Lineární algebra Soustavy rovnic Petr Liška Masarykova univerzita 27.11.2024 Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 1 / 16 Soustavy lineárních rovnic Definice Soustavou (systémem) k lineárních rovnic o n neznámých x1, x2, . . . , xn rozumíme soustavu rovnic a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ak1x1 + ak2x2 + · · · + aknxn = bk. Je-li b1 = b2 = · · · = bk = 0, nazývá se takováto soustava homogenní. Řešením soustavy je každá uspořádaná n-tice (t1, t2, . . . , tn) takových čísel t1, t2,. . . , tn, která dané soustavě vyhovuje. Pro každou soustavu vždy nastane právě jedna z následujících možností: Soustava rovnic má právě jedno řešení. Soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení. Soustava rovnic nemá žádné řešení. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 2 / 16 Maticí soustavy nazýváme matici A = 󰀳 󰁅 󰁅 󰁅 󰁃 a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ak1 ak2 . . . akn 󰀴 󰁆 󰁆 󰁆 󰁄 . Rozšířenou maticí soustavy nazýváme matici ¯A = 󰀳 󰁅 󰁅 󰁅 󰁃 a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 ... ... ... ... ak1 ak2 . . . akn bk 󰀴 󰁆 󰁆 󰁆 󰁄 . Soustavu pak můžeme zapsat maticově A · 󰂓x = 󰂓b , kde 󰂓x je vektor neznámých a 󰂓b je vektor pravých stran. Píšeme také A · X = B . Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 3 / 16 Hodnost matice Definice Hodnost matice A je číslo, které je rovno maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků. Označujeme ji h(A). Je-li A čtvercová matice typu n × n, jejíž hodnost je rovna n, nazýváme ji regulární maticí. Je-li h(A) < n, nazývá se taková matice singulární. Definice Řekneme, že A je matice ve schodovitém tvaru, jestliže v matici A každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než předchozí řádek. Věta Hodnost matice ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 4 / 16 Hodnost a soustavy rovnic Věta (Frobeniova věta) Soustava lineárních rovnic má řešení, právě když je hodnost matice soustavy rovna hodnosti rozšířené matice soustavy. Věta Soustava k lineárních rovnic o n neznámých má jediné řešení, jestliže je hodnost h matice soustavy rovna hodnosti rozšířené matice soustavy a navíc je rovna počtu neznámých n, tedy h = n. Věta Soustava k lineárních rovnic o n neznámých má nekonečně mnoho řešení, jestliže se hodnost h matice soustavy rovná hodnosti rozšířené matice a navíc je tato hodnost menší než počet neznámých, tj. h < n. V tomto případě lze n − h neznámých volit libovolně. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 5 / 16 Jak soustavu vyřešit? Gaussova eliminační metoda Systém reprezentujeme pomocí matice. Matici převedeme do schodovitého tvaru pomocí tzv. elementárních řádkových úprav: - zaměna pořadí řádků, - vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem, - přičtením násobku libovolného řádku k libovolnému řádku, - vypuštění řádku, který je složen ze samých nul, je násobkem jiného řádku nebo lineární kombinací jiných řádků. Zpětným dosazením vypočítáme jednotlivé neznámé. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 6 / 16 Strategie převodu matice na schodovitý tvar V prvním kroku převedeme matici do tvaru, kdy má na pozici (1, 1) (první řádek a první sloupec) nenulový prvek a11 a ostatní prvky v prvním sloupci jsou nulové, tj. 󰀳 󰁅 󰁅 󰁅 󰁃 a11 󰂏 󰂏 . . . 󰂏 0 󰂏 󰂏 . . . 󰂏 ... ... ... 0 󰂏 󰂏 . . . 󰂏 󰀴 󰁆 󰁆 󰁆 󰁄 , kde na pozici 󰂏 stojí nějaké prvky (mohou být nenulové i nulové). Je-li a11 ∕= 0, dosáhneme tohoto tvaru například tak, že první řádek opíšeme, a ke druhému řádku přičteme vhodný násobek prvního řádku tak, aby na pozici (2, 1) vznikla nula. Podobně postupujeme s ostatními řádky. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 7 / 16 V druhém kroku chceme „vytvořit“ nuly ve druhém sloupci pod prvkem 󰂏 . Usilujeme tedy o tvar 󰀳 󰁅 󰁅 󰁅 󰁅 󰁅 󰁃 a11 󰂏 󰂏 . . . 󰂏 0 󰂏 󰂏 . . . 󰂏 0 0 󰂏 . . . 󰂏 ... ... ... 0 0 󰂏 . . . 󰂏 󰀴 󰁆 󰁆 󰁆 󰁆 󰁆 󰁄 . První dva řádky opíšeme a poté postupujeme obdobně jako v prvním kroku: od třetího řádku odečteme vhodný násobek druhého řádku, totéž pro čtvrtý řádek atd. Postupnými úpravami převedeme matici na schodovitý tvar 󰀳 󰁅 󰁅 󰁅 󰁅 󰁅 󰁃 a11 󰂏 󰂏 . . . 󰂏 0 󰂏 󰂏 . . . 󰂏 0 0 󰂏 . . . 󰂏 ... ... ... 0 0 0 . . . 󰂏 󰀴 󰁆 󰁆 󰁆 󰁆 󰁆 󰁄 . Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 8 / 16 Příklad x1 + 2x2 − 5x3 + x4 = −2 3x1 + x2 − 4x3 + 6x4 = −2 −x1 + 2x2 − x3 + x4 = 6 x2 + 3x3 − 4x4 = 1 Řešení: 󰀳 󰁅 󰁅 󰁃 1 2 −5 1 −2 3 1 −4 6 −2 −1 2 −1 1 6 0 1 3 −4 1 󰀴 󰁆 󰁆 󰁄 ∼ 󰀳 󰁅 󰁅 󰁃 1 2 −5 1 −2 0 −5 11 3 4 0 4 −6 2 4 0 1 3 −4 1 󰀴 󰁆 󰁆 󰁄 ∼ ∼ 󰀳 󰁅 󰁅 󰁃 1 2 −5 1 −2 0 1 3 −4 1 0 −5 11 3 4 0 4 −6 2 4 󰀴 󰁆 󰁆 󰁄 ∼ 󰀳 󰁅 󰁅 󰁃 1 2 −5 1 −2 0 1 3 −4 1 0 0 26 −17 9 0 0 −18 18 0 󰀴 󰁆 󰁆 󰁄 ∼ Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 9 / 16 ∼ 󰀳 󰁅 󰁅 󰁃 1 2 −5 1 −2 0 1 3 −4 1 0 0 26 −17 9 0 0 −1 1 0 󰀴 󰁆 󰁆 󰁄 ∼ 󰀳 󰁅 󰁅 󰁃 1 2 −5 1 −2 0 1 3 −4 1 0 0 26 −17 9 0 0 0 9 9 󰀴 󰁆 󰁆 󰁄 9x4 = 9 =⇒ x4 = 1 26x3 − 17x4 = 9 =⇒ 26x3 − 17 = 9 =⇒ x3 = 1 x2 + 3x3 − 4x4 = 1 =⇒ x2 + 3 − 4 = 1 =⇒ x2 = 2 x1 + 2x2 − 5x3 + x4 = −2 =⇒ x1 + 4 − 5 + 1 = −2 =⇒ x1 = −2 (−2, 2, 1, 1) Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 10 / 16 Příklad x1 + x2 + x3 + x4 = 1 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0 x1 + x2 + 5x3 − x4 + 6x5 = 1 x1 + x2 − 3x3 + x4 − 6x5 = −1 Řešení: 󰀳 󰁅 󰁅 󰁃 1 1 1 1 0 1 2 2 2 0 0 0 1 1 5 −1 6 1 1 1 −3 1 −6 −1 󰀴 󰁆 󰁆 󰁄 ∼ 󰀳 󰁅 󰁅 󰁃 1 1 1 1 0 1 0 0 0 −2 0 −2 0 0 4 −2 6 0 0 0 −4 0 −6 −2 󰀴 󰁆 󰁆 󰁄 ∼ ∼ 󰀳 󰁅 󰁅 󰁃 1 1 1 1 0 1 0 0 4 −2 6 0 0 0 −4 0 −6 −2 0 0 0 −2 0 −2 󰀴 󰁆 󰁆 󰁄 ∼ 󰀳 󰁅 󰁅 󰁃 1 1 1 1 0 1 0 0 4 −2 6 0 0 0 0 −2 0 −2 0 0 0 −2 0 −2 󰀴 󰁆 󰁆 󰁄 Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 11 / 16 󰀳 󰁃 1 1 1 1 0 1 0 0 4 −2 6 0 0 0 0 −2 0 −2 󰀴 󰁄 −2x4 = −2 =⇒ x4 = 1 4x3 − 2x4 + 6x5 = 0 =⇒ 4x3 − 2 + 6x5 = 0 =⇒ =⇒ x3 = t, t ∈ R, x5 = 2 − 4t 6 x1 + x2 + x3 + x4 = 1 =⇒ x1 + x2 + t + 1 = 1 =⇒ =⇒ x2 = s, s ∈ R, x1 = −t − s 󰀕 −t − s, s, t, 1, 2 − 4t 6 󰀖 Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 12 / 16 Leontiefův model Ekonomika regionu se skládá ze tří odvětví: průmysl, zemědělství a služby. Každý sektor produkuje komodity a zdrojem jeho příjmů je prodej těchto komodit, přičemž každý sektor potřebuje vstupní komodity (od sebe i ostatních sektorů): výstupy Průmysl Zemědělství Služby Průmysl 0,40 0,20 0,20 vstupy Zemědělství 0,20 0,40 0,20 Služby 0,20 0,10 0,40 Kromě toho existují externí poptávka v hodnotě 30, 30 a 10 miliard na průmysl, zemědělství a služby. Jak velká musí být produkce jednotlivých odvětví? Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 13 / 16 Řešení: 0,4x1 + 0,2x2 + 0,2x3 + 30 = x1 0,2x1 + 0,4x2 + 0,2x3 + 30 = x2 0,2x1 + 0,1x2 + 0,4x3 + 10 = x3 󰀳 󰁃 −0,6 0,2 0,2 −30 0,2 −0,6 0,2 −30 0,2 0,1 −0,6 −10 󰀴 󰁄 ∼ · · · ∼ 󰀳 󰁃 −0,6 0,2 0,2 −30 0 −1,6 0,8 −120 0 0 −21,6 −1560 󰀴 󰁄 x1 = 61,11, x2 = 111,11, x3 = 72, 22 Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 14 / 16 Proč i teorie má smysl? Jednoduchý makroekonomický model hospodářské politiky Uvažme jednoduchý model Y = C + I + G + X − M, • kde Y je hrubý domácí produkt, • C je spotřeba domácností, pro kterou platí C = c(Y − T), 0 < c < 1, kde T = tY , 0 < t < 1, jsou daňové příjmy, • I označuje investiční výdaje, • G jsou celkové vládní výdaje, pro které platí G = T + D, kde D značí deficit státního rozpočtu, • X je celková hodnota exportu, • M je velikost importu, pro kterou platí M = mY, 0 < m < 1 . Podle Tinbergena má být počet cílů, které si vláda vytyčí, roven počtu nástrojů, které se mají použít. Tedy například má smysl následující otázka. Jak velký rozpočtový deficit můžeme očekávat pokud chceme dosáhnout dané úrovně hrubého národního produktu? Má Tinbergenovo tvrzení nějaké matematické zdůvodnění? Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 15 / 16 Řešení: Náš příklad je jednoduchý (i tak už jsme museli zavést spousty ekonomických proměnných). Pokud si situaci rozmyslíme, tak vidíme, že máme jen jednu lineární rovnici. Y = 1 1 − c(1 − t) − t + m (I + X + D) D = (1 − c(1 − t) − t + m)Y − (I + X) Aby byla rovnice jednoznačně řešitelná, můžeme mít jen jednu neznámou. Obecně můžeme říct, že Tinbergenovo tvrzení má smysl. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 27.11.2024 16 / 16