MPE_VPAM: Průběžný test - VZOR
1. (4b.) Vyřešte diferenciální rovnici s počátečními podmínkami: (x − 1)y + y2 = 0, kde y(2) = −1.
2. (2b.) Log–linearizujte produkční funkci yt = An1−α
t okolo nenulového ustáleného stavu tak, aby výsledná
log–linearizovaná rovnice byla v odchylkách od ustáleného stavu. Hodnoty ustáleného stavu značte *
tzn. x0 = x∗, odchylky od ustáleného stavu ˆxt. Značení: yt značí produkt, A značí konstantní úroveň
technologie, nt pracovní sílu a 1 − α, kde α ∈ (0, 1) je marginální (mezní) produkt práce.
3. (4b.) Mějme zadánu matici A =


2 1 0
1 −2 0
0 0 4

 . Určete vlastní čísla matice A. Vypočtěte hodnost, determinant
a stopu matice A. Určete definitnost matice A.
4. (3b.) Zjednodušený model národních příjmů lze zapsat jako:
Y = C + I + G,
C = a + bY,
kde národní příjem (Y) a spotřeba (C) jsou endogenní veličiny a investice (I) a vládní výdaje (G) jsou
exogenní veličiny. Parametry a a b ve spotřební funkci reprezentují autonomní spotřebu a mezní sklon ke
spotřebě.
(a) Zapiště model pomocí matice koeficientů o velikosti 2 × 2, vektoru endogenních proměnných o velikosti
2 × 1 a vektoru konstant o velikosti 2 × 1 (I + G považujte za jednu konstantu).
(b) Tento model může být také zapsán jako Ax = y, kde A je matice koeficientů, x je vektor endogenních
proměnných a y je vektor konstant. S pomocí známého faktu, že x = A−1y nalezněte řešení tohoto
systému rovnic.
5. (4b.) Mějme zadánu produkční funkci f (x1, x2, x3) = x
1
2
1 x
1
4
2 x
1
4
3 , x ∈ R3
++.
(a) Sestavte gradient funkce f
(b) Sestavte Hessovu matici
(c) Sestavte rozšířenou Hessovu matici
(d) Určete stupeň homogenity funkce f.
6. (3b.) Rozhodněte (výpočtem) o kvazikonkávnosti a poté o konkávnosti funkce
f (x1, x2) = x
1
2
1 x
1
4
2 , x ∈ R2
++.
1