Soustavy lineárních rovnic a matice Lukáš Kokrda Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita podzim 2020 □ |5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Obsah • Soustavy lineárních rovnic • Typy soustav Metody řešení • Matice • Základní pojmy (zápis, vektor, speciální typy matic, symetrická matice) • Operace s maticemi (rovnost, sčítání, násobení, transponování) • Determinant matice • Řešení soustav rovnic pomocí matic Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Motivace • Jaký je geometrický význam rovnice? □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Motivace • Jaký je geometrický význam rovnice? „Najít průsečík dvou grafů." □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Motivace • Jaký je geometrický význam rovnice? „Najít průsečík dvou grafů." f(x) = g(x) □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Motivace • Jaký je geometrický význam rovnice? „Najít průsečík dvou grafů." f(x) = g(x) Jak ale najít bod (oblast), která by splňovala více podmínek? Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Motivace • Jaký je geometrický význam rovnice? „Najít průsečík dvou grafů." f(x) = g(x) Jak ale najít bod (oblast), která by splňovala více podmínek? 9 Více rovnic nejde dát do vzájemné rovnosti. Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Motivace • Jaký je geometrický význam rovnice? „Najít průsečík dvou grafů." f(x) = g(x) • Jak ale najít bod (oblast), která by splňovala více podmínek? 9 Více rovnic nejde dát do vzájemné rovnosti. • Ale lze několik rovnic řešit současně. Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Motivace • Jaký je geometrický význam rovnice? „Najít průsečík dvou grafů." f(x) = g(x) • Jak ale najít bod (oblast), která by splňovala více podmínek? 9 Více rovnic nejde dát do vzájemné rovnosti. • Ale lze několik rovnic řešit současně. • Takzvanou soustavu rovnic. Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Motivace • Jaký je geometrický význam rovnice? „Najít průsečík dvou grafů." f(x) = g(x) • Jak ale najít bod (oblast), která by splňovala více podmínek? 9 Více rovnic nejde dát do vzájemné rovnosti. • Ale lze několik rovnic řešit současně. • Takzvanou soustavu rovnic. 9 Omezíme se pouze na lineární rovnice. Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Motivace • Jaký je geometrický význam rovnice? „Najít průsečík dvou grafů." f(x) = g(x) • Jak ale najít bod (oblast), která by splňovala více podmínek? 9 Více rovnic nejde dát do vzájemné rovnosti. • Ale lze několik rovnic řešit současně. • Takzvanou soustavu rovnic. 9 Omezíme se pouze na lineární rovnice. • (Pomocí numerických metod lze každá rovnice převést na opakované řešení lineárních rovnic.) Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Základní značení Soustava lineárních rovnic 3u • xi + au • x2 321 • xi + a22 • x2 + • • • + 3in • Xn = bi + "' + 32n'Xn = b2 3ml • Xi + 3m2 • X2 + • • • + 3mn • Xn = bm o a,y £ IR, / = 1,..., m, 7 = 1,..., n koeficienty • xj, j = 1, ..., r? neznámé (pro malá n, x, y a z) • 6/ e R, / = 1, ..., /7? koeficienty pravých stran • r? G N počet neznámých • m G N počet rovnic Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Základní poznatky 9 Počet řešení: • Žádné řešení • Jedno řešení 9 Nekonečně mnoho řešení („určitého tvaru") • Bohužel toto nejde na první pohled jednoznačně určit. Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Základní poznatky Počet reseni: • Žádné řešení • Jedno řešení 9 Nekonečně mnoho řešení („určitého tvaru") Bohužel toto nejde na první pohled jednoznačně určit. Xl + 2n + Zl = 3 2xi + 2yi + 3zi = 4 Xl + Z\ = 2 2xi + 4yi = 8 X3 + y-i — zz = 1 2x3 + 2y3 — 4z3 = 2 Z3 = 1 X2 + y> - z2 = 1 2x2 + 2y2 - 4z2 = 2 X2 + y> + z2 = 1 [*i;yi;zi] = [3; |; —l] [x2;y2;z2] = [t; 1 — t; 0], ŕ G [x3;y3;z3] = Nemá klasické řešení. Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Klasifikace soustav lineárních rovnic • Homogenníx Nehomogenní soustava □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Klasifikace soustav lineárních rovnic • Homogenníx Nehomogenní soustava • Přeurčená soustava □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Klasifikace soustav lineárních rovnic • Homogenníx Nehomogenní soustava • Přeurčená soustava 9 Nedourčená soustava □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Klasifikace soustav lineárních rovnic o Homogenníx Nehomogenní soustava • Homogenní soustava má na všech pravých stranách jen 0 • Přeurčená soustava • Nedourčená soustava Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Klasifikace soustav lineárních rovnic o Homogenníx Nehomogenní soustava • Homogenní soustava má na všech pravých stranách jen 0 • Homogenní rovnice má vždy alespoň triviální řešení • Přeurčená soustava 9 Nedourčená soustava Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Klasifikace soustav lineárních rovnic o Homogenníx Nehomogenní soustava • Homogenní soustava má na všech pravých stranách jen 0 • Homogenní rovnice má vždy alespoň triviální řešení • Přeurčená soustava • Je soustava, která má více rovnic než proměnných 9 Nedourčená soustava Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Klasifikace soustav lineárních rovnic o Homogenníx Nehomogenní soustava • Homogenní soustava má na všech pravých stranách jen 0 • Homogenní rovnice má vždy alespoň triviální řešení • Přeurčená soustava • Je soustava, která má více rovnic než proměnných • „Nemívá klasické řešení, ale řešení ve smyslu nejmenších čtverců. • Nedourčená soustava Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Klasifikace soustav lineárních rovnic o Homogenníx Nehomogenní soustava • Homogenní soustava má na všech pravých stranách jen 0 • Homogenní rovnice má vždy alespoň triviální řešení • Přeurčená soustava • Je soustava, která má více rovnic než proměnných • „Nemívá klasické řešení, ale řešení ve smyslu nejmenších čtverců. • Nedourčená soustava • Má méně rovnic než proměnných Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Klasifikace soustav lineárních rovnic Homogenníx Nehomogenní soustava • Homogenní soustava má na všech pravých stranách jen 0 • Homogenní rovnice má vždy alespoň triviální řešení Přeurčená soustava • Je soustava, která má více rovnic než proměnných • „Nemívá klasické řešení, ale řešení ve smyslu nejmenších čtverců. Nedourčená soustava • Má méně rovnic než proměnných • „Mívá nekonečně mnoho řešení, která se zapisují pomocí volitelných parametrů." Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Klasifikace lineárních rovnic a) • b) • c) X + y + z = 0 X — y + z = 0 X + y + z = 0 X — y — z = 1 2x — y + z = 0 x + y + z = -1 x - y — z = 3 x - 2y — z = 2 2x - y + z = 1 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Klasifikace lineárních rovnic • a) Nedourčená homogenní soustava (dvou rovnic o třech neznámých) • b) • c) X + y + z = 0 X — y + z = 0 X + y + z = 0 X — y — z = 1 2x y + z = 0 X + y + z X — y — z = 3 X — 2y — z = 2 2x — y + z = 1 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Klasifikace lineárních rovnic • a) Nedourčená homogenní soustava (dvou rovnic o třech neznámých) x + y + z = 0 x - y + z = 0 o b) Nehomogenní soustava (tří rovnic o třech neznámých) • c) x + y + z = 0 x — y — z = 1 2x - y + z = 0 x + y + z = —. x — y — z = 3 x — 2y — z = 2 2x - y + z = 1 □ i5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Klasifikace lineárních rovnic • a) Nedourčená homogenní soustava (dvou rovnic o třech neznámých) x + y + z = 0 x - y + z = 0 o b) Nehomogenní soustava (tří rovnic o třech neznámých) x + y + z = 0 x - y - z = 1 2x - y + z = 0 9 c) Přeurčená homogenní soustava (čtyř rovnic o třech neznámých) X + y + z = -1 X - y — z = 3 X - 2y — z = 2 2x - y + z = 1 □ i5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Metody řešení soustav lineárních rovnic Sčítací metoda Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Metody řešení soustav lineárních rovnic o Sčítací metoda • Dosazovací metoda □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Metody řešení soustav lineárních rovnic o Sčítací metoda • Dosazovací metoda • Metody pomocí matic □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Metody řešení soustav lineárních rovnic • Sčítací metoda, postup: • Dosazovací metoda • Metody pomocí matic □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Metody řešení soustav lineárních rovnic • Sčítací metoda, postup: • 1) Vhodným přičítáním násobků jednotlivých rovnic redukovat jednotlivé proměnné, dokud nezbude poslední proměnná. • Dosazovací metoda • Metody pomocí matic Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Metody řešení soustav lineárních rovnic • Sčítací metoda, postup: • 1) Vhodným přičítáním násobků jednotlivých rovnic redukovat jednotlivé proměnné, dokud nezbude poslední proměnná. • 2) Vypočtené proměnnou postupně dosazovat do redukovaných rovnic. • Dosazovací metoda • Metody pomocí matic Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Metody řešení soustav lineárních rovnic • Sčítací metoda, postup: • 1) Vhodným přičítáním násobků jednotlivých rovnic redukovat jednotlivé proměnné, dokud nezbude poslední proměnná. • 2) Vypočtené proměnnou postupně dosazovat do redukovaných rovnic. • Dosazovací metoda, postup: • Metody pomocí matic □ ,gi - = = °s O Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Metody řešení soustav lineárních rovnic • Sčítací metoda, postup: • 1) Vhodným přičítáním násobků jednotlivých rovnic redukovat jednotlivé proměnné, dokud nezbude poslední proměnná. • 2) Vypočtené proměnnou postupně dosazovat do redukovaných rovnic. 9 Dosazovací metoda, postup: • 1) Vyjádřit z první rovnice proměnou xi pomocí zbylých proměnných. • Metody pomocí matic Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Metody řešení soustav lineárních rovnic • Sčítací metoda, postup: • 1) Vhodným přičítáním násobků jednotlivých rovnic redukovat jednotlivé proměnné, dokud nezbude poslední proměnná. • 2) Vypočtené proměnnou postupně dosazovat do redukovaných rovnic. 9 Dosazovací metoda, postup: • 1) Vyjádřit z první rovnice proměnou xi pomocí zbylých proměnných. • 2) Dosadit získaný vztah do zbylých rovnic. • Metody pomocí matic Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Metody řešení soustav lineárních rovnic • Sčítací metoda, postup: • 1) Vhodným přičítáním násobků jednotlivých rovnic redukovat jednotlivé proměnné, dokud nezbude poslední proměnná. • 2) Vypočtené proměnnou postupně dosazovat do redukovaných rovnic. • Dosazovací metoda, postup: • 1) Vyjádřit z první rovnice proměnou xi pomocí zbylých proměnných. • 2) Dosadit získaný vztah do zbylých rovnic. 9 3) Opakovat krok 1) a 2) pro ostatní proměnné. • Metody pomocí matic Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Metody řešení soustav lineárních rovnic • Sčítací metoda, postup: • 1) Vhodným přičítáním násobků jednotlivých rovnic redukovat jednotlivé proměnné, dokud nezbude poslední proměnná. • 2) Vypočtené proměnnou postupně dosazovat do redukovaných rovnic. • Dosazovací metoda, postup: • 1) Vyjádřit z první rovnice proměnou xi pomocí zbylých proměnných. • 2) Dosadit získaný vztah do zbylých rovnic. • 3) Opakovat krok 1) a 2) pro ostatní proměnné. • Metody pomocí matic (aby jste věděli na co se těšit) □ ,gi - = = °s O Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Metody řešení soustav lineárních rovnic • Sčítací metoda, postup: • 1) Vhodným přičítáním násobků jednotlivých rovnic redukovat jednotlivé proměnné, dokud nezbude poslední proměnná. • 2) Vypočtené proměnnou postupně dosazovat do redukovaných rovnic. o Dosazovací metoda, postup: • 1) Vyjádřit z první rovnice proměnou x\ pomocí zbylých proměnných. • 2) Dosadit získaný vztah do zbylých rovnic. 3) Opakovat krok 1) a 2) pro ostatní proměnné. • Metody pomocí matic (aby jste věděli na co se těšit) • Gaussova eliminační metoda Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Metody řešení soustav lineárních rovnic • Sčítací metoda, postup: • 1) Vhodným přičítáním násobků jednotlivých rovnic redukovat jednotlivé proměnné, dokud nezbude poslední proměnná. • 2) Vypočtené proměnnou postupně dosazovat do redukovaných rovnic. o Dosazovací metoda, postup: • 1) Vyjádřit z první rovnice proměnou x\ pomocí zbylých proměnných. • 2) Dosadit získaný vztah do zbylých rovnic. 3) Opakovat krok 1) a 2) pro ostatní proměnné. • Metody pomocí matic (aby jste věděli na co se těšit) • Gaussova eliminační metoda • Cramerovo pravidlo Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Sčŕtacŕ metoda x + 2y + z =3 2x + 2y + 3z = 4 x + z = 2 2x + 4y =8 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Sčítací metoda X 2x x 2x + + + + 2y + 2y + 4y z 3z z 3 4 2 8 x + 2y + - 2y + - 2y z = z = 2z = 3 -2 -1 2 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Sčítací metoda X 2x x 2x + + + + 2y 2y 4y + z + 3z z x + 2y 2y + + z z z 2z 3 4 2 8 x + 3 -2 1 2 2y + 2y + 2y z = z = 2z = 3 -2 -1 2 □ g - = = ^O^O Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Sčŕtacŕ metoda x 2x x 2x + + + + x + 2y + 2y + 4y 2y 2y + + z 3z z z z z 2z 3 4 2 8 x + 3 -2 1 2 2y + 2y + 2y x + 2y 2y z z 2z + z + z z 0 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Sčŕtacŕ metoda x 2x x 2x + + + + 2y + 2y + 4y x + 2y 2y + + z 3z z z z z 2z 3 4 2 8 x + 3 -2 1 2 2y + 2y + 2y x + 2y 2y z z 2z + z + z z 0 x 2y z = — 1 -2 - z 3 - 2y - z y = 5 x = 3 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Dosazovací metoda x + 2y + z =3 2x + 2y + 3z = 4 x + z = 2 2x + 4y =8 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Dosazovací metoda X 2x x 2x + + + + 2y + 2y + 4y z 3z z 3 4 2 8 x = 3 — 2y — z Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Dosazovací metoda X 2x x 2x + + + + 2y + 2y + 4y z 3z z 3 4 2 8 x = 3 — 2y — z 2(3-2y-z) + 2y + 3z 3 - 2y - z + 2(3-2y-z) + 4y z = 4 2 8 □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Dosazovací metoda X 2x x 2x + + + + 2y + 2y + 4y z 3z z 3 4 2 8 x = 3 — 2y — z 2(3 -2y- z) + 2y + 3z 3 - 2y - z + 2(3-2y-z) + 4y 2y + 2y + z = 2z = -2 -1 2 z = 4 2 8 □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Dosazovací metoda x + 2y + z 2x + 2y + 3z x + z 2x + 4y = 3 =>- x = 3 — 2y — z = 4 = 2 = 8 2(3 -2y- z) + 2y + 3z = 4 3-2y-z + z = 2 2(3-2y-z) + 4y =8 - 2y + z = -2 - 2y + = -1 y = 5 - 2z = 2 □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Dosazovací metoda x + 2y + z 2x + 2y + 3z x + z 2x + 4y = 3 =>- x = 3 — 2y — z = 4 = 2 = 8 2(3 -2y- z) + 2y + 3z = 4 3-2y-z + z=2 2(3 -2y- z) + 4y =8 - 2y + z = -2 - 2y + = -1 y = \ - 2z = 2 z = -1 □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Dosazovací metoda x + 2y + z = 2x + 2y + 3z = x + z = 2x + 4y = 2(3 -2y- z) + 2y 3 - 2y - z + 2(3 -2y- z) + 4y - 2y + z = -2 - 2y + = -1 - 2z = 2 3 =>- x = 3 — 2y — z 4 2 8 + 3z = 4 z = 2 = 8 =^-2-| + (-l) = -2 = \ =>z = -l □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Dosazovací metoda x + 2y + z = 2x + 2y + 3z = x + z = 2x + 4y = 2(3 -2y- z) + 2y 3 - 2y - z + 2(3 -2y- z) + 4y - 2y + z = -2 - 2y + = -1 - 2z = 2 3 => x = 3 - 2y - z 4 x = 3_2-i-(-2 8 + 3z = 4 z = 2 = 8 =*-2-i + (-l) = -2 =*/ = i □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Dosazovací metoda X 2x x 2x + + + + 2y + 2y + 4y z 3z z 3 4 2 8 2(3 -2y- z) + 2y + 3z 3 - 2y - z + 2(3-2y-z) + 4y x = 3 — 2y — z x = 3-2-i-( x = 3 z = 4 2 8 2y + 2y + z = 2z = -2 -1 2 ^-2-±+ (-!) =-2 y = z = 2 1 2 -1 □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Matice - základní pojmy Maticí řádu m x n nazýváme obdélníkové schéma reálných čísel o m řádcích a n sloupcích. / 3ll 312 321 322 3ln \ 32n \ 3mi 3m2 ' ' ' 3mn J Matice značíme většinou velkými tučnými písmeny Řádky matice číslujeme shora Sloupce matice číslujeme zleva Čísla v matici nazýváme prvky matice Prvky matice označujeme odpovídajícími malými písmeny s řádkovým a sloupcovým indexem Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Matice - základní pojmy • Matice o jednom řádku/sloupci nazývame vektory • Vektory většinou značíme malými tučnými písmeny = ( 1 -2 2 ) • Matici o n řádcích a n sloupcích nazveme čtvercovou maticí řádu n 9 Prvky a,-,- matice A (prvky jejichž řádkový a sloupcový index se rovná) nazýváme diagonálními prvky • Všechny diagonální prvky matice A nazýváme hlavní diagonálou Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Speciální typy matic Jednotková matice - čtvercová matice, která má na hlavní diagonále 1 a ostatní prvky jsou 0. Značení E, nebo I, pokud chceme zdůraznit řád matice pak En, nebo ln • Matice ve schodovitém tvaru, je matice jejíž každý řádek začíná větším počtem 0 než řádek předcházející. 12-10 0 0 0 -1 0 0 0 3 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Speciální typy matic » Symetrická matice je matice jejíž prvky splňují podmínku V/,7 G {1,2,..., n}, au = ay, • Příklad: • Protipříklad: 1 2 -1 0 \ 2 1 0 -1 -1 0 5 4 v 0 -1 4 2 / 1 2 -1 7 \ 2 1 0 -1 -1 0 5 4 v 0 -1 4 2 / □ r3> — = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Operace s maticemi • Rovnost matic • Matice se rovnají pokud jsou stejného řádu a odpovídající prvky se rovnají B 1 2 -3 0 2 6 1 5 A ^ B a A ^ C • Sčítání matic • Matice lze sčítat, pokud jsou stejného řádu a výsledné prvky matice jsou součty odpovídajících si prvků původních matic. A + C l + (-l) 2+ (-3) -3 + 2 0 + 1 0 + 6 0 + 5 Odčítání analogicky 9 = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic • Násobení konstantou c £ IR • každý prvek se vynásobí konstantou c / 2 -1 \ / 4-2 4- (-1) \ / 8 -4 \ A = I —1 2 1 4A= 4(-l) 4-2 = -4 8 \ 1 2/ \ 4 - 1 4-2 / \ 4 8/ • Násobení matic Matici řádu rn x n lze zprava vynásobit maticí řádu n x o, výsledná matice je řádu m x o Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic • Násobení konstantou cGR • každý prvek se vynásobí konstantou c / 2 -1 \ / 4-2 4- (-1) \ / 8 A = I —1 2 1 4A= 4(-l) 4-2 = -4 \ 1 2/ \ 4 - 1 4-2 / \ 4 • Násobení matic Matici řádu rn x a? lze zprava vynásobit maticí řádu n x o, výsledná matice je řádu m x o Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic Násobení konstantou c e M • každý prvek se vynásobí konstantou c 2 -1 \ / 4-2 4- (-1) 2 | , 4-A = I 4- (-1) -1 1 4-1 4-2 4-2 Násobení matic Matici řádu m x n lze zprava vynásobit maticí řádu n x o, výsledná matice je řádu m x o 1 2 0 -1 3 -2 1 2-1 0 -1 -2 1-1 + 2-0 1-2 + 2-(-I) Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic Násobení konstantou c e M • každý prvek se vynásobí konstantou c 2 -1 \ / 4-2 4- (-1) 2 | , 4-A = I 4- (-1) -1 1 4-1 4-2 4-2 Násobení matic Matici řádu m x n lze zprava vynásobit maticí řádu n x o, výsledná matice je řádu m x o 1 2 0 -1 3 -2 1 2-1 0 -1 -2 1-1 + 2-0 1-2 + 2-(-I) 1 • (-1) + 2 • (-2) Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic Násobení konstantou c e M • každý prvek se vynásobí konstantou c 2 -1 \ / 4-2 4- (-1) -1 2 , 4-A = 4- (-1) 4-2 1 2 1 \ 4- 1 4-2 Násobení matic Matici řádu m x n lze zprava vynásobit maticí řádu n x o, výsledná matice je řádu m x o 1 2 0 -1 3 -2 1 2-1 0 -1 -2 1-1 + 2-0 l-2 + 2-(-l) 1 • (-1) + 2 • (-2) 0-1+ (-!)• 0 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic Násobení konstantou c e M • každý prvek se vynásobí konstantou c 2 -1 \ / 4-2 4- (-1) -1 2 , 4-A = 4- (-1) 4-2 1 2 1 \ 4- 1 4-2 Násobení matic Matici řádu m x n lze zprava vynásobit maticí řádu n x o, výsledná matice je řádu m x o 1 2 0 -1 3 -2 1 2-1 0 -1 -2 1-1 + 2-0 l-2 + 2-(-l) 1 • (-1) + 2 • (-2) 0-1+ (-!)• 0 0-2 + (-l)-(-l) Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic Násobení konstantou c e M • každý prvek se vynásobí konstantou c 2 -1 \ / 4-2 4- (-1) -1 2 , 4-A = 4- (-1) 4-2 1 2 1 \ 4- 1 4-2 Násobení matic Matici řádu m x n lze zprava vynásobit maticí řádu n x o, výsledná matice je řádu m x o 1 2 0 -1 3 -2 1-1 + 2-0 l-2 + 2-(-l) 1 • (-1) + 2 • (-2) 0-1+ (-!)• 0 0-2 + (-l)-(-l) 0-(-!) + (-!)-(-2) Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic Násobení konstantou c e M • každý prvek se vynásobí konstantou c 2 -1 \ / 4-2 4- (-1) -1 2 , 4-A = 4- (-1) 4-2 1 2 1 \ 4- 1 4-2 Násobení matic Matici řádu m x n lze zprava vynásobit maticí řádu n x o, výsledná matice je řádu m x o 1 2 0 -1 3 -2 1-1 + 2-0 0-l + (-l)-0 3-l + (-2)-0 l-2 + 2-(-l) 0-2 + (-l)-(-l) 1 • (-l) + 2- (-2) 0. (-!) + (-!). (-2) Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic Násobení konstantou c e M • každý prvek se vynásobí konstantou c 2 -1 \ / 4-2 4- (-1) -1 2 , 4-A = 4- (-1) 4-2 1 2 1 \ 4- 1 4-2 Násobení matic Matici řádu m x n lze zprava vynásobit maticí řádu n x o, výsledná matice je řádu m x o 1 2 0 -1 3 -2 1-1 + 2-0 0-l + (-l)-0 3-l + (-2)-0 l-2 + 2-(-l) 0-2 + (-l)-(-l) 3-2 + (-2)-(-l) 1 • (-l) + 2- (-2) 0. (-!) + (-!). (-2) Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic Násobení konstantou c e M • každý prvek se vynásobí konstantou c 2 -1 \ / 4-2 4- (-1) -1 2 , 4-A = 4- (-1) 4-2 1 2 1 \ 4- 1 4-2 Násobení matic Matici řádu m x n lze zprava vynásobit maticí řádu n x o, výsledná matice je řádu m x o 1 2 0 -1 3 -2 1-1 + 2-0 0-1+ (-1) 3-1+ (-2) l-2 + 2-(-l) 1 • (-1) + 2 • (-2) 0 0-2 + (-l)-(-l) 0-(-l) + (-l)-(-2) 0 3-2 + (-2)-(-l) 3 •(-!) +(-2)-(-2) □ i5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic • Násobení matic není komutativní A • B ^ B • A • Příklad: A = ( 1 -1 ) B = 1 -1 A • B = (1 • 1 + (-1) • (-1)) = 2 Jednoprvková matice je „číslo" BA 1-1 1 • (-1) \ _ f 1 (-l)-l (-l)-(-l) )-{-! □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic - příklady v 7 \ 1 o o Proveďte a ■ b □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic - příklady 1 2 3 \ ,012 a=[ _ : \ . e = -2 -i -i -2 2 -1 Proveďte 4 • B 1-0 + 2 -(-2) + 3-1 1 0 o Proveďte B ■ A □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic - příklady 1 2 3 \ ,012 a=[ _ : \ . e = -2 -i -i -2 2 -1 1 0 0 Proveďte a ■ b 1-0 + 2 -(-2) + 3-1 1-1 + 2-(-I)+ 3-0 Proveďte b ■ a □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic - příklady A = 12 3 -2 2 -1 Proveďte A ■ B l-0 + 2-(-2) + 3-l 1- 1 + 2- (-1) + 3-0 l-2 + 2-(-l) + 3 Proveďte B ■ A Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic - příklady A = 1 2 3 -2 2 -1 Proveďte A • B 1 • 0 + 2 • (-2) + 3-1 1 • 1 + 2 • (-1) + 3-0 1 • 2 + 2 • (-1) + 3-0 -2 • 0 + 2 • (-2) + (-1) -1 -2 • 1 + 2 • (-1) + (-1) • 0 Proveďte B • A Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic - příklady Proveďte A • B 1 • 0 + 2 • (-2) + 3-1 1 • 1 + 2 • (-1) + 3-0 1 • 2 + 2 • (-1) + 3-0 -2 • 0 + 2 • (-2) + (-1) -1 -2 • 1 + 2 • (-1) + (-1) -0 -2 • 2 + 2 • (-1) + (-1) • 0 Proveďte B • A Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic - příklady Proveďte A • B 1 • 0 + 2 • (-2) + 3-1 1 • 1 + 2 • (-1) + 3-0 1 • 2 + 2 • (-1) + 3-0 -2 • 0 + 2 • (-2) + (-1) -1 -2 • 1 + 2 • (-1) + (-1) -0 -2 • 2 + 2 • (-1) + (-1) • 0 Proveďte B • A Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Násobení matic - příklady Proveďte A • B 1 • 0 + 2 • (-2) + 3-1 1 • 1 + 2 • (-1) + 3-0 1 • 2 + 2 • (-1) + 3-0 -2 • 0 + 2 • (-2) + (-1) -1 -2 • 1 + 2 • (-1) + (-1) -0 -2 • 2 + 2 • (-1) + (-1) • 0 Proveďte B • A Nelze Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Transponování matic • Transponování matic • „Prohození indexů u prvků matic." • A = (síj), transponovaná matice A7" = [ají) • Příklad: o Vztahy pro transponování matic • (AT)T = A o (A + B)T = AT + BT • (A-B)T = BT-AT □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinant • Determinant je číslo přiřazené matici, které je definované jen pro čtvercové matice • značení |A|, det(A) 9 podle hodnoty determinantu rozděluje na singulární (|A| = 0) a regulární (|A| 7^ 0) • ukazuje zda jsou řádky/sloupce matice nezávislé (kombinací ostatních řádků/sloupců) singulární matice má závislé řádky/sloupce 1 0 2 0 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Výpočet determinantu Sarrusovo pravidlo • Matice řádu 2x2 • Matice řádu 3x3 2 3 -1 2 1-10 2 13 1 2 1 • Nelze použít na větší matice! Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Výpočet determinantu Sarrusovo pravidlo • Matice řádu 2x2 Matice řádu 3x3 2 3 -1 2 = 2-2 1-10 2 13 1 2 1 • Nelze použít na větší matice! Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Výpočet determinantu Sarrusovo pravidlo • Matice řádu 2x2 2 3 -1 2 = 2-2-(3 ■(-!)) Matice řádu 3x3 1-10 2 13 1 2 1 • Nelze použít na větší matice! □ ÚP Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Výpočet determinantu Sarrusovo pravidlo • Matice řádu 2x2 2 3 -1 2 = 2-2-(3 •(-!)) Matice řádu 3x3 1 2 1 1 0 1 3 2 1 • Nelze použít na větší matice! □ ÚP Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Výpočet determinantu Sarrusovo pravidlo • Matice řádu 2x2 2 3 -1 2 Matice řádu 3x3 = 2-2-(3-(-1)) = 4-(-3) 1-10 2 13 1 2 1 • Nelze použít na větší matice! □ ÚP Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Výpočet determinantu Sarrusovo pravidlo • Matice řádu 2x2 2 3 -1 2 Matice řádu 3x3 = 2-2-(3 ■(-!)) = 4-(-3) = 7 1 2 1 1 2 -1 0 1 3 2 1 -1 0 1 3 • Nelze použít na větší matice! □ > T) c^ O Vlastnosti determinantu • Záměna řádku/sloupce • Po výměně dvou řádů se změní znaménko determinantu 1 0 0 1 0 1 1 0 Vynásobení řádku konstantou • Po vynásobení řádku matice A konstantou c se determinant nové matice rovná c • A 2 • Hodnota determinantu se nezmění pokud k řádku přičteme násobek jiného řádku 1 0 2 0 0 1 0 1 1 0 6 1 0 1 5 1 □ i5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 3-12 2 0-1 10 1 112 -2 11 -12 3 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 1 o 2 2 1 3 = !•(-!)-(-I) 3-12 2 0-1 10 1 112 -2 11 -12 3 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 1 2 O 1 2 3 = !•(-!)• (-l) + 0-3-(-l) 3-12 2 0-1 10 1 112 -2 11 -12 3 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 = 1 • (-1) • (-1) + 0 • 3 • (-1) + 2 • 2 • 3 - (-1 • 1 • 2 3-12 2 0-1 10 1 112 -2 11 -12 3 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 = 1 • (-1) • (-1) + 0 • 3 • (-1) + 2- 2- 3- (-1 • 1 • 2 + 3 • 3 • 1 3-12 2 0-] 10 1 112 -2 11 -12 3 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l) + 2-2-3-(-l-l-2+3-3-l + (-l)-2-0) 3-12 2 0-] 10 1 112 -2 11 -12 3 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l)+2-2-3-(-M-2+3-3-l+(-l)-2-0) 3-12 2 0-] 10 1 112 -2 11 -12 3 □ i5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l)+2-2-3-(-l-l-2+3-3-l+(-l)-2-0) 3 2 1 0 -1 0 1 112 -2 11 -12 3 = 3-0-1 □ r5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l)+2-2-3-(-l-l-2+3-3-l+(-l)-2-0) 3 -] 2 0 1 0 = 3-0-1 + 2-0-2 112 -2 11 -12 3 □ i5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l)+2-2-3-(-l-l-2+3-3-l+(-l)-2-0) 3-12 2 0-1 10 1 = 3-0-1 + 2-0-2 + 1-(-I)-(-I) 112 -2 11 -12 3 □ i5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady -i 3 -1 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l)+2-2-3-(-l-l-2+3-3-l+(-l)-2-0) -1 2 O -1 O 1 = 3- 0- l + 2- 0- 2 + l- (-1) • (-1) - (2 • O • 1 112 -2 11 -12 3 □ i5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 3-12 2 0-1 10 1 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l)+2-2-3-(-M-2+3-3-l+(-l)-2-0) = 3- 0-1 + 2.0-2 + 1- (-1) • (-1) - (2 • 0 • 1 + (-1) • 0 112 -2 11 -12 3 □ i5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 3-12 2 0-1 10 1 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l)+2-2-3-(-M-2+3-3-l+(-l)-2-0) = 4 = 3-0-l+2-0-2+l-(-l)-(-l)-(2-0-l + (-l)-0-3 + l-(-l)-2) 112 -2 11 -12 3 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 3-12 2 0-1 10 1 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l)+2-2-3-(-M-2+3-3-l+(-l)-2-0) = 3-0-l+2-0-2+l-(-l)-(-l)-(2-0-l+(-l)-0-3+l-(-l)-2) 112 -2 11 -12 3 □ rSP - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 3-12 2 0-1 10 1 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l)+2-2-3-(-l-l-2+3-3-l+(-l)-2-0) = 3-0-l+2-0-2+l-(-l)-(-l)-(2-0-l+(-l)-0-3+l-(-l)-2) 112 -2 11 -12 3 = 1-1-3 □ r5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 3-12 2 0-1 10 1 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l)+2-2-3-(-M-2+3-3-l+(-l)-2-0) = 3-0-l+2-0-2+l-(-l)-(-l)-(2-0-l+(-l)-0-3+l-(-l)-2) 112 -2 11 -12 3 = 1-1-3+ (-2)- 2-2 □ i5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l)+2-2-3-(-M-2+3-3-l+(-l)-2-0) 3 -1 2 0 1 0 = 3-0-l+2-0-2+l-(-l)-(-l)-(2-0-l+(-l)-0-3+l-(-l)-2) 112 -2 11 -12 3 = l-l-3 + (-2)-2-2 + (-l)-l-l □ rSP - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 3-12 2 0-1 10 1 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l)+2-2-3-(-M-2+3-3-l+(-l)-2-0) = 3-0-l+2-0-2+l-(-l)-(-l)-(2-0-l+(-l)-0-3+l-(-l)-2) 112 -2 11 -12 3 = 1 • 1 • 3 + (-2) • 2 • 2 + (-1) • 1 • 1 - (2 • 1 • (-1) □ i5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 3-12 2 0-1 10 1 112 -2 11 -12 3 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l)+2-2-3-(-l-l-2+3-3-l+(-l)-2-0) = 3-0-l+2-0-2+l-(-l)-(-l)-(2-0-l+(-l)-0-3+l-(-l)-2) = 1 • 1 • 3 + (-2) • 2 • 2 + (-1) • 1 • 1 - (2 • 1 • (-1) + 1-2 □ i5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 3-12 2 0-1 10 1 112 -2 11 -12 3 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l)+2-2-3-(-M-2+3-3-l+(-l)-2-0) = 4 = 3-0-l+2-0-2+l-(-l)-(-l)-(2-0-l+(-l)-0-3+l-(-l)-2) = 3 = M-3 + (-2)-2-2 + (-l)-M-(2-l-(-l) + l-2-l + 3-l-(-2)) Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Determinanty-Příklady 12-1 0 13 2 3-1 3-12 2 0-1 10 1 112 -2 11 -12 3 = l-(-l)-(-l)+0-3-(-l)+2-2-3-(-M-2+3-3-l+(-l)-2-0) = 3-0-l+2-0-2+l-(-l)-(-l)-(2-0-l+(-l)-0-3+l-(-l)-2) = M-3+(-2)-2-2+(-l)-M-(2-l-(-l) + l-2-l+3-l-(-2)) □ rSP - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Hodnost matice o Značení - h(A) 9 Udává počet lineárně nezávislých řádků • Hodnost matice zjistíme převedením matice na schodovitý tvar pomocí ekvivalentních řádkových úprav na schodovitý tvar, počet nenulových řádků udává hodnost matice • Mezi elementární řádkové úpravy patří: • Výměna pořadí řádků • Vynásobení řádku konstantou • Přičítání / odčítání dvou řádků matice Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Hodnost matice - příklad -4 • [1] -7- [1] V 0 -6 -12 / -2- [2] / 1 2 3 ° -3 -6 -6 -12 1 2 3 \ 0 -3 0 0 0 / Hodnost matice h(A) = 2 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Řešení soustav rovnic pomocí matic 9 Soustavy lineárních rovnic je možné zapsat pomocí rozšířené matice / 3n 3i2 321 322 3\n 32 n \ 3mi 3m2 ' ' ' 3 mn b2 'm / 9 Zkráceně (^Ä • Metody řešení • Gaussova eliminační metoda (univerzální, ekvivalent součtové metody) • Cramerovo pravidlo (jen v případech, kdy matice A je čtvercová) Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Frobeniova věta Soustava má (alespoň jedno) řešení právě tehdy, když se hodnost matice h(A) rovná hodnosti rozšířené matice soustavy h(A), tedy když: O Soustava s n neznámými má jediné řešení právě tehdy, když platí /?(A) = /?(Á) = n O Soustava s n neznámými nemá žádné řešení právě tehdy, když platí h(A) ŕ h(Ä) Q Soustava s n neznámými má nekonečně mnoho řešení právě tehdy, když platí /?(A) = /?(Á) < n Řešení existuje nekonečně mnoho závislých na (r? — /i(A)) parametrech. Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Gaussova eliminační metoda - příklad Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Gaussova eliminační metoda - příklad Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Gaussova eliminační metoda - příklad Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Gaussova eliminační metoda - příklad Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Gaussova eliminační metoda - příklad Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Gaussova eliminační metoda - příklad Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Gaussova eliminační metoda - příklad i 11 2-10 1 2 3 0 -3 0 3 1 -2 4 Zbylý postup jako u sčítací metody. Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Gaussova eliminační metoda - příklad i 11 2-10 1 2 3 0 -3 0 3 1 -2 4 Zbylý postup jako u sčítací metody. 2x3 = 2 X3 = 1 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Gaussova eliminační metoda - příklad i 11 2-10 1 2 3 Zbylý postup jako u sčítací metody. 2x3 = 2 X3 = 1 -3x2 -2-1 = 1=^ 3x2 = -3 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Gaussova eliminační metoda - příklad i 11 2-10 1 2 3 Zbylý postup jako u sčítací metody. 2x3 = 2 X3 = 1 -3x2 - 2 • 1 = 1 =>• 3x2 = -3 xi+ (-!) + ! = 2^ xi = 2 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Gaussova eliminační metoda - příklad i 11 2-10 1 2 3 Zbylý postup jako u sčítací metody. 2x3 = 2 X3 = 1 -3x2 - 2 • 1 = 1 =>• 3x2 = xi + (-l) + l = 2^ xi = [xi;x2;x3] = [2; -1; 1] -3 2 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Cramerovo pravidlo Metoda spočívá v postupném počítání determinantů xi = x2 = , x3 = Kde matice Ai, A2, A3 vyniknou záměnou pravé strany (vektoru b) za sloupec s odpovídajícím indexem 2 1 1 \ / 1 2 1 \ / 1 5 -1 0 , A2 2 5 0 , A3 2 --1 2 3/ 1-1-13/ \ -1 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Cramerovo pravidlo - dopočítání 1 1 1 A — 2 -1 0 -1 2 3 2 1 1 Ai — 5 -1 0 -1 2 3 1 2 1 A2 — 2 5 0 -1 -1 3 1 1 2 A3 — 2 -1 5 -1 2 -1 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Cramerovo pravidlo - dopočítání 1 2 1 1 1 -1 0 2 3 = -3 + 4 + 0-(1 + 0 + 6) = 2 5 1 1 2 1 1 2 1 1 1 -1 0 2 3 2 5 -1 1 -1 2 1 0 3 2 5 -1 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Cramerovo pravidlo - dopočítání 1 2 1 1 1 1 0 2 3 = -3 + 4 + 0 - (1 + 0 + 6) = -6 2 5 1 1 2 1 1 2 1 1 1 -1 0 2 3 2 5 -1 1 -1 2 1 0 3 2 5 -1 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Cramerovo pravidlo - dopočítání 1 11 2-10 -1 2 3 2 11 5-10 -1 2 3 = -3+ 4 + 0-(1 + 0 +6) = - = -6 +10 + 0-(1 + 0 +15) 1 2 1 2 5 0 -1 -1 3 112 2-1 5 -1 2 -1 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Cramerovo pravidlo - dopočítání 1 2 -1 2 5 -1 1 1 -1 0 2 3 1 1 -1 0 2 3 = -3 + 4 + 0-(1 + 0 + 6) = -6 +10 + 0-(1 + 0 +15) 1 2 1 2 5 0 -1 -1 3 112 2-1 5 -1 2 -1 □ |5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Cramerovo pravidlo - dopočítání 1 i i 2 -1 0 -1 2 3 2 1 1 5-10 -1 2 3 1 2 1 2 5 0 -1 -1 3 = -3 + 4 + 0 - (1 + 0 + 6) = -6 = -6 + 10 + 0 - (1 + 0 + 15) = -12 = 15 + (-2) + 0 - (-5 + 0 + 12) = 112 2-1 5 -1 2 -1 □ l5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Cramerovo pravidlo - dopočítání -i 2 5 -1 1 2 ■1 1 11 2-10 2 3 = -3 + 4 + 0 - (1 + 0 + 6) = -6 1 1 -1 0 2 3 2 1 5 0 -1 3 = -6 + 10 + 0 - (1 + 0 + 15) = -12 = 15 + (-2) + 0 - (-5 + 0 + 12) = 6 112 2-1 5 -1 2 -1 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Cramerovo pravidlo - dopočítání 1 11 2-10 -1 2 3 2 11 5-10 -1 2 3 1 2 1 2 5 0 -1 -1 3 112 2-1 5 1 2 -1 = -3 + 4 + 0 - (1 + 0 + 6) = -6 = -6 + 10 + 0 - (1 + 0 + 15) = -12 = 15 + (-2) + 0 - (-5 + 0 + 12) = 6 = 1 + 8 + (-5) - (2 + 10 + (-2)) = □ i5P - = Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Cramerovo pravidlo - dopočítání 1 i i 2-10 -1 2 3 2 1 1 5-10 -1 2 3 1 2 1 2 5 0 -1 -1 3 1 1 2 2-1 5 1 2 -1 = -3 + 4 + 0 - (1 + 0 + 6) = -6 = -6 + 10 + 0 - (1 + 0 + 15) = -12 = 15 + (-2) + 0 - (-5 + 0 + 12) = 6 = 1 + 8 + (-5) - (2 + 10 + (-2)) = -6 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Cramerovo pravidlo - dopočítání 1 2 -1 1 11 2-10 -1 2 3 2 11 5-10 -1 2 3 1 2 1 2 5 0 1 -1 3 1 2 -1 5 2 -1 = -3 + 4 + 0 - (1 + 0 + 6) = -6 = -6 + 10 + 0 - (1 + 0 + 15) = -12 = 15 + (-2) + 0 - (-5 + 0 + 12) = 6 = 1 + 8 + (-5) - (2 + 10 + (-2)) = -6 xi = 12 6 = 2; x2 = -6 -6 i ~6 i l;x3 = — = 1 —6 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Řřešený príklad - parametr Řešte soustavu rovnic 1-1 2 10 1 2 -1 -1 Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Řřešený príklad - parametr Řešte soustavu rovnic Schodovitý tvar matice 1-1 2 10 1 2 -1 -1 1 2 1 -1 0 0 □ i5P Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Řřešený príklad - parametr Řešte soustavu rovnic Schodovitý tvar matice 1 0 1 1 1 0 2 1 1 2 1 0 Hodnost matice h(A) = h(A) = 2, tedy soustava má řešení Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice Řřešený príklad - parametr Řešte soustavu rovnic Schodovitý tvar matice 1 0 1 1 1 0 2 1 1 2 1 0 Hodnost matice h(A) = h(A) = 2, tedy soustava má řešení Proměnné jsou 3, je potřeba zvolit 3-2=1 parametr, parametr volíme na řádku, kde „přibylo" více proměnných než 1 (tedy y, nebo z) z=řGK^y = l + ř x-(l + ŕ) + 2ŕ = 3^x = 4- ŕ Lukáš Kokrda Soustavy lineárních rovnic a matice