BPM_MAEK Příklady k procvičení Posloupnosti a řady Příklad 1: Určete následující součty: a) 󰁓23 n=0 10 000 · 1,1n , b) 󰁓11 n=0 P0 · 1,05n , P0 > 0, c) 󰁓9 n=0 10000 1,1n , d) 󰁓9 n=0 20000 1,05n . Příklad 2: Ukažte, že řady divergují a) 󰁓∞ n=1 󰀃3 2 󰀄n , b) 󰁓∞ n=1 n n+1 , c) 󰁓∞ n=0 n−3 n , d) 󰁓∞ n=0 1+2n 2n . Příklad 3: Určete následující součty: a) 󰁓∞ n=0 1 3n , b) 󰁓∞ n=1 3n+2n 4n , c) 󰁓∞ n=1 1+2n 4n , d) 󰁓∞ n=0 2n−1 3n . Příklad 4: Autor učebnice si může nechat vyplatit tantiémy dvěma různými způsoby. Buď dostane 20 000 Kč ihned a nebo dostane 4 500 Kč v pěti ročních splátkách, přičemž první dostane okamžitě. Která nabídka je výhodnější, je-li roční úroková míra 5 %? Příklad 5: Vláda se rozhodne dát fixní slevu na daních každé domácnosti, přičemž usuzuje, že část této slevy se utratí za služby a zboží. Příjemci těchto peněz opět utratí stejnou část této částky atd. Je pro celkový přínos výhodnější, když vláda poskytne slevu ve výši 10 000 Kč a příjemci utratí 75 % nebo když bude sleva 8 000 Kč, ale příjemci utratí 90 %? BPM_MAEK Výsledky Příklad 1: a) 884 973; b) 15,92P0; c) 67 590; d) 162 156. Příklad 2: Ve všech případech není splněna nutná podmínka konvergence. a) limn→∞ 󰀃3 2 󰀄n = ∞; b) limn→∞ n n+1 = 1; c) limn→∞ n−3 n = 1; d) limn→∞ 1+2n 2n = 1. Příklad 3: a) 3 2 ; b) 4; c) 4 3 ; d) 3 2 . Příklad 4: V první variantě je přínos na příjemce s1 = 10 000 1 − 3 4 = 40 000 Kč. V druhém případě s2 = 8 000 1 − 9 10 = 80 000 Kč. Druhá varianta je tedy výhodnější. Příklad 5: Můžeme využít konceptu současné hodnoty. Současná hodnota splátek je pak PV = 4 500 + 4 500 1,05 + 4 500 1,052 + 4 500 1,053 + 4 500 1,054 = 20 456 Kč. Splátky jsou tedy výhodnější.