Matematika pro ekonomy
(podpůrný text pro BPM_MAEK)
Petr Liška
12. září 2024
Úvod
Následující text není v žádném případě úplně samonosný. Slouží spíše jako podklad k přednášce (ačkoliv
řešené početní příklady jsou zde záměrně jiné) a jako zdroj aplikačních příkladů pro procvičení.
Jsou zde obsaženy všechny důležité informace, ale ne všechna vysvětlení a komentáře, proto se nehodí
jako jediný zdroj pomocí kterého by bylo vše možné pochopit.
V textu jsou často odkazy na různé knihy a články, které jsou hlavně prakticky zaměřeny. Velká
část z nich vyžaduje hodně trpělivosti a případně i znalosti, které zde nejsou obsaženy. Slouží hlavně
jako ukázka praktického a reálného použítí zde představených matematických metod. Aplikace v textu
jsou jinak spíše modelové, jelikož výpočet, který by obsahoval reálná data je většinou nutné svěřit
kvůli jeho náročnosti počítači (ale principy jsou stejné).
2
Obsah
1 Posloupnosti a řady 4
1.1 Limita posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Nekonečná řada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Diferenciální počet 10
2.1 Funkce a její vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Limita a spojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Derivace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Extrémy funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Jak derivace ovlivňuje tvar grafu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Funkce více proměnných 24
3.1 Limita a spojitost funkce více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Parciální derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Lokální extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Aplikační úlohy k řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Lineární algebra 33
4.1 Vektory a počítání s nimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 Některé aplikace matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Soustavy lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1 Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.2 Gaussova eliminační metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5 Inverzní matice a soustavy rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6 Vlastní čísla a vlastní vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.7 Aplikační úlohy k řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Integrální počet 54
5.1 Primitivní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Integrační metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3 Definice a základní vlastnosti určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Metoda per partes a substituce pro určité integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Aplikační úlohy k řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6 Diferenciální rovnice 64
6.1 Rovnice se separovanými proměnnými . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2 Lineární diferenciální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 Geometrická interpretace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.4 Numerické řešení počáteční úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.5 Aplikační příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3
Kapitola 1
Posloupnosti a řady
Definice 1.1. Posloupnost je předpis a, který každému prvku n množiny N přiřadí právě jedno číslo
an z R. Hodnotu an nazýváme n-tý člen posloupnosti a celou posloupnost pak zapisujeme {an}∞
n=1
nebo zkráceně {an}.
Je možné mít i konečnou posloupnost, pokud v předchozí definici uvážíme místo množiny N její
podmnožinu D, která obsahuje všechna přirozená čísla menší nebo rovno nějaké pevně dané číslo.
Posloupnost obvykle zadáváme
• vzorcem pro n-tý člen;
• rekurentně;
• (výčtem členů).
Základní vlastnosti posloupností
Posloupnost {an} se nazývá
• rostoucí, jestliže an < an+1 pro každé n ∈ N;
• klesající, jestliže an > an+1 pro každé n ∈ N;
• nerostoucí, jestliže an ≥ an+1 pro každé n ∈ N;
• neklesající, jestliže an ≤ an+1 pro každé n ∈ N;
• shora ohraničená, jestliže existuje U ∈ R takové, že an ≤ U pro každé n ∈ N;
• zdola ohraničená, jestliže existuje L ∈ R takové, že an ≥ U pro každé n ∈ N;
• ohraničená, jestliže je ohraničená shora i zdola.
Definice 1.2. Posloupnost {an}∞
n=1 se nazývá aritmetická, jestliže ∃d ∈ R takové, že ∀n ∈ N platí
an+1 = an + d.
Číslo d se nazývá diference.
Pro n-tý člen platí
an = a1 + (n − 1)d.
Pro libovolná r, s ∈ N platí
as = ar + (s − r)d.
Značí-li sn součet prvních n členů posloupnosti, potom platí
sn = a1 + a2 + · · · + ak+1 + · · · + an−1 + an,
4
což můžeme též napsat jako
sn = an + an−1 + · · · + an−k + · · · + a2 + a1.
Chytře sečteme a seskupíme
2sn = (a1 + an) + (a2 + an−1) + · · · + (ak+1 + an−k) + · · · + (an + a1)
a ještě chytřeji vyjádříme
ak+1 = a1 + kd , an−k = a1 + (n − k − 1)d = a1 + (n − 1)d − kd = an − kd.
A pak už je jasné, že
sn =
n
2
(a1 + an)
Aplikace 1.3. Zakázník si koupil zboží za 24 000 Kč a zavázal se jej splatit ve 12 měsíčních splátkách
po 2 000 Kč plus 1,5 % z nesplacené částky. Jaká je např. desátá splátka a kolik zaplatí celkem?
Pro zodpovězení této otázky si můžeme představit několik prvních splátek:
• První splátka: 2 000 + 0,015 · 24 000 = 2 360 Kč
• Druhá splátka: 2 000 + 0,015 · 22 000 = 2 330 Kč
• Třetí splátka: 2 000 + 0,015 · 20 000 = 2 300 Kč
Můžeme si tedy všimnout, že splátky v jednotlivých měsících tvoří členy aritmetické posloupnosti
s diferencí d = −30 Kč. Tedy desátá splátka bude
a10 = a1 + (10 − 1)d = 2 360 + 9(−30) = 2 090 Kč
a celkově zaplacená částka je pak
s12 =
12
2
(2 360 + 2 030) = 26 340 Kč.
Definice 1.4. Posloupnost {an}∞
n=1 se nazývá geometrická, jestliže ∃q ∈ R takové, že ∀n ∈ N platí
an+1 = an · q.
Číslo q se nazývá kvocient.
Pro n-tý člen platí
an = a1 · qn−1
.
Pro libovolná r, s ∈ N platí
as = ar · qs−r
.
Značí-li sn součet prvních n členů posloupnosti, potom můžeme psát
sn = a1 + a1q + · · · + a1qn−1
qsn = a1q + a1q2
+ · · · + a1qn
Odečtením druhého vyjádření od prvního dostaneme
sn(1 − q) = a1(1 − qn
)
a odtud
sn = a1
1 − qn
1 − q
, q ̸= 1.
Je-li q = 1 nemůžeme v předchozí kroku provést dělení. Ale v tomto případě se jedná o poměrně
speciální (a nudnou) konstatní posloupnost a dostaneme
sn = n · a1, q = 1.
5
Present value
Aplikace 1.5. Jak velké množství peněz je nutné investovat, abychom za čtyři roky získali 12 000 Kč,
je-li roční úroková míra 10 %?
Jelikož víme, že částka Pn, kterou získáme při složeném uročení čátky P0 a dané úrokové míře i,
je dána vztahem
Pn = P0(1 + i)n
.
Pak můžeme i ručit jakou částku P0 musíme investovat, abychom za n let obdrželi částku Pn:
P0 =
Pn
(1 + i)n
.
Pro naše konkrétní hodnoty dostáváme
P0 =
12 000
(1 + 0,1)4
= 8 196,16 Kč.
Obecně říkáme, že tato částka P0 je současnou hodnotu (present value) částky Pn za n let.
Tento koncept se požívá (jako jeden z mnoha) pro ohodnocení výhodnosti projektů.
Můžeme se například ptát, je-li výhodná investice 75 000 Kč, pokud příštích 5 let získáme každý
rok 20 000 Kč a roční úroková míra je 12 %.
Pro vyřešení si spočítáme současnou hodnotu jednotlivých budoucích plateb:
• PV 20 000 Kč za první rok je 20 000
1,12
= 17 857,1 Kč
• PV 20 000 Kč za dva roky je 20 000
(1,12)2 = 15 943,9 Kč
• PV 20 000 Kč za tři roky je 20 000
(1,12)3 = 14 235,6 Kč
• PV 20 000 Kč za čtyři roky je 20 000
(1,12)4 = 12 710,4 Kč
• PV 20 000 Kč za pět let je 20 000
(1,12)5 = 11 348,5 Kč
Současná hodnota projektu je tedy
17 857,1 + 15 943,9 + 14 235,6 + 12 710,4 + 11 348,5 = 72 095,5 Kč
a vidíme, že výhodný není.
1.1 Limita posloupnosti
Proveďme následující experiment. Uvažme, že máme částku P0 a roční úrokovou míru i ∈ (0, 1].
• po jednom roce dostaneme
P1 = P0 + iP0 = P0(1 + i)
• po dvou letech dostaneme
P2 = P1 + iP1 = P1(1 + i) = P0(1 + i)(1 + i) = P0(1 + i)2
• a podobně po n letech
Pn = P0(1 + i)n
Co se stane, když dostaneme čtvrtinu úroku každého čtvrt roku?
P1
4
= P0 1 +
i
4
, . . . , P1 = P0 1 +
i
4
4
, . . . , Pn = P0 1 +
i
4
4n
Pro jednoduchost uvažme, že i = 1 a n = 1. Co se stane, když budeme úročit každý měsíc, týden,
hodinu, minutu...?
6
m 1 + 1
m
m
částka
1 1 + 1
1
1
2P0
4 1 + 1
4
4
2,44141P0
12 1 + 1
12
12
2,61304P0
365 1 + 1
365
365
2,71457P0
8760 1 + 1
8760
8760
2,71813P0
525600 1 + 1
525600
525600
2,71828P0
A co se stane, když budeme jednotku času stále zmenšovat?
Pn = P0 1 +
1
m
i
m
i
it
= P0 1 +
1
k
k in
=
k→∞
P0ein
.
Definice 1.6. Nechť je dána posloupnost {an} a číslo A ∈ R. Řekneme, že posloupnost {an} má
limitu A, jestliže se k číslu A můžeme s členy posloupnosti přiblížit libovolně blízko tím, že vezmeme
hodnoty n dostatečně velké.
Pokud má posloupnost {an} limitu, říkáme, že konverguje, a značíme lim
n→∞
an = A, případně
an → A pro n → ∞.
Řekneme, že posloupnost {an} má limitu +∞, jestliže členy posloupnosti můžeme udělat libovolně
velké tím, že vezmeme dostatečně velké n. Značíme lim
n→∞
an = +∞. Podobně definujeme lim
n→∞
an =
−∞.
Pokud má posloupnost {an} limitu +∞ nebo −∞, říkáme, že posloupnost diverguje.
Jestliže posloupnost nekonverguje ani nediverguje, řekneme, že osciluje.
1
2
3
n
an = 1 +
1
n
n
, lim
n→∞
an = e
−1
1
n
an =
(−1)n+1
n
, lim
n→∞
an = 0
5
10
15
20
25
30
n
an = 2n−1
, lim
n→∞
an = ∞
−1
1
n
an = (−1)n
, limita neexsituje
7
Definice 1.7. Množinu R⋆
= R ∪ {+∞, −∞}, která je uspořádaná tak, že pro libovolné x ∈ R platí
−∞ < x < +∞, nazýváme rozšířenou množinou reálných čísel.
Je-li c ∈ R, 0 < k < +∞, −∞ < z < 0 zavádíme
1.
c + (±∞) = (±∞) + c = ±∞,
+∞ + (+∞) = +∞, −∞ + (−∞) = −∞
2.
k · (±∞) = ±∞, z · (±∞) = ∓∞
+∞ · (+∞) = +∞, −∞ · (−∞) = +∞, +∞ · (−∞) = −∞
3.
c
±∞
= 0
Aplikace 1.8. Pokud utratíme peníze za zboží a služby, tak ti, kteří je obdrží, část z nich opět
utratí. Ti, kteří obdrží dvakrát utracené peníze, z nich část opět utratí atd.
Uvažme, že vláda zahájí tento proces tím, že utratí částku D Kč. Každý příjemce pak utratí
100c % a uspoří 100s %, přičemž c + s = 1.
a) Jak velké jsou celkové výdaje Sn po n krocích?
b) Jaký je význam lim
n→∞
Sn?
a)
Sn = D + cD + c(cD) + · · · + cn−1
D = D
1 − cn
1 − c
.
b)
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
D
1 − cn
1 − c
=
D
1 − c
=
D
s
Je-li např. c = 0,8, pak lim
n→∞
Sn = 5D.
1.2 Nekonečná řada
Definice 1.9. Nechť {an}∞
n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol
∞
n=1
an nebo a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · ·
nazýváme nekonečnou číselnou řadou. Posloupnost {sn}∞
n=1, kde
s1 = a1, s2 = a1 + a2, . . . sn = a1 + a2 + · · · + an, . . . ,
nazýváme posloupnost částečných součtů této řady.
Existuje-li vlastní limita lim
n→∞
sn = s, řekneme, že řada ∞
n=1 an konverguje a má součet s. Neexistujeli
vlastní limita lim
n→∞
sn, řekneme, že řada ∞
n=1 an diverguje.
Věta 1.10 (Nutná podmínka konvergence). Nechť ∞
n=1 an konverguje. Pak lim
n→∞
an = 0.
8
Jediná řada, kterou budeme chtít umět sečíst, je řada geometrická, tj. řada
∞
n=1
a1qn−1
Nechť q = 1, lim
n→∞
sn = lim
n→∞
na1 = ±∞. Nechť q = −1, pak řada je a1 + (−a1) + · · · a platí
sn =
0 pro sudé n
a1 pro liché n
tedy lim
n→∞
sn neexistuje. Pro |q| ̸= 1
sn = a1
1 − qn
1 − q
.
Pro q > 1 je lim
n→∞
sn = ∞, pro q < −1 tato limita neexistuje a pro |q| < 1
lim
n→∞
sn =
a1
1 − q
.
9
Kapitola 2
Diferenciální počet
2.1 Funkce a její vlastnosti
Definice 2.1. Nechť jsou dány neprázdné množiny D ⊆ R, H ⊆ R. Předpis f, který každému x ∈ D
přiřazuje právě jedno y ∈ H, nazýváme funkcí jedné proměnné. Tuto funkci označujeme
y = f(x).
Množina D se nazývá definiční obor funkce f a značí se D(f), množina H se nazývá obor hodnot
funkce f a značí se H(f).
Definice 2.2. Grafem funkce f : D(f) → R je množina bodů
G = {(x, f(x)) ∈ R2
: x ∈ D(f)}.
Příklad 2.3 (Typické (netypické) funkce v ekonomii a sociologii).
Logistická funkce (saturační proces)
y =
a
1 + be−cx
a, b, c > 0
0
y
x
a
1+b
a
Trendová funkce s periodickými fluktuacemi
y = a + bx + c sin(dx)
a, b, c, d ∈ R
0
y
x
„Zásobovací“ funkce
y = iS −
S
T
x
(i − 1)T ≤ x ≤ iT
S, T > 0, i = 1, 2, . . .
0
y
x
S
T 2T 3T
Gaussova funkce
y = ae−
(x−b)2
2c2
a, b, c ∈ R, c ̸= 0
0
y
x
Definice 2.4. Funkce f se nazývá ohraničená, jestliže existuje K ∈ R, K > 0, takové, že |f(x)| ≤ K
pro každé x ∈ D(f).
10
Řekneme, že funkce f je sudá, jestliže pro každé x ∈ D(f) platí −x ∈ D(f) a f(−x) = f(x) (graf je
souměrný podle osy y).
Řekneme, že funkce f je lichá, jestliže pro každé x ∈ D(f) platí −x ∈ D(f) a f(−x) = −f(x) (graf
je souměrný podle počátku).
Funkce f se nazývá periodická s periodou p ∈ R, p > 0, jestliže platí, že pro každé x ∈ D(f) je také
x ± p ∈ D(f) a f(x + p) = f(x − p) = f(x). Základní perioda funkce je nejmenší prvek množiny
všech period této funkce.
Definice 2.5. Nechť je dána funkce f : D(f) → R a interval I ⊆ D(f). Pak funkci f nazveme
rostoucí na intervalu I, jestliže pro každá dvě x1, x2 ∈ I taková, že x1 < x2, je f(x1) < f(x2).
Funkci f nazveme klesající na intervalu I, jestliže pro každá dvě x1, x2 ∈ I taková, že x1 < x2, je
f(x1) > f(x2).
Funkce, která je rostoucí nebo klesající, se nazývá ryze monotonní.
Definice 2.6. Funkce f se nazývá prostá, právě když pro všechna x1, x2 ∈ D(f) platí: je-li x1 ̸= x2,
pak f(x1) ̸= f(x2).
Definice 2.7. Nechť u: A → B a f : B → R jsou funkce. Pak funkce F : A → R daná předpisem
y = f(u(x)) se nazývá složená funkce. Funkce u se nazývá vnitřní složkou, funkce f vnější složkou
složené funkce F.
Definice 2.8. Inverzní funkcí k prosté funkci f je funkce f−1
, pro kterou platí, že D(f−1
) = H(f)
a ke každému y ∈ D(f−1
) je přiřazeno právě jedno x ∈ D(f) takové, že f(x) = y.
Věta 2.9. Inverzní funkcí k funkci f rostoucí (klesající) na množině D(f) je rostoucí (klesající)
funkce na množině H(f).
Definice 2.10. Buď x ∈ R. Nechť P je koncový bod oblouku na jednotkové kružnici, jehož počáteční
bod je [1, 0] a jehož délka je |x|; přitom oblouk je od bodu [1, 0] k bodu P orientován v protisměru,
resp. ve směru chodu hodinových ručiček podle toho, zda x ≥ 0, resp. x < 0. Pak první souřadnici
bodu P nazýváme cos x a druhou souřadnici sin x. Dále definujme
tg x =
sin x
cos x
, cotg x =
cos x
sin x
.
Funkce sin x, cos x, tg x a cotg x nazýváme funkce goniometrické.
Některé důležité vztahy:
sin2
x + cos2
x = 1, tg x · cotg x = 1,
sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos2
x − sin2
x,
sin2
x =
1 − cos 2x
2
, cos2
x =
1 + cos 2x
2
.
Definice 2.11. Inverzní funkce k funkci sin x definované na −π
2
, π
2
se označuje arcsin x.
Inverzní funkce k funkci cos x definované na [0, π] se označuje arccos x.
Inverzní funkce k funkci tg x definované na −π
2
, π
2
se označuje arctg x.
Inverzní funkce k funkci cotg x definované na (0, π) se označuje arccotg x.
Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x nazýváme cyklometrické funkce.
Věta 2.12. Cyklometrické funkce mají následující vlastnosti.
1. Funkce arcsin x a arctg x jsou rostoucí, funkce arccos x a arccotg x jsou klesající.
2. Funkce arcsin x a arctg x jsou liché.
11
0 1 π
2
−1− π
2
1
π
2
−1
− π
2
x
y = arcsin x
y = sin x
0 1 π
2
π
−1
π
π
2
−1
x
y = arccos x
y = cos x
0 π
2− π
2
π
2
− π
2
y
x
y = arctg x
y = tg x
0 π
π
π
2
π
2
y
x
y = arccotg x
y = cotg x
Definice 2.13. Funkci P : R → R tvaru
P(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a0, kde a0, a1, . . . , an ∈ R,
nazýváme polynomem. Čísla ai se nazývají koeficienty polynomu. Je-li an ̸= 0, pak číslo n ∈ N
nazveme stupněm polynomu.
Číslo α ∈ C se nazývá kořen polynomu P, jestliže
P(α) = 0.
Číslo α je k-násobným kořenem polynomu P, existuje-li polynom Q takový, že
P(x) = (x − α)k
Q(x),
a α není kořenem polynomu Q, tj. Q(α) ̸= 0. Číslo k ∈ N se pak nazývá násobnost kořene α
polynomu P.
Věta 2.14 (Základní věta algebry). Polynom P stupně n má nad komplexním oborem C právě n
kořenů, počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost.
Definice 2.15. Buďte P, Q nenulové polynomy. Funkce
R(x) =
P(x)
Q(x)
se nazývá racionální lomená funkce. Tuto funkci nazveme ryze lomenou, platí-li stP < stQ, a neryze
lomenou, platí-li stP ≥ stQ.
2.2 Limita a spojitost
Definice 2.16 („Naivní“ definice). Funkce y = f(x) má v bodě x0 limitu L, jestliže se s hodnotami
funkce f(x) můžeme libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně blízké hodnotě
x0, ale různé od x0. Zapisujeme
lim
x→x0
f(x) = L.
12
Funkce y = f(x) má v bodě x0 limitu rovnu ∞, jestliže hodnoty funkce f(x) můžeme udělat libovolně
velké tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně blízké hodnotě x0, ale různé od x0. Zapisujeme
lim
x→x0
f(x) = ∞
a říkáme, že funkce má ve vlastním bodě nevlastní limitu.
Funkce y = f(x) má v bodě ∞ limitu L, jestliže se s hodnotami funkce f(x) můžeme libovolně
přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně velké. Zapisujeme
lim
x→∞
f(x) = L.
Říkáme, že funkce má v nevlastním bodě vlastní limitu.
Funkce y = f(x) má v bodě ∞ limitu ∞, jestliže hodnoty funkce f(x) můžeme udělat libovolně
velké tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně velké. Zapisujeme
lim
x→∞
f(x) = ∞.
Říkáme, že funkce má v nevlastním bodě nevlastní limitu.
Analogicky můžeme popsat i limity v bodě −∞ a s hodnotou −∞.
Pro ty, kteří vyžadují přesnost
Definice 2.17. Nechť x0, δ ∈ R, δ > 0. Pak interval O(x0) = (x0 − δ, x0 + δ) nazveme okolím bodu
x0.
Buď a ∈ R. Pak interval O(∞) = (a, ∞) nazveme okolím bodu ∞ a interval O(−∞) = (−∞, a)
okolím bodu −∞.
Definice 2.18. Nechť x0, L ∈ R ∪ {∞, −∞}. Řekneme, že funkce f(x) má v bodě x0 limitu rovnu
číslu L a píšeme lim
x→x0
f(x) = L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí O(x0) bodu x0
tak, že pro x ∈ O(x0) \ {x0} platí f(x) ∈ O(L).
Věta 2.19. Funkce f má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu.
Řekneme, že funkce f(x) má v bodě x0 limitu zleva rovnu L, píšeme
lim
x→x−
0
f(x) = L,
jestliže se s hodnotami funkce f(x) můžeme libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x
menší než x0 a dostatečně blízké hodnotě x0. Analogicky definujeme i limitu zprava a nevlastní limity.
Věta 2.20.
lim
x→x0
f(x) = L ⇐⇒ lim
x→x−
0
f(x) = lim
x→x+
0
f(x) = L .
Věta 2.21. Nechť existují vlastní limity lim
x→x0
f(x) = L1 , lim
x→x0
g(x) = L2. Pak platí:
a) lim
x→x0
(f(x) ± g(x)) = L1 ± L2,
b) lim
x→x0
(f(x) · g(x)) = L1 · L2,
c) Je-li L2 ̸= 0, pak lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
L1
L2
,
d) lim
x→x0
|f(x)| = | lim
x→x0
f(x)|.
13
Jak se počítá se symbolem ∞? Platí
∞ + ∞ = ∞, ∞ · ∞ = ∞,
1
±∞
= 0,
1
+0
= +∞,
1
−0
= −∞.
Některé výrazy jsou nejednoznačné a určení jejich hodnoty je náročnější. Jedná se o výrazy
∞ − ∞,
∞
∞
,
0
0
, 0 · ∞, 00
, ∞0
, 1∞
.
Příklad 2.22. Proč se při růstu objevuje konstanta e?
Uložme do banky částku P0. Při úroku 8 % dostaneme po roce částku P1
P1 = P0 + 0,08P0 = P0(1 + 0,08),
analogicky po t letech
Pt = P0(1 + 0,08)t
.
Pokud budeme úročit čtvrletně, dostaneme každého čtvrt roku 2 %, tj. po roce
P1 = P0(1 + 0,02)4
a po t letech
Pt = P0(1 + 0,02)4t
.
Můžeme úročit každý měsíc, týden, den, atd. a libovolnou úrokovou mírou, dostaneme tak vztah
Pt = P0 1 +
r
m
mt
Uvažme nyní úrok ve výši 100 % , tj. r = 1, a podívejme se, co se děje s naší částkou po roce, když
úročíme čím dál častěji:
m 1 + 1
m
m
částka
1 1 + 1
1
1
2P0
4 1 + 1
4
4
2,44141P0
12 1 + 1
12
12
2,61304P0
365 1 + 1
365
365
2,71457P0
8760 1 + 1
8760
8760
2,71813P0
525600 1 + 1
525600
525600
2,71828P0
Vypadá to tedy, že částka neporoste do nekonečna, což nás vede k následující definici
lim
n→∞
1 +
1
n
n
= e
Vrátíme-li se k vzorci pro výpočet získané částky
Pt = P0 1 +
r
m
mt
,
pak zavedením substituce m = rn dostaneme
P0 1 +
r
rn
rnt
= P0 1 +
r
rn
n rt
= P0ert
.
Definice 2.23. Nechť x0 ∈ R. Řekneme, že funkce f je v bodě x0 spojitá, jestliže je limita funkce
v tomto bodě rovna funkční hodnotě v tomto bodě, tj.
lim
x→x0
f(x) = f(x0).
14
Analogicky se definuje spojitost zprava/zleva.
Definice 2.24. Nechť f je funkce a I ⊆ D(f) je interval. Řekneme, že funkce f je spojitá na intervalu
I, jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Patří-li navíc levý (pravý) koncový
bod do I, je v něm funkce spojitá zprava (zleva).
Věta 2.25 (Weierstrassova věta). Nechť f je spojitá na intervalu I = [a, b]. Pak je na tomto intervalu
ohraničená a nabývá zde své největší a nejmenší hodnoty.
Věta 2.26 (Bolzanova věta). Nechť f je spojitá na intervalu I = [a, b]. Pak na tomto intervalu
nabývá všech hodnot mezi svou největší a nejmenší hodnotou.
Důsledek 2.27. Je-li funkce f spojitá na intervalu I = [a, b] a f(a)f(b) < 0, pak existuje bod
c ∈ (a, b) takový, že f(c) = 0.
Spojité (tam, kde jsou definované) jsou všechny tzv. elementární funkce, tj.
• polynomy
• exponenciální a logaritmické funkce
• goniometrické a cyklometrické funkce
• mocninné funkce
a funkce, které z nich vzniknou konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání.
Příklad 2.28. Určete znaménko polynomu
P(x) = x(x − 1)(x − 2)2
.
Řešení. Polynom má dva jednoduché kořeny x1 = 0 a x2 = 1 a jeden dvojnásobný kořen x3,4 = 2.
Tato tři čísla nám rozdělí celou reálnou osu na čtyři intervaly a v každém z těchto intervalů bude
mít polynom stále stejné znaménko. Pro určení znaménka stačí zvolit libovolné číslo, které je uvnitř
intervalu, a dosadit jej do polynomu. Zvolíme-li například číslo -2 a dosadíme-li do našeho rozkladu,
dostaneme součin dvou záporných a jednoho kladného čísla. Výsledek je tak kladné číslo. V intervalu
(−∞, 0) je tedy polynom kladný. Podobně rozhodneme pro ostatní intervaly a výsledek můžeme
shrnout do tabulky.
x (−∞, 0) (0, 1) (1, 2) (2, ∞)
R(x) + − + +
Fakt, že má polynom nějaký kořen sudé násobnosti, se projeví tak, že v tomto bodě se graf polynomu
dotýká osy x a v tomto bodě se nemění znaménko polynomu.
Odtud plyne, že znaménko polynomu lze určit tak, že vybereme pouze kořeny s lichou násobností,
určíme znaménko v jednom z intervalů, a pak se již znaménko pro další střídá.
2.3 Derivace funkce
Definice 2.29. Buď f funkce a bod x0 ∈ D(f). Existuje-li vlastní limita
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
,
nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě x0 a značíme f′
(x0) nebo df
dx
(x0).
15
Položíme-li h = x − x0, lze derivaci zapsat ve tvaru
f′
(x0) = lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
.
Podobně definujeme derivace zprava a derivace zleva:
f′
+(x0) = lim
x→x+
0
f(x) − f(x0)
x − x0
, f′
−(x0) = lim
x→x−
0
f(x) − f(x0)
x − x0
.
0
f(x) − f(x0)
x − x0
ϕs ϕt
y
xx0 x
f(x0)
f(x) y = f(x)
t
s
T
Aplikace 2.30. Cenová elasticita
V ekonomii potřebujeme často vyjádřit, jak citlivě některé veličiny reagují na změny jiné veličiny.
Například, jak se mění poptávka po nějakém produktu v závislosti na jeho ceně (obvykle platí, že
s rostoucí cenou klesá poptávka). Ke kvantifikaci takového jevu se zavádí tzv. elasticita. V našem
konkrétním případě se jedná o tzv. cenovou elasticitu poptávky. Označíme-li P1 počáteční cenu a P2
cenu po změně a podobně Q1 počáteční množství a Q2 množství po změně, pak můžeme definovat
tzv. koeficient cenové elasticity poptávky E vztahem
E =
Q2−Q1
1
2
(Q2+Q1)
P2−P1
1
2
(P2+P1)
,
Z definice vidíme, že se vlastně jedná o jakousi průměrnou hodnotu změny v daném intervalu. Pokud
bychom chtěli přesnou hodnotu v daném bodě, pak bychom tento průměr museli počítat v malém
okolí tohoto bodu. Při označení Q2 − Q1 = ∆Q a P2 − P1 = ∆P dostaneme
E =
∆Q
∆P
P1 + P2
Q1 + Q2
.
Podobně jako u definice derivace vidíme, že výraz ∆Q
∆P
vyjadřuje směrnici sečny. Budeme-li počítat
průměrnou hodnotu přes čím dál menší interval, můžeme uvažovat, že Q1 = Q2 = Q a P1 = P2 = P a
sečna přejde opět v tečnu, dostaneme tak okamžitou hodnotu změny, a to je hledaná cenová elasticita
poptávky
e =
dQ
dP
P
Q
.
Poznámka 2.31. Analogicky se definuje cenová elasticita nabídky a také celá řada dalších pojmů
v ekonomii jako marginální zisk/náklady apod.
16
Věta 2.32. Pro derivace elementárních funkcí platí:
c′
= 0, (xa
)′
= axa−1
,
(ex
)′
= ex
, (ln x)′
=
1
x
,
(sin x)′
= cos x, (cos x)′
= − sin x,
(tg x)′
=
1
cos2 x
, (cotg x)′
= −
1
sin2
x
,
(arcsin x)′
=
1
√
1 − x2
, (arccos x)′
= −
1
√
1 − x2
,
(arctg x)′
=
1
x2 + 1
, (arccotg x)′
= −
1
x2 + 1
,
(ax
)′
= ax
· ln a , loga x
′
=
1
x ln a
,
kde a ∈ R a c ∈ R. Tyto vzorce platí všude tam, kde jsou příslušné funkce definovány.
Věta 2.33. Nechť mají funkce f, g derivaci na množině M. Pak platí:
a) cf(x)
′
= cf′
(x), c ∈ R,
b) f(x) ± g(x)
′
= f′
(x) ± g′
(x),
c) f(x) · g(x)
′
= f′
(x)g(x) + f(x)g′
(x),
d) je-li g(x) ̸= 0, pak
f(x)
g(x)
′
=
f′
(x)g(x) − f(x)g′
(x)
g2(x)
.
Věta 2.34. Nechť funkce u = g(x) má derivaci g′
(x), funkce y = f(u) má derivaci f′
(u) a nechť
platí D(f) ⊇ H(g). Pak složená funkce y = F(x) = f[g(x)] má derivaci a platí:
F′
(x) = f′
[g(x)] · g′
(x).
Příklad 2.35. Vypočtěte derivace následujících funkcí:
a) y = 4x3
− 2x2
+ 3x − 1, b) y = 3 3
√
x,
c) y = x2
ln x, d) y = cos x−1
sin x
,
e) y = arctg x2
, f) y =
√
ex + x.
Řešení. Ve všech případech použijeme výše uvedená pravidla pro derivování:
a) y′
= (4x3
− 2x2
+ 3x − 1)′
= 4 · 3x2
− 2 · 2x + 3 = 12x2
− 4x + 3.
b) y′
= (3 3
√
x)′
= (3x
1
3 )′
= 3 · 1
3
x−2
3 = 1
x
2
3
= 1
3√
x
2 .
c) y′
= (x2
ln x)′
= (x2
)′
ln x + x2
(ln x)′
= 2x ln x + x2 1
x
= 2x ln x + x.
d) Použijeme větu o derivaci podílu:
y′
=
cos x − 1
sin x
′
=
(cos x − 1)′
sin x − (cos x − 1) · (sin x)′
(sin x)2
=
=
− sin x · sin x − (cos x − 1) · cos x
sin2
x
=
−1 + cos x
1 − cos2 x
= −
1
1 + cos x
.
17
e) Použijeme větu o derivaci složené funkce:
y′
= (arctg x2
)′
=
1
1 + (x2)2
(x2
)′
=
2x
1 + x4
.
f) y′
= (
√
ex + x)′
= (ex
+ x)
1
2
′
= 1
2
(ex
+ x)−1
2 (ex
+ x)′
= ex+1
2
√
ex+x
.
Aplikace 2.36. Keynesianský multiplikátor
Jednoduchý makroekonomický model bez veřejných výdajů a zahraničního obchodu je dán vztahy
Y = C + I
C = a + bY, a, b ∈ R
kde Y je národní důchod, C je spotřeba a I jsou investice. Jak musíme zvýšit investice, abychom
dostali předem dané zvýšení národního důchodu?
Řešení. Dosazením druhé rovnice do první dostaneme vztah mezi národním důchodem a investicemi
Y = a + bY + I =⇒ Y =
a + I
1 − b
.
Máme odvodit, jak se změní národní důchod, když se změní investice, tj. předpokládáme, že obě
veličiny se v čase mění a jsou tak funkcemi času. Víme, že změna je vyjádřena derivacemi, tj.
zderivujeme-li předchozí rovnici podle času t, dostaneme
dY
dt
=
1
1 − b
dI
dt
(2.1)
Číslo K = 1
1−b
vyjadřuje vliv změny investic na národní důchod a říká se mu multiplikátor.
Uvažujme například, že a = 0, b = 0,75 a I = 250. Jak musíme zvýšit investice, aby se národní
důchod zvýšil o 200? Pro multiplikátor K dostaneme
K =
1
1 − 0,75
= 4 .
Dosazením do (2.1) dostaneme
200 = 4
dI
dt
=⇒
dI
dt
= 50.
Multiplikátor je tedy přiléhavý název.
Z geometrického významu derivace plyne, že funkce f má v bodě x0 derivaci právě tehdy, když
její graf má v bodě (x0, f(x0)) tečnu se směrnicí f′
(x0). Rovnice této tečny je
y = f(x0) + f′
(x0)(x − x0).
Pro rovnici normály, tj. přímky kolmé k tečně a procházející dotykovým bodem, platí
y = f(x0) −
1
f′(x0)
(x − x0), je-li f′
(x0) ̸= 0,
x = x0, je-li f′
(x0) = 0 .
Věta 2.37. Nechť f má derivaci na otevřeném intervalu I.
a) Je-li f′
(x) > 0 pro každé x ∈ I, pak je f rostoucí na I.
b) Je-li f′
(x) < 0 pro každé x ∈ I, pak je f klesající na I.
Věta 2.38. Nechť funkce f, g mají vlastní derivace v každém bodě otevřeného intervalu I. Jestliže
pro všechna x ∈ I platí f′
(x) = g′
(x), pak se funkce f, g liší o konstantu, tj. existuje c ∈ R takové,
že f(x) = g(x) + c.
Zejména jestliže f′
(x) = 0 na I, pak je f na I konstantní.
18
2.4 Extrémy funkce
Definice 2.39. Řekneme, že funkce f má v bodě x0:
a) lokální maximum, existuje-li okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈ O(x0) je f(x) ≤ f(x0),
b) lokální minimum, existuje-li okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈ O(x0) je f(x) ≥ f(x0),
c) ostré lokální maximum, jestliže existuje okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈ O(x0) ∖ {x0} je
f(x) < f(x0),
d) ostré lokální minimum, jestliže existuje okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈ O(x0) ∖ {x0} je
f(x) > f(x0).
Věta 2.40 (Fermatova). Nechť má funkce f v bodě x0 lokální extrém a nechť existuje derivace f′
(x0).
Pak f′
(x0) = 0.
Bod x0 s vlastností f′
(x0) = 0 se nazývá stacionární bod funkce.
Věta 2.41. Mění-li derivace funkce při přechodu přes stacionární bod znaménko, pak v něm funkce
má lokální extrém.
Definice 2.42. Druhou derivací funkce f rozumíme funkci f′′
= (f′
)′
a pro libovolné n ≥ 2 definujeme
n-tou derivaci (derivaci n-tého řádu) funkce f vztahem f(n)
= (f(n−1)
)′
.
Věta 2.43. Nechť f′
(x0) = 0, tj. x0 je stacionární bod.
a) Je-li f′′
(x0) > 0, pak má funkce f v bodě x0 ostré lokální minimum.
b) Je-li f′′
(x0) < 0, pak má f v bodě x0 ostré lokální maximum.
Příklad 2.44. Najděte lokální extrémy funkce:
a) f(x) = x3
− 12x − 6, b) f(x) = x
1+x2 .
Řešení. a) Najděme všechny stacionární body. Platí
f′
(x) = (x3
− 12x − 6)′
= 3x2
− 12.
Položme f′
(x) = 0, dostaneme stacionární body x = 2 a x = −2. Zjistíme znaménko f′
:
interval (−∞, −2) (−2, 2) (2, +∞)
f′
+ − +
f ↗ ↘ ↗
Podle věty (2.41) vidíme, že v obou bodech má funkce extrém, přičemž v bodě x = −2 se jedná
o maximum o hodnotě 10 a v x = 2 o minimum o hodnotě -22.
b) Postupujeme obdobně jako v předchozím případě:
f′
(x) =
x
1 + x2
′
=
1 − x2
(1 + x2)2
.
Položme f′
(x) = 0, dostaneme stacionární body x = 1 a x = −1. Znázorníme znaménko f′
:
interval (−∞, −1) (−1, 1) (1, +∞)
f′
− + −
f ↘ ↗ ↘
Proto v bodě x = −1 má funkce lokální minimum hodnoty −1
2
a v bodě x = 1 lokální maximum
hodnoty 1
2
.
19
Aplikace 2.45. Optimální zdanění
Zvětšení zdanění zboží zvýší jeho cenu. To má za následek snížení poptávky (celkový efekt změny
bude záviset na elasticitě poptávky). Toho, kdo daně vybírá, ovšem nejvíce zajímá, kolik daní vybere.
Otázkou tedy je, zda-li snížení poptávky nepřeváží zvýšení daní, tj. sníží se celkový daňový výnos.
Uvažujme, že poptávka se řídí vztahem
pd = a + bq
a nabídka vztahem
ps = c + dq,
kde pd a ps jsou jednotkové ceny v korunách, q značí množství a a, c, d>0 a b<0. Jak bude vypadat
optimální daň?
Řešení. Označíme-li t daň uvalenou na jeden kus zboží, pak nabídka se bude řídit vztahem
ps = c + dq + t .
Při rovnováze na trhu platí.
pd = ps =⇒ c + dq + t = a + bq
a odtud pro množství na trhu dostaneme
q =
a − c − t
d − b
.
Celkový daňový výnos y je určen množstvím prodaného zboží a daně, tj.
y = qt =
a − c − t
d − b
t.
Pro nalezení optimální daně na jeden výrobek tedy hledáme maximum funkce y. Derivace je
y′
=
a − c − 2t
d − b
.
Máme jediný stacionární bod t = a−c
2
. Vzhledem k mnoha parametrům bude nejjednodušší použít
pro určení typu extrému druhou derivaci
y′′
=
−2
d − b
.
Tato derivace je záporná, jelikož d − b > 0. Stacionární bod je tedy lokálním maximem. Optimální
daň na jeden kus výrobku tedy bude a−c
2
korun.
Aplikace 2.46. Meltzer–Richard
Jeden ze standardních modelů v politické ekonomii říká, že redistribuce bohatství by měla být větší ve
společnostech, kde mediánový příjem je značně menší než průměrný příjem, jinými slovy společnosti,
ve kterých je větší nerovnost, by měly mít větší přerozdělení bohatství. Proč je tomu tak?
Řešení. Ukážeme si zjednodušený model podle [1]. Zavedeme následující značení a předpoklady
• U(·) značí užitek získaný z veřejných statků, daná funkce je rostoucí a konkávní;
• yi je příjem i-té osoby;
• Wi je blahobyt i-té osoby;
• ci je spotřeba i-té osoby;
• τ značí daně uvalené vládou na příjem každého jedince (nabývá hodnot mezi 0 a 1);
• g je množství veřejných statků, které vláda poskytuje.
20
Předpokládejme, že blahobyt každého jedince je dán vztahem
Wi = ci + U(g) .
Prostředky každé osoby pro její spotřebu jsou její příjmy po zdanění, tj.
ci = (1 − τ)yi .
Příjem se liší osobu od osoby. Označíme E(y) průměrnou hodnotu příjmu ve společnosti a med (y)
mediánový příjem ve společnosti.
Idealizující předpoklad je, že v demokracii se všechny daně promění ve veřejné statky, máme tak
podmínku
g = τE(y).
Můžeme tedy přepsat vztah pro blahobyt i-té osoby
Wi = 1 −
g
E(y)
yi + U(g) = (E(y) − g)
yi
E(y)
+ U(g).
Kdy bude blahobyt jedince největší v závislosti na množství veřejných statků? Pro zodpověžení této
otázky stačí určit maximum funkce Wi:
dWi
dg
= −
yi
E(y)
+
dU
dg
.
Stacionární bod je řešením rovnice dWi
dg
= 0 a odtud dU
dg
= yi
E(y)
. Problémem je, že neznáme přesně
funkci U(g). Označíme-li Ug = dU
dg
, pak můžeme řešení q⋆
i naší rovnice vyjádřit pomocí inverzní funkce
jako
q⋆
i = U−1
g
yi
E(y)
.
Jelikož U byla rostoucí a konkávní funkce, pak Ug je kladná a klesající funkce. Z vlastností inverzních
funkcí pak plyne, že i U−1
g je klesající. Odtud tedy víme, že bude existovat jedno řešení naší rovnice,
které je závislé na hodnotě příjmu dané osoby a průměrné hodnotě příjmu. Navíc víme, že tato
hodnota klesá s rostoucím příjmem. Jelikož g značí velikost veřejných statků, tak tento výsledek
můžeme interpretovat tak, že bohatí lidé preferují méně přerozdělování (což je celkem v souladu s
intuicí).
Tímto jsme určili množství pro danou osobu. Vláda ovšem musí nastavit jednu hodnotu g. Přidáme
ještě jeden předoklad, tzv. pravidlo mediánového voliče. Toto pravidlo říká, že vítězná politika
je dána mediánovou osobou populace. Jelikož jediná věc, která určuje úroveň preferované velikosti
přerozdělování bohatství vládou, je hodnota yi
E(y)
, tak pro mediánového voliče dostaneme
q⋆
= U−1
g
med y
E(y)
.
Což bude hodnota, kterou budeme pozorovat v ekonomice. Obvyklým signálem nerovnosti je, že
průměrná mzda je vyšší než mediánová mzda. V takovémto případě by podle tohoto modelu měla
být míra přerozdělení vyšší než nastavená míra.
Definice 2.47. Buď funkce f definovaná na množině M. Jestliže x0 ∈ M a platí
f(x) ≤ f(x0)
pro všechna x ∈ M, říkáme, že funkce f má na M absolutní maximum v bodě x0. Podobně definujeme
absolutní minimum.
Postup pro nalezení absolutních extrémů:
1. Najdeme v daném intervalu stacionární body a body, v nichž neexistuje první derivace.
2. Vypočteme funkční hodnoty v těchto bodech.
3. Vypočteme funkční hodnoty v krajních bodech intervalu (pokud patří do D(f)).
4. Ze všech takto získaných funkčních hodnot vybereme největší a nejmenší. To bude absolutní
maximum a minimum.
21
2.5 L’Hospitalovo pravidlo
Věta 2.48. Buď x0 ∈ R ∪ {−∞, ∞}. Nechť je splněna jedna z podmínek
i) lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x) = 0,
ii) lim
x→x0
|f(x)| = lim
x→x0
|g(x)| = +∞.
Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) lim
x→x0
f′(x)
g′(x)
, pak existuje také lim
x→x0
f(x)
g(x)
a platí
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f′
(x)
g′(x)
.
Využitím různých triků se na tyto dva případy dají převést i ostatní tzv. neurčité výrazy
∞ − ∞, 0 · ∞, 00
, ∞0
, 1∞
.
2.6 Jak derivace ovlivňuje tvar grafu?
Definice 2.49. Leží-li graf funkce f nad každou svojí tečnou v libovolném bodě intervalu I, tj.
platí-li
f(x) ≥ f(x0) + f′
(x0)(x − x0) pro x, x0 ∈ I,
řekneme, že funkce je konvexní na intervalu I.
Leží-li graf funkce f pod každou svojí tečnou v libovolném bodě intervalu I, tj. platí-li
f(x) ≤ f(x0) + f′
(x0)(x − x0) pro x, x0 ∈ I,
řekneme, že funkce je konkávní na intervalu I.
x
y
x
y
konvexní = nad tečnou konkávní = pod tečnou
Věta 2.50. Nechť I je otevřený interval a f má druhou derivaci na I.
a) Je-li f′′
(x) > 0 pro každé x ∈ I, pak je f konvexní na I.
b) Je-li f′′
(x) < 0 pro každé x ∈ I, pak je f konkávní na I.
Definice 2.51. Řekneme, že x0 je inflexním bodem funkce f, jestliže je f v x0 spojitá, a jestliže je
vlevo od bodu x0 konkávní a vpravo od tohoto bodu je konvexní, nebo naopak.
Věta 2.52. a) Nechť x0 je inflexní bod a nechť existuje f′′
(x0). Pak f′′
(x0) = 0.
b) Nechť f′′
(x0) = 0, v levém okolí bodu x0 platí f′′
(x) < 0 a v pravém okolí bodu x0 platí f′′
(x) > 0,
nebo naopak. Pak má funkce f v bodě x0 inflexní bod.
22
x
y
0
Obrázek 2.1: Inflexní bod
Příklad 2.53. Určete intervaly, ve kterých je funkce
f : y = xex
.
konvexní/konkávní, případně určete její inflexní body.
Řešení. Spočteme první derivaci:
y′
= (xex
)′
= ex
+ xex
.
Druhá derivace je
y′′
= (ex
+ xex
)′
= 2ex
+ xex
.
Určíme nulové body druhé derivace:
ex
(2 + x) = 0 ⇔ x = −2.
Znaménko druhé derivace je:
interval (−∞, −2) (−2, ∞)
f′′
− +
f ∩ ∪
A proto funkce má v bodě x = −2 inflexní bod.
0
y
x
−3 −2 −1 1
1
2
Obrázek 2.2: Graf funkce y = xex
23
Kapitola 3
Funkce více proměnných
Aplikace 3.1. Wind-chill index
Typickým příkladem funkce více proměnných, se kterou se setkal každý, je vztah mezi vnímanou a
naměřenou teplotou, který je dále ovlivněn rychlostí větru (v případě funkce dvou proměnných) nebo
i vlhkostí (funkce tří proměnných).
T/v 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80
5 4 3 2 1 1 0 -1 -1 -2 -2 -3
0 -2 -3 -4 -5 -6 -6 -7 -8 -9 -9 -10
-5 -7 -9 -11 -12 -12 -13 -14 -15 -16 -16 -17
-10 -13 -15 -17 -18 -19 -20 -21 -22 -23 -23 -24
-15 -19 -21 -23 -24 -25 -26 -27 -29 -30 -30 -31
-20 -24 -27 -29 -30 -32 -33 -34 -35 -36 -37 -38
-25 -30 -33 -35 -37 -38 -39 -41 -42 -43 -44 -45
-30 -36 -39 -41 -43 -44 -46 -48 -49 -50 -51 -52
W = 13,12 + 0,6215T − 11,37v0,16
+ 0,3965Tv0,16
Definice 3.2. Nechť M ⊆ Rn
, n ∈ N, M ̸= ∅. Předpis f, který každému bodu množiny M přiřazuje
právě jedno z ∈ R se nazývá (reálná) funkce n (reálných) proměnných. Množina M se nazývá definiční
obor funkce f.
Definice 3.3 (Speciálně). Nechť D ⊆ R2
, D ̸= ∅. Předpis f, který každému bodu roviny [x, y] ∈ D
přiřazuje právě jedno z ∈ R, nazýváme funkcí dvou proměnných. Tuto funkci označujeme
z = f(x, y).
Množina D se nazývá definiční obor funkce f.
Definice 3.4. Nechť M ⊆ Rn
, f : M → R. Pak
G(f) = {[x1, . . . , xn, y]; [x1, . . . , xn] ∈ Rn
; y = f(x1, . . . , xn)}
se nazývá graf funkce f.
Definice 3.5. Nechť M ⊆ R2
, f : M → R, c ∈ R. Množinu
fc = {[x, y] ∈ M : f(x, y) = c}
nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c.
24
f(x, y) = sin(xy) f(x, y) = x−y
1+x2+y2
x
y
z
x
y
z
Aplikace 3.6. Cobb-Douglasova produkční funkce
Důležitým příkladem funkce dvou proměnných je tzv. Cobb-Douglasova produkční funkce, která se
používá k modelování výstupů firmy nebo státu. Je to například funkce tvaru
P(L, K) = aLα
Kβ
, a > 0, 0 < α < 1, 0 < β < 1,
kde P značí celkovou produkci, L práci (obvykle měřenou v hodinách) a K investovaný kapitál.
3.1 Limita a spojitost funkce více proměnných
Pojem limity funkce dvou proměnných je opět založen na pojmu okolí bodu. Zásadní rozdíl je v tom,
jak vypadá okolí bodu na přímce (ose x) a okolí bodu ve vyšší dimenzi. Okolím bodu [x0, y0] ležícího
v rovině (tj. v dvojrozměrném prostoru) je množina všech bodů [x, y], které mají od tohoto bodu
vzdálenost menší než nějaké číslo a. Vzdálenost neboli metriku můžeme definovat různými způsoby.
Podle výběru metriky dostaneme tvar okolí. Například v euklidovské metrice je okolí bodu A = [x0, y0]
vnitřek kruhu se středem [x0, y0] a poloměrem a, tj.
(x − x0)2
+ (y − y0)2
< a2
.
Ryzím okolím bodu je pak okolí tohoto bodu bez bodu samotného.
Definice 3.7. Řekneme, že funkce f : R2
→ R má v bodě A ∈ R2
limitu L, L ∈ R, jestliže ke každému
okolí O(L) bodu L existuje ryzí okolí O(A) bodu A takové, že pro každý bod x ∈ O(A) ∩ D(f) platí
f(x) ∈ O(L).
Definice 3.8. Nechť bod [x0, y0] je takový bod definičního oboru D(f) funkce f : R2
→ R, že jeho
libovolné ryzí okolí obsahuje bod množiny D(f). Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě [x0, y0],
jestliže má v tomto bodě vlastní limitu a platí
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0).
Řekneme, že funkce f je spojitá na množině D ⊆ R2
, je-li spojitá v každém bodě této množiny.
3.2 Parciální derivace
Definice 3.9. Nechť f : R2
→ R a [x0, y0] je bod. Existuje-li limita
lim
x→x0
f(x, y0) − f(x0, y0)
x − x0
= lim
h→0
f(x + h, y0) − f(x0, y0)
h
řekneme, že funkce f má v bodě [x0, y0] parciální derivaci podle x.
Tuto derivaci značíme
fx(x0, y0) =
∂f(x0, y0)
∂x
=
∂f
∂x
(x0, y0) = f′
x(x0, y0)
25
Analogicky definujeme a značíme derivaci podle y.
x0
y0
P0
P
β
α
x
y
z
t1
t2
z = f(x, y)
Protože libovolná parciální derivace funkce je definovaná jako „obyčejná“ derivace funkce jedné
proměnné, platí pro počítání parciálních derivací obvyklá pravidla pro derivování. Při výpočtu postupujeme
tak, že všechny proměnné kromě té, podle které derivujeme, považujeme za konstanty.
Příklad 3.10. Vypočtete parciální derivace funkce dvou proměnných:
a) f(x, y) = x3
+ x2
y3
− 2y2
, b) f(x, y) = xy
x−y
,
c) f(x, y) = x2 + y2, d) f(x, y) = ln(x + y2
).
Řešení. a) Použijeme pravidla pro derivaci součtu, případně rozdílu, a pravidlo o derivaci polynomu.
Dostaneme tak
fx(x, y) = 3x2
+ 2xy3
,
fy(x, y) = 3x2
y2
− 4y.
b) Použijeme pravidlo pro derivaci podílu:
fx(x, y) =
y(x − y) − xy
(x − y)2
= −
y2
(x − y)2
,
fy(x, y) =
x(x − y) + xy
(x − y)2
=
x2
(x − y)2
.
c) Použijeme pravidlo pro derivaci složené funkce:
fx(x, y) =
1
2 x2 + y2
2x =
x
x2 + y2
,
fy(x, y) =
1
2 x2 + y2
2y =
y
x2 + y2
.
26
d) Postupujeme obdobně jako v předchozím příkladě:
fx(x, y) =
1
x + y2
, fy(x, y) =
2y
x + y2
.
Příklad 3.11. Nalezněte a interpretujte PK(200, 120) a PL(200, 120) pro Cobb-Douglasovu funkci
P(K, L) = 20K0,4
L0,6
.
Řešení. Při počítání derivace podle K uvažujeme, že L je konstanta a použijeme obvyklá pravidla
pro derivování
PK(K, L) = 20 · 0,4K−0,6
L0,6
.
Dosazením K = 200 a L = 120 dostaneme
PK(200, 120) = 8 · 200−0,6
· 1200,6
≈ 5,9 .
Tento výsledek znamená, že produkce se zvýší o 5,9 jednotek za každou jednotku kapitálu (když
K = 200 a L = 120). Toto číslo se nazývá marginální produktivita kapitálu.
Postupujeme podobně jako při počítání derivace podle K, tj. uvažujeme, že K je konstanta a
použijeme obvyklá pravidla pro derivování
PL(K, L) = 20 · 0,6K0,4
L−0,4
.
Dosazením K = 200 a L = 120 dostaneme
PL(200, 120) = 12 · 2000,4
· 120−0,4
≈ 14,7
Tento výsledek znamená, že produkce se zvýší o 14,7 jednotek za každou jednotku práce (když
K = 200 a L = 120). Toto číslo se nazývá marginální produktivita práce.
Příklad 3.12. Uvažujme firmu, která používá několik různých zdrojů. Pro jednoduchost uvažujme
dva zdroje: suroviny a práci. Podle jedné teorie je férová mzda (cena) dána oceněním práce (nebo
libovolného vstupu) hodnotou jeho marginálního produktu. Tato hodnota je daná součinem ceny
výsledného zboží a marginálního produktu daného vstupu (tj. změnou celkové produkce při změně
tohoto vstupu o jednotku). Dále uvažujme, že se množství vyrobeného zboží řídí Cobb-Douglasovou
produkční funkcí. Je za těchto předpokladů možné zaplatit férovou mzdu?
Řešení: Uvažujme, že firma prodává svůj výstup Q za cenu PQ a Q = aMα
Lβ
, kde M značí
množství suroviny, L množství práce a a, α a β jsou kladné konstanty. Pokud má být každý zdroj
placen cenou rovnou hodnotě svého marginálního produktu, potom cena těchto zdrojů bude
PM = PQ
∂Q
∂M
.
PL = PQ
∂Q
∂L
.
Celkové výdaje TC za vstupy pak budou
TC = MPM + LPL = M PQ
∂Q
∂M
+ L PQ
∂Q
∂L
= PQ M
∂Q
∂M
+ L
∂Q
∂L
Celkový výnos TR bude
TR = PQQ .
Celkové výdaje na vstupy se budou rovnat celkovému výnosu, když
PQ M
∂Q
∂M
+ L
∂Q
∂L
= PQQ
27
a odtud
Q = M
∂Q
∂M
+ L
∂Q
∂L
Vypočteme derivace
∂Q
∂M
= αaMα−1
Lβ ∂Q
∂L
= βaMα
Lβ−1
a dosadíme
Q = M αaMα−1
Lβ
+ L βaMα
Lβ−1
= Q(α + β).
Abychom tedy mohli zaplatit férovou mzdu, musí platit, že α + β = 1. Tento koncept férové mzdy
tedy není obecně použitelný.
Poznámka 3.13. Zároveň máme otázky k přemýšlení. Co pro produkci znamená, že α + β = 1.
Proč v situacích α + β > 1 a α + β < 1 není možné platit férovou mzdu?
Definice 3.14. Nechť [x0, y0] ∈ D(fx). Existuje-li parciální derivace funkce fx(x, y) podle proměnné
x v bodě [x0, y0], nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce 2. řádu podle x funkce f v bodě
[x0, y0] a značíme ji fxx(x0, y0) nebo ∂2f
∂x2 (x0, y0).
Existuje-li parciální derivace funkce fx(x, y) podle proměnné y v bodě [x0, y0], nazýváme tuto
derivaci smíšenou parciální derivací 2. řádu funkce f v bodě [x0, y0] a značíme ji fxy(x0, y0) nebo
také ∂2f
∂x∂y
(x0, y0).
Věta 3.15 (Schwarz, Clairaut). Nechť funkce f má v okolí bodu [x0, y0] parciální derivace fx, fy a
smíšenou parciální derivaci fxy, která je v bodě [x0, y0] spojitá. Pak existuje také smíšená parciální
derivace fyx(x0, y0) a platí
fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0).
Příklad 3.16. Vypočtěte všechny druhé derivace funkce f(x, y) = xy
, x > 0.
Řešení. Parciální derivaci podle x určíme jako derivaci mocninné funkce a derivaci podle y jako
derivaci exponenciální funkce se základem x, tj.
fx = yxy−1
, fy = xy
ln x.
Podobně obdržíme
fxx = y(y − 1)xy−2
, fyy = xy
ln2
x.
Při výpočtu smíšených derivací musíme derivovat oba výrazy podle pravidla pro výpočet derivace
součinu a dostaneme
fxy = xy−1
(y ln x + 1), fyx = xy−1
(y ln x + 1).
3.3 Lokální extrémy
Definice 3.17. Řekneme, že funkce f : R2
→ R nabývá v bodě [x0, y0] lokálního maxima (minima),
jestliže existuje okolí tohoto bodu takové, že pro všechny body z tohoto okolí platí f(x, y) ≤ f(x0, y0),
resp. f(x, y) ≥ f(x0, y0).
Jsou-li nerovnosti v těchto vztazích pro [x, y] ̸= [x0, y0] ostré, mluvíme o ostrých lokálních maximech
a minimech.
(Ostrá) lokální maxima a minima nazýváme souhrně (ostré) lokální extrémy.
Definice 3.18. Nechť f : R2
→ R. Řekneme, že bod [x0, y0] je stacionární bod funkce f, jestliže
v bodě [x0, y0] existují obě parciální derivace prvního řádu funkce f a platí
fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0.
Věta 3.19 (Fermat). Nechť funkce f : R2
→ R má v bodě [x0, y0] lokální extrém. Pak všechny parciální
derivace prvního řádu funkce f, které v tomto bodě existují, jsou rovny nule.
28
Věta 3.20. Nechť funkce f : R2
→ R má v bodě [x0, y0] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace
druhého řádu a nechť [x0, y0] je její stacionární bod. Jestliže
D(x0, y0) = fxx(x0, y0)fyy(x0, y0) − [fxy(x0, y0)]2
> 0,
pak má funkce f v [x0, y0] ostrý lokální extrém. Je-li fxx(x0, y0) > 0, jde o minimum, je-li fxx(x0, y0) <
0, jde o maximum.
Jestliže D(x0, y0) < 0, pak v bodě [x0, y0] lokální extrém nenastává.
Příklad 3.21. Určete lokální extrémy funkce
f(x, y) = x3
+ y3
− 3xy.
Řešení. Funkce, jejíž extrémy hledáme, je polynomem proměnných x, y, a proto jsou její parciální
derivace spojité v celém R2
. Lokální extrémy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech, které
najdeme jako řešení soustavy rovnic
fx = 3x2
− 3y = 0, fy = 3y2
− 3x = 0.
Z první rovnice plyne y = x2
a dosazením do druhé rovnice dostáváme
x4
− x = x(x − 1)(x2
+ x + 1) = 0,
odtud x1 = 0, x2 = 1 (kvadratický trojčlen x2
+ x + 1 má záporný diskriminant, a je vždy kladný).
Existují tedy dva stacionární body P1 = [0, 0], P2 = [1, 1]. Dále platí fxx = 6x, fyy = 6y, fxy = −3,
odtud
D(x, y) = 36xy − 9, tj. D(P1) = −9 < 0, D(P2) = 36 − 9 = 27 > 0.
V bodě P1 tedy extrém nenastává a v bodě P2 nastává ostré lokální minimum, neboť zxx(P2) = 6 > 0.
Hodnota tohoto extrému je f(1, 1) = −1.
Aplikace 3.22. Soutěž a koluze
Představme si, že jsme producentem nějakého produktu, jehož nefixní produkční náklady jsou minimální
(např. minerální voda, mobilní data atd.), a zároveň máme monopol, tj. jsme jediným producentem.
Pro konkrétnost uvažujme, že cena našeho produktu je
p = 6 − 0,01x, 0 ≤ x ≤ 600,
kde x značí množství prodaného produktu. Zisk je potom popsán funkcí
R(x) = x(6 − 0,01x) = 6x − 0,01x2
.
Náš maximální zisk najdeme položením první derivace nule, tj.
R′
(x) = 6 − 0,02x = 0 =⇒ x = 300 .
Že se jedná o maximum, bychom mohli ověřit např. pomocí druhé derivace. Maximální zisk tak bude
R(300) = 900 Kč při ceně 3 Kč za jednotku.
Co se stane, když budeme mít dalšího konkurenta, tj. půjde již o duopol? Nová cenová funkce
bude
p = 6 − 0,01x − 0,01y,
kde x značí množství produktu, který prodáme, a y značí množství, které prodá náš konkurent. Náš
zisk pak bude
R1(x, y) = px = 6x − 0,01x2
− 0,01xy
a zisk našeho konkurenta bude
R2(x, y) = py = 6y − 0,01xy − 0,01y2
.
29
Každý z nás se snaží maximalizovat svůj zisk, tj. položíme rovny nule parciální derivace
(R1)x = 6 − 0,02x − 0,01y = 0
(R2)y = 6 − 0,01x − 0,02y = 0
Řešením této soustavy rovnic je x = 200, y = 200. Tedy my i náš konkurent budeme prodávat při
ceně p(200, 200) = 2 Kč a zisk každého bude R1 = R2 = 400 Kč.
Můžeme si povšimnout, že při konkurenci na trhu duopol produkuje více než monopol, a navíc při
nižší ceně, tj. tato situace je výhodnější pro zákazníka. Zároveň ovšem platí, že celkový zisk duopolistů
je nižší než zisk, který měl producent při monopolu. Při této situaci v realitě tedy obvykle dojde k
tomu, že duopolisté spolupracují a rozdělí si trh jako jeden monopol (tzv. koluze).
Aplikace 3.23. Metoda nejmenších čtverců
Máme-li výsledky nějakého měření, jsou tyto výsledky obyčejně zatíženy nějakou chybou. Chceme-li
tedy najít funkci, která popisuje námi sledovaný děj, není podstatný požadavek, aby tato funkce procházela
naměřenými hodnotami. Požadujeme ovšem, aby vyjadřovala výsledky měření co nejpřesněji,
a to v následujícím smyslu.
Označme yk naměřené hodnoty v bodech xk, k = 1, . . . , n a f hledanou funkci, nejčastěji polynom.
Standartním kritériem nejlepšího přiblížení hledané funkce a naměřených hodnot je požadavek, aby
součet
S =
n
k=1
(f(xk) − yk)2
byl co nejmenší. Jedná se o součet obsahů čtverců, jejich strana má velikost rovnu rozdílu naměřené
hodnoty a hodnoty nalezené funkce v daném bodě. O takto získaných křivkách říkáme, že byly
nalezeny metodou nejmenších čtverců.
0
y
x
f
0
y
x
f
Jak vypadá rovnice přímky, která je proložena danými body touto metodou?
Řešení. Označme [x1, y1], [x2, y2], . . . , [xn, yn] body v rovině, kterými prokládáme přímku y = ax+b
metodou nejmenších čtverců. Pak hledáme minimum funkce
S(a, b) =
n
k=1
(axk + b − yk)2
.
Lokální extrém dané funkce může nastat jen ve stacionárním bodě. Spočteme parciální derivace
S′
a = 2
n
k=1
(axk + b − yk)xk = 2 a
n
k=1
x2
k + b
n
k=1
xk −
n
k=1
xkyk ,
S′
b = 2
n
k=1
(axk + b − yk) = 2 a
n
k=1
xk + b
n
k=1
1 −
n
k=1
yk .
Jelikož n
k=1 1 = n, dostaneme pro stacionární body soustavu
a n
k=1 x2
k + b n
k=1 xk = n
k=1 xkyk
a n
k=1 xk + bn = n
k=1 yk .
30
Z povahy úlohy je zřejmé, že nějaká optimální přímka musí existovat. Dá se ukázat, že daná soustava
má právě jedno řešení (tj. existuje jediný stacionární bod) s výjimkou případu, kdy dva body mají
stejnou x-ovou souřadnici. Jelikož řešením soustavy je jen jeden stacionární bod, musí právě tento
bod být hledaným řešením.
Předchozím příkladem jsme tak odvodily následující větu.
Věta 3.24. Nechť [x1, y1], [x2, y2], . . . , [xn, yn] jsou body v rovině, které prokládáme přímkou y =
ax + b metodou nejmenších čtverců, tj. hledáme minimum funkce S(a, b) = n
k=1(axk + b − yk)2
.
Pak pro koeficienty a, b platí:
a n
k=1 x2
k + b n
k=1 xk = n
k=1 xkyk
a n
k=1 xk + bn = n
k=1 yk.
Poznamenejme ještě, že analogicky se dají odvodit i vztahy pro jiné křivky nalezené metodou
nejmenších čtverců (parabola, exponenciála atd.).
3.4 Aplikační úlohy k řešení
Příklad 3.25. Uvažme tzv. nákladovou funkci
C(x) = 8
4
√
x3 + 300,
která vyjadřuje náklady na produkci x výrobků v stovkách korun. Spočtěte derivaci C′
(x) a interpretujte
tento výsledek.
Příklad 3.26. Roční zisk firmy x let od dnešního dne se předpokládá ve výši
P(x) = 5x − 0,4x2
miliónů korun (0 ≤ x ≤ 8). Vypočtěte P(3), P′
(3) a P′′
(3) a interpretujte tyto výsledky.
Příklad 3.27. Farma může prodat 20 beden úrody týdně při ceně 400 Kč. Majitel odhaduje, že při
snížení ceny o 10 Kč prodá o dvě bedny více. Výrobní náklady jsou 200 Kč na jednu bednu. Jaká je
optimální cena bedny úrody pro maximalizaci zisku a jak velký tento zisk bude?
31
Literatura
[1] A. H. Meltzer, S. F. Richard; A Rational Theory of the Size of Government, Journal of Political
Economy, 89 (1981), 914–927.
32
Kapitola 4
Lineární algebra
4.1 Vektory a počítání s nimi
Definice 4.1. Vektorem rozumíme libovolnou uspořádánou n-tici (x1, x2, . . . , xn). Značíme
⃗x = (x1, x2, . . . , xn).
Jednotlivým prvkům x1, x2, . . . , xn říkáme složky vektoru, číslo n se nazývá dimenze vektoru ⃗v.
Dva vektory ⃗x = (x1, x2, . . . , xn) a ⃗y = (y1, y2, . . . , yn) jsou si rovny, jestliže se rovnají odpovídající
si složky, tj.
⃗x = ⃗y ⇐⇒ x1 = y1, x2 = y2, . . . , xn = yn.
Vektor můžeme též zapsat jako
⃗x =





x1
x2
...
xn





Definice 4.2. Množina všech vektorů ⃗x = (x1, x2, . . . , xn), kde xi ∈ R společně s operacemi sčítání
vektorů
⃗x + ⃗y = (x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
a násobením vektoru číslem c ∈ R
c · (x1, x2, . . . , xn) = (c · x1, c · x2, . . . , c · xn)
se nazývá vektorový prostor Rn
.
Vektor ⃗o = (0, 0, . . . , 0) se nazývá nulový vektor.
Poznámka 4.3. Obecně se vektor definuje jako prvek abstraktní struktury, které se říká vektorový
prostor. Roli vektorů pak mohou hrát nejen uspořádané n-tice čísel, ale třeba i funkce, matice,
posloupnosti atd.
Počítání s vektory má mnoho podobných vlastností jako počítání s čísly:
Věta 4.4. Nechť ⃗u, ⃗v a ⃗w jsou libovolné vektory z Rn
a c, d ∈ R, pak
1. ⃗u + ⃗v = ⃗v + ⃗u (komutativní zákon)
2. (⃗u + ⃗v) + ⃗w = ⃗u + (⃗v + ⃗w) (asociativní zákon)
3. ⃗u + ⃗o = ⃗u
4. ⃗u + (−⃗u) = ⃗o
33
5. c(⃗u + ⃗v) = c⃗u + c⃗v (distributivní zákon)
6. (c + d)⃗u = c⃗u + d⃗u (distributivní zákon)
7. c(d⃗u) = (cd)⃗u
8. 1 · ⃗u = ⃗u
Definice 4.5. Nechť ⃗x, ⃗y ∈ Rn
. Potom skalární součin ⃗x · ⃗y je definován jako
⃗x · ⃗y = (x1, x2, . . . , xn) · (y1, y2, . . . , yn) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn =
n
k=1
xkyk .
Definice 4.6. Velikostí vektoru ⃗x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
rozumíme nezáporné číslo
|⃗x| =
√
⃗x · ⃗x = x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n.
Definice 4.7. Vektory ⃗x a ⃗y nazveme ortogonální, právě když
⃗x · ⃗y = 0 .
Definice 4.8. Nechť ⃗x1,⃗x2, . . . ,⃗xn je konečná posloupnost vektorů z vektorového prostoru V . Vektor
⃗x, pro který platí
⃗x = t1⃗x1 + t2⃗x2 + · · · + tn⃗xn,
kde t1, t2, . . . , tn jsou nějaká reálná čísla, se nazývá lineární kombinace vektorů ⃗x1,⃗x2, . . . ,⃗xn.
Definice 4.9. Řekneme, že vektory ⃗x1,⃗x2, . . . ,⃗xn jsou lineárně závislé, jestliže existují reálná čísla
t1, t2, . . . , tn, z nichž alespoň jedno je různé od nuly, taková, že platí
⃗o = t1⃗x1 + t2⃗x2 + · · · + tn⃗xn.
V opačném případě říkáme, že vektory jsou lineárně nezávislé.
Lineárně závislé vektory můžeme chápat tak, že alespoň jeden z nich se dá vyjádřit jako lineární
kombinace některých ostatních. Lineárně nezávislé pak tak, že žádný z nich se nedá napsat pomocí
kombinace ostatních.
4.2 Matice
Definice 4.10. Maticí A rozumíme schéma
A = (aij) =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





kde aij pro i = 1, . . . , m a j = 1, . . . , n jsou reálná čísla nebo funkce. Je-li tato matice (tabulka)
sestavená z m řádků a n sloupců, říkáme, že A je matice typu m × n. Je-li m = n nazývá se matice
A čtvercová matice, jinak obdélníková matice.
Je-li A čtvercová matice, říkáme, že prvky tvaru aii, tj. prvky, jejichž řádkový a sloupcový index
jsou stejné, tvoří hlavní diagonálu.
34
Operace s maticemi
• Nechť k ̸= 0 je reálné číslo. Výsledkem násobení matice A číslem k je matice C, jejíž prvky
jsou tvaru
cij = k · aij.
• Nechť A, B jsou matice téhož typu m×n. Součtem matic A, B nazýváme matici C, jejíž prvky
jsou
cij = aij + bij.
• Nechť A je matice typu m × n a B je matice typu n × p. Součinem matic A a B (v tomto
pořadí) nazýváme matici C (typu m × p), jejíž prvky jsou
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . ainbnj =
n
k=1
aikbkj.
Definice 4.11. Je-li A matice typu m × n, pak transponovaná matice AT
je matice typu n × m,
která vznikne z matice A záměnou řádků za sloupce, tj. i-tý sloupec matice AT
je i-tý řádek matice
A pro všechna i.
Definice 4.12. Diagonální matice je čtvercová matice, která má všechny prvky mimo hlavní diagonálu
rovny nule.
Definice 4.13. Jednotková matice je čtvercová matice, která má v hlavní diagonále všechny prvky
rovny jedné a všechny prvky mimo diagonálu rovny nule. Tuto matici budeme značit I.
Příklad 4.14. Pro dané matice spočtěte (2A + B)T
A =
2 −1
1 2
B =
3 1
2 0
Řešení.
2A =
4 −2
2 4
2A + B =
7 −1
4 4
(2A + B)T
=
7 4
−1 4
Příklad 4.15. Pro dané matice spočtěte A · B
A =
3 0
−1 5
B =
4 −2 1
0 2 3
Řešení.
A · B =
3 0
−1 5
·
4 −2 1
0 2 3
=
3·4 + 0·0 3·(−2) + 0·2 3·1 + 0·3
−1·4 + 5·0 −1·(−2) + 5·2 −1·1 + 5·3
=
=
12 −6 3
−4 12 14
Všimněme si, že součin B ·A vůbec není definován. Navíc ani v případě, že násobení je definováno
pro obě pořadí, nemusí platit, že A · B = B · A.
Věta 4.16 (Základní vlastnosti počítání s maticemi). Nechť matice A, B, C mají správné rozměry
tak, aby se dali provést naznačené operace a k ∈ R. Pak
1. A + B = B + A (komutativní zákon)
35
2. (A + B) + C = A + (B + C) (asociativní zákon)
3. A(BC) = (AB)C (asociativní zákon)
4. A(B + C) = AB + AC (levý distributivní zákon)
5. (A + B)C = AC + BC (pravý distributivní zákon)
6. k(A + B) = kA + kB
7. k(AB) = (kA)B = A(kB)
Proč se to dělá zrovna takto?
Násobení matic vypadá už na první pohled nelogicky a příliš komplikovaně. Důvodem je, že první byla
konkrétní aplikace matic, a až pak definice násobení. Představme si, že máme „rozumné“ pravidlo,
které každému bodu v rovině přiřadí nějaký jiný bod (konkrétně se jedná o lineární zobrazení). Příkladem
takového pravidla je např. osová souměrnost v rovině nebo otočení o daný úhel. Matematicky
to můžeme vyjádřit takto (více o funkcích se dozvíme později):
f
x1
x2
=
ax1 + bx2
cx1 + dx2
g
x1
x2
=
Ax1 + Bx2
Cx1 + Dx2
Složení zobrazení f a g je pak dáno
f g
x1
x2
= f
Ax1 + Bx2
Cx1 + Dx2
=
(aA + bC)x1 + (aB + bD)x2
(cA + dC)x1 + (cB + dD)x2
Přirozeně se nabízí tato zobrazení reprezentovat maticemi
F =
a b
c d
G =
A B
C D
H =
aA + bC aB + bD
cA + dC cB + dD
a násobení matic pak definovat tak, aby odpovídalo skládání těchto zobrazení:
a b
c d
·
A B
C D
=
aA + bC aB + bD
cA + dC cB + dD
4.2.1 Některé aplikace matic
Grafem rozumíme konečnou množinu bodů (těm říkáme vrcholy) a konečnou množinu hran, kdy
každá z nich spojuje dva vrcholy (ne nutně různé). Tyto grafy můžeme prezentovat obrázkem
A B C D E
A
B D
E
C
Nevýhodou je, že každý graf má nekonečně mnoho reprezentací. Proto používáme pro jeho zkoumání
tzv. matici sousednosti. Pro graf o n vrcholech se jedná o čtvercovou matici n × n definovanou
takto
aij =
1 je-li hrana mezi vrcholy i a j,
0 jinak.
36
Pro náš graf dostaneme matici
A =






0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0 0 1
1 0 1 1 0






V mnoha aplikacích, které můžeme modelovat pomocí grafu, je mezi vrcholy zároveň nějaký vztah,
který vede k tomu, že hrana by měla být orientovaná. Například vztah dravec-kořist v grafu modelujícím
ekosystém nebo jednosměrná cesta v modelu dopravní sítě. Tímto dostaneme tzv. orientovaný
graf.
A
B
C
D E
F
G
I pro orientovaný graf můžeme zavést matici sousednosti, kde pro jednotlivé koeficienty platí
aij =
1 vede-li hrana z vrcholu i do vrcholu j,
0 jinak.
Pro náš graf dostaneme matici
A =










0 0 0 0 0 0 1
1 0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 1 0 1 1
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0










Cestou v grafu rozumíme posloupnost hran, která nám umožní cestovat z jednoho vrcholu do
jiného. Její délka je pak číslo určující počet hran, které obsahuje.
Uvažme matici
A2
= A · A =






3 0 2 2 1
0 2 1 0 2
2 1 3 1 2
2 0 1 2 0
1 2 2 0 3






Co reprezentují čísla v této matici? Z definice násobení matic víme, že
A2
13
= a11a13 + a12a23 + a13a33 + a14a43 + a15a53 .
Tento výraz bude nenulový, když alespoň jeden ze součinů a1kak3 bude nenulový, což ale nastane jen
tehdy, když oba členy a1k i ak3 budou nenulové. To ale znamená, že existuje hrana mezi prvním a
k-tým vrcholem a také hrana mezi k-tým a třetím vrcholem, tedy existuje cesta délky 2, která spojuje
první a třetí vrchol.
37
Aplikace 4.17. Sociální sítě
Kdo je nejvýznamnější postavou v této síti vztahů?
16
17
18
19
20
21
22
23
24
2512
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14
15
Řešení. Místo směsice čar uvážíme matici sousednosti, která zachycuje stejnou situaci a můžeme ji
studovat.














































0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0














































Základní metrika, která udává odpověď na naši otázku, je stupeň vrcholu, který udává počet hran,
jež z daného vrcholu vychází. Což v našem případě znamená počet kontaktů, která daná osoba má.
V této metrice je mnoho osob rovnocenných (což až tak nevadí), ale nijak není rozlišena kvalita jejich
kontaktů (jako kvalitnější můžeme například brát kontakty, které sami mají hodně kontaktů). Pro
určení stupně vrcholu stačí spočítat všechny jedničky v daném řádku (nebo sloupci). Můžeme zjistit i
stupeň každého vrcholu pomocí vhodné maticové operace (stačí matici sousednosti vynásobit maticí,
která má jeden sloupec a správný počet řádků, přičemž obsahuje samé jedničky).
38
Pro lepší metriku, která zohlední i kvalitu jednotlivých kontaktů, musíme ještě trochu pokročit
ve studiu matic.
Aplikace 4.18. Stěhování
Předpokládejme, že populace se stěhuje mezi dvěma regiony, např. venkovem a městem, podle následujícího
schématu. Každý rok se 50% obyvatel venkova přestěhuje do měst a 25% obyvatel měst
se přestěhuje na venkov. Je-li například na začátku polovina obyvatel ve městě a tento vzor migrace
bude pokračovat, jak bude vypadat stav po dvou letech? A jak bude rozdělení obyvatelstva vypadat
z dlouhodobého hlediska? Vyprázdní se venkov? Nebo se situace stabilizuje tak, že část obyvatel bude
žít ve městě a část na venkově?
Řešení. Celou situaci můžeme zachytit i graficky pomocí tzv. grafu přechodu:
V M
0,5
0,25
0,5 0,75
Stav po jednom roce můžeme popsat dvěma rovnicemi
vk+1 = 0,5vk + 0,25mk
mk+1 = 0,5vk + 0,75mk
Tyto rovnice můžeme zapsat pomocí vektorů a matic
vk+1
mk+1
=
0,5 0,25
0,5 0,75
·
vk
mk
a zjednodušeně
⃗pk+1 = T · ⃗pk .
Stav po dvou letech dostaneme
⃗pk+2 = T · ⃗pk+1 = T · (T · ⃗pk) = T2
· ⃗pk .
Pro naše konkrétní hodnoty dostaneme
⃗p2 = T2
· ⃗p0 =
0,375 0,3125
0,625 0,6875
·
0,5
0,5
=
0,34375
0,65625
a analogicky bychom dostali stav po dalších letech. Pokud má existovat nějaký rovnovážný stav, tak
pro něj musí platit
⃗p = T · ⃗p
Jak najít takový vektor si povíme později.
Definice 4.19. Markovův řetězec je náhodný proces, který popisuje posloupnost možných událostí.
Pro tento proces platí, že pravděpodobnost přechodu procesu do následujícího stavu závisí pouze na
současném stavu.
Definice 4.20. Matici, která obsahuje v každém sloupci (řádku) pravděpodobnosti přechodu od
jednoho stavu k druhému, nazveme maticí přechodu daného Markovova řetězce.
Definice 4.21. Je-li T matice přechodu daného Markovova řetězce a existuje-li vektor ⃗v takový, že
⃗v = T · ⃗v
nazveme vektor ⃗v stacionární distribucí (rovnovážným stavem) Markovova řetězce.
39
4.3 Soustavy lineárních rovnic
Definice 4.22. Soustavou (systémem) k lineárních rovnic o n neznámých x1, x2, . . . , xn rozumíme
soustavu rovnic
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ak1x1 + ak2x2 + · · · + aknxn = bk.
Je-li b1 = b2 = · · · = bk = 0, nazývá se takováto soustava homogenní.
Řešením soustavy je každá uspořádaná n-tice (t1, t2, . . . , tn) takových čísel t1, t2,. . . , tn, která
dané soustavě vyhovuje.
Pro každou soustavu vždy nastane právě jedna z následujících možností:
• Soustava rovnic má právě jedno řešení.
• Soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení.
• Soustava rovnic nemá žádné řešení.
Definice 4.23. Maticí soustavy nazýváme matici
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
ak1 ak2 . . . akn





.
Rozšířenou maticí soustavy nazýváme matici
¯A =





a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
...
...
...
ak1 ak2 . . . akn bk





.
Soustavu pak můžeme zapsat maticově
A · ⃗x = ⃗b ,
kde ⃗x je vektor neznámých a ⃗b je vektor pravých stran. Píšeme také
A · X = B .
4.3.1 Hodnost matice
Definice 4.24. Hodnost matice A je číslo, které je rovno maximálnímu počtu lineárně nezávislých
řádků. Označujeme ji h(A).
Je-li A čtvercová matice typu n × n, jejíž hodnost je rovna n, nazýváme ji regulární maticí. Je-li
h(A) < n, nazývá se taková matice singulární.
Definice 4.25. Řekneme, že A je matice ve schodovitém tvaru, jestliže v matici A každý nenulový
řádek začíná větším počtem nul než předchozí řádek.
Věta 4.26. Hodnost matice ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků.
Věta 4.27 (Frobeniova věta). Soustava lineárních rovnic má řešení, právě když je hodnost matice
soustavy rovna hodnosti rozšířené matice soustavy.
40
Věta 4.28. Soustava k lineárních rovnic o n neznámých má jediné řešení, jestliže je hodnost h
matice soustavy rovna hodnosti rozšířené matice soustavy a navíc je rovna počtu neznámých n, tedy
h = n.
Věta 4.29. Soustava k lineárních rovnic o n neznámých má nekonečně mnoho řešení, jestliže se
hodnost h matice soustavy rovná hodnosti rozšířené matice a navíc je tato hodnost menší než počet
neznámých, tj. h < n. V tomto případě lze n − h neznámých volit libovolně.
Příklad 4.30. Jednoduchý makroekonomický model hospodářské politiky
Uvažme jednoduchý model
Y = C + I + G + X − M,
• kde Y je hrubý domácí produkt,
• C je spotřeba domácností, pro kterou platí
C = c(Y − T), 0 < c < 1,
kde T = tY , 0 < t < 1, jsou daňové příjmy,
• I označuje investiční výdaje,
• G jsou celkové vládní výdaje, pro které platí
G = T + D,
kde D značí deficit státního rozpočtu,
• X je celková hodnota exportu,
• M je velikost importu, pro kterou platí
M = mY, 0 < m < 1 .
Podle Tinbergena má být počet cílů, které si vláda vytyčí, roven počtu nástrojů, které se mají
použít. Tedy například má smysl následující otázka. Jak velký rozpočtový deficit můžeme očekávat
pokud chceme dosáhnout dané úrovně hrubého národního produktu? Má Tinbergenovo tvrzení nějaké
matematické zdůvodnění?
Řešení. Náš příklad je jednoduchý (i tak už jsme museli zavést spousty ekonomických proměnných).
Pokud si situaci rozmyslíme, tak vidíme, že máme jen jednu lineární rovnici. Aby byla rovnice
jednoznačně řešitelná, můžeme mít jen jednu neznámou. Obecně můžeme díky větě 4.28 říct, že
Tinbergenovo tvrzení tedy má smysl.
4.3.2 Gaussova eliminační metoda
• Soustavu reprezentujeme pomocí matice.
• Matici převedeme do schodovitého tvaru pomocí tzv. elementárních řádkových úprav:
- záměna pořadí řádků,
- vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem,
- přičtení násobku libovolného řádku k libovolnému řádku,
- vypuštění řádku, který je složen ze samých nul, je násobkem jiného řádku nebo je lineární
kombinací jiných řádků.
• Zpětným dosazením vypočítáme jednotlivé neznámé.
Algoritmus (postup) převodu matice na schodovitý tvar je následující:
41
1. V prvním kroku převedeme matici do tvaru, kdy má na pozici (1, 1) (první řádek a první
sloupec) nenulový prvek a11 a ostatní prvky v prvním sloupci jsou nulové, tj.





a11 ⋆ ⋆ . . . ⋆
0 ⋆ ⋆ . . . ⋆
...
...
...
0 ⋆ ⋆ . . . ⋆





,
kde na pozici ⋆ stojí nějaké prvky (mohou být nenulové i nulové). Je-li a11 ̸= 0, dosáhneme
tohoto tvaru například tak, že první řádek opíšeme, a ke druhému řádku přičteme vhodný
násobek prvního řádku tak, aby na pozici (2, 1) vznikla nula. Podobně postupujeme s ostatními
řádky.
2. V druhém kroku chceme „vytvořit“ nuly ve druhém sloupci pod prvkem ⋆ . Usilujeme tedy
o tvar 






a11 ⋆ ⋆ . . . ⋆
0 ⋆ ⋆ . . . ⋆
0 0 ⋆ . . . ⋆
...
...
...
0 0 ⋆ . . . ⋆







.
První dva řádky opíšeme a poté postupujeme obdobně jako v prvním kroku: od třetího řádku
odečteme vhodný násobek druhého řádku, totéž pro čtvrtý řádek atd.
3. Postupnými úpravami převedeme matici na schodovitý tvar







a11 ⋆ ⋆ . . . ⋆
0 ⋆ ⋆ . . . ⋆
0 0 ⋆ . . . ⋆
...
...
...
0 0 0 . . . ⋆







.
Příklad 4.31.
x − 2y + z = 1
−x + 3y + 2z = 0
2x − y + 5z = 5
Řešení. Rozšířená matice systému je tvaru


1 −2 1 1
−1 3 2 0
2 −1 5 5

 .
První řádek ponecháme beze změny, k druhému přičteme první a od třetího odečteme dvojnásobek
prvního. Dostaneme tak matici 

1 −2 1 1
0 1 3 1
0 3 3 3

 .
Nyní opíšeme první i druhý řádek a od třetího odečteme trojnásobek druhého. Získáme tak matici


1 −2 1 1
0 1 3 1
0 0 −6 0

 .
Poslední řádek odpovídá rovnici −6z = 0, a proto z = 0. Druhý řádek odpovídá rovnici y + 3z = 1
a po dosazení z = 0 dostaneme y = 1. Nakonec první řádek odpovídá rovnici x − 2y + z = 1 a po
dosazení y = 1 i z = 0, vypočítáme x = 3. Systém má tedy právě jedno řešení (x, y, z) = (3, 1, 0).
42
Příklad 4.32.
3x1 − 2x2 − 3x3 + 4x4 = −2
x1 + x2 − x3 + x4 = 2
x2 + x4 = 1
x1 − x3 = 1
Řešení. Napíšeme rozšířenou matici systému




3 −2 −3 4 −2
1 1 −1 1 2
0 1 0 1 1
1 0 −1 0 1




a obdobně jako v předchozím případě ji převedeme na schodovitý tvar




3 −2 −3 4 −2
0 −5 0 1 −8
0 1 0 1 1
0 1 0 1 1



 ∼


3 −2 −3 4 −2
0 −5 0 1 −8
0 0 0 6 −3

 .
Vidíme, že hodnost matice systému je rovna hodnosti rozšířené matice systému, ale je menší než
počet neznámých (h = 3, n = 4). Podle věty 4.29 platí, že takový systém má nekonečně mnoho
řešení a je možné volit 4 − 3 = 1 neznámou (dostaneme tzv. volnou neznámou neboli parametr).
Z posledního řádku dostáváme 6x4 = −3, proto x4 = −1
2
. Druhý řádek dává rovnost −5x2 +x4 = −8
a po dosazení za x4 = −1
2
dostáváme x2 = 3
2
. Nakonec dosadíme za x2 a x4 do prvního řádku a
dostaneme x1 − x3 = 1. Této rovnosti zřejmě vyhovuje nekonečně mnoho hodnot x1, x3. Zvolme
např. x3 za volnou neznámou, tj. nechť x3 = t, t ∈ R. Zkoumaný systém rovnic má nekonečně mnoho
řešení tvaru
x1 = 1 + t, x2 =
3
2
, x3 = t, x4 = −
1
2
,
kde t je libovolné reálné číslo (parametr).
Aplikace 4.33. Leontiefův model
Ekonomika regionu se skládá ze tří odvětví: průmysl, zemědělství a služby. Každý sektor produkuje
komodity a zdrojem jeho příjmů je prodej těchto komodit, přičemž každý sektor potřebuje vstupní
komodity (od sebe i ostatních sektorů):
výstupy
Průmysl Zemědělství Služby
Průmysl 0,40 0,20 0,20
vstupy Zemědělství 0,20 0,40 0,20
Služby 0,20 0,10 0,40
Kromě toho existuje externí poptávka v hodnotě 30, 30 a 10 miliard na průmysl, zemědělství a
služby. Jak velká musí být produkce jednotlivých odvětví?
Řešení. První řádek tabulky interpretujeme tak, že průmysl spotřebuje 40 % komodit, které sám
produkuje, a dále spotřebuje 20 % produktů zemědělství a 20 % produktů služeb. Analogicky můžeme
chápat i další řádky a naši ekonomiku tak popsat soustavou rovnic:
0,4x1 + 0,2x2 + 0,2x3 + 30 = x1
0,2x1 + 0,4x2 + 0,2x3 + 30 = x2
0,2x1 + 0,1x2 + 0,4x3 + 10 = x3


−0,6 0,2 0,2 −30
0,2 −0,6 0,2 −30
0,2 0,1 −0,6 −10

 ∼ · · · ∼


−0,6 0,2 0,2 −30
0 −1,6 0,8 −120
0 0 −21,6 −1560


x1 = 61,11, x2 = 111,11, x3 = 72, 22
Poznámka 4.34. V realitě je situace samozřejmě daleko komplikovanější. Detaily včetně odkazů na
statistiky je možno nalézt v [4].
43
4.4 Determinant
Definice 4.35. Determinant |A| čtvercové matice A ∈ R1×1
je číslo
|A| = |a11| = a11 .
Determinant |A| čtvercové matice A ∈ Rn×n
, n ≥ 2 je číslo
|A| = a11|A11| − a12|A12| + · · · + (−1)n+1
a1n|A1n| =
n
j=1
(−1)j+1
a1j|A1j|,
kde A1j značí matici, která vznikla z matice A odebráním prvního řádku a j-tého sloupce.
Rozepsáním předchozí definice pro čtvercové matice řádu 2 a 3 dostaneme dvě speciální pravidla.
Křížové pravidlo
a11 a12
a21 a22
= a11a22 − a12a21
Sarrusovo pravidlo
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11
a22 a23
a32 a33
− a12
a21 a23
a31 a33
+ a13
a21 a22
a31 a32
= a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31
− a13a22a31 − a12a21a33 − a23a32a11
Pro výpočet determinantů vyšších řádů můžeme využít i následujícího vztahu:
|A| =
n
k=1
(−1)l+k
alk|Alk|, l ∈ N, 1 ≤ l ≤ n,
ve kterém Alk je matice, která vznikne z matice A vypuštěním l-tého řádku a k-tého sloupce. Tento
vztah vlastně říká, že matici je možné tzv. rozvinout podle libovolného řádku. Výpočet determinantu
matice řádu n tak převedeme na výpočet n determinantů řádu n − 1. Podobně můžeme determinant
rozvinout i podle libovolného sloupce. Při praktickém výpočtu volíme k rozvoji řádek (sloupec), který
obsahuje co nejvíce nul, jelikož pak nemusíme některé příslušné menší determinanty vůbec počítat.
Praktický výpočet determinantu matice si ukážeme na následujícím příkladu.
Příklad 4.36. Vypočtěte determinanty
a)
1 2 −1
2 1 1
3 −1 2
b)
2 3 4 5
0 −1 2 1
0 0 2 4
0 3 −6 0
Řešení. a) Použijeme Sarrusovo pravidlo
1 2 −1
2 1 1
3 −1 2
= 1 · 1 · 2 + 2 · 1 · 3 + 2 · (−1) · (−1) − 3 · 1 · (−1) − 2 · 2 · 2 − 1 · (−1) · 1 =
= 2 + 2 + 6 + 3 − 8 + 1 = 6.
44
b) Použijeme rozvoj podle prvního sloupce. Algoritmus výpočtu je vidět z postupu, exponent členu
(−1) je roven součtu řádkového a sloupcového indexu, které odpovídají pozici daného čísla.
2 3 4 5
0 −1 2 1
0 0 2 4
0 3 −6 0
= 2 · (−1)2
·
−1 2 1
0 2 4
3 −6 0
+ 0 · (−1)3
·
3 4 5
0 2 4
3 −6 0
+
+0 · (−1)4
·
3 4 5
−1 2 1
3 −6 0
+ 0 · (−1)5
·
3 4 5
−1 2 1
0 2 4
= 2 · (−6) = −12.
V „realitě“ se na to musí jinak
Pro větší determinanty je předchozí postup přílíš početně náročný, a tak se postupuje trochu
jinak. Všimněme si, jak vyjde determinant, který má hlavní diagonále samé nuly.
Příklad 4.37. Vypočtěte determinant
1 2 −1
0 5 1
0 0 4
Řešení. Použijeme-li Sarrusovo pravidlo, dostaneme
1 2 −1
0 5 1
0 0 4
= 1 · 5 · 4 = 20
Je tedy vidět, že takovýto determinant je roven součinu prvků na hlavní diagonále.
Věta 4.38. Determinant, který má pod hlavní diagonálou samé nuly, je roven součinu prvků v této
diagonále.
Potřebné nuly můžeme v determinantu získat pomocí následujících úprav.
Věta 4.39. 1. Vynásobíme-li libovolný řádek (sloupec) matice číslem k, determinant matice bude
k-násobkem determinantu matice původní.
2. Zaměníme-li pořadí dvou řádků (sloupců) matice, determinant výsledné matice bude mít opačné
znaménko než determinant matice původní.
3. Přičtením k-násobku libovolného řádku (sloupce) k jinému řádku (sloupci) se determinant matice
nezmění.
Při úpravách není nutné vyrobit nuly všude pod hlavní diagonálou, stačí si příklad jen dostatečně
zjednodušit, a pak použít rozvoj determinantu. Tento přístup si ukážeme na následujícím příkladu.
Příklad 4.40. Vypočtěte determinant
|A| =
3 −2 1 −2
−3 −5 2 0
2 1 −2 −4
−1 0 3 1
45
Řešení. Pomocí úprav vyrobíme další nuly v posledním sloupci. Přičteme čtyřnásobek posledního
řádku k předposlednímu řádku a dvojnásobek posledního řádku k řádku prvnímu:
|A| =
3 −2 1 −2
−3 −5 2 0
2 1 −2 −4
−1 0 3 1
=
1 −2 7 0
−3 −5 2 0
−2 1 10 0
−1 0 3 1
=
Nyní můžeme snadno determinant rozvinout podle posledního sloupce
|A| = 1 · (−1)8
1 −2 7
−3 −5 2
−2 1 10
= −50 − 21 + 8 − 70 − 2 − 60 = −195
4.5 Inverzní matice a soustavy rovnic
Definice 4.41. Nechť A ∈ Rn×n
je čtvercová matice řádu n. Jestliže existuje čtvercová matice A−1
řádu n splňující vztahy
A−1
A = I = AA−1
,
nazýváme matici A−1
inverzní maticí k matici A.
Inverzní matici lze nalézt ke každé regulární matici.
Věta 4.42. Nechť A ∈ Rn×n
je čtvercová matice řádu n taková, že k ní existuje A−1
. Potom systém
lineárních rovnic A⃗x = ⃗b má právě jedno řešení ⃗x = A−1⃗b pro libovolné ⃗b ∈ Rn
.
Jak inverzní matici najít?
Věta 4.43. Nechť A je čtvercová matice. Jestli sekvence elementárních řádkových úprav převede
matici A na jednotkovou, pak stejná sekvence elementárních řádkových úprav převede jednotkovou
matici na A−1
.
Příklad 4.44.
A =


3 2 0
5 4 1
1 2 5

 A−1
= ?
Řešení.


3 2 0 1 0 0
5 4 1 0 1 0
1 2 5 0 0 1

 ∼


1 2 5 0 0 1
3 2 0 1 0 0
5 4 1 0 1 0

 ∼


1 2 5 0 0 1
0 −4 −15 1 0 −3
0 −6 −24 0 1 −5

 ∼
∼


1 2 5 0 0 1
0 −4 −15 1 0 −3
0 0 −6 −6 4 −2

 ∼


1 2 5 0 0 1
0 −4 −15 1 0 −3
0 0 3 3 −2 1

 ∼
∼


3 6 0 −15 10 −2
0 −4 0 16 −10 2
0 0 3 3 −2 1

 ∼


12 0 0 36 −20 4
0 −4 0 16 −10 2
0 0 3 3 −2 1

 ∼


1 0 0 3 −5
3
1
3
0 1 0 −4 5
2
−1
2
0 0 1 1 −2
3
1
3


46
Souvislosti
Věta 4.45. Nechť A ∈ Rn×n
, pak následující výroky jsou ekvivalentní:
1. Řádky matice A jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory.
2. Sloupce matice A jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory.
3. K matici A existuje invezní matice A−1
.
4. |A| ̸= 0
5. Soustava lineárních rovnic AX = B má pro libovolnou pravou stranu B jediné řešení.
6. Homogenní soustava rovnic AX = 0 má pouze nulové řešení.
7. Každý vektor z Rn
lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů tvořených řádky (sloupci) matice
A a to jednoznačně (až na pořadí).
4.6 Vlastní čísla a vlastní vektory
Definice 4.46. Nechť A je čtvercová matice, λ je komplexní číslo a ⃗x je nenulový vektor, který je
řešením rovnice
A⃗x = λ⃗x. (4.1)
Pak se komplexní číslo λ nazývá vlastní číslo matice A a vektor ⃗x se nazývá vlastní vektor matice A
(příslušný vlastnímu číslu λ).
Úpravou maticové rovnice (4.1) dostaneme
(A − λI)⃗x = ⃗o. (4.2)
Aby tato soustava měla nenulové řešení, musí být matice soustava singulární, tj. její determinant
musí být nula. Máme tak:
Věta 4.47. Vlastní čísla matice A jsou řešením tzv. charakteristické rovnice s neznámou λ
|A − λI| = 0 .
Příklad 4.48. Vypočtěte vlastní čísla a vlastní vektory matice
2 7
7 2
.
Řešení. Sestavíme charakteristickou rovnici
2 − λ 7
7 2 − λ
= 0
a vypočteme determinant, čímž dostaneme kvadratickou rovnici
λ2
− 4λ − 45 = 0 .
Jejím řešením jsou vlastní čísla λ1 = 9 a λ2 = −5.
Vlastní vektor ⃗v1 příslušný číslu λ1 = 9 pak získáme jako jedno (libovolné) řešení soustavy rovnic,
kterou získáme dosazením vlastního čísla do (4.2)
−7 7
7 −7
x1
x2
=
0
0
Dostaneme ⃗v1 = (1, 1). Podobně vlastní vektor ⃗v2 příslušný číslu λ2 = −5 je řešením soustavy rovnic
7 7
7 7
x1
x2
=
0
0
Máme tak ⃗v2 = (1, −1) .
47
Poznámka 4.49. Vlastní vektory jsou na sebe kolmé. Máme-li tedy jeden, není již obtížné určit
druhý (v dimenzi dva).
Příklad 4.50. Vypočtěte vlastní čísla a vlastní vektory matice


4 −1 0
0 1 0
−1 1 3


Řešení. Sestavíme charakteristickou rovnici
4 − λ −1 0
0 1 − λ 0
−1 1 3 − λ
= 0
a vypočteme determinant. Tím dostaneme rovnici
(4 − λ)(1 − λ)(3 − λ) = 0,
jejímž řešením je trojice čísel λ1 = 4, λ2 = 3 a λ3 = 1.
Pro vlastní číslo λ1 = 4 pak dostaneme soustavu rovnic


0 −1 0
0 −3 0
−1 1 −1




x1
x2
x3

 =


0
0
0


Jejím řešením je například vektor ⃗v1 = (1, 0, −1). Analogicky bychom našli i vektory příslušné dalším
vlastním číslům.
Věta 4.51 (Perron). Je-li P čtvercová matice taková, že všechny její koeficienty jsou kladná čísla,
pak matice P má kladné reálné vlastní číslo λ1 a jemu odpovídající vlastní vektor má všechny složky
kladné. Navíc je-li λ jiné vlastní číslo, pak |λ| ≤ λ1.
Aplikace 4.52. Stěhování Předpokládejme, že populace se stěhuje mezi dvěma regiony, např. venkovem
a městem, podle následujícího schématu. Každý rok se 50% obyvatel venkova přestěhuje do
měst a 25% obyvatel měst se přestěhuje na venkov. Jestli tento vzor migrace bude pokračovat, vyprázdní
se venkov, nebo se situace stabilizuje tak, že část obyvatel bude žít ve městě a část na
venkově?
Řešení. Z předchozího setkání s tímto příkladem již víme, že hledáme stacionární distribuci matice
přechodu (viz definice 4.21).
vk+1
mk+1
=
0,5 0,25
0,5 0,75
·
vk
mk
Pokud existuje, tak je to vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu 1. V první řadě tedy ověříme, že 1
je vlastním číslem naší matice:
0,5 − λ 0,25
0,5 0,75 − λ
= 0 =⇒ λ2
− 1,25λ + 0,25 = 0 =⇒ λ1 = 1, λ2 = 0,25
Nyní nalezneme vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu 1
−0,5 0,25
0,5 −0,25
·
x1
x2
=
0
0
=⇒ v =
1
3
, m =
2
3
Vidíme tedy, že nakonec se situace stabilizuje tak, že třetina obyvatel bude žít na venkově a dvě
třetiny ve městě.
48
Poznámka 4.53. Zajímavou aplikaci vlastních čísel můžeme najít v [3], kde je použita pro nalezení
optimální strategie při mnohostranném vyjednávání při řešení problémů týkajících se veřejných
statků.
Ještě jednou se vrátíme k příkladu se sociální sítí. Metrika, která měří i kvalitu kontaktů v tom
smyslu, že lepší jsou kontakty, které mají hodně kontaktů, se nazývá centralita měřená koeficientem
vlastního vektoru (eigenvector centrality). Máme-li graf s n vrcholy, definujeme hodnotu pro vrchol
xv jako
xv =
1
λ
n
t=1
avtxt,
kde avt je příslušný koeficient z matice sousednosti. Přepisem definice do vektorů a matic dostaneme
definici vlastního vektoru. Vlastních čísel a tím pádem i vlastních vektorů je více, ale jediný vlastní
vektor, pro který je zaručeno, že všechny složky jsou kladné, je podle věty 4.51 vlastní vektor příslušný
největší vlastní hodnotě.
Aplikace 4.54. Sociální sítě Kdo je nejvýznamnější postavou v této síti vztahů?
16
17
18
19
20
21
22
23
24
2512
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14
15
Řešení. Uvážíme matici sousednosti pro naší vztahovou síť














































0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0














































49
Pomocí počítače najdeme charakteristickou rovnici
λ25
− 60λ23
− 33λ22
+ 1418λ21
+ 1201λ20
− 17690λ19
− 17820λ18
+ 130270λ17
+ 140616λ16
− 596765λ15
− 645895λ14
+ 1744968λ13
+ 1781922λ12
− 3289284λ11
− 2952158λ10
+ 3956100λ9
+ 2846182λ8
− 2892728λ7
− 1481747λ6
+ 1131223λ5
+ 364297λ4
−
172595λ3
− 37618λ2
+ 5588λ + 1064 = 0,
největší vlastní číslo
λmax = 5,391148524748294
i příslušný vlastní vektor
(1, 1,396, 1,084, 0,920, 1,306, 1,181, 0,742, 0,479, 0,562,
1,724, 0,829, 1,493, 1,291, 1,084, 1,409, 0,774, 1,326,
1,067, 0,659, 0,899, 1,261, 1,069, 0,808, 1,254, 0,908) .
Největší hodnotu nalezneme na desátém místě, tedy nejvýznamnější je desátý vrchol.
Poznámka 4.55. Další poznatky týkající se sítí viz [2].
Následující příklad je jednoduchá ukázka toho, jak můžeme modelovat vývoj populace podle
věkové struktury. Komplexnější model by pak mohl sloužit například k výpočtům demografických
dat pro určení udržitelnosti důchodové modelu apod.
Příklad 4.56. Leslieho model populace
Uvažujme například populaci hmyzu rozdělenou na tři životní etapy: mláďata, mladistvé a dospělé
jedince, přičemž každá životní etapa trvá jeden rok. Pravděpodobnost přežití mláďat je 50 % a nerozmnožují
se. Mladiství mají pravděpodobnost přežití 25 % a každý z nich má průměrně čtyři mláďata.
Dospělí jedinci mají pravděpodobnost přežití 0 % a každý z nich má průměrně tři mláďata. Předpokládejme,
že máme 100 samiček, přičemž 40 jsou mláďata, 40 jsou mladiství a 20 dospělí. Jak se
bude taková populace samiček vyvíjet v čase?
Řešení. Po jednom roce bude počet mláďat
40 · 4 + 20 · 3 = 220.
Počet mladistvých bude počet mláďat, která přežijí, tj.
40 · 0,5 = 20
a podobně pro dospělé
40 · 0,25 = 10.
Všechny tyto výpočty můžeme snadno zapsat jednou maticovou rovnicí
L · ⃗x0 =


0 4 3
0,5 0 0
0 0,25 0

 ·


40
40
20

 =


220
20
10

 = ⃗x1 .
Matice L z předchozího výpočtu se nazývá Lesliho matice a můžeme ji snadno použít pro výpočty
stavu populace v dalších letech, protože platí
⃗xk+1 = L · ⃗xk .
Vyneseme-li údaje za jednotlivé roky do grafu, tak v grafu pro celkovou populaci vidíme, že
populace se ve všech věkových kategoriích zvětšuje, ale nevidíme žádný vzor. V grafu, kde nejsou
vyneseny absolutní počty, ale procentuální zastoupení jedinců podle věku v populaci, už ale vidíme,
že populace má tendenci mířit do jakéhosi rovnovážného stavu podobného stacionární distribuci
Markovova řetězce.
50
t
P
1000
2000
3000
4000
1 2 3 4 5 6 7 8 9
t
P[%]
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
5 10 15
Tento rovnovážný vztah můžeme tedy rovnou určit pomocí vlatních čísel a vektorů. Opět nás
zajímá jen takové vlastní číslo, pro které všechny složky příslušného vlatního vektoru vyjdou kladné.
−λ 4 3
0,5 −λ 0
0 0,25 −λ
= 0
−λ3
+ 2λ + 0,375 = 0 =⇒ λ = 1,5


−1,5 4 3 0
0,5 −1,5 0 0
0 0,25 −1,5 0

 ∼


1 0 −18 0
0 1 −6 0
0 0 0 0

 =⇒ (18t, 6t, t)
72 %, 24 %, 4 %
Věta 4.57. Každá Leslieho matice má právě jedno kladné vlastní číslo. Tomuto číslu odpovídá vlastní
vektor, jehož všechny složky jsou kladné.
4.7 Aplikační úlohy k řešení
Příklad 4.58. Potravní řetězec Uvažme následující jednoduchý modelový potravní řetězec
Hlodavec
Medvěd
Liška
Ryba Pták
Hmyz
Rostlina
Orientovaná hrana z vrcholu a do vrcholu b znamená, že a má b jako zdroj potravy. Vytvořte
matici sousednosti, která popisuje vztahy v tomto řetězci, a pomocí ní odpovězte na následující
otázky:
a) Který druh má nejvíce zdrojů potravy?
b) Který druh je nejčastější kořistí?
51
c) Jestliže b je zdrojem potravy pro a a c je zdrojem potravy pro b, pak řekneme, že c je nepřímým
zdrojem potravy pro a. Který druh má nejvíce přímých a nepřímých zdrojů potravy?
d) Předpokládejme, že znečištění zabije rostliny. Jaký bude efekt tohoto znečištění na daný eko-
systém?
Příklad 4.59. Leontiefův model Tři městské odbory (životní prostředí, doprava a zdraví) jsou
vzájemně provázané. Na produkci každé koruny služeb, které jednotlivé odbory produkují, je nutná
část služeb od ostatních odborů:
výstupy
ŽP Dop Zdr
ŽP 0,20 0,10 0,20
vstupy Dop 0,10 0,10 0,20
Zdr 0,20 0,40 0,30
Předpokládejme, že ostatní odbory potřebují služby v hodnotě 1 milion od odboru životního
prostředí, 1,2 milionu od odboru dopravy a 0,8 milionu od odboru zdraví. Jak velká musí být hodnota
vyprodukovaných služeb jednotlivých odborů, aby pokryla poptávku?
Příklad 4.60. Intergenerační sociální mobilita Uvažujme, že společnost je definována jako seskupení
lidí tří sociálních tříd: nižší (N), střední (S) a vyšší (V ). Uvažujme, že pravděpodobnost
začlenění osoby do dané třídy je závislá pouze na třídě, ve které se vyskytoval její rodič. Na základě
dlouhodobého pozorování byla shromážděna následující data: je-li rodič ve třídě N, pak dítě
bude ve třídě N s pravděpodobností 0,7, ve třídě S s 0,2 a ve třídě V s 0,1. Je-li rodič ve třídě S,
pravděpodobnosti přechodu jsou 0,3 (N), 0,5 (S) a 0,2 (V ). Pokud je rodič ve třídě V , pak jsou
pravděpodobnosti pro zařazení jeho dítěte do jednotlivých tříd 0,1 (N), 0,1 (S) a 0,8 (V ).
a) Pro takto definovaný proces sestrojte matici a graf přechodu.
b) Víte-li, že 40 % lidí patří do třídy N, 50 % do třídy S a 10 % do třídy V , určete, jak bude
vypadat rozložení společnosti po dvou generacích.
c) Určete, jak bude vypadat rozložení společnosti v dlouhodobém horizontu.
52
Literatura
[1] F. Aleskerov, H. Ersel, D. Piontkovski; Linear Algebra for Economists, Springer, New York,
2011.
[2] A. L. Barabási; Network Science, Cambridge University Press, 2015. Dostupné z http://
networksciencebook.com/.
[3] M. Elliott, B. Golub; A network approach to public goods, Journal of Political Economy, 127
(2019), No. 2, 730–776.
[4] Eurostat Manual of Supply, Use and Input-Output Tables, Office for Official Publications
of the European Communities, Luxembourg, 2008. Dostupné z https:
//ec.europa.eu/eurostat/documents/3859598/5902113/KS-RA-07-013-EN.
PDF/b0b3d71e-3930-4442-94be-70b36cea9b39.
[5] J. Hendl, M. Moldan, J. Siegl; Základy matematiky, logiky a stastistiky pro sociologii a ostatní
společenské vědy v příkladech, Praha: Nakladatelství Karolinum, 2019.
[6] D. Poole; Linear Algebra, A Modern Introduction, 4 th edition, Cengage Learning, Stamford,
2015.
53
Kapitola 5
Integrální počet
5.1 Primitivní funkce
Definice 5.1. Nechť funkce f a F jsou definované na intervalu I. Jestliže platí
F′
(x) = f(x) pro všechna x ∈ I,
pak říkáme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I.
Množinu všech primitivních funkcí k funkci f nazýváme neurčitý integrál funkce f a označujeme
f(x) dx.
Věta 5.2. Je-li funkce F primitivní k funkci f na intervalu I, pak každá jiná primitivní funkce
k funkci f má tvar F + c, kde c ∈ R.
Věta 5.3. Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak k ní na tomto intervalu existuje primitivní funkce.
5.2 Integrační metody
Věta 5.4. Nechť na intervalu I existují neurčité integrály f(x) dx a g(x) dx a nechť α je libovolná
konstanta. Pak na I existuje neurčitý integrál funkce f + g a neurčitý integrál funkce αf a platí
(f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx, (5.1)
αf(x) dx = α f(x)dx. (5.2)
Z definice neurčitého integrálu plyne, že
f(x) dx
′
= f(x), F′
(x) dx = F(x) + c,
tj. operace derivování a integrování jsou navzájem komplementární. O správnosti výsledku integrace
se můžeme přesvědčit derivováním výsledku – musí nám vyjít zadaná funkce.
Podobně jako pro derivace máme i vzorce pro integrování některých funkcí. Tyto vzorce dostaneme
obrácením základních vzorců pro derivování, proto se o jejich správnosti můžeme i přesvědčit, a to
derivováním.
54
Základní vzorce
(1) 1 dx = x + c,
(2) xn
dx = xn+1
n+1
+ c, n ̸= −1,
(3) 1
x
dx = ln |x| + c,
(4) ex
dx = ex
+ c,
(5) ax
dx = ax
ln a
+ c, a > 0, a ̸= 1,
(6) sin x dx = − cos x + c,
(7) cos x dx = sin x + c,
(8) 1
x2+1
dx = arctg x + c,
(9) 1
(x−x0)2+a2 dx = 1
a
arctg x−x0
a
+ c,
(10) 1√
a2−x2 dx = arcsin x
a
+ c,
(11) 1√
x2+a
dx = ln |x +
√
x2 + a| + c,
(12) 1
cos2 x
dx = tg x + c,
(13) 1
sin2 x
dx = −cotg x + c,
(14) f′(x)
f(x)
dx = ln |f(x)| + c.
Příklad 5.5. Vypočtěte neurčité integrály
a) x3
dx, b) 1
x2 dx,
c)
√
x + 1
x−1
+ 2 dx, d) 1
2x−5
dx,
e) tg x dx, f) tg 2
x dx,
g) x+1
x2+2x+9
dx, h) 1
x2+9
dx,
i) 1√
9−x2 dx, j) x4
x2+9
dx.
Řešení. a) Užitím vzorce (2) z tabulky dostáváme
x3
dx =
x4
4
+ c.
b) Úpravou a užitím vzorce (2) dostáváme
1
x2
dx = x−2
dx =
x−1
−1
+ c = −
1
x
+ c.
c) Rozdělíme na jednotlivé integrály podle věty 5.4, upravíme a použijeme vzorce (2), (14) a (1):
√
x +
1
x − 1
+ 2 dx = x
1
2 dx +
1
x − 1
dx + 2 dx =
=
2
3
x
3
2 + ln |x − 1| + 2x + c.
d) Upravíme tak, abychom mohli použít vzorec (14) a integrujeme
1
2x − 5
dx =
1
2
2
2x − 5
dx =
1
2
ln |2x − 5| + c.
e) Použijeme vztah mezi goniometrickými funkcemi a upravíme tak, abychom mohli využít vzorce
(14):
tg x dx =
sin x
cos x
dx = −
− sin x
cos x
dx = − ln | cos x| + c.
55
f) Upravíme pomocí vztahů mezi goniometrickými funkcemi a použijeme vzorce (12) a (1):
tg 2
x dx =
sin2
x
cos2 x
dx =
1 − cos2
x
cos2 x
dx =
=
1
cos2 x
dx − dx = tg x − x + c.
g) Jelikož (x2
+2x+9)′
= 2x+2, upravíme integrovaný výraz tak, že rozšíříme vhodnou konstantou
a použijeme vzorec (14):
x + 1
x2 + 2x + 9
dx =
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 9
dx =
1
2
ln |x2
+ 2x + 9| + c .
h) Můžeme použít vzorec (9) pro x0 = 0 a a = 3:
1
x2 + 9
dx =
1
3
arctg
x
3
+ c .
i) Užijeme vzorce (10) pro a = 3:
1
√
9 − x2
dx = arcsin
x
3
+ c .
j) Upravíme danou funkci na součet polynomu a ryze lomené funkce a použijeme vzorce (1), (2)
a (9):
x4
x2 + 9
dx = x2
− 9 +
81
x2 + 9
dx =
x3
3
− 9x + 27arctg
x
3
+ c .
Aplikace 5.6. Spotřeba přírodních zdrojů Odhaduje se, že světová spotřeba stříbra (v tisíci
tunách) se řídí funkcí f(t) = 21,4e0,01t
, kde t značí počet let, které uběhnou od současnosti. Celkové
zásoby stříbra se odhaduji na 400 000 tun. Odhadněte, kdy tyto zásoby stříbra dojdou.
Řešení. Celkovou spotřebu C(t) získáme integrací funkce f
C(t) = 21,4e0,01t
dt = 21,4 e0,01t
dt = 21,4
1
0,01
e0,01t
+ c = 2140e0,01t
+ c.
Musíme ještě určit integrační konstantu c. Celková spotřeba za prvních nula let musí být nula, tedy
víme, že C(0) = 0.
0 = C(0) = 2140e0
+ c = 2140 + c =⇒ c = −2140
Pro celkovou spotřebu tak dostaneme vztah
C(t) = 2140e0,01t
− 2140 .
Abychom předpověděli, kdy rezervy ve výši 400 tisíc tun dojdou, musíme vyřešit následující rovnici
2140e0,01t
− 2140 = 400.
Odtud
2140e0,01t
= 2540
e0,01t
=
2540
2140
≈ 1,187
ln e0,01t
= ln 1,187
0,01t = 0,171
t = 17,1 let
56
Věta 5.7 (Metoda per partes). Nechť funkce u(x) a v(x) mají spojité derivace na intervalu I. Pak
platí
u(x)v′
(x) dx = u(x)v(x) − u′
(x)v(x) dx.
Příklad 5.8. Vypočtěte
a) x2
ex
dx, b) arctg x dx .
Řešení. a) Obecně je pro metodu per partes typické její vícenásobné užití. Zvolme u = x2
, v′
= ex
.
Pak u′
= 2x, v = ex
a dostáváme
x2
ex
dx = x2
ex
− 2xex
dx.
Pro integrál na pravé straně použijeme opět metodu per partes s analogickou volbou u = 2x,
v′
= ex
. Dostaneme u′
= 2, v = ex
a
x2
ex
dx = x2
ex
− 2xex
dx = x2
ex
− 2xex
+ 2 ex
dx
= x2
ex
− 2xex
+ 2ex
+ c = (x2
− 2x + 2)ex
+ c.
b) V tomto případě se zdá, že zde žádný součin funkcí není. Zřejmě ale arctg x = 1 · arctg x,
můžeme proto položit u = arctg x, v′
= 1. Dostaneme u′
= 1
1+x2 , v = x a
arctgx dx = x arctg x −
x
1 + x2
dx
= x arctg x −
1
2
2x
1 + x2
dx
= x arctg x −
1
2
ln(1 + x2
) + c.
Věta 5.9 (Substituční metoda). Nechť funkce f má na intervalu J primitivní funkci F, funkce t =
φ(x) má spojitou derivaci na intervalu I a φ(x) ∈ J pro x ∈ I. Pak má složená funkce f(φ(x))φ′
(x)
primitivní funkci na intervalu I a platí
f(φ(x))φ′
(x) dx = F(φ(x)) + c.
Podobně lze použít substituci opačnou, tj. x = ψ(t). Tuto substituční metodu můžeme zapsat ve
tvaru
f(x) dx =
x = ψ(t)
dx = ψ′
(t) dt
= f ψ(t) ψ′
(t) dt.
Příklad 5.10. Vypočtěte neurčité integrály
a) (3x − 4)7
dx, b) x
x2+1
dx,
c) 10x(x2
+ 13)12
dx, d) ln2
x
x
dx.
Řešení. a) Podobné příklady jsme již řešili přímo pomocí vzorců pro integraci, nyní je můžeme
řešit i pomocí substituce. Zaveďme substituci t = 3x − 4. Pro vyjádření dx danou substituční
rovnici zderivujeme
dt = 3 dx ⇒ dx =
1
3
dt.
Dosadíme a integrujeme
(3x − 4)7
dx = t7 dt
3
=
t8
24
+ c =
(3x − 4)8
24
+ c.
57
b) Tento typ příkladu jsme již řešili úpravou a užitím vzorce (14), nyní jej vyřešíme pomocí
substituce. Použijme substituci t = x2
+ 1. Pak dt = 2x dx, dx = dt
2x
, a proto
x
x2 + 1
dx =
x
t
dt
2x
=
1
2
1
t
dt =
1
2
ln |t| + c =
1
2
ln |x2
+ 1| + c.
c) Proveďme substituci t = x2
+ 13. Pak dt = 2x dx a dx = dt
2x
. Po dosazení
10x(x2
+ 13)12
dx = 10xt12 dt
2x
= 5 t12
dt =
5
13
t13
+ c =
=
5
13
(x2
+ 13)13
+ c.
d) Zaveďme substituci t = ln x. Pak dt = 1
x
dx a dx = x dt, odtud
ln2
x
x
dx =
t2
x
x dt = t2
dt =
1
3
t3
+ c =
1
3
ln3
x + c.
5.3 Definice a základní vlastnosti určitého integrálu
Nechť f je nezáporná ohraničená funkce definovaná na [a, b], která je pro jednoduchost na intervalu
[a, b] spojitá. Určeme obsah plochy P ohraničené grafem funkce f, osou x a přímkami x = a, x = b.
Tato plocha se někdy nazývá podgraf funkce.
Obsah podgrafu nemůžeme určit přímo, ale můžeme jej vyjádřit přibližně tak, že jej aproximujeme
pomocí obdélníčků:
i) Interval [a, b] rozdělíme na n intervalů [xi−1, xi] (tzv. dělicí intervaly) stejné délky tak, že x0 = a
a xn = b. Délka ∆x každého dělicího intervalu je
∆x = xi − xi−1 =
b − a
n
.
ii) Na každém dělicím intervalu aproximujeme plochu obdélníkem o stranách ∆x a f(ci), kde ci
náleží do dělicího intervalu. Pro obsah Pi tohoto obdélníka platí
Pi = f(ci)∆x
a součet všech těchto obdélníků přibližně určuje obsah P plochy
P ≈
n
i=1
f(ci)∆x.
a = x0 b = xn
xi−1x2x1 xici
f(ci)
∆x
0
y
x
58
Čím větší bude číslo n (počet dělicích bodů), tím přesnější (lepší) bude tato aproximace. Provedemeli
limitní přechod pro n → ∞, dostaneme přesnou hodnotu obsahu plochy
P = lim
n→∞
n
i=1
f(ci)∆x. (5.3)
Pro spojité funkce tato limita existuje a nezávisí na výběru bodů ci. Obecně pro funkce, které nejsou
spojité, toto platit nemusí. Pokud však tato limita existuje a nezávisí na výběru bodů ci, nazýváme
ji určitým integrálem.
Definice 5.11. Nechť f je funkce ohraničená na [a, b]. Nechť a = x0, x1, x2, . . . , xn = b jsou body
dělící interval [a, b] na n stejných subintervalů délky ∆x = b−a
n
a nechť ci ∈ [xi−1, xi], i = 1, . . . , n.
Určitým integrálem funkce f od a do b rozumíme
lim
n→∞
n
i=1
f(ci)∆x,
jestliže tato limita existuje a nezávisí na výběru bodů ci. Píšeme
b
a
f(x) dx,
a říkáme, že funkce f je integrovatelná na [a, b].
Číslo a nazýváme dolní mez, číslo b horní mez a funkci f integrand.
Typické aplikace určitého integrálu
kusy
mezní náklady
cenazakus
celková cena
kusů od a do b
a b
odpracované hodiny
produktivita
úkonyzahodinu
celková
vykonaná práce
mezi a a b
a b
dny
míra prodeje
prodejezaden
celkový prodej
mezi dny a a b
a b
Jelikož určitý integrál vyjadřuje obsah podgrafu, musíme většinou správně interpretovat význam
tohoto obsahu. Pomocí integrálu se pak mnohdy definují různé pojmy. V ekonomii se jedná např.
o spotřebitelský přebytek a přebytek výrobce.
Aplikace 5.12. Spotřebitelský přebytek a přebytek výrobce
Spotřebitelský přebytek je celkový peněžitý zisk získaný spotřebitely, když jsou schopni pořídit produkt
za nižší cenu než je nejvyšší cena, kterou by byli ochotni zaplatit. Spotřebitelský přebytek tedy
měři přínos spotřebitele v ekonomice, kde konkurence drží nízkou cenu. Podobně přebytek výrobce
je celková částka, kterou získá výrobce, když prodá produkt za vyšší cenu, než je nejnižší cena, za
kterou by byl ochotný produkt prodat (a obvykle se dá zhruba ztotožnit se ziskem).
Je-li d funkce popisující křivku poptávky, s funkce popisující křivku nabídky a P cena při množství
Q na trhu, pak v případě, kdy dojde k rovnováze na trhu, vypadá situace graficky takto
59
přebytek výrobce
přebytek spotřebitelep
P
qQ
s(q)
d(q)
Je tedy přirozené matematicky definovat spotřebitelský přebytek PS a přebytek výrobce PV jako
PS =
Q
0
(d(q) − P) dq, PV =
Q
0
(P − s(q)) dq.
Věta 5.13 (Newton-Leibnizova formule). Je-li funkce f spojitá na [a, b], pak platí
b
a
f(x) dx = F(b) − F(a), (5.4)
kde F je primitivní funkce k funkci f na intervalu [a, b].
Často píšeme místo F(b) − F(a) označení F(x)
b
a
, tj.
b
a
f(x) dx = F(x)
b
a
.
Příklad 5.14. Vypočtěte určité integrály
a)
π
0
sin x dx, b)
1
−1
1
x2 + 1
.
Řešení. a) Podle vzorce (5.4) dostáváme
π
0
sin x dx = − cos x
π
0
= − cos π − (− cos 0) = −(−1) + 1 = 2.
b) Opět podle vzorce (5.4) dostaneme
1
−1
1
x2 + 1
dx = arctg x]1
−1 = arctg 1 − arctg (−1) =
π
4
+
π
4
=
π
2
.
Věta 5.15 (Vlastnosti určitého integrálu). Jsou-li funkce f a g spojité na intervalu [a, b], pak platí
tyto vztahy:
a)
b
a
[f(x) + g(x)] dx =
b
a
f(x) dx +
b
a
g(x) dx;
b)
b
a
cf(x) dx = c
b
a
f(x) dx;
c)
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
b
c
f(x) dx, kde a < c < b;
d)
b
a
f(x) dx ≥ 0, jestliže f(x) ≥ 0 na intervalu [a, b];
e)
b
a
f(x) dx ≥
b
a
g(x) dx, jestliže f(x) ≥ g(x) na intervalu [a, b].
60
Poznámka 5.16. Vlastnost c) lze použít pro případ, kdy je funkce f spojitá na intervalu [a, c] a
[c, b], ale není spojitá v bodě c. Například funkce sgn x není spojitá pro x = 0 a přitom můžeme
definovat určitý integrál
1
−2
sgn x dx =
0
−2
sgn x dx +
1
0
sgn x dx = −2 + 1 = −1.
Poznámka 5.17. Integrál
b
a
f(x) dx pro a > b definujeme vztahem
b
a
f(x) dx = −
a
b
f(x) dx,
a integrál
a
a
f(x) dx definujeme vztahem
a
a
f(x) dx = 0.
Definujeme-li pro každé číslo x ∈ [a, b] funkci
U(x) =
x
a
f(t) dt,
pak derivace této funkce je U′
(x) = f(x) a U(a) = 0. Tímto způsobem někdy vyjadřujeme funkce,
které jsou primitivní k funkci f, ale nejsou elementárními funkcemi, např. funkce
x
0
e−t2
dt,
x
0
sin t
t
dt.
Tyto funkce se nazývají transcendentní.
Aplikace 5.18. Lorenzova křivka a Giniho index
Pro měření nerovnosti ekonomové počítají jaká část celkového příjmu je získána nejchudšími dvaceti
procenty populace, nejchudšími čtyřiceti procenty populace atd. Například pro Českou republiku
v roce 2018 tato data vypadala takto
část populace část příjmů
0,2 0,102
0,4 0,249
0,6 0,426
0,8 0,646
1,0 1,000
Graficky tato data reprezentuje tzv. Lorenzova křivka L(x), která udává, jaká část celkového příjmu
je získána nejchudší částí x populace. Pro naše data je její přibližná rovnice L(x) = x1,57
.
y
x0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
L(x)
Absolutní rovnost příjmů znamená, že všichni vydělávají stejně, tj. dolních 10 % získá 10 % všech
příjmů, dolních 20 % získá 20 % všech příjmů atd. Lorenzova křivka v tomto případě je tedy graf
lineární funkce y = x.
Ke změření nerovnosti spočítáme obsah oblasti mezi aktuální Lorenzovou křivkou L(x) a její
ideální verzí y = x a tento výsledek vynásobíme dvěma, abychom dostali číslo mezi 0 (absolutní
rovnost) a 1 (absolutní nerovnost). Tomutu číslu se říká Giniho index.
61
y
x0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
L(x)
y = x
Matematicky tedy definujeme Giniho index jako
GI = 2
1
0
(x − L(x)) dx .
Pro Českou republiku dostaneme
GI = 2
1
0
(x − L(x)) dx = GI = 2
1
0
x − x1,57
dx = 2
x2
2
−
x2,57
2,57
1
0
= 0,22 .
Aplikace 5.19. Paretův zákon
Ekonom Vilfredo Pareto odhadl, že počet lidí, jejichž příjem je mezi A a B jednotkami měny je dán
určitým integrálem
B
A
(ax)−b
dx (b ̸= 1),
kde a a b jsou konstanty, přičemž a je hodnota nejmenší možné mzdy. Určete hodnotu tohoto inte-
grálu.
Řešení. Stačí použít jen základní pravidla a Newton-Leibnizovu formuli
B
A
(ax)−b
dx = a−b
B
A
x−b
dx = a−b x−b+1
−b + 1
B
A
=
=
a−b
−b + 1
B−b+1
− A−b+1
Poznámka 5.20. Z předchozího zákonu plyne i známý Paretův princip (pro něj je ale nutné dobře
zvolit konstantu b o hodnotě b = log4 5 ≈ 1,16).
Numerická integrace
Věta 5.21 (Lichoběžníkové pravidlo). Nechť je funkce f spojitá na intervalu [a, b]. Rozdělme interval
na n intervalů stejné délky h a krajní body těchto intervalů označme po řadě x0, x1, . . . , xn a jim
odpovídající funkční hodnoty funkce f po řadě y0, y1, . . . , yn. Pak platí
b
a
f(x) dx ≈
h
2
(y0 + 2y1 + 2y2 + · · · + 2yn−1 + yn) .
Střední hodnota
Nechť f je funkce definovaná a integrovatelná na uzavřeném intervalu [a, b]. Číslo µ definované
vztahem
µ =
1
b − a
b
a
f(x) dx
se nazývá střední hodnota funkce f na intervalu [a, b].
Střední hodnota je vlastně zobecnění aritmetického průměru pro čísla. Geometricky je střední
hodnota výška obdélníku, který má základnu tvořenou intervalem [a, b] a obsah
b
a
f(x) dx.
62
5.4 Metoda per partes a substituce pro určité integrály
Věta 5.22 (Metoda per partes pro určitý integrál). Nechť funkce u(x) a v(x) mají spojité derivace
na intervalu [a, b]. Pak platí
b
a
u(x)v′
(x) dx = u(x)v(x)
b
a
−
b
a
u′
(x)v(x) dx.
Věta 5.23 (Substituce pro určitý integrál). Nechť funkce f(t) je spojitá na intervalu [a, b]. Nechť
funkce φ(x) má spojitou derivaci na intervalu [α, β] a φ(x) zobrazuje interval [α, β] do intervalu [a, b].
Pak platí
β
α
f(φ(x))φ′
(x) dx =
φ(β)
φ(α)
f(t) dt.
Tato věta říká, že při substituci určitého integrálu je třeba také změnit meze!
Příklad 5.24. Vypočtěte určité integrály
a)
e
1
x3
ln x dx, b)
5
0
x
√
1 + 3x
dx.
Řešení. a) Použijeme metodu per partes. Zvolme u = ln x, v′
= x3
. Pak u′
= 1
x
, v = x4
4
a
dostáváme
e
1
x3
ln x dx =
x4
4
ln x
e
1
−
1
4
e
1
x3
dx =
e4
4
−
1
4
x4
4
e
1
=
3e4
+ 1
16
.
b) Použijeme substituci
t =
√
1 + 3x.
Pak t2
= 1 + 3x, odkud x = 1
3
(t2
− 1) a dx = 2
3
t dt. Nové meze vypočteme dosazením do
substituční rovnice za x = 0 a x = 5. Dostaneme 0 ⇝ 1 a 5 ⇝ 4 a vypočteme určitý integrál
5
0
x
√
1 + 3x
dx =
2
9
4
1
(t2
− 1)dt =
2
9
t3
3
− t
4
1
= 4.
5.5 Aplikační úlohy k řešení
Příklad 5.25. Kapitálová hodnota CV majetku (ropný vrt, důl apod.), který produkuje stálý příjem,
je součtem jeho současné hodnoty a všech budoucích příjmů z tohoto majetku. Proto je přirozené,
že tuto hodnotu můžeme spočítat jako
CV =
T
0
r(t)e−it
dt,
kde r(t) značí roční příjem, i spojitou úrokovou míru a T je předpokládaná životnost v letech. Použijte
tento vztah a určete hodnotu ropného vrtu, u něhož se předpokládá, že bude generovat 240 000 dolarů
po příštích deset let a úrokové míře 6 %.
Příklad 5.26. Roční import země je I(t) = 30e0,2t
a její export je E(t) = 25e0,1t
, obojí v miliardách
dolarů. Čas t je měřen v letech a t = 0 odpovídá roku 2020. Jaký bude akumulovaný deficit
zahraničního obchodu této země za následujících deset let?
Příklad 5.27. Pro Spojené státy americké v roce 2018 byla Lorenzova křivka přibližně L(x) = x2,8
.
Vypočtěte Giniho index pro Spojené státy americké a rozhodněte, zda-li je tato země více nebo méně
rovnostářská než Česká republika.
63
Kapitola 6
Diferenciální rovnice
Diferenciální rovnice je rovnice, v níž roli neznámé hraje funkce a která zároveň obsahuje derivace
hledané funkce.
Řešit diferenciální rovnici znamená nalézt všechny funkce, které jsou definované na nějakém intervalu
I a vyhovují dané rovnici. Takovou funkci nazýváme řešením diferenciální rovnice.
Řádem diferenciální rovnice rozumíme řád nejvyšší derivace, která se v rovnici vyskytuje.
Například rovnice
y′
= y
je tedy diferenciální rovnice prvního řádu. Jejím řešením je funkce y = ex
, protože (ex
)′
= ex
. Snadno
se dá ověřit, že řešením jsou všechny funkce tvaru y = Cex
, kde C je libovolná konstanta.
Obecné řešení diferenciální rovnice prvního řádu je funkce závisející na jednom parametru C taková,
že speciální volbou C lze získat každé řešení této rovnice. Partikulární řešení je jedno konkrétní
řešení získané z obecného řešení volbou konstanty C.
Průběh nějakého skutečného jevu je popsán jediným řešením. Z množiny všech řešení určíme toto
řešení zadáním počáteční podmínky. Úloha najít řešení diferenciální rovnice splňující danou počáteční
podmínku se nazývá počáteční úloha (někdy také Cauchyova počáteční úloha). V praktických aplikacích
hraje často roli nezávislé proměnné x čas. Časti je proto přirozené hledat řešení diferenciálních
rovnic pro x ≥ 0.
6.1 Rovnice se separovanými proměnnými
Jde o rovnici tvaru
y′
= f(x)g(y), (6.1)
kde f a g jsou spojité funkce. Dosadíme y′
= dy
dx
a dostaneme
dy
dx
= f(x)g(y).
Nejprve si všimněme, že konstantní funkce určené rovnicí g(y) = 0 jsou řešením rovnice (6.1). Za
předpokladu g(y) ̸= 0 separujeme proměnné (tj. na jedné straně rovnice máme výraz pouze proměnné
y a na druhé výraz pouze proměnné x)
dy
g(y)
= f(x) dx
a tuto rovnost integrujeme
dy
g(y)
= f(x) dx. (6.2)
Nezapomeňme, že primitivní funkce se liší o konstantu, čímž dostaneme množinu řešení rovnice (6.1)!
Tato množina řešení a konstantní řešení z předchozího kroku pak tvoří obecné řešení rovnice (6.1).
Máme-li zadanou počáteční podmínku, určíme tuto konstantu z počáteční podmínky.
Poznamenejme, že ne vždy se nám podaří z (6.2) vyjádřit explicitní tvar řešení y = y(x).
64
Příklad 6.1. Řešte diferenciální rovnice
a) y′
= 2xy, b) y′
=
1
x
(4y − 1).
Řešení. a) Rovnici přepíšeme do tvaru
dy
dx
= 2xy,
a odtud za předpokladu, že y ̸= 0
dy
y
= 2x dx.
Všimněme si přitom, že funkce y = 0 je řešením původní rovnice. Integrací dostáváme
ln |y| = x2
+ K.
Po odlogaritmování máme
|y| = ex2+K
= ex2
eK
a odtud
y = ±ex2
eK
.
Označíme-li C = ±eK
, kde C je kladné nebo záporné číslo, dostaneme obecné řešení tvaru
y = Cex2
, C ∈ R.
Poznamenejme, že pro C = 0 je v tomto vztahu zahrnuto i řešení y = 0.
b) Nejprve vyšetřeme případ 4y − 1 = 0. Vidíme, že funkce y = 1
4
je řešením naší rovnice. Za
předpokladu y ̸= 1
4
dostáváme
dy
4y − 1
=
dx
x
a po integraci
1
4
ln |4y − 1| = ln |x| + ln K,
kde K je kladná konstanta. Užitím pravidel pro počítání s logaritmy pak dostaneme
ln |4y − 1| = ln K4
x4
.
Nahradíme-li po odlogaritmování kladnou konstantu K4
libovolnou konstantou C, můžeme
odstranit absolutní hodnoty a dostaneme
4y − 1 = Cx4
,
a odtud
y =
1
4
Cx4
+
1
4
.
Tento vztah zahrnuje i řešení y = 1
4
.
Příklad 6.2. Řešte počáteční úlohu
(x + 1) dy − xy dx = 0, y(0) = 1.
Řešení. Separujeme proměnné a za předpokladu y ̸= 0 máme
dy
y
=
x dx
x + 1
.
Funkce na pravé straně je neryze lomená funkce. Dělením ji převedeme na polynom a ryze lomenou
racionální funkci a integrujeme
dy
y
= 1 −
1
x + 1
dx.
65
Dostáváme tak
ln |y| = x − ln |x + 1| + C.
Označme C = ln K. Vzhledem k tomu, že platí x = ln ex
, dostaneme
ln |y| = ln ex
− ln |x + 1| + ln K, K > 0,
a užitím pravidel pro počítání s logaritmy
ln |y| = ln
Kex
|x + 1|
.
Nyní můžeme odlogaritmovat a uvážíme-li novou konstantu K⋆
∈ R, můžeme vynechat absolutní
hodnoty. Dostaneme tak řešení dané rovnice ve tvaru
y =
K⋆
ex
x + 1
.
Toto řešení obsahuje i řešení y = 0. Aby byla splněna počáteční podmínka, musí platit
1 =
K⋆
e0
0 + 1
⇒ K⋆
= 1.
Řešením počáteční úlohy je funkce y = ex
x+1
.
Aplikace 6.3. Jednoduchý model osobních úspor
Zdrojem osobního majetku jsou typicky dva zdroje. Plat a výnosy z investic. Z těchto příjmů můžeme
rozlišit tři základní typy výdajů. Nutné výdaje, zbytné výdaje a investice. Pro jednoduchost můžeme
uvažovat, že po zaplacení nutných výdajů, utratíme fixní část zbylých příjmů za zbytné výdaje a
zbylou část investujeme. Dále uvažujme, že investice generují příjem s fixním úrokem a na začátku
máme nulové úspory. Popište matematicky tento model a nalezněte funkci, která popisuje velikost
úspor v čase.
Řešení. Nejprve si označme všechny veličiny v našem modelu:
• s plat
• W(t) úspory v čase t
• r velikost úročení investic
• n nezbytné výdaje
• p velikost části příjmů, které utratíme za zbytné výdaje
Změna velikost našich úspor je součet všech našich příjmů mínus všechny naše výdaje, tj.
dW
dt
= s + rW − (n + p(s + rW − n)),
což můžeme upravit do tvaru
dW
dt
= (1 − p)(s − n + rW).
Podmínka nulových úspor na začátku znamená W(0) = 0. Vidíme, že se jedná o rovnici se separovanými
proměnnými. Odseparujeme proměnné
dW
s − n + rW
= (1 − p)dt
a po malé úpravě budeme moci integrovat pomocí základních vzorců
1
r
r dW
s − n + rW
= (1 − p)dt
66
ln(s − n + rW) = (1 − p)rt + c.
Algebraickými úpravami dostaneme obecné řešení
W =
1
r
(Ke(1−p)rt
+ n − s).
Dosazením počáteční podmínky dostaneme rovnici
0 = K + n − s
a odtud K = s − n. Náš model tak je
W =
s − n
r
(e(1−p)rt
− 1)
Můžeme nyní třeba odpovědět na otázku, jak se změní naše úspory, když se podíl nezbytných výdajů
sníží z 80 % na 70 % apod.
Aplikace 6.4. Tři jednoduché modely růstu
V mnoha případech je růst veličiny přímo úměrný jeho současnému množství. Tímto způsobem se
chová populace zvířat nebo růst buněk při malém množství, ale také například úročení na bankovním
účtu. Označíme-li pozorovanou veličinu y, můžeme tento model popsat diferenciální rovnicí
y′
= ay, a > 0.
Pro úplnost je nutné doplnit i počáteční podmínku (velikost pozorované veličiny na začátku)
y(0) = k, k > 0.
Rovnici můžeme vyřešit separací proměnných
dy
dt
= ay
dy
y
= a dt
ln y = at + C
y = eat+C
= eat
eC
= ceat
Dosazením počáteční podmínky dostaneme
y(0) = ce0
= k =⇒ c = k.
Řešením počáteční úlohy tedy je funkce
y = keat
.
y
t
k
y = keat
67
Žádná reálná populace ovšem nakonec neroste donekonečna. Omezení místa nebo zásob jídla nakonec
růst zpomalí. Jestliže veličina nemůže růst nad nějakou určitou mez M, potom je rozumné například
uvažovat, že rychlost růstu je přímo úměrná tomu, jak moc je daná veličina daleko od svého limitu.
Tento model je vhodný například i pro popis šíření informací produkovaných médii nebo pro popis
prodeje výrobku, který je podpořen reklamou.
Matematicky můžeme tento model popsat rovnicí
y′
= a(M − y).
Opět doplníme počáteční podmínku y(0) = k a rovnici vyřešíme. Jedná se o rovnici se separovanými
proměnnými a řešíme ji podobně jako v předchozím případě:
dy
dt
= a(M − y)
dy
M − y
= a dt
ln(M − y) = −at − C
M − y = e−at−C
= ce−at
y = M − ce−at
Po dosazení počáteční podmínky dostaneme
y(0) = M − ce0
= M − c = k =⇒ c = M − k
a počáteční problém je tedy vyřešen funkcí
y = M − (M − k)e−at
.
y
tk
M
y = M − (M − k)e−at
Pokud bychom chtěli komplexnější model populace, případně jednoduchý model epidemie, mohli
bychom uvažovat, že rychlost růstu dané veličiny je přímo úměrná její současné velikosti a zároveň
její vzdálenosti od od horního limitu M. Dostaneme tak diferenciální rovnici
y′
= ay(M − y).
Jedná se opět o rovnici se separovanými proměnnými (kterou je již složitější vyřešit) a jejím řešením
je funkce
y =
M
1 + ce−aMt
.
y
t
M
y = M
1+ce−aMt
68
6.2 Lineární diferenciální rovnice
Jde o rovnici tvaru
y′
+ p(x)y = q(x), (6.3)
kde p a q jsou spojité funkce.
Předepíšeme-li počáteční podmínku y(x0) = y0, pak má lineární rovnice (6.3) právě jedno řešení,
a to existuje na celém intervalu, kde jsou funkce p, f spojité.
Budeme hledat takovou funkci I(x), že když jí vynásobíme rovnici (6.3), bude na levé straně
derivace součinu I(x)y, tj.
I(x)(y′
+ p(x)y) = (I(x)y)′
. (6.4)
Podaří-li se nám takovou funkci najít, bude rovnice (6.3) ve tvaru
(I(x)y)′
= I(x)q(x)
a integrováním obou stran obdržíme
I(x)y = I(x)q(x) dx + c.
Dále již získáme hledané řešení rovnice (6.3)
y(x) =
1
I(x)
I(x)q(x) dx + c .
Pokusme se tedy najít vhodnou funkci I. V rovnici (6.4) roznásobíme levou stranu a na pravé straně
použijeme pravidlo pro derivaci součinu a dostáváme
I(x)y′
+ I(x)p(x)y = I′
(x)y + I(x)y′
a odtud
I(x)p(x) = I′
(x).
Dostali jsme tak rovnici se separovanými proměnnými, kterou vyřešíme:
dI
I
= p(x) dx,
ln |I| = p(x) dx,
I = Ke p(x) dx
.
Jelikož hledáme jednu konkrétní funkci I, zvolíme K = 1 a dostáváme
I(x) = e p(x) dx
.
Takovouto funkci I(x) nazýváme integrační faktor. Pro nalezení řešení lineární diferenciální rovnici
(6.3) vynásobíme obě strany integračním faktorem
I(x) = e p(x) dx
,
čímž dostaneme rovnici ve tvaru
ye p(x) dx
′
= q(x)e p(x) dx
a obě strany této rovnice zintegrujeme. Dostaneme tak řešení
y(x) = g(x)e p(x) dx
dx + c e− p(x) dx
.
Tento vzorec si samozřejmě nemusíme pamatovat, stačí jen znát tvar integračního faktoru.
69
Příklad 6.5. Najděte obecné řešení rovnice
a) y′
− 2y = x, b) y′
+ 2xy = xe−x2
.
Řešení. a) Určíme integrační faktor I = e −2 dx
= e−2x
a vynásobíme jím danou rovnici, dostaneme
tak
y′
e−2x
− 2e−2x
y = xe−2x
.
Rovnici upravíme do tvaru
ye−2x ′
= xe−2x
a integrujeme obě strany, přičemž pro pravou stranu použijeme metodu per partes:
ye−2x
= −
1
2
xe−2x
−
1
4
e−2x
+ C.
Odtud získáme obecné řešení ve tvaru
y = −
1
2
x −
1
4
+ Ce2x
, C ∈ R.
b) Určíme integrační faktor I = e 2x dx
= ex2
. Vynásobením rovnice a úpravou dostaneme
yex2 ′
= x.
Integrováním obou stran dostaneme
yex2
=
x2
2
+ C
a odtud obecné řešení rovnice je
y =
x2
2
+ C e−x2
, C ∈ R.
Příklad 6.6. Řešte počáteční úlohu
x3
y′
− 2x2
y = 4, y(1) = −2.
Řešení. Rovnici upravíme do tvaru
y′
−
2
x
y =
4
x3
.
Vypočteme integrační faktor
I = e − 2
x
dx
= e−2 ln x
= eln 1
x2
=
1
x2
.
Vynásobením rovnice a úpravou dostaneme
y
1
x2
′
=
4
x5
.
Integrujeme obě strany rovnice
y
1
x2
= −
1
x4
a získáme obecné řešení rovnice ve tvaru y = Cx2
− 1
x2 . Dosazením počáteční podmínky dostáváme
−2 = C − 1 a odtud C = −1. Řešením počáteční úlohy je funkce
y = −x2
−
1
x2
.
70
Aplikace 6.7. Ponziho schéma
Ponziho schéma je investiční podvod, který slibuje velkou návratnost investic, ale místo skutečného
investování jsou svěřené prostředky použity na vyplácení zisku investorů. Aby nedošly finanční prostředky,
je nutné neustále zvyšovat příliv nových investorů, schéma tedy nakonec musí zkolabovat.
Pokusíme se najít rovnici, která popisuje počet nutných investorů.
Předpokládejme, že máme na začátku 10 investorů, přičemž každý vloží do fondu 100 000 Kč a je
mu slíbena 20 % návratnost investice každý měsíc. Z vloženého milionu tak vyplatíme každému investorovi
20 000 Kč a zbylých 800 000 Kč si necháme. Označme y počet investorů, které potřebujeme,
abychom mohli investory nadále vyplácet a přitom si pokaždé nechat částku 800 000 Kč.
Budeme-li částky uvažovat v tisících, pak máme
příjem = 100
dy
dt
výdej = 20y + 800.
Příjmy a výdaje musí být v rovnováze a navíc víme, že na začátku máme deset investorů. Dostaneme
tak počáteční problém
100
dy
dt
= 20y + 800, y(0) = 10.
Jedná se o lineární diferenciální rovnici, jejíž integrační faktor je
I = e −0,2dt
= e−0,2t
Po vynásobení a úpravě dostaneme
ye−0,2t ′
= 8e−0,2t
.
Integrováním a úpravou pak získáme obecné řešení
y = ce0,2t
− 40.
Dosazením počáteční podmínky určíme konstantu c
10 = ce0
− 40 =⇒ c = 50
a dostaneme řešení našeho počátečního problému
y = 50e0,2t
− 40.
Tedy například po jednom roce bychom potřebovali y(12) ≈ 511 investorů.
6.3 Geometrická interpretace
V mnoha případech není možné najít explicitní vyjádření hledaného řešení. V případě, kdy je daná
rovnice tvaru
y′
= f(x, y),
můžeme získat nějaké informace o hledaném řešení díky geometrické interpretaci dané rovnice.
Diferenciální rovnice y′
= f(x, y) přiřazuje bodu [x, y] v rovině právě jednu hodnotu y′
(x), neboli
hodnotu derivace hledané funkce. Tuto hodnotu můžeme chápat jako směrnici přímky procházející
bodem [x, y]. Tuto přímku obvykle znázorňujeme jako krátkou úsečku se středem v daném bodě
[x, y] a směrnicí y′
(x). Tato úsečka se nazývá lineární element. Množinu všech lineárních elementů
diferenciální rovnice nazýváme směrové pole. Graf každého řešení φ(x) dané diferenciální rovnice, tzv.
integrální křivka, má zřejmě tu vlastnost, že tečna v každém jeho bodě [x, φ(x)] obsahuje příslušný
lineární element. Směrové pole nám tak pomáhá zobrazit tvar hledaných integrálních křivek tím, že
ukazuje směr, v kterém křivka prochází každým bodem.
71
y
x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
96
97
98
99
100
Směrové pole rovnice y′
= 1
2
y 1 − 1
100
y a řešení pro různé počáteční podmínky
6.4 Numerické řešení počáteční úlohy
Kromě geometrické interpretace můžeme najít i přibližné řešení rovnice pomocí tzv. numerických
metod. Nejjednodušší metodou numerického řešení počáteční úlohy je Eulerova metoda. Základní
myšlenkou této metody je aproximace řešení lomenou čarou.
Uvažujme počáteční úlohu
y′
= f(x, y), y(x0) = y0.
Budeme hledat přibližné hodnoty tohoto řešení v rovnoměrně vzdálených bodech
x0, x1 = x0 + h, x2 = x1 + h, . . . ,
kde h se nazývá dělicí krok.
Podobně jako u směrového pole si všimneme, že nám rovnice y′
= f(x, y) udává hodnotu směrnice
tečny v bodě [x0, y0], která je y′
= f(x0, y0), což nám umožní odhadnout hodnotu řešení v bodě x1.
(x1, y1)
x0 x1
h
hf(x0, y0)
y0
f(x0, y0)
y
x
Pomocí obrázku můžeme odvodit, že hodnota v bodě x1 je tak přibližně rovna
y1 = y0 + hf(x0, y0).
Známe-li hodnotu v bodě x1, můžeme přibližně vyjádřit hodnotu v x2 atd. Celkově můžeme Eulerovu
metodu shrnout následovně:
xi+1 = xi + h
yi+1 = yi + hf(xi, yi), i = 0, 1, 2, . . . , n.
Samozřejmě dnes již nikdo tyto výpočty neprovádí ručně.
6.5 Aplikační příklady
Příklad 6.8. Sbírka umění byla pořízena za cenu 400 000 Kč a předpokládá se, že její hodnota
poroste každý rok o 5 %. Jak vypadá diferenciální rovnice, která modeluje hodnotu sbírky v čase?
Jaká bude hodnota sbírky za 10 let?
72
Příklad 6.9. Je-li nějaká zpráva opakovaně vysílána médii, tak se v první fázi šíří rychle, ale postupně
již pomaleji, jelikož většina lidí již zprávu zná. Sociologové často předpokládají, že rchlost šíření
zprávy je pak přímo úměrná počtu osob, které tuto zprávu ještě neslyšely. Uvažujme, že máme
město s 50 000 obyvateli, přičemž na začátku danou zprávu nezná nikdo a po dvou hodinách polovina
obyvatel. Kolik obytel bude zprávu znát za 6 hodin? A kdy bude se zprávou seznámeno 90 % obyvatel?
Příklad 6.10. Spalování fosilních paliv je zodpovědné za zvyšení množství oxidu uhličitého, který je
pravděpodobně jednou z příčin zvyšení globální teploty. V současnosti je v atmosféře přibližně 3200
miliard tun oxidu uhličitého a jeho množství roste každoročně o 50 miliard tun, přičemž pouze 1 %
z akumulovaného množství se každoročně odstraní přírodními procesy. Namodelujte množství oxidu
uhličitého v čase pomocí diferenciální rovnice a určete, kdy bude v atmosféře 4000 miliard tun oxidu
uhličitého (jedná se o množství, při kterém by mělo dojít ke zvýšení teploty o dva stupně Celsia).
Jaké bude dlouhodobé množství oxidu uhličitého v atmosféře?
73