Úprava výrazů a rovnice
Lukáš Kokrda
Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita
podzim 2022
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Úprava výrazů - opakování
• V matematice se často setkáváme se „zápisy", které je třeba zjednodušit
9 Takovým to zápisům říkáme výrazy 9 K jejich úpravám nám slouží zejména tři zákony (v IR) Komutativní zákon
3 + b= b + 3 3 • b = b • 3
• Asociativní zákon
a + (b+c) = (a + b) + c a • (b • c) = (a • b) • c
Distributivní zákon
a-(b + c) = a- b + a- c
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Vzorový příklad
a Zadání
(a + b) ■ (b -
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Vzorový příklad
o Zadaní
(a + b) • (b -
9 Asociativní zákon
a • b — a • c + b • b
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Vzorový příklad
o Zadaní
(a + b) • (b - c) - b • (a - c)
• Asociativní zákon
a • b — a • c + b • b — b - c — b • a + b
o Komutativní zákon
a - b — a • b — a • c + b • b — b • c + b
□ i5P
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Vzorový příklad
o Zadaní
(a + b) • (b - c) - b • (a - c)
• Asociativní zákon
a • b — a • c + b • b — b - c — b • a + b
o Komutativní zákon
a - b — a • b — a • c + b • b — b • c + b
• Výsledek
—a-c + b-b
□ i5P
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Zlomky
Základní operace se zlomky • Sčítání/Odčítání zlomků
a c
a • d ± c • b b~ď
• Násobení zlomků
Dělení zlomků
a c ~b ' ď
a c
~b ' ď
a • c ~b~ď
a d_ ~b ' ~c
• Alternativně
b_ c
a d_ b ' c
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Mocnina reálného čísla
Uvažujme libovolné číslo n 6 N reálné číslo a e ffi. pak je zřejmé, že platí:
a" =
a • a • a •
v-v-
n
a
a"" =
Pozor! a^O
(i)
(2)
Pravidla pro počítání s mocninami
• a° = 1;    Pozor! a ^ 0
• 0" = 0
as = ar+s
as = ar~s
• (ar)s = ars
• (a • b)r = ar -b'
\b) br
□       i5P        - =
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Vzorový příklad
• Zadání
-2\-2
{a2b3c-2) (a-^-ic2)3
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Vzorový příklad
• Zadání
-2\-2
{a2b3c-2) (a-^-ic2)3
Umocnění
a2.(-2)£3-(-2)c-2.(-2) a-2-3£,-l-3c2.3
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Vzorový příklad
• Zadání
• Umocnění
• Roznásobení
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
(a2b3c-2)-2 (a-ib-ic2)3
a2-(-2)/?3-(-2)c-2-(-2) a-2-3fc-l-3c2-3
a-4/?-6c4
a-6í,-3c6
Vzorový příklad
• Zadání
• Umocnění
• Roznásobení
• Na jeden základ
(a2b3c-2)-2 (a-ib-ic2)3
a2-(-2)/?3-(-2)c-2-(-2) a-2-3fc-l-3c2-3
a-4/?-6c4 a-66_3c6
a-4-(-6)í,-6-(-3)c4-6
ukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Vzorový příklad
• Zadání
-2\-2
{a2b3c-2) (a-^-ic2)3
Umocnění
a2-(-2)Ď3-(-2)c-2-(-2) a-2-3ó-l-3c23
Roznásobení
a-46"6c4
a-6^-3c6
Na jeden základ
-4-(-6)6-6-(-3) 4-6
Výsledek
a2Ď-3c-2
□
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Pravidla pro úpravu mnohočlenů
a + b)2 a - b)2 (a - b)(a + b) a + b)3 a - b)3 (a - b){a2 + ab + b2) (a + b){a2 - ab + b2)
a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2 a2-b2
a3 + 3a2 b + 3a b2 + b3 a3 -3a2b + 3ab2 - b3 a3-b3 a3 + b3
9
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
= =    -O °s O
Vsuvka: Pascalův trojúhelník
10 10
1 6
15 20 15
6 1
1        7 21 35 35 21 7 1
1       8       28 56 70 56 28       8 1
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Odmocnina
Zavedení pojmu odmocniny:
• odmocnina je „částečně" inverzní operací s mocnině,
• zavádí se pro libovolné nezáporné reálné číslo a jako
b" = a,
b pak nazýváme r?-tou odmocninou a zapisujeme b = yfa
• POZOR! Pro aGK0+ platí:
b2 = a b = ±^
• pro lichá n lze odmocňovat i záporná čísla.
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Odmocnina
Pravidla pro počítání s odmocninami Pro výrazy a, b > 0 a m, r? G N:
b
.m
m / n/ _ mn/
d —     \ d
<flŕ^b = a-<ŕb
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Definiční podmínky výrazů
Na co ale nesmíme zapomínat jsou definiční podmínky! Co musíme ověřit: » dělení 0
* Sudé odmocniny ze záporných čísel
• logaritmování nekladných čísel
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Dělení polynomů/mnohočlenů
Potřebujeme najít „mnohočlen" p(x) pro který platí
p(x) • a(x) = b(x),
kde známe pouze a(x) a b(x) Jinak zapsáno
b(x) : a(x) = p(x)
□ i5P
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Vzorový příklad - jak na to
(x3 (x3
+5x2    +2x    -8)   : (x - 1) = x2 + 6x + 8
-x2) 6x2
-(6x2
+2x
-6x) 8x -(8x
-8
8
8) 0
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Rovnice
f (x) = g(x)
• Najít rovnovážný stav
9 Častější značení L(x) = P (x)
• Úpravy rovnic
9 Ekvivalentní
• Neekvivalentní
9 Typy rovnic
• Polynomiální a Mocninné
• Exponenciální
• Logaritmické
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Úpravy rovnic
Dvě rovnice, které mají stejné množiny všech řešení se nazývají ekvivalentní rovnice.
Postup řešení rovnic spočívá v úpravách výrazů na levé i pravé straně, tak abychom obdrželi rovnici v jednodušším tvaru.
Úpravy dělíme na: • ekvivalentní
L(x) = P(x) ť(x) = P'(x)
9 neekvivalentní
L(x) = P(x) ť(x) = P'(x)
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Ekvivalentní úpravy
• prohození levé a pravé strany rovnice,
• přičtení(odečtení) libovolného čísla nebo násobku neznámé
u — v<=^w-\-u—w-\-v
• vynásobení levé a pravé strany číslem či výrazem, který je nenulový
pro V1/1/ E R \ {0} \u—v^W'U—w-v
o umocnění(odmocnění) levé a pravé strany přirozeným (od-)mocnitelem jsou-li obě strany nezáporné
2 = 2^ 22 = 22 ^4 = 4
-2 = 2^ (-2)2 = 22     4 = 4
• zlogaritmování obou stran rovnice se stejným základem jsou-li obě strany rovnice kladné
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Řešení rovnic polynomiálního typu
Polynomiální rovnice 2. stupeň
P2(x) = a2x2 + aix + a0,      a2 7^ 0, Kořeny tohoto polynomu splňují rovnici
a2x2 + aix + ao = 0.
Řešení kvadratické rovnice:
o diskriminant kvadratické rovnice
D = a2 — 4 • a2 • ao
kořeny kvadratické rovnice
xi 2 =
-31 ±
2 • a2
□ s
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Řešený příklad
Řešte rovnici x2 — 2x — 15 = 0
Pomocí diskriminantu.
D = b2 -4ac = (-2)2 - 4 • 1 • (-15) = 64
□ e
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Řešený příklad
Řešte rovnici x2 — 2x — 15 = 0
Pomocí diskriminantu.
Xl.2 =
D = b2 - Aac = (-2)2 - 4 • 1 • (-15) = 64 -b±yfĎ    -(-2) ±8
2a
^>   xi = 5 a X2 = —3
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Řešený příklad
Řešte rovnici x2 — 2x — 15 = 0
Pomocí diskriminantu.
XI,2 =
D = b2 - Aac = (-2)2 - 4 • 1 • (-15) = 64 -b±y/Ď    -(-2) ±8
2a
=>   xi = 5 a X2 = —3
Doplněním na čtverec:
xz - 2x - 15 = x2 - 2x + 1 - 16 =
0
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Řešený příklad
Řešte rovnici x2 — 2x — 15 = 0
Pomocí diskriminantu.
XI,2 =
D = b2-4ac = (-2)2 - 4 • 1 • (-15) = 64 -b±y/Ď    -(-2) ±8
2a
=>   xi = 5 a X2 = —3
Doplněním na čtverec:
x2 - 2x - 15 = x2 - 2x + 1 - 16   = 0
(x-l)2-16   = 0
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Řešený příklad
Řešte rovnici x2 — 2x — 15 = 0
Pomocí diskriminantu.
XI,2 =
D = b2-4ac = (-2)2 - 4 • 1 • (-15) = 64 -b±y/Ď    -(-2) ±8
2a
=>   xi = 5 a X2 = —3
Doplněním na čtverec:
xz - 2x - 15 = x2 - 2x + 1 - 16
16
l)2
(x-1)2 (x
0 0
16
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Řešený příklad
Řešte rovnici x2 — 2x — 15 = 0
Pomocí diskriminantu.
XI,2 =
D = b2-4ac = (-2)2 - 4 • 1 • (-15) = 64 -b±y/Ď    -(-2) ±8
2a
=>   xi = 5 a X2 = —3
Doplněním na čtverec:
xz - 2x - 15 = x2 - 2x + 1 -
(x-1)2-
(x
x - 1   =   4       A x
16 16
l)2 1
0 0
16 -4
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Řešený příklad
Řešte rovnici x2 — 2x — 15 = 0
Pomocí diskriminantu.
XI,2 =
D = b2-4ac = (-2)2 - 4 • 1 • (-15) = 64 -b±y/Ď    -(-2) ±8
2a
=>   xi = 5 a X2 = —3
Doplněním na čtverec:
xz - 2x - 15 = x2 - 2x + 1 -
(x-1)2-
(x
x - 1   =   4       A x x   =   5 A
16 :
16 :
l)2 =
1 =
x =
0 0
16 -4 -3
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Příklad k procvičení
x2 - 3x - 9   =   -2x2 + 15x - 36
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Příklad k procvičení
x2 - 3x - 9 3x2 - 18x + 27
-2x2 + 15x - 36 0
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Příklad k procvičení
x2 - 3x - 9 3x2 - 18x + 27 x2 - 6x + 9
-2x2 + 15x - 36
0
0
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Příklad k procvičení
x2 - 3x - 9 3x2 - 18x + 27 x2 - 6x + 9
,2
(*-3)2 =
-2x2 + 15x
0
0
0
- 36
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Příklad k procvičení
x2 - 3x - 9 3x2 - 18x + 27 x2 - 6x + 9
,2
(x-3)2 =
x =
-2x2 + 15x
0
0
0
3
- 36
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice
Vzorový příklad 1:
V oboru reálných čísel řešme rovnici ^/2x + 4
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice
Vzorový příklad 1:
V oboru reálných čísel řešme rovnici ^/2x + 4 Umocníme obě strany rovnice a dostaneme:
2x + 4 = 9
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice
Vzorový příklad 1:
V oboru reálných čísel řešme rovnici ^/2x + 4 Umocníme obě strany rovnice a dostaneme:
2x + 4 = 9
2x = 5
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice
Vzorový příklad 1:
V oboru reálných čísel řešme rovnici y^2x + 4 = 3 Umocníme obě strany rovnice a dostaneme:
2x + 4 = 9
2x = 5
Z této rovnice plyne, že x = i
5
2'
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice
Vzorový příklad 1:
V oboru reálných čísel řešme rovnici V2x + 4 = 3 Umocníme obě strany rovnice a dostaneme:
2x + 4 = 9
2x = 5
Z této rovnice plyne, že x = |.
Zde platí jsou-li l/ a v stejná, pak jsou stejné i jejich mocniny, tj.
2 2 U — V ^ U   — v
Jestliže pro nějaké číslo x platí \/2x + 4 = 3 splňuje toto číslo x rovnici 2x + 4 = 9.
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice
Vzorový příklad 2:
Pozor na opačnou implikaci! Řešte rovnici:
\/x2 - 2x + 10 = x - 10.
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice
Vzorový příklad 2:
Pozor na opačnou implikaci! Řešte rovnici:
\lx2 - 2x + 10 = x - 10.
x2 - 2x + 10   =   (x - 10)2
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice
Vzorový příklad 2:
Pozor na opačnou implikaci! Řešte rovnici
x
2 - 2x + 10 = x - 10
x2 - 2x + 10 x2 - 2x + 10
(x - 10)2
x2 - 20x + 100
Lukáš Kokrda
□ i5P
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice
Vzorový příklad 2:
Pozor na opačnou implikaci! Řešte rovnici
x
2 - 2x + 10 = x - 10
x2 - 2x + 10 x2 - 2x + 10 18x
(x - 10)2
x2 - 20x + 100
90
Lukáš Kokrda
□ i5P
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice
Vzorový příklad 2:
Pozor na opačnou implikaci! Řešte rovnici
x
2-2x + 10 = x-10
x" -
x" -
2x+ 10 2x+ 10 18x x
(x
X2
90 5
10)2
20x + 100
Lukáš Kokrda
□ i5P
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice
Vzorový příklad 2:
Pozor na opačnou implikaci! Řešte rovnici
x
2-2x + 10 = x-10
x —
x —
2x+ 10 2x+ 10 18x
x
(x
x2
90 5
10)2
20x + 100
Zkouška:
L(5)    = V25 -10 + 10 = V25 = 5
□ g
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice
Vzorový příklad 2:
Pozor na opačnou implikaci! Řešte rovnici:
\lx2 - 2x + 10 = x - 10.
x2 - 2x + 10   =   (x - 10)2 x2 - 2x + 10   =   x2 - 20x + 100 18x   = 90 x   = 5
Zkouška:
L(5)    = V25 -10 + 10 = 725 = 5
P(5)   = 5 - 10 = -5
L(5) ýP(5) Poučení: „Když umocňuji rovnici, pak dělám zkoušku
□ i5P
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice - Samostatně
Vyřešte rovnici:
V2x + 3 - ^x~^2   = VxTT
□ i5P
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice - Samostatně
Vyřešte rovnici:
V2x + 3- Vx- 2 2x + 3 - 2^/2^^T3t/x~^2 + x - 2
x + 1
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice - Samostatně
Vyřešte rovnici:
V2x + 3 - y/x
2x + 3 - 2V2x + 3y/x - 2 + x
- 2
- 2 2x
Vx~TT
x + l
= 2V2x~T3y/7
□ i5P
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice - Samostatně
Vyřešte rovnici:
V2x + 3 - y/x
2x + 3 - 2V2x + 3y/x - 2 + x
- 2
- 2 2x
x
Vx~TT
x + l
= 2V2x + 3Vx~ =   V2x + Z^fx~^
Lukáš Kokrda
□       r3> —
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice - Samostatně
Vyřešte rovnici:
V2x + 3 - y/x
2x + 3 - 2V2x + 3y/x - 2 + x
- 2
- 2 2x
x =
x2 =
x + l
=   2V2x + 3Vx~ = ^/2x~VŽ^/x~^ (2x + 3) (x -
Lukáš Kokrda
□        r3> —
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice - Samostatně
Vyřešte rovnici:
V2x + 3- Vx-2 = VxTl
2x + 3 - 2a/2x + ŠVx - 2 + x- 2 = x + 1
2x = 2V2x + 3^/x~^2
x = \/2x + 3\/x — 2
x2 = (2x + 3) (x - 2)
x2 = 2x2 - x - 6
□       ,gi        -        =        =       °s O
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice - Samostatně
Vyřešte rovnici:
ygxTŠ- y/x- 2 = \fx + 1
2x + 3 - 2a/2x + 3a/x - 2 + x- 2 = x+1
2x = 2V2x + 3s/x~^2
x = y/2x + 3\/x — 2
x2 = (2x + 3) (x - 2)
x2 = 2x2 - x - 6
0 = x2 - x - 6
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice - Samostatně
Vyřešte rovnici:
V2X + 3- = Vx +1
2x + 3 - 2a/2x + 3a/x - 2 + x - 2 = x + 1
2x = 2^/2xT3^/x^2
x = \/2x + 3\/x — 2
x2 = (2x + 3) (x - 2)
x2 = 2x2 - x - 6
0 = x2 - x - 6
0 = (x - 3) (x + 2)
□        [gi - = = ^Q^O
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice - Samostatně
Vyřešte rovnici:
y/2x + 3- Vx-2 = Yx + 1
2x + 3 - 2v/2xT3\[x~^2 + x - 2 = x +1 _
2x = 2v/2xT3v/xTr2
x = \/2x + 3\/x — 2
x2 = (2x + 3) (x - 2)
x2 = 2x2 - x - 6
0 = x2 - x - 6
0 = (x - 3) (x + 2)
Zkouška:
□ g
Lukáš Kokrda Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice - Samostatně
Vyřešte rovnici:
V2x + 3 -      - 2 =
2x + 3 - 2v/2x + 3Vxrr2 + x - 2
2x
x =
x2 =
x2 =
0 =
0 =
Zkouška
Vx + Í
x + 1_
2v/2xT3v/x^ľ2 ^/2x~+Ž^fx~^2 (2x + 3) (x - 2) 2x2 - x - 6 x2 — x — 6 (x-3)(x + 2)
L(3)      =V6T3-v/3^2 = 3-l = 2
9
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice - Samostatně
Vyřešte rovnici:
2x + 3 - 2\/2x + 3Vx ~ 2 +
V2x + 3 - v7*7
x
- 2
- 2 2x
x =
x2 = x2 =
Zkouška
L(3)
P(3)
V6T3- v7^^
v/3TT = 2
v^TT
x + l
0 =
o =
=3-1=2
= 2^2xT3v/^2 = y2xT3Vx~T72 (2x + 3) (x - 2) 2x2 - x - 6 x2 — x — 6 (x-3)(x + 2)
r3P
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice - Samostatně
Vyřešte rovnici:
V2x + 3- v7* 2x + 3 - 2a/2x + 3y/x - 2 + x
- 2
- 2 2x
x =
x2 =
x2 =
0 0
Zkouška
L(3)
P(3) L(3)
Vx + 1 x + 1
=   2V2x + 3Vx^2 = ^/2x~±3^fx~^2 (2x + 3) (x - 2) 2x2 - x - 6 x2 — x — 6 (x-3)(x + 2)
= V6 + 3- V3^2 = 3 -1 = 2 = v/3TT = 2 = P(3)
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice - Samostatně
Vyřešte rovnici:
V2x + 3- Vx^2 2x + 3 - 2V2x + 3y/x - 2 + x - 2
2x
x =
x2 =
x =
0 0
Vx~TT
x + l
= 2V2xT3v^2
(2x + 3) (x - 2) 2x2 - x - 6 x2 — x — 6 (x-3)(x + 2)
Zkouška:
L{3)      = y/6 + 3- V3^2 = 3 - 1 = 2 P(3)     = VŠTT = 2 L(3)      = P(3)
Z.(-2)    = V-4 + 3 - V-2 - 2 = neexistuje
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice
Umocňování rovnice - Samostatně
Vyřešte rovnici:
V2x + 3- Vx~^2 = VxTT
2x + 3 - 2V2x + 3y/x - 2 + x- 2 = x + 1
2x = 2v/2xT3Vx^2
x = a/2x + 3-y/* — 2
x2 = (2x + 3) (x - 2)
x2 = 2x2 - x - 6
0 = x2 - x - 6
0 = (x - 3) (x + 2)
Zkouška:
L(3)      = V6~+3 - V3^2 = 3-1 = 2 P(3)     = y/T+T = 2 L(3)      = P(3)
L{-2)    = V-4 + 3 - V-2 - 2 = neexistuje P(-2)   = V-2 + 1 = neexistuje
Lukáš Kokrda
Úprava výrazů a rovnice