1 Úvod
Velmi záhy zjistíte, že to je vlastně úplně stejný jako funkce jedné proměnné. Pro zapojení prostorové představivosti, do teď jste se na všechny funkce koukali jak Egypťani z profilu, teď je začnete sledovat v perspektivě.
Funkce dvou proměnných už nedefinuje „čáru", ale plochu. Jak si to představit no nejlépe jako zprohý-baný kus plechu na který se koukáte z hora vyberete si bod o souřadnicích [x, y] a „plech" (naše funkce) Vám řekne jak jste vysoko.
Definiční obor
Pro definiční obor funkce dvou (a více) proměnných neplatí nic nového. Pořád se nesmí:
• dělit nulou
• počítat sudé odmocniny ze záporných čísel
• počítat logaritmy z nekladných čísel
Hlavní rozdíl je ale v tom, že každá výše uvedená nerovnost je definována nějakou křivkou, která dělí rovinu xy na dvě části. Jednu, která výše uvedené podmínky splňuje a druhou, která nikoli. Průnikem všech oblastí, které splňují podmínky dostanete definiční obor funkce. A to už je nejlepší namalovat.
Řešený příklad 1
f(x, y) = ln (x + y - 3) podmínka: x + y — 3 > 0
y > 3 — x
Řešený příklad 2
f(x y) = _^±1_
log3(y + 2ľ2 -5) podmínka 1: y + x2 — 5 > 0    =>    y > 5 — x2
podmínka 2: log3(y + x2 — 5) ^ 0    =>    y + x2 — 5^1    =>    y ^ 6 — x2
1
Řešený příklad 3
f (x, y) = y/(x + y2 - 4) (x - y2)
-4) (*		- h	2)í	í 0	^>	(	(x-f	-y2	-4	>o;	A(	x - y2 > 0)			)v((
															
															
															
															
															
	5	4	3	2	1 a										1
															
															
															
															
2   Parciální derivace
Teď musíme zavést nové značení (protože už si úplně nevystačíme s čárkou)
df
Co
da
= f
J X
je parciální derivace funkce / podle proměnné x. Obdobně to bude u derivace pode y,
dj_ dy
U druhých derivací to bude velmi podobné
&L=f» dx2 Jxx
&L=ť,
dxy Jxy
J v
dy2 dyx
f"
Jyy
u J _ tu
ale nebojte nemusíte to u těch smíšených derivací (f"y a fý'x počítat oboje, tydle derivace vždycky vyjdu stejně :-)
se samotných výpočtů týče, tak je to úplně stejné jako u funkce jedné proměnné, jen když derivujete podle x tak y považujete za konstantu a naopak.
Řešený příklad 1
f(x, y) = sin(xy)
dj_
dx
d^l dx2 d^l dxy
cos(xy)y
- sm(xy)y2
— sm{xy)xy + cos{xy)
dl dy &l dy2
&l dyx
cos{xy)x
= — sin(xy)a
- sm(xy)xy + cos(xy)
2
Řešený příklad 2
f (x, y) = \n(x3y + xy2 + 2x + y2) d f 3x2y + y2 + 2 d f x3 + 2xy + 2y
2
dx     x3y + xy2 + 2x + y2 dy     x3y + xy2 + 2x + y
d2f 6xy(x3y + xy2 + 2x + y2)-(3x2y + y2 + 2)2 d2f (2x + 2) (x3y + xy2 + 2x + y2) - (x3 + 2xy + 2yf dx2 (x3y _|_ xy2 + 2x + y2)2 dy2 (x3y + xy2 + 2x + y2)2
d2f d fdf\ (3x2 + 2y) (x3y + xy2 + 2x + y2) - (3x2y + y2 + 2) (x3 + 2xy + 2y)
dxy dy\dx) (x3y + xy2 + 2x + y2)2
d2f d fdf\ (3x2 + 2y) (x3y + xy2 + 2x + y2) - (x3 + 2xy + 2y) (3x2y + y2 + 2)
dyx dx \ dy ) (x3y + xy2 + 2x + y2)2
To by asi jako ukázka mohlo stačit :-) (ty smýčený derivace jsem psal obě jen aby jste uvěřili, jedna věc je říct, že to je stejný, něco jinýho to je i ukázat, že to tak OPRAVDU je).
3   Volný extrém funkce dvou proměnných
I tady platí definice obdobná jako u funkce jedné proměnné (definice přes okolí bodu), ale tady si, na rozdíl od funkce jedné proměnné nevystačíme jen s prvními derivacemi. Jak najdu podezřelé body z lokálního extrému?
Teď začne sranda ... Podobně jako u lokálního extrému funkce jedné proměnné platí, že jistým ukazatelem jsou první derivace. Neboli stacionární bod A splňuje podmínky
£(A)=0   a   /'(A) = 0
Postup je, spočítám první parciální derivace a řeším jimi danou, výše uvedenou, soustavu dvou rovnic.
Ale jak rozhodnu o tom, jestli v podezřelém bodě A je extrém a případně jeho typ?
Zde přijde do hry takzvané Sylvestrovo rozhodující pravidlo.
V bodě A funkce dvou proměnných /, splňujícím f'x{A.) = 0 a fý(A) = 0 je lokální minimum pokud platí:
/^(A)>0   a   f"x(A)fý'y(A) — (/"^(A))2 > 0
V bodě A funkce dvou proměnných /, splňujícím f'x{A) = 0 a fý(A) = 0 je lokální maximum pokud platí:
/^(A) < 0   a   fxx(A)fý'y(A) — (f"y(A))2 > 0
*Zadefinoval bych Vám to před determinant, ale zatím nevíte co to je :-( (možná to z MO znáte, jen nevíte, že to je determinant :-D )
V ostatních případech se nejedná o extrém (doporučujú si na wiki najít obrázek hyperbolického paraboloidu).
3