Určitý integrál
Obsah a jeho interpretace
Petr Liška
Masarykova univerzita
13.11.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Určitý integrál 13.11.2024 1 / 14
Jak určit obsah?
a = x0 b = xn
xi−1x2x1 xici
f(ci)
∆x
0
y
x
Petr Liška (Masarykova univerzita) Určitý integrál 13.11.2024 2 / 14
Definice a základní vlastnosti určitého integrálu
Definice
Nechť f je funkce ohraničená na [a, b]. Nechť a = x0, x1, x2, . . . , xn = b
jsou body dělící interval [a, b] na n stejných subintervalů délky ∆x =
b−a
n a nechť ci ∈ [xi−1, xi], i = 1, . . . , n. Určitým integrálem funkce f od
a do b rozumíme
lim
n→∞
n󰁛
i=1
f(ci)∆x,
jestliže tato limita existuje a nezávisí na výběru bodů ci. Píšeme
󰁝 b
a
f(x) dx,
a říkáme, že funkce f je integrovatelná na [a, b].
Číslo a nazýváme dolní mez, číslo b horní mez a funkci f integrand.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Určitý integrál 13.11.2024 3 / 14
Typické aplikace určitého integrálu
kusy
mezní náklady
cenazakus
celková cena
kusů od a do b
a b
odpracované hodiny
produktivita
úkonyzahodinu
celková
vykonaná práce
mezi a a b
a b
dny
míra prodeje
prodejezaden
celkový prodej
mezi dny a a b
a b
Petr Liška (Masarykova univerzita) Určitý integrál 13.11.2024 4 / 14
Věta (Newton-Leibnizova formule)
Je-li funkce f spojitá na [a, b], pak platí
󰁝 b
a
f(x) dx = F(b) − F(a), (1)
kde F je primitivní funkce k funkci f na intervalu [a, b].
Často píšeme místo F(b) − F(a) označení
󰀅
F(x)
󰀆b
a
, tj.
󰁝 b
a
f(x) dx =
󰁫
F(x)
󰁬b
a
.
Příklad
Vypočtěte určité integrály
a)
󰁝 1
0
x2
dx, b)
󰁝 π
0
cos x dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Určitý integrál 13.11.2024 5 / 14
Věta (Vlastnosti určitého integrálu)
Jsou-li funkce f a g spojité na intervalu [a, b], pak platí tyto vztahy:
a)
󰁕 b
a [f(x) + g(x)] dx =
󰁕 b
a f(x) dx +
󰁕 b
a g(x) dx;
b)
󰁕 b
a cf(x) dx = c
󰁕 b
a f(x) dx;
c)
󰁕 b
a f(x) dx =
󰁕 c
a f(x) dx +
󰁕 b
c f(x) dx, kde a < c < b;
d)
󰁕 b
a f(x) dx ≥ 0, jestliže f(x) ≥ 0 na intervalu [a, b];
e)
󰁕 b
a f(x) dx ≥
󰁕 b
a g(x) dx, jestliže f(x) ≥ g(x) na intervalu [a, b].
Vlastnost c) lze použít pro případ, kdy je funkce f spojitá na intervalu
[a, c] a [c, b], ale není spojitá v bodě c. Například funkce sgn x není
spojitá pro x = 0 a přitom můžeme definovat určitý integrál
󰁝 1
−2
sgn x dx =
󰁝 0
−2
sgn x dx +
󰁝 1
0
sgn x dx = −2 + 1 = −1.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Určitý integrál 13.11.2024 6 / 14
Integrál
󰁕 b
a f(x) dx pro a > b definujeme vztahem
󰁝 b
a
f(x) dx = −
󰁝 a
b
f(x) dx,
a integrál
󰁕 a
a f(x) dx definujeme vztahem
󰁝 a
a
f(x) dx = 0.
Definujeme-li pro každé číslo x ∈ [a, b] funkci
U(x) =
󰁝 x
a
f(t) dt,
pak derivace této funkce je U′(x) = f(x) a U(a) = 0. Tímto způsobem
někdy vyjadřujeme funkce, které jsou primitivní k funkci f, ale nejsou
elementárními funkcemi, např. funkce
󰁝 x
0
e−t2
dt,
󰁝 x
0
sin t
t
dt.
Tyto funkce se nazývají transcendentní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Určitý integrál 13.11.2024 7 / 14
Metoda per partes a substituce pro určité integrály
Věta (Metoda per partes pro určitý integrál)
Nechť funkce u(x) a v(x) mají spojité derivace na intervalu [a, b]. Pak
platí
󰁝 b
a
u(x)v′
(x) dx =
󰀅
u(x)v(x)
󰀆b
a
−
󰁝 b
a
u′
(x)v(x) dx.
Věta (Substituce pro určitý integrál)
Nechť funkce f(t) je spojitá na intervalu [a, b]. Nechť funkce ϕ(x) má
spojitou derivaci na intervalu [α, β] a ϕ(x) zobrazuje interval [α, β] do
intervalu [a, b]. Pak platí
󰁝 β
α
f(ϕ(x))ϕ′
(x) dx =
󰁝 ϕ(β)
ϕ(α)
f(t) dt.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Určitý integrál 13.11.2024 8 / 14
Příklad
Vypočtěte určité integrály
a)
󰁝 e
1
x ln x dx, b)
󰁝 √
6
1
x
󰁳
x2 + 3 dx.
Věta (Lichoběžníkové pravidlo)
Nechť je funkce f spojitá na intervalu [a, b]. Rozdělme interval na n intervalů
stejné délky h a krajní body těchto intervalů označme po řadě
x0, x1, . . . , xn a jim odpovídající funkční hodnoty funkce f po řadě
y0, y1, . . . , yn. Pak platí
󰁝 b
a
f(x) dx ≈
h
2
(y0 + 2y1 + 2y2 + · · · + 2yn−1 + yn) .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Určitý integrál 13.11.2024 9 / 14
Spotřebitelský přebytek a přebytek výrobce
Spotřebitelský přebytek je celkový peněžitý zisk získaný spotřebitely, když jsou schopni pořídit
produkt za nižší cenu než je nejvyšší cena, kterou by byli ochotni zaplatit. Spotřebitelský
přebytek tedy měři přínos spotřebitele v ekonomice, kde konkurence drží nízkou cenu.
Podobně přebytek výrobce je celková částka, kterou získá výrobce, když prodá produkt za
vyšší cenu, než je nejnižší cena, za kterou by byl ochotný produkt prodat (a obvykle se dá
zhruba ztotožnit se ziskem).
Je-li d funkce popisující křivku poptávky, s funkce popisující křivku nabídky a P cena při
množství Q na trhu, pak v případě, kdy dojde k rovnováze na trhu, vypadá situace takto
přebytek výrobce
přebytek spotřebitelep
P
qQ
s(q)
d(q)
Je tedy přirozené matematicky definovat spotřebitelský přebytek PS a přebytek výrobce
PV jako
PS =
󰁝 Q
0
(d(q) − P) dq, PV =
󰁝 Q
0
(P − s(q)) dq.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Určitý integrál 13.11.2024 10 / 14
Střední hodnota
Nechť f je funkce definovaná a integrovatelná na uzavřeném intervalu
[a, b]. Číslo µ definované vztahem
µ =
1
b − a
󰁝 b
a
f(x) dx
se nazývá střední hodnota funkce f na intervalu [a, b].
Střední hodnota je vlastně zobecnění aritmetického průměru pro čísla.
Geometricky je střední hodnota výška obdélníku, který má základnu
tvořenou intervalem [a, b] a obsah
󰁕 b
a f(x) dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Určitý integrál 13.11.2024 11 / 14
Lorenzova křivka a Giniho index
Pro měření nerovnosti ekonomové počítají jaká část celkového příjmu je získána nejchudšími
dvaceti procenty populace, nejchudšími čtyřiceti procenty populace atd. Například pro
Českou republiku v roce 2018 tato data vypadala takto
část populace část příjmů
0,2 0,102
0,4 0,249
0,6 0,426
0,8 0,646
1,0 1,000
Graficky tato data reprezentuje tzv. Lorenzova křivka L(x), která udává, jaká část celkového
příjmu je získána nejchudší částí x populace. Pro naše data je její přibližná rovnice
L(x) = x1,57.
y
x0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
L(x)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Určitý integrál 13.11.2024 12 / 14
Absolutní rovnost příjmů znamená, že všichni vydělávají stejně, tj. dolních 10 % získá 10 %
všech příjmů, dolních 20 % získá 20 % všech příjmů atd. Lorenzova křivka v tomto případě
je tedy graf lineární funkce y = x.
Ke změření nerovnosti spočítáme obsah oblasti mezi aktuální Lorenzovou křivkou L(x) a
její ideální verzí y = x a tento výsledek vynásobíme dvěma, abychom dostali číslo mezi 0
(absolutní rovnost) a 1 (absolutní nerovnost). Tomutu číslu se říká Giniho index.
y
x0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
L(x)
y = x
Matematicky tedy definujeme Giniho index jako
GI = 2
󰁝 1
0
(x − L(x)) dx .
Pro Českou republiku dostaneme
GI = 2
󰁝 1
0
(x − L(x)) dx = GI = 2
󰁝 1
0
󰀃
x − x1,57
󰀄
dx = 2
󰀗
x2
2
−
x2,57
2,57
󰀘1
0
= 0,22 .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Určitý integrál 13.11.2024 13 / 14
Paretův zákon
Ekonom Vilfredo Pareto odhadl, že počet lidí, jejichž příjem je mezi A
a B jednotkami měny je dán určitým integrálem
󰁝 B
A
(ax)−b
dx (b ∕= 1),
kde a a b jsou konstanty, přičemž a je hodnota nejmenší možné mzdy.
Určete hodnotu tohoto integrálu.
Řešení: Stačí použít jen základní pravidla a Newton-Leibnizovu formuli
󰁝 B
A
(ax)−b
dx = a−b
󰁝 B
A
x−b
dx = a−b
󰀗
x−b+1
−b + 1
󰀘B
A
=
=
a−b
−b + 1
󰀓
B−b+1
− A−b+1
󰀔
.
Z předchozího zákonu plyne i známý Paretův princip (pro něj je ale
nutné dobře zvolit konstantu b o hodnotě b = log4 5 ≈ 1,16).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Určitý integrál 13.11.2024 14 / 14