BPM_MAEK
Páté cvičení
Funkce více proměnných
Příklad 1: Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí
a) f(x, y) = x3
+ 2x2
y + 3xy2
+ 4x − 5y, b) f(x, y) =
√
x ln y,
c) f(x, y) = xy
x2+y2 , d) f(x, y) = (2x + 3y)10
,
e) f(x, y) = xy ln(x + y), f) f(x, y) = arctgx
y
.
Příklad 2: Vypočtěte parciální derivace 2. řádu funkcí:
a) f(x, y) = x3
+ y3
− 4xy2
, b) f(x, y) = 3xy4
+ x3
y2
,
c) f(x, y) = xyey
, d) f(x, y) = e−x−y
,
Příklad 3: Určete lokální extrémy funkce
a) f(x, y) = x2
+ 4xy + 6y2
− 2x + 8y,
b) f(x, y) = 2x3
− xy2
+ 5x2
+ y2
,
c) f(x, y) = x4
+ y4
− 4xy + 1.
Příklad 4: Uvažujte funkci u(x, y) pomocí které se snažíme měřit well-being společnosti v závislosti
na velikosti x hrubého národního produktu a velikost y znečištění ovzduší.
a) Jaký je význam parciálních derivací u′
x(x, y) a u′
y(x, y)? Jaké očekáváte jejich znaménko?
b) Jaká je interpretace parciální derivace druhého řádu u′′
xy? Obvykle se v tomto případě předpokládá,
že u′′
xy < 0. Co to znamená?
c) Navíc obvykle platí, že funkce u má spojité parciální derivace druhého řádu, tedy u′′
xy = u′′
yx.
Co nám pak u′′
yx říká o funkci f, když snížíme znečištění?