BPM_MAEK
Příklady k procvičení
Derivace
Příklad 1: Vypočtěte derivace následujících funkcí (proměnná je vždy x, a > 0, b > 0)
a) y = x3
+ 2x2
+ 1, b) y = 3x3
+ 2
x4 ,
c) y = ax2
+ bx, d) y = x
√
x − x2
(x − 1),
e) y = 2x2
ex
, f) y = 3x ln x,
g) y = (x + 1) cos x, h) y = x−1
x2+1
,
i) y = a
x2+1
, j) y = ax+1
x2+b
,
k) y = x
ln x
, l) y = e−ax
,
m) y =
√
ex + 1, n) y = (ax2
+ b)3
,
o) y = ex2+1
, p) y = ln x
x2+1
.
Příklad 2: Vypočtěte druhou derivaci funkcí
a) y = x4
− 2x3
− x2
, b) y = x2
− 1
x2 ,
c) y = e−x2
, d) y = x
x2+1
.
BPM_MAEK
Výsledky
Příklad 1:
a) y′
= 3x2
+ 4x;
b) y′
= 9x2
− 8
x5 ;
c) y′
= 2ax + b;
d) y′
= −3x2
+ 2x + 3
2
√
x;
e) y′
= 2xex
(x + 2);
f) y′
= 3(ln(x) + 1);
g) y′
= cos x − (x + 1) sin x;
h) y′
= −x2+2x+1
(x2+1)2 ;
i) y′
= − 2ax
(x2+1)2 ;
j) y′
= a(b−x2)−2x
(b+x2)2 ;
k) y′
= ln x−1
ln2
x
;
l) y′
= −ae−ax
;
m) y′
= ex
2
√
ex+1
;
n) y′
= 6ax(ax2
+ b)2
;
o) y′
= 2xex2+1
;
p) y′
= 1−x2
x(x2+1)
.
Příklad 2:
a) y′
= 4x3
− 6x2
− 2x, y′′
= 12x2
− 12x − 2;
b) y′
= 2x + 2
x3 , y′′
= 2 − 6
x4 ;
c) y′
= −2xe−x2
, y′′
= (4x2
− 2)e−x2
;
d) y′
= 1−x2
(x2+1)2 , y′′
= 2x(x2−3)
(x2+1)3 .