Optimalizace a rozhodování, Zadání případových
studií 2024
1. Zpracování rostlinných a minerálních olejů
Finální produkt je vyráběn zpracováním surových olejů a jejich smícháním. Surové oleje
patří do dvou kategorií: rostlinné oleje (VEG 1, VEG 2) a minerální oleje (MIN 1, MIN 2,
MIN 3). Každý olej lze zakoupit pro okamžité doručení (leden) nebo zakoupit na futures
trhu pro dodání v následujícím měsíci. Ceny nyní a na futures trhu jsou následující (£/tuna):
Olej Leden Únor Březen Duben Květen Červen
VEG 1 110 130 110 120 100 90
VEG 2 120 130 140 110 120 100
MIN 1 130 110 130 120 150 140
MIN 2 110 90 100 120 110 80
MIN 3 115 115 95 125 105 135
Konečný výrobek se prodává za £150 za tunu. Pro rafinaci potřebují rostlinné oleje a
minerální oleje různé výrobní linky. V žádném měsíci není možné rafinovat více než 200
tun rostlinných olejů a více než 250 tun minerálních olejů. V procesu rafinace nedochází
ke ztrátě váhy a náklady na rafinaci lze zanedbat. Je možné skladovat až 1000 tun každého
surového oleje pro pozdější použití. Náklady na skladování rostlinného i minerálního oleje
činí £5 za tunu za měsíc. Rafinované oleje ani konečný výrobek nelze skladovat.
Existuje technologické omezení viskozity konečného výrobku. V jednotkách, ve kterých
se viskozita měří, musí být výsledná hodnota mezi 3 a 6. Předpokládá se, že viskozita se
lineárně mísí a viskozity surových olejů jsou
Typ Hodnota
VEG 1 8,8
VEG 2 6,1
MIN 1 2,0
MIN 2 4,2
MIN 3 5,0
Jakou politiku nákupu a výroby by měla společnost uplatňovat, aby maximalizovala
zisk? V současné době je na skladě 500 tun každého druhu surového oleje. Je požadováno,
aby tyto zásoby existovaly také ke konci června.
Je třeba uplatnit následující dodatečné podmínky na problém výroby potravin:
1. Výsledný produkt nesmí být složen z více než tří olejů (v žádném měsíci).
2. Pokud je olej použit v daném měsíci, musí ho být použito alespoň 20 tun.
3. Pokud jsou v měsíci použity oleje VEG 1 nebo VEG 2, musí být také použit olej MIN 3.
Rozšiřte model výroby potravin tak, aby zahrnoval tyto omezení a najděte nové optimální
řešení.
1
2. Plánování výroby
Strojírenská továrna vyrábí sedm výrobků (PROD 1 až PROD 7) na následujících strojích:
čtyři brusky, dvě svislé vrtačky, tři vodorovné vrtačky, jeden vrták a jedna hoblovací fréza.
Každý výrobek přináší určitý příspěvek k zisku (definovaný jako £/kus prodejní ceny minus
náklady na suroviny). Tyto částky (v £/kus) spolu s časem výroby na jednotku (hodiny)
potřebným na každý proces jsou uvedeny níže. Pomlčka značí, že výrobek tento proces ne-
potřebuje.
PROD 1 2 3 4 5 6 7
Příspěvek k zisku 10 6 8 4 11 9 3
Bruska 0,5 0,7 0,3 0,2 0,5 - Vertikální
vrtačky 0,1 0,2 0,3 - 0,6 - Horizontální
vrtačky 0,2 - 0,8 - 0,6 - Vrták
0,05 - 0,03 0,07 - 0,1 0,08
Hoblovací fréza 0,01 - 0,05 - - 0,05 V
průběhu aktuálního měsíce (leden) a následujících pěti měsíců budou určité stroje z
důvodu údržby mimo provoz. Konkrétně to budou:
• Leden: 1 bruska
• Únor: 2 horizontální vrtačky
• Březen: 1 vrták
• Duben: 1 vertikální vrtačka
• Květen: 1 bruska a 1 vertikální vrtačka
• Červen: 1 hoblovací fréza a 1 horizontální vrtačka
Podle oddělení marketingu se v jednotlivých měsících prodají následující množství pro-
duktů:
1 2 3 4 5 6 7
Leden 500 1000 300 300 800 200 100
Únor 600 500 200 0 400 300 150
Březen 300 600 0 0 500 400 100
Duben 200 300 400 500 200 0 100
Květen 0 100 500 100 1000 300 0
Červen 500 500 100 300 1100 500 60
Je možné skladovat až 100 kusů od každého produktu za cenu £0,5 za kus měsíčně. V
současné době nejsou skladovány žádné zásoby, ale cílem je mít na konci června zásobu 50
kusů každého typu produktu. Továrna má šestidenní pracovní týden se dvěma směnami
po osmi hodinách denně. Není třeba řešit žádné problémy s řazením výroby. Kdy a co by
měla továrna vyrábět, aby maximalizovala celkový zisk? Doporučte jakékoli zvýšení cen a
hodnotu nákupu nových strojů. Rozšiřte model tak, aby umožnil tato dodatečná rozhodnutí.
Jaká je hodnota dodatečné flexibility, kterou umožňuje volba dob odstávky?
Poznámka: Lze předpokládat, že každý měsíc má pouze 24 pracovních dnů. Místo toho,
aby bylo direktivně stanoveno, kdy jsou jednotlivé stroje vypnuty kvůli údržbě, zkuste pro
každý stroj najít nejvhodnější měsíc, kdy bude může být mimo provoz. Každý stroj musí být
mimo provoz kvůli údržbě jeden měsíc ze šesti, s výjimkou brusek, u kterých musí být za
šest měsíců mimo provoz jen dvě.
2
3. Plánování pracovní síly
Společnost prochází řadou změn, které ovlivní její potřeby v oblasti pracovní síly v následujících
letech. Vzhledem k instalaci nových strojů bude zapotřebí méně nekvalifikovaných
pracovníků, ale naopak bude potřeba více kvalifikovaných a polokvalifikovaných pracovníků.
Kromě toho se v příštím roce očekává pokles obchodu, což sníží potřebu pracovníků
ve všech kategoriích. Očekávané potřeby v oblasti pracovní síly pro příští tři roky jsou ná-
sledující:
Kategorie Nekvalifikovaní Polokvalifikovaní Kvalifikovaní
Stávající stav 2000 1500 1000
Rok 1 1000 1400 1000
Rok 2 500 2000 1500
Rok 3 0 2500 2000
Společnost si přeje pro příští tři roky rozhodnout o své politice týkající se následujících
oblastí personální práce: Nábor, Přeškolování, Propouštění, Nadzaměstnanost, Kratší pracovní
doba.
Nad rámec personální strategie firmy dochází k přirozenému úbytku pracovní síly. Poměrně
velké množství pracovníků odejde během prvního roku. Po této době je tato míra
mnohem nižší. S ohledem na to mohou být míry úbytku stanoveny následovně:
Kategorie Nekvalifikovaní Polokvalifikovaní Kvalifikovaní
Méně než rok služby 25% 20% 10%
Více než rok služby 10% 5% 5%
V poslední době nebyly provedeny žádné nábory a všichni současní pracovníci jsou zaměstnáni
déle než jeden rok.
1) Nábor
Je možné nabrat omezený počet nových pracovníků. V průběhu jednoho roku jsou možné
následující počty náborů v každé kategorii:
Kategorie Nekvalifikovaní Polozkušení Zkušení
Nábor 500 800 500
2) Překvalifikování
Je možné překvalifikovat až 200 nekvalifikovaných pracovníků ročně tak, aby se stali polokvalifikovanými.
Toto stojí £400 na každého pracovníka. Přeškolení polokvalifikovaných
pracovníků na kvalifikované je omezeno na nejvýše čtvrtinu kvalifikované pracovní síly,
protože část školení probíhá v průběhu práce. Překvalifikace polokvalifikovaného pracovníka
tímto způsobem stojí £500. Degradace pracovníků na nižší úroveň kvalifikace je možná,
ale 50% takových pracovníků odchází, i když to firmu nic nestojí (Tato ztráta je navíc k přirozenému
odchodu popsanému výše).
3) Propouštění
Odchodné pro nekvalifikovaného pracovníka činí £200 a pro polokvalifikovaného nebo kvalifikovaného
pracovníka £500.
4) Nadzaměstnanost
V celé firmě je možné zaměstnat až 150 pracovníků navíc, než je potřeba, ale dodatečné
náklady na zaměstnance za rok na jednoho pracovníka jsou:
Nekvalifikovaní Polokvalifikovaní Kvalifikovaní
£1500 £2000 £3000
3
5) Kratší pracovní doba
Až 50 pracovníků v každé kategorii dovedností může být zařazeno do krátkého pracovního
režimu. Náklady na toto (na zaměstnance za rok) jsou:
Nekvalifikovaní Polokvalifikovaní Kvalifikovaní
£500 £400 £400
Zaměstnanec v zkráceném pracovním režimu plní pracovní požadavky ve výši 50 %
úrovně zaměstnance na plný úvazek. Deklarovaným cílem společnosti je minimalizovat propouštění.
Jak by měli postupovat, aby tohoto dosáhli? Pokud by jejich politika byla minimalizovat
náklady, kolik by jim to ušetřilo navíc? Odvoďte pro každý rok náklady na zachování
všech jednotlivých typů práce.
4
4. Rozdělení lékařů na směny v nemocnici
Představme si nemocnici, ve které na pohotovosti pracuje 60 lékařů. Lékaři pracují v třísměnném
provozu, směny jsou osmihodinové. Pro jednoduchost předpokládejme, že směny začínají
vždy o půlnoci (směna 1), v 8:00 (směna 2) a v 16:00 (směna 3). Vedení nemocnice se
chystá vytvořit optimální plán směn tak, aby využilo co nejméně lékařů. Z dlouhodobého
pozorování vedení zná minimální počet zaměstnanců, kteří musí být přítomni na jednotlivých
směnách. Ten je uveden v tabulce
Směna PO ÚT ST ČT PÁ SO NE
1 9 3 4 4 3 10 12
2 7 9 14 8 7 15 15
3 7 11 10 9 11 12 13
Lékaři si u vedení nemocnice za pomoci odborů vydobyli následující podmínky:
1. Pracovat vždy 4 po sobě jdoucí dny v týdnu a poté 3 po sobě jdoucí dny nepracovat.
2. Ve čtyřech po sobě následujících dnech pracovat vždy na stejné směně (např. 4x za
sebou mít směnu 1).
Sestavte a vyřešte lineární úlohu, kterou řeší vedení nemocnice. Vedení chce najít dlouhodobý
rozvrh, podle kterého se budou směny řídit, ne pouze rozvrh na jeden týden. Vedení
tak při řešení počítá s tím, že na pondělní směně pracují lékaři, kteří začali čtyřdenní směnu
minulý týden. Jejich cílem je minimalizovat množství zaměstnanců, kteří pokryjí potřebné
minimální počty. Tuto úlohu lze formulovat i tak, že chceme minimalizovat náklady na
platy zaměstnanců, nechceme tedy, aby v době, kdy potřebujeme 12 zaměstnanců jich na
pracovišti bylo např. 20.
Ve druhé části příkladu budete řešit situaci, ve které jsou zaměstnanci dvou různých
typů. Vzhledem k propukající epidemii hlásí nemocnice mírný nárůst počtů pacientů, a
tedy i počtů lékařů potřebných na jednotlivých směnách. Tyto počty jsou uvedeny v tabulce
Směna PO ÚT ST ČT PÁ SO NE
1 9 3 3 5 5 15 12
2 7 9 15 8 7 15 15
3 7 11 10 9 12 12 13
Nárůst požadavků na lékaře není prozatím nijak závratný, jejich maximální počet se však
snížil na 45, neboť někteří jsou kvůli pobytu v rizikových oblastech nyní uzavřeni v domácí
karanténě. Místní univerzita však nemocnici nabídla studenty lékařské fakulty, kteří mohou
vypomáhat. Studentů je k dispozici 100. Studenty, na rozdíl od stálých zaměstnanců, najímá
nemocnice pouze na jednotlivé směny, a mohou pracovat bez dalších omezení.
Jediné bezpečnostní omezení, které nemocnice vyžaduje, je, aby studenti na všech směnách
tvořili maximálně jednu třetinu ze všech potřebných lékařů. V této části se již nebudeme
snažit minimalizovat celkový počet zaměstnanců, ale celkové náklady na ně. Mzdu
všech lékařů i studentů uvádíme ve stejných jednotkách. Mzda jednoho zaměstnance je 42
(za 4 směny), studenti dostanou 8 za práci na směně 1 nebo směně 2 a 14 za práci na směně
3. Sestavte úlohu, která odpovídá druhé části příkladu a vyřešte ji.
5
5. Bankovní rozhodování o spotřebitelských úvěrech
Banka má momentálně k dispozici 50 milionů Kč, které chce buď investovat do státních dluhopisů
nebo vypůjčit klientům, jejichž poptávka po spotřebitelských úvěrech je v současné
době velmi vysoká. Investování do státních dluhopisů je v podstatě bezrizikové, úvěrování
je však pro banku mnohem výnosnější. Vedení banky chce maximalizovat zisk, ovšem za
předpokladu, že nebudou muset podstoupit příliš velké riziko.
Banka svoje klienty řadí podle jejich charakteristik do osmi skupin označených písmeny
A-H. V kategorii označené písmenem A jsou pouze nejlepší klienti, se kterými má banka již
zkušenost, a ví, že s pravděpodobností 0,999 svůj úvěr splatí i s úroky. Pravděpodobnost, že
klient nebude schopen svoji půjčku splatit, zde označíme mírou defaultu. Ze zkušenosti zná
vedení též pravděpodobnost toho, že klient, který není schopen splácet, vrátí bance polovinu
hodnoty svého úvěru (bez úroků). Banka zároveň ví, že klienti ve skupině A snadno získají
úvěr i u jiné banky, neboť jsou téměř bezrizikoví. Musí jim tak nabídnout nízké úroky, aby si
vybrali její produkt. Banka má již vypracovanou strategii, podle které nabídne jednotlivým
kategoriím úrokové sazby. Stupnici s úroky, mírou defaultu a pravděpodobností navrácení
poloviny úvěru v případě defaultu pro jednotlivé skupiny klientů zobrazuje tabulka
Kategorie A B C D E F G H 2T repo
Úrok (%) 2,9 3,9 4,9 6,9 7,5 10,9 12,9 16,9 1
Míra defaultu 0,001 0,009 0,04 0,085 0,1 0,12 0,18 0,2 0
Pravd. splacení 0,999 0,991 0,96 0,915 0,9 0,88 0,82 0,8 1
Pravd. polovina 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 0,3 0,3 0,25 0
V posledním řádku tabulky vidíme, jaká je pravděpodobnost, že klienti, kteří nebudou
schopni splácet, vrátí bance polovinu vypůjčené částky bez úroků. Banka tak z těchto klientů
ztratí pouze polovinu hodnoty poskytnutého úvěru a úroky. Kromě osmi kategorií klientů
je v tabulce též sloupec označený 2T repo, což je úroková sazba, za kterou si mohou
banky na 2 týdny uložit peníze u ČNB. Tento způsob investování je bezrizikový, pravděpodobnost
splacení je tak rovna jedné. Stejně jako úrokové sazby pro klienty je i 2T repo
sazba roční, v tabulce je uvedena sazba platná od 27. 3. 2020. Tato sazba se v průběhu roku
může změnit, v příkladu však považujeme sazbu za neměnnou po celý rok. Banka by tedy
své přebytečné prostředky uložila u ČNB na celý rok.
Vedení banky chce maximalizovat svůj zisk. Vzhledem ke striktním pravidlům ban- kovního
systému však nemůže vypůjčit své peníze úplně libovolně. Banka musí kvůli rizikovosti
alespoň třetinu hodnoty svých úvěrů vypůjčit klientům z kategorie A a B. Ze stejného
důvodu může banka do kategorií F, G a H vypůjčit maximálně polovinu toho, co zapůjčí do
kategorií A, B a C. Banka si též váží svých klientů z kategorie A, se kterými má předběžně
domluvené úvěry o hodnotě 800 000 Kč. Klientům v kategorii A chce tak vedení nabídnou
úvěry minimálně v této hodnotě.
Vzhledem k tomu, že se vedení rozhoduje o hodnotách úvěrů pro jednotlivé kategorie,
počítá se ztrátou jako s částkou, kterou jednotlivé kategorie nesplatí, tj. se součinem hodnoty
úvěrů v dané kategorii a míry defaultu, od kterého odečte hodnotu částky, již splatí část
nesplácejících klientů. Vedení banky chce uvážit tři situace, které se liší pojetím rizika. Ve
všech situacích se však zajímá o úrokový výnos z prvního roku splácení. V první z nich
chce maximalizovat výnos (z úroků a návratů částí úvěrů od klientů v defaultu) s tím, že
omezí maximální hodnotu, kterou jsou ochotni ztratit, na částku 2 500 000 Kč. Ve druhé
situaci se pak chce podívat na zisk jako rozdíl výnosů a ztráty. Ve třetí situaci, kterou chce
vedení otestovat, je hodnota výnosu dvakrát důležitější než riziko. Jaké pojetí rizika přinese
bance větší zisk? Jak se situace změní, jestliže se vedení rozhodne kvůli solidaritě a dobré
reputaci vypůjčit alespoň 5 000 000 Kč lidem z kategorií F, G a H? Sestavme a vyřešme úlohu
lineárního programování, před kterou stojí vedení banky.
6
6. Tarifní pásma
Elektrárna musí zajistit poptávku po elektrické energii, která kolísá dle denní doby podle
údajů v tabulce:
0:00 - 6:00 15000 MW/h
6:00 - 9:00 30000 MW/h
9:00 - 15:00 25000 MW/h
15:00 - 18:00 40000 MW/h
18:00 - 24:00 27000 MW/h
Pro výrobu elektřiny má k dispozici 3 výrobní jednotky (Siemens, GE a Tesla). Okamžitý
výkon generátorů pracovníci obsluhy přenastavují jen v termínech změny tarifního pásma;
během jednotlivých intervalů je výkon konstantní a musí se pohybovat ve stanoveném rozmezí
minimálního a a maximálního výkonu (žádný generátor nelze úplně vyřadit z provozu).
Tabulka níže udává rozmezí pro výkon společně s provozními náklady (v tisících Kč).
Generátor Výkon Náklady
minimální maximální za h při min. výkonu za MWh nad min. výkon
Siemens 10200 MW 24000 MW 1000 2
GE 12500 MW 17500 MW 2600 1,3
Tesla 7500 MW 20000 MW 3000 3
Nad rámec zajištění požadované poptávky je třeba zajistit, aby v každém období bylo možné
zajistit mimořádné zvýšení odběru až do výše 15% odhadovaného počtu MW, a to pomocí
generátorů, které jsou aktuálně v chodu. Na jaký výkon mají generátory v jednotlivých časových
intervalech pracovat, aby byly celkové denní náklady co nejmenší?
1. Zapište a vyřešte matematický model.
2. Navrhněte na základě vypočtených výsledků hrubou prodejní cenu energie v jednotlivých
časových pásmech (pokud by se kalkulovala pouze z provozních nákladů). Jaké
jsou marginální náklady produkce pro jednotlivá období (tj. jakým tarifem by měl být
odběr zpoplatněn)?
3. Kolik by se ušetřilo zrušení 15-procentní rezervy?
7
7. Distribuční struktura
Firma má dvě továrny, jednu v Liverpoolu a druhou v Brightonu. Kromě toho má čtyři
sklady s úložnými kapacitami v Newcastle, Birminghamu, Londýně a Exeteru. Firma prodává
svůj produkt šesti zákazníkům C1, C2, ..., C6. Zákazníci mohou být zásobováni buď
ze skladu, nebo přímo z továrny. Náklady na distribuci (které nese firma) jsou známy; jsou
uvedeny v tabulce (v £za doručenou tunu).
Dodavatel
Liverpool Brighton Newcastle Birmingham London Exeter
Newcastle 0,5
Birmingham 0,5 0,3
London 1,0 0,5
Exeter 0,2 0,2
C1 1,0 2,0 1,0
C2 1,5 0,5 1,5
C3 1,5 0,5 0,5 2,0 0,2
C4 2,0 1,5 1,0 1,5
C5 0,5 0,5 0,5
C6 1,0 1,0 1,5 1,5
Někteří zákazníci vyjádřili preference ohledně toho, zda chtějí být zásobováni z továrny
nebo ze skladu, na který jsou zvyklí. Preferovaní dodavatelé jsou:
C1 - Liverpool (továrna)
C2 - Newcastle (sklad)
C3 - Žádné preference
C4 - Žádné preference
C5 - Birmingham (sklad)
C6 - Exeter nebo Londýn (sklady)
Každá továrna má měsíční kapacitu, kterou nelze překročit:
Liverpool 150 000 tun
Brighton 200 000 tun
Každý sklad má maximální měsíční průtok, který nelze překročit:
Newcastle 70 000 tun
Birmingham 50 000 tun
Londýn 100 000 tun
Exeter 40 000 tun
Každý zákazník má měsíční požadavek uvedený níže, který musí být splněn:
C1 50 000 tun
C2 10 000 tun
C3 40 000 tun
C4 35 000 tun
C5 60 000 tun
C6 20 000 tun
Společnost by chtěla zjistit:
1. Jaká distribuční struktura by minimalizovala celkové náklady?
8
2. Jaký by byl efekt zvýšení kapacity továrny a depa na distribuční náklady?
3. Jaké by byly efekty malých změn v nákladech, kapacitách a požadavcích na distribuční
strukturu?
4. Bylo by možné splnit všechny preference zákazníků ohledně dodavatelů a pokud ano,
jaké by byly dodatečné náklady na toto splnění?
9