Primitivní funkce, neurčitý integrál
Od rychlosti k množství
Petr Liška
Masarykova univerzita
23.10.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 23.10.2024 1 / 10
Primitivní funkce
Definice
Nechť funkce f a F jsou definované na intervalu I. Jestliže platí
F′
(x) = f(x) pro všechna x ∈ I,
pak říkáme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I.
Množinu všech primitivních funkcí k funkci f nazýváme neurčitý integrál
funkce f a označujeme
󰁝
f(x) dx.
Z definice neurčitého integrálu plyne, že
󰀕 󰁝
f(x) dx
󰀖′
= f(x),
󰁝
F′
(x) dx = F(x) + c,
tj. operace derivování a integrování jsou navzájem komplementární.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 23.10.2024 2 / 10
Věta
Je-li funkce F primitivní k funkci f na intervalu I, pak každá jiná primitivní
funkce k funkci f má tvar F + c, kde c ∈ R.
Věta
Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak k ní na tomto intervalu existuje
primitivní funkce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 23.10.2024 3 / 10
Pravidla a vzorce
Věta
Nechť na intervalu I existují neurčité integrály
󰁕
f(x) dx a
󰁕
g(x) dx a
nechť α ∕= 0. Pak na I existuje neurčitý integrál funkce f + g a neurčitý
integrál funkce αf a platí
󰁝
(f(x) + g(x)) dx =
󰁝
f(x) dx +
󰁝
g(x) dx, (1)
󰁝
αf(x) dx = α
󰁝
f(x)dx. (2)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 23.10.2024 4 / 10
(1)
󰁕
1 dx = x + c,
(2)
󰁕
xn dx = xn+1
n+1 + c, n ∕= −1,
(3)
󰁕 1
x dx = ln |x| + c,
(4)
󰁕
ex dx = ex + c,
(5)
󰁕
ax dx = ax
ln a + c, a > 0, a ∕= 1,
(6)
󰁕
sin x dx = − cos x + c,
(7)
󰁕
cos x dx = sin x + c,
(8)
󰁕 1
x2+1
dx = arctg x + c,
(9)
󰁕 1
(x−x0)2+a2 dx = 1
a arctg
󰀃x−x0
a
󰀄
+ c,
(10)
󰁕 1√
a2−x2
dx = arcsin x
a + c,
(11)
󰁕 1√
x2+a
dx = ln |x +
√
x2 + a| + c,
(12)
󰁕 1
cos2 x
dx = tg x + c,
(13)
󰁕 1
sin2 x
dx = −cotg x + c,
(14)
󰁕 f′(x)
f(x) dx = ln |f(x)| + c,
(15)
󰁕
f(x) dx = F(x) + c =⇒
󰁕
f(ax + b) dx = 1
a F(ax + b) + c.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 23.10.2024 5 / 10
Příklad
Vypočtěte neurčité integrály
a)
󰁕 󰀃
3x2 + 2ex + 1
󰀄
dx, b)
󰁕 󰀃 1
x2 +
√
x
󰀄
dx,
c)
󰁕 1
3x+2 dx, d)
󰁕 2x2
x3−1
dx,
e)
󰁕
(2x + 1)5 dx, f)
󰁕
e2x dx,
g)
󰁕 1
x2+4
dx, h)
󰁕 1√
4−x2
dx,
i)
󰁕 4
8x2+2
dx, j)
󰁕 1
x2−2x+3
dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 23.10.2024 6 / 10
Spotřeba přírodních zdrojů
Odhaduje se, že světová spotřeba stříbra (v tisíci tunách) se řídí funkcí
f(t) = 21,4e0,01t, kde t značí počet let, které uběhnou od současnosti.
Celkové zásoby stříbra se odhaduji na 400 000 tun. Odhadněte, kdy
tyto zásoby stříbra dojdou.
Řešení: Celkovou spotřebu C(t) získáme integrací funkce f
C(t) =
󰁝
21,4e0,01t
dt = 21,4
󰁝
e0,01t
dt = 21,4
1
0,01
e0,01t
+c = 2140e0,01t
+c
Musíme ještě určit integrační konstantu c. Celková spotřeba za prvních
nula let musí být nula, tedy víme, že C(0) = 0.
0 = C(0) = 2140e0
+ c = 2140 + c =⇒ c = −2140
Pro celkovou spotřebu tak dostaneme vztah
C(t) = 2140e0,01t
− 2140 .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 23.10.2024 7 / 10
Abychom předpověděli, kdy rezervy ve výši 400 tisíc tun dojdou,
musíme vyřešit následující rovnici
2140e0,01t
− 2140 = 400.
Odtud
2140e0,01t
= 2540
e0,01t
=
2540
2140
≈ 1,187
ln e0,01t
= ln 1,187
0,01t = 0,171
t = 17,1 let
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 23.10.2024 8 / 10
Věta (Metoda per partes)
Nechť funkce u(x) a v(x) mají spojité derivace na intervalu I. Pak platí
󰁝
u(x)v′
(x) dx = u(x)v(x) −
󰁝
u′
(x)v(x) dx.
Příklad
Vypočtěte
a)
󰁕
x2 sin x dx, b)
󰁕
x ln x dx .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 23.10.2024 9 / 10
Věta (Substituční metoda)
Nechť funkce f má na intervalu J primitivní funkci F, funkce t = ϕ(x)
má spojitou derivaci na intervalu I a ϕ(x) ∈ J pro x ∈ I. Pak má
složená funkce f(ϕ(x))ϕ′(x) primitivní funkci na intervalu I a platí
󰁝
f(ϕ(x))ϕ′
(x) dx = F(ϕ(x)) + c.
Podobně lze použít substituci opačnou, tj. x = ψ(t). Tuto substituční
metodu můžeme zapsat ve tvaru
󰁝
f(x) dx =
󰀏
󰀏
󰀏
󰀏
x = ψ(t)
dx = ψ′(t) dt
󰀏
󰀏
󰀏
󰀏 =
󰁝
f
󰀃
ψ(t)
󰀄
ψ′
(t) dt.
Příklad
Vypočtěte neurčité integrály
a)
󰁕
5xex2
dx, b)
󰁕 1−
√
x
1+
√
x
dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 23.10.2024 10 / 10