BPM_MAEK
Sedmé cvičení
Neurčitý integrál
Příklad 1: Vypočtěte následující integrály
a)
󰁕
(x2
+ 2 sin x) dx, b)
󰁕 󰀃√
x + 1
x2 + 1
x
󰀄
dx,
c)
󰁕 x2
x3−1
dx, d)
󰁕 3x3
x4+4
dx,
e)
󰁕 ex
ex+1
dx, f)
󰁕 5x2
3x3+4
dx,
g)
󰁕 1
(x+1)2 dx, h)
󰁕
e−0,1x
dx,
i)
󰁕 √
2x − 1 dx, j)
󰁕
(1 − 2x)3
dx,
k)
󰁕
cos x
2
dx, l)
󰁕 1
x2+16
dx,
m)
󰁕 2
16+9x2 dx, n)
󰁕 2√
4−9x2 dx.
Příklad 2: Řešte následující rovnice, resp. počáteční problémy:
a) y′
= 2xy, b) y′
= 4y−1
x
,
c) y′
= −x
y
, y(0) = 2, d) y′
= xy
x+1
, y(0) = 1.
Příklad 3: Sbírka umění byla pořízena za cenu 400 000 Kč a předpokládá se, že její hodnota poroste
každý rok o 5 %. Jak vypadá diferenciální rovnice, která modeluje hodnotu sbírky v čase? Jaká bude
hodnota sbírky za 10 let?
Příklad 4: Spalování fosilních paliv je zodpovědné za zvýšení množství oxidu uhličitého, který je
pravděpodobně jednou z příčin zvýšení globální teploty. V současnosti je v atmosféře přibližně 3200
miliard tun oxidu uhličitého a jeho množství roste každoročně o 50 miliard tun, přičemž pouze 1 %
z akumulovaného množství se každoročně odstraní přírodními procesy. Namodelujte množství oxidu
uhličitého v čase pomocí diferenciální rovnice a určete, kdy bude v atmosféře 4000 miliard tun oxidu
uhličitého (jedná se o množství, při kterém by mělo dojít ke zvýšení teploty o dva stupně Celsia).
Jaké bude dlouhodobé množství oxidu uhličitého v atmosféře?
Příklad 5: Předpokládejme, že návrh zákona při hlasování v Senátu získává podporu přímo úměrně
tomu, kolik hlasů již má a zároveň i přímo úměrně tomu, kolik hlasů mu chybí. Jak vypadá rovnice,
která modeluje tento proces?