BPM_MAEK
Čtvrté cvičení
Aplikace derivace
Výsledky (bez záruky)
Příklad 1: Určete lokální extrémy funkce
a) f′
(x) = 4x3
− 12x2
+ 8x, lok. min. [0, 0], [2, 0] a lok. max. [1, 1],
b) f′
(x) = x2+2x+1
(x+1)2 , lok. min. [
√
2 − 1, 2(
√
2 − 1)] a lok. max. [−1 −
√
2, −2(1 +
√
2)],
c) f′
(x) = e
1
x
󰀃x−1
x
󰀄
, lok. min. [1, e].
Příklad 2: Určete absolutní extrémy funkce
a) abs. min. [0, 0] a abs. min. [1, 0], abs. max.
󰁫√
3
3
, 2
√
3
9
󰁬
,
b) abs. min. [1, 1], abs. max. [e, e − 1] .
Příklad 3:
a) Q′
(L) = 24L − 3L2
20
, abs. max. pro L = 160, Q = 102 400.
b) Q(L)
L
= 12L − 1
20
L2
,
󰀓
Q(L)
L
󰀔′
= 12 − 1
10
L, abs. max pro L 󰂏
= 120.
c) Není, jelikož 󰀕
Q(L)
L
󰀖′
=
LQ′
(L) − Q(L)
L2
.
A má-li být tato derivace rovna nula, tak musí platit Q′
(L) = Q(L)
L
.
Příklad 4:
a) R = p
√
x, C = wx + F, P = p
√
x − wx − F.
b) P′
= p
2
√
x
− w, maximální zisk je pro x = p2
4w2 . Hodnota tohoto zisku je p(x) = p2
4w
− F. Aby se
tedy s výrobou vůbec začalo, tak musí platit p2
4w
> F.
Příklad 5: Rychlost šíření zprávy je největší, když je derivace největší. Hledáme tedy maximum
první derivace N′
= 10000·9999e−t
(1+9999e−t)2 . Pak (N′
)′
= 10000·9999e−t(9999e−t−1)
(1+9999e−t)3 . A odtud t = ln 9999 ≈ 9,21.
Příklad 6:
a) f′′
(x) = 6x, konvexní na (0, ∞), konkávní na (−∞, 0), inflexní bod [0, 0],
b) f′′
(x) = 4x(x2−3)
(1+x2)3 , konvexní na (−
√
3, 0) a (
√
3, ∞), konkávní na (−∞, −
√
3) a (0,
√
3), inflexní
body [−
√
3, −
√
3/2], [0, 0] a [
√
3,
√
3/2].