Derivace Lukáš Kokrda Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita podzim 2020 Lukáš Kokrda Derivace Značení První derivace funkce f (x) • f (x) df dx (x) Derivace vyšších řádů • f"(x), flv(x) • f(x) d5f • f(10)(x) Neplést s a G M, např • f {a) df dx (a) Lukáš Kokrda Derivace □ rS1 ~ Definice derivace A f(x+h) x+0.5h x+h .. f(x + h)- f(x) ..... lim ---= pokud limita existuie = f h^o h □ i5P Lukáš Kokrda Derivace Kdy derivace není definovaná Ve „hrotech" funkce */ // 1 t t J x * x / x /x ^ J * X # x 1 . r * / y x * x r x t * j t X * / * / / \ t \ * i 2 -1 .5 1 -[ )$/ 0 n. r 0 5 1 5 é * é * -* — u.3 / . / * / * / * / 4 f / f t A X ŕ X * x * X * X * X y f / — 1 r f ■—y t- X 4 — 1 .j A* * □ i5P Lukáš Kokrda Derivace Význam první derivace o Hodnota derivace funkce v bodě reprezentuje rychlost změny hodnoty v bodě. • Zkráceně monotonost funkce: • f\a) > 0, funkce je v bodě a rostoucí • f\a) < 0, funkce je v bodě a klesající • f\a) = 0, bod a je stacionárním bodem funkce • f'(a) je směrnicí tečny funkce v bodě a Směrnicový zápis přímky y = kx + q Zápis tečny k funkci f y = f'(a) • (x - a) + f(a) Lukáš Kokrda Derivace Derivační vzorce (C)' = 0 (arcsin (x))' = (x11)' = n ■ x""1 (arccos (x))' = (ex)' = ex (arctg(x)) = : (ax)' = ax •In(a) (arccotg (x))' = (ln(x))' = 1 x (cotg (x))' = - (loga (x))' 1 x • In (a) (tg(x))' = — COS (sin (x))' = = cos(x) (cos (x))' = —s \/l — X' + x< sin2 (x) Lukáš Kokrda Derivace Derivační pravidla (C-f)' = c-f (f+g)' = f'+g' (f-g)' = f'-g' (f.g)' = f'-g + f-g' f f y f'-g-f-g' (f (g))' = f (g) • g' Lukáš Kokrda Derivace Řešené příklady - součet a součin Součet (sin (x) + 5x6)' = Součin (log3 (x) • sin (x))' Lukáš Kokrda Derivace Řešené příklady - součet a součin Součet (sin (x) + 5x6)' = (sin (x))' + (5x6)' = Součin (log3 (x) • sin (x))' = Lukáš Kokrda Derivace Řešené příklady - součet a součin Součet (sin (x) + 5x6)' = (sin (x))' + (5x6)' = cos (x) + 5 • 6x5 Součin (log3 (x) • sin (x))' = Lukáš Kokrda Derivace Řešené příklady - součet a součin Součet (sin (x) + 5x6)' = (sin (x))' + (5x6)' = cos (x) + 5 • 6x Součin (log3 (x) • sin (x))' = (log3 (x))' • sin (x) + log3 (x) • (sin (x) Lukáš Kokrda Derivace Řešené příklady - součet a součin Součet (sin (x) + 5x6)' = (sin (x))' + (5x6)' = cos (x) + 5 • 6x5 Součin (log3 (x) • sin (x))' = (log3 (x))' • sin (x) + log3 (x) • (sin (x))' 1 = x In (3)Sm ^ + '°g3 ^ ' °0S^ □ iS - = Lukáš Kokrda Derivace Neřešené příklady - součet a součin • Př. 1: (3 • ex + 5x3 - 2x • ln(x))' = • Př. 2: (sin(x) • (x~2 + 3x + 2))' = o Př. 3: (sin(x) • x • ex — 3x2 • ln(x))' = Lukáš Kokrda Derivace Neřešené příklady - součet a součin • Př. 1: (3 • ex + 5x3 - 2x • ln(x))' = i 3ex + 15x2 - 2ln(x) - 2x • - X • Př. 2: (sin(x) • (x"2 + 3x + 2))' = o Př. 3: (sin(x) • x • ex — 3x2 • ln(x))/ = Lukáš Kokrda Derivace Neřešené příklady - součet a součin Př. 1: (3 • ex + 5x3 - 2x • ln(x))' = 3ex + 15x2 - 2ln(x) - 2x • - X Př. 2: (sin(x) • (x~2 + 3x + 2))' = cos(x) • (x-2 + 3x + 2) + sin(x) • (-2x_J + 3) -3 Př. 3: (sin(x) • x • ex - 3x2 • ln(x))' = Lukáš Kokrda Derivace Neřešené příklady - součet a součin Př. 1: (3 • ex + 5x3 - 2x • ln(x))' = 3ex + 15x2 - 2ln(x) - 2x • - X Př. 2: (sin(x) • (x~2 + 3x + 2))' = cos(x) • (x-2 + 3x + 2) + sin(x) • (-2x_J + 3) -3 Př. 3: (sin(x) • x • ex - 3x2 • ln(x))' = cos(x) • x • ex + sin(x) • (ex + x • ex) — 6x • ln(x) — 3x • — X Lukáš Kokrda Derivace Řešené příklady - podíl Podíl 2x3 - 2 x4 + 2x + 3 Složená funkce (arctg(3x2 + 2))' = Lukáš Kokrda Derivace Řešené příklady - podíl Podíl 2x3 - 2 _ (2x3 - 2)' • (x4 + 2x + 3) - (2x3 - 2) • (x4 + 2x + 3)' x4 + 2x + 3 ~ (x4 + 2x + 3)2 Složená funkce (arctg(3x2 + 2))' = Lukáš Kokrda Derivace Řešené příklady - podíl Podíl 2x3 - 2 _ (2x3 - 2)' • (x4 + 2x + 3) - (2x3 - 2) • (x4 + 2x + 3)' x4 + 2x + 3 ~ (x4 + 2x + 3)2 _ (6x2) • (x4 + 2x + 3) - (2x3 - 2) • (4x3 + 2) " (x4 + 2x + 3)2 Složená funkce (arctg(3x2 + 2))' = Lukáš Kokrda Derivace Řešené příklady - podíl Podíl 2x3 - 2 _ (2x3 - 2)' • (x4 + 2x + 3) - (2x3 - 2) • (x4 + 2x + 3)' x4 + 2x + 3 ~ (x4 + 2x + 3)2 _ (6x2) • (x4 + 2x + 3) - (2x3 - 2) • (4x3 + 2) " (x4 + 2x + 3)2 Složená funkce (arctg(3x2 + 2))' = ľ + ^ + 2)2 ■ (3x2 + 2)' = Lukáš Kokrda Derivace Řešené příklady - podíl Podíl 2x3 - 2 _ (2x3 - 2)' • (x4 + 2x + 3) - (2x3 - 2) • (x4 + 2x + 3)' x4 + 2x + 3 ~ (x4 + 2x + 3)2 _ (6x2) • (x4 + 2x + 3) - (2x3 - 2) • (4x3 + 2) " (x4 + 2x + 3)2 Složená funkce (arctg(3x2 + 2))' = ľ + ^ + 2)2 ■ (3x2 + 2)' = 1 +(3x2+ 2)2 Lukáš Kokrda Derivace Řešené príklady - složená funkce Složená funkce (arctg (x3e3x3^ = Lukáš Kokrda Derivace Řešené príklady - složená funkce Složená funkce (arctg(x3e3*3)Y=-1-, • (x3e v 6 v i+ xse3x3)2 v Lukáš Kokrda Derivace Řešené príklady - složená funkce Složená funkce (arctg(xV*3)y=-^ + (x3e3*3)z 1 1 + (x3e3*3)2 x3e3*3V (x3)'.e3x3+x3. />3y Lukáš Kokrda Derivace Řešené příklady - složená funkce Složená funkce arctg I x3e3x3 x3e3x3) 1 + (x3e3x3)2 1 1 + (x3e3*3)2 x3e3x3V 3\' „3x3 , „3 /_3x3Y (x3) • e3x + x- 3x2-e3x3+x3-e3x3-(3x3)' Lukáš Kokrda Derivace Řešené příklady - složená funkce Složená funkce arctg I x3e3x3 x3e3x3) 1 + (x3e3*3)2 1 1 + (x3e3*3)2 1 1 + (x3e3*3)2 x3e3x3V .3\' „3x3 , ..3 /_3x3Y (x3) • e3x + X" 3x2-e3x +x3-e3x3-(3x3)' 3x2 . e3*3 + x3 . e3x3 . (3 . 3x2^ Lukáš Kokrda Derivace Neřešené příklady - podíl a složená funkce Př. 1: (e"x2y = py. 2: f^&Y Př. 3: farctg (e7'5 + ^log| (lOe - 7re^7r'5/1+ln3+7r Lukáš Kokrda Derivace □ i5P Neřešené příklady - podíl a složená funkce • Př. 1: (e"x2)' = e"x2 • (-2x) 9 Pf 2- (sin(x) V = Vcos(x)y • Př. 3: ( arctg ( e^5 + 7/log5 (lOe - tt* )7r^/1+l"3+ Lukáš Kokrda Derivace □ i5P Neřešené příklady - podíl a složená funkce • Př. 1: (e"x2)' = e"x2 • (-2x) 9 Pf 2- (sin(x) V = Vcos(x)y cos(x) • cos(x) — sin(x) • (—sin(x)) (cos(x))2 • Př. 3: ( arctg ( e^5 + 7/log5 (lOe - tt* )7t^+^+ Lukáš Kokrda Derivace □ i5P Neřešené příklady - podíl a složená funkce • Př. 1: (e"x2)' = e"x2 • (-2x) 9 Pf 2- (sin(x) V = Vcos(x)y cos(x) • cos(x) — sin(x) • (—sin(x)) (cos(x))2 • Př. 3: í arctg í e^5 + ýlog| (lOe - tt* J7r^1+In3+ 0 Lukáš Kokrda Derivace □ i5P Derivace vyšších řádů - význam Konvexnosť a konkávnost funkce • fff(a) > 0, funkce je v bodě a konvexní fff(a) < 0, funkce je v bodě a konkávni • f"(a) = 0, bod a je inflexním bodem funkce Lukáš Kokrda Inf. bod Derivace □ i5P