Dynamické procesy aneb diferenciální rovnice Od rychlosti k množství Petr Liška Masarykova univerzita 30.10.2024 Petr Liška (Masarykova univerzita) Dynamické procesy aneb diferenciální rovnice 30.10.2024 1 / 13 Ponziho schéma Předpokládejme, že máme na začátku 10 investorů, přičemž každý vloží do fondu 100 000 Kč a je mu slíbena 20 % návratnost investice každý měsíc. Z vloženého milionu tak vyplatíme každému investorovi 20 000 Kč a zbylých 800 000 Kč si necháme. Označme y počet investorů, které potřebujeme, abychom mohli investory nadále vyplácet a přitom si pokaždé nechat částku 800 000 Kč. Řešení: Budeme-li částky uvažovat v tisících, pak máme příjem = 100 dy dt výdej = 20y + 800. 100 dy dt = 20y + 800. dy dt = 0,2y + 8. Petr Liška (Masarykova univerzita) Dynamické procesy aneb diferenciální rovnice 30.10.2024 2 / 13 Logistický růst Předpokládejme, že rychlost růstu nějaké populace je přímo úměrná její velikosti. Je-li t čas a P je počet jedinců v populaci v čase t, dostaneme pro rychlost růstu populace dP dt = kP, k > 0. Mnoho populací se začne rozrůstat exponenciálně, ale jakmile se počet jedinců přiblíží nosné kapacitě K prostředí růst se zpomalí, případně velikost populace začne klesat, pokud její velikost tuto hodnotu překročí. Pro tento model máme tedy následující předpoklady: dP dt ≈ kP pro malá P, tj. ze začátku populace roste přímo úměrně svojí velikosti, dP dt < 0, jestliže P > K, tj. velikost populace se zmenšuje, jestliže počet jedinců přesáhne kapacitu prostředí. Řešení: dP dt = kP 󰀕 1 − P K 󰀖 Petr Liška (Masarykova univerzita) Dynamické procesy aneb diferenciální rovnice 30.10.2024 3 / 13 Diferenciální rovnice Definice Nechť G ∈ R2, f : G → R, pak obyčejnou diferenciální rovnicí prvního řádu nazveme rovnici ve tvaru: y′ = f(x, y), (1) kde y vystupuje jako závislá proměnná a f je funkce dvou proměnných. Řešením této rovnice pak rozumíme každou funkci ϕ, která je diferencovatelná na nějakém otevřeném intervalu I a pro kterou platí: y′ = f(x, ϕ(x)) pro x ∈ I (2) Nechť je dán bod [x0, y0] ∈ G. Pak úlohu najít řešení diferenciální rovnice, pro kterou platí: ϕ(x0) = y0, (3) nazveme počáteční úlohou. Petr Liška (Masarykova univerzita) Dynamické procesy aneb diferenciální rovnice 30.10.2024 4 / 13 Geometrický význam y′ = f(x, y), y x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 96 97 98 99 100 Směrové pole rovnice y′ = 1 2 y 󰀃 1 − 1 100 y 󰀄 a řešení pro různé počáteční podmínky Petr Liška (Masarykova univerzita) Dynamické procesy aneb diferenciální rovnice 30.10.2024 5 / 13 Rovnice se separovatelnými proměnnými Jde o rovnici tvaru y′ = f(x)g(y), kde f a g jsou spojité funkce. Vyjádříme-li y′ = dy dx , tak dostaneme dy dx = f(x)g(y). Nejprve si všimněme, že konstantní funkce určené g(y) = 0 jsou řešením Za předpokladu g(y) ∕= 0 separujeme proměnné dy g(y) = f(x) dx a tuto rovnost integrujeme 󰁝 dy g(y) = 󰁝 f(x) dx. Petr Liška (Masarykova univerzita) Dynamické procesy aneb diferenciální rovnice 30.10.2024 6 / 13 Jednoduchý příklad x3 y′ = 2y, y(0) = 1 . Řešení. Odseparujeme proměnné dy y = 2 x3 dx . A rovnici zintegrujeme 󰁝 1 y dy = 󰁝 2x−3 dx . Vypočteme integrály a vyjádříme y ln |y| = − 1 x2 + c =⇒ y = Ke− 1 x2 . Dosazením počáteční podmínky dostaneme hodnotu K 1 = Ke0 =⇒ K = 0 . Petr Liška (Masarykova univerzita) Dynamické procesy aneb diferenciální rovnice 30.10.2024 7 / 13 Tři jednoduché modely růstu V mnoha případech je růst veličiny přímo úměrný jeho současnému množství: y′ = ay, a > 0. Pro úplnost je nutné doplnit i počáteční podmínku (velikost pozorované veličiny na začátku) y(0) = k, k > 0. Rovnici můžeme vyřešit separací proměnných dy dt = ay 󰁝 dy y = 󰁝 a dt ln y = at + C y = eat+C = eat eC = ceat Dosazením počáteční podmínky dostaneme y(0) = ce0 = k =⇒ c = k. Petr Liška (Masarykova univerzita) Dynamické procesy aneb diferenciální rovnice 30.10.2024 8 / 13 Řešením počáteční úlohy tedy je funkce y = keat . y t k y = keat Petr Liška (Masarykova univerzita) Dynamické procesy aneb diferenciální rovnice 30.10.2024 9 / 13 Jestliže veličina nemůže růst nad nějakou určitou mez M, potom je rozumné například uvažovat, že rychlost růstu je přímo úměrná tomu, jak moc je daná veličina daleko od svého limitu: y′ = a(M − y). Opět doplníme počáteční podmínku y(0) = k a rovnici vyřešíme. dy dt = a(M − y) 󰁝 dy M − y = 󰁝 a dt ln(M − y) = −at − C M − y = e−at−C = ce−at y = M − ce−at Petr Liška (Masarykova univerzita) Dynamické procesy aneb diferenciální rovnice 30.10.2024 10 / 13 Po dosazení počáteční podmínky dostaneme y(0) = M − ce0 = M − c = k =⇒ c = M − k a počáteční problém je tedy vyřešen funkcí y = M − (M − k)e−at . y tk M y = M − (M − k)e−at Petr Liška (Masarykova univerzita) Dynamické procesy aneb diferenciální rovnice 30.10.2024 11 / 13 Pro komplexnější model bychom mohli uvažovat, že rychlost růstu dané veličiny je přímo úměrná její současné velikosti a zároveň vzdálenosti od od horního limitu M. Dostaneme tak diferenciální rovnici y′ = ay(M − y). Jedná se opět o rovnici se separovanými proměnnými (kterou je již složitější vyřešit) a jejím řešením je funkce y = M 1 + ce−aMt . y t M y = M 1+ce−aMt Petr Liška (Masarykova univerzita) Dynamické procesy aneb diferenciální rovnice 30.10.2024 12 / 13 Velikost úspor Zdrojem osobního majetku jsou typicky dva zdroje. Plat a výnosy z investic. Z těchto příjmů můžeme rozlišit tři základní typy výdajů. Nutné výdaje, zbytné výdaje a investice. Pro jednoduchost můžeme uvažovat, že po zaplacení nutných výdajů, utratíme fixní část zbylých příjmů za zbytné výdaje a zbylou část investujeme. Dále uvažujme, že investice generují příjem s fixním úrokem a na začátku máme nulové úspory. Popište matematicky tento model a nalezněte funkci, která popisuje velikost úspor v čase. Výměna peněz Za jak dlouhou vymění 90 % bankovek v zemi, kde je v oběhu 109 dolarů v bankovkách a každý den přes banku projde 5 · 107 dolarů? Je rozumné předpokládat, že rychlost výměny starých bankovek v oběhu za nové je přímo úměrná počtu bankovek, které ještě nebyly vy- měněny. Petr Liška (Masarykova univerzita) Dynamické procesy aneb diferenciální rovnice 30.10.2024 13 / 13