá –Ne 5
So– Ne 4
So– Po 3
Ne 2
Cena pronájmu závisí na tom, na které dny se smlouva vztahuje.
Dny Pá –Po Pá –So Pá –Ne So– Ne So- Po Ne
Cena (USD) 119,95 69,95 99,95 74,95 89,95 39,95
Roth Auto Rentals provozuje pouze jeden typ vozidla a očekává, že bude mít k zapůjčení
přes víkend k dispozici deset SUV.
1. Jaký je maximální příjem, který lze získat při uspokojení vybraných objednávek ze
seznamu ?
4
Problém 5: Autopůjčovna
Americká společnost Rent-a-Car má v Newyorské metropolitní oblasti osm provozoven.
Společnost uplatňuje politiku, která vyžaduje, aby u každé provozovny bylo vždy ráno k
dispozici konkrétní „cílové“ procento všech dostupných automobilů půjčovny. Tato procenta
jsou shrnuta v následující tabulce.
Provozovna
Bridgeport
NewHaven
Stamford
Newark
JerseyCity
Elizabeth
Paterson
Trenton
podíl aut (%) 20 10 20 5 10 20 5 10
Například, pokud je k dispozici celkem 50 aut, 10 z nich by mělo být ráno na pobočce v
Bridgeportu, atd. Když rozmístění automobilů nesplňuje na konci dne stanovené cílové hodnoty,
zaměstnanci půjčovny převezou auta přes noc mezi provozovnami. Vzdálenost mezi
jednotlivými půjčovnami je uvedena v tabulce.
Bridgeport
NewHaven
Stamford
Newark
JerseyCity
Elizabeth
Paterson
Trenton
Bridgeport – 8 6 7 3 5 4 2
New Haven 8 – 6 5 8 4 6 7
Stamford 6 6 – 8 3 4 7 4
Newark 7 5 8 – 9 5 3 7
Jersey City 3 8 3 9 – 5 6 2
Elizabeth 5 4 4 5 5 – 3 3
Paterson 4 6 7 3 6 3 – 4
Trenton 2 7 4 7 2 3 4 –
Na konci dne má Rent-a-Car k dispozici 100 vozů rozdistribuovaných na pobočkách následujícím
způsobem.
Provozovna
Bridgeport
NewHaven
Stamford
Newark
JerseyCity
Elizabeth
Paterson
Trenton
Počet aut 4 14 5 17 22 7 10 21
S ohledem na toto rozmístění automobilů navrhněte plán minimalizace celkové vzdálenosti
ujeté během přerozdělení aut přes noc. Popište matematický model a nalezněte optimální
řešení.
5
Problém 6: Distribuce hnojiva
Společnost Chemical Company vyrábí hnojivo ve třech závodech (označených jako Z1, Z2
a Z3) s limitovanou výrobní kapacitou. Společnost dodává své výrobky ze závodů do dvou
centrálních skladů (označených CS1 a CS2), a poté je distribuuje dále do pěti regionálních
skladů (RS1 – RS5). Pro centrální sklady neexistují žádné kapacitní limity, ale nelze z nich
dodávat přímo zákazníkům, ti poptávají hnojivo v jednotlivých regionálních skladech. Celý
systém je popsán v následujících dvou tabulkách udávajících jednotkové přepravní náklady
(v dolarech za kilogram) pro jednotlivé fáze přepravy. Kapacita závodů a poptávané množství
v regionálních skladech je vyjádřeno v kilogramech.
CS1 CS2 Kapacita
Z1 1,36 1,28 2400
Z2 1,28 1,35 2750
Z3 1,68 1,55 2500
RS1 RS2 RS3 RS4 RS5
CS1 0,60 0,36 0,32 0,44 0,72
CS2 0,80 0,56 0,42 0,40 0,55
Požadavky 1250 1000 1600 1750 1500
1. Navrhněte přepravní schéma, které bude minimalizovat celkové dopravní náklady.
Popište matematický model a nalezněte optimální řešení.
2. Jak se změní optimální řešení a celkové náklady, dojde-li ke zrušení druhého regionálního
skladu a jeho zákazníci začnou odebírat z pátého?
6
Problém 7: Táborový jídelníček
Hlavní kuchař letního dětského tábora plánuje sestavení denního jídelníčku pro 100 dětí,
přičemž k dispozici má 9 druhů základních potravin. Složení potravin z hlediska důležitých
výživových komponent a jejich ceny (vše přepočteno na 100g potraviny) ukazuje tabulka:
energ. bílk. Fe vit. A vit. C chol cena
[kJ] [g] [mg] [jed] [mg] [mg] [Kč]
vepřové maso 1200 18,4 3,1 20 0 83 12
máslo 3000 0,6 0,2 2500 0 120 11,2
chleba 1160 7,2 0,8 0 0 1 1,5
brambory 300 1,6 0,6 40 10 0 1,2
jablka 240 0 0,5 60 2 0 1,5
eidam 1260 31,2 0,6 1100 0 71 10,6
kuře 650 20,2 1,5 0 0 57 6
jogurt 450 7 0,2 260 0 11 4,5
jahody 150 0 0,8 60 60 0 12
Maloobchod, který tábor zásobuje, může dodat maximálně 40 kg každé potraviny. Dle doporučení
nutričních odborníků by denní dávka výživy pro děti a dospívající měla obsahovat
minimálně 80 g bílkovin, 15mg železa, 6000 jednotek vitamínu A a 200 mg vitamínu C. Pro
zajištění celodenního stravování pro 100 dětí máme sestavit optimální skladbu jídelníčku
při respektování doporučení nutričních expertů. Navrhněte matematický model a nelezněte
optimální řešení, jestliže
1. chceme sestavit jídelníček za co nejméně peněz,
2. chceme sestavit jídelníček s co nejvyšší energetickou hodnotou,
3. chceme sestavit jídelníček s co nejvyšší energetickou hodnotou, ale s obsahem cholesterolu
pod 600 mg.
4. řešte lexikograﬁckou metodou, přitom považujte za nejdůležitější cenu a za nejméně
důležitý obsah cholesterolu. Uvažujte povolenou 10%-odchylku od optimálních hod-
not.
7