BPM_MAEK
Druhé cvičení
Posloupnosti a řady
Příklad 1: Napište první pět členů daných posloupností:
a) an = n+1
3n−1
, b) an = (0,2)n
,
c) an = (−1)n
n!
, d) a1 = 1, an+1 = an + 3.
Je některá z uvedených posloupností aritmetická nebo geometrická?
Příklad 2: Najděte vzorec pro n-tý člen daných posloupností (předpokládejte, že vzor prvních členů
pokračuje):
a)
󰀋1
2
, 1
4
, 1
8
, 1
16
, . . .
󰀌
, b)
󰀋1
2
, 1
4
, 1
6
, 1
8
, . . .
󰀌
,
c) {2, 7, 12, 17, . . . }, d)
󰀋
1, −2
3
, 4
9
, − 8
27
, . . .
󰀌
.
Která z daných poslupností je aritmetická nebo geometrická?
Příklad 3: Určete součet prvních deseti členů následujících posloupností:
a) an = 3 + 2n, b) an =
󰀃
−1
2
󰀄n
,
c) an = 3n
, d) an = −3n.
Příklad 4: Uložíme-li částku 75 000 Kč při úroku 5 % ročně, jak velkou částku můžeme očekávat
na účtu za 5 let? Za jak dlouho se daná částka zdvojnásobí?
Příklad 5: Jak velkou částku musíme investovat, abychom za 5 let získali €10 000, je-li roční úroková
míra 5 %? A kolik let bude trvat při dané úrokové míre než se investice €1 000 zhodnotí na €2 000?
Příklad 6: Autor učebnice si může nechat vyplatit tantiémy dvěma různými způsoby. Buď dostane
21 000 Kč ihned a nebo dostane 4 600 Kč v pěti ročních splátkách, přičemž první dostane okamžitě.
Která nabídka je výhodnější, je-li roční úroková míra 6 %?
Příklad 7: Schengenský prostor je území 27 států, ve kterém mohou osoby překračovat hranice
sdružených států bez hraniční kontroly. Pro rok 2024 označme cij odhad množství osob, které přejdou
hranice z území státu i na území státu j pro každé i ∕= j. Jaký je význam výrazů
󰁓27
j=1 cij a
󰁓27
i=1 cij?
Příklad 8: Určete součet následujících řad (pokud je to možné):
a)
󰁓∞
k=1
󰀃1
3
󰀄k−1
, b)
󰁓∞
k=1(1,25)k
,
c)
󰁓∞
k=1 (0,1)k
, d)
󰁓∞
n=1
2·3n−2n
6n
BPM_MAEK
Příklad 9: Vláda se rozhodne dát fixní slevu na daních každé domácnosti, přičemž statistici usuzují,
že část této slevy se utratí za služby a zboží. Příjemci těchto peněz opět utratí stejnou část této částky
za služby a zboží atd. Je pro celkovou velikost ekonomiky výhodnější, když vláda poskytne slevu ve
výši 10 000 Kč a a příjemci utratí 80 % nebo když bude sleva 5 000 Kč, ale příjemci utratí 90 %?
Příklad 10: Ukažte, že dané řady divergují:
a)
󰁓∞
n=1
1+3n
2n ,
b)
󰁓∞
n=1
n
√
2,
c)
󰁓∞
n=1
n+1
2n−3
.
Příklad 11: Rozepište následující sumy a vypočtěte:
a)
󰁓3
s=1
󰁓4
r=1(r + 2s), b)
󰁓3
i=1
󰁓4
j=1 i · 3j
.
Dvě bonusové úlohy
Příklad 12: Určete součet řady
∞󰁛
n=1
1
n(n + 1)
Nápověda: 1
n(n+1)
= 1
n
− 1
n+1
Příklad 13: Co je špatně na následující úvaze?
0 = 0 + 0 + 0 + · · ·
= (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · ·
= 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · ·
= 1 + 0 + 0 + 0 + · · · = 1