BPM_MAEK
Příklady k procvičení
Aplikace derivace
Příklad 1: Určete lokální extrémy funkce
a) y = −x3
− 9x2
− 15x,
b) y = x3
− 3x2
− 9x + 1,
c) y = x
x2+1
.
Příklad 2: Určete intervaly, ve kterých je daná funkce konvexní, konkávní a určete inflexní body,
pokud existují.
a) y = −x3
+ 3x2
+ 45x − 12,
b) y = x4
− 3x2
+ 2
Příklad 3: Funkce vyjadřující zisk firmy (v tisících) je dána vztahem
P(Z) = −
1
4
Z2
+ 12Z, Z ∈ [0, 100],
kde Z je počet zákazníků. Vypočítejte P(20), P′
(20) a P′′
(20) a vysvětlete, co nám tato čísla říkají
o zisku firmy.
Příklad 4: Funkce vyjadřující velikost produkce firmy je dána vztahem
Q(L) = 12L −
1
20
L2
, L ∈ [0, 200],
kde L je počet pracovníků. Jaká velikost pracovní síly maximalizuje velikost produkce?
BPM_MAEK
Výsledky
Příklad 1:
a) lokální minimum v bodě x = −5 hodnoty −25, lokální maximum v bodě x = −1 hodnoty 7;
b) lokální minimum v bodě x = 3 hodnoty −26, lokální maximum v bodě x = −1 hodnoty 6;
c) lokální minimum v bodě x = −1 hodnoty −1
2
, lokální maximum v bodě x = 1 hodnoty 1
2
.
Příklad 2:
a) funkce je konvexní na intervalu (−∞, 1) a konkávní na intervalu (1, ∞), v bodě [1, 35] je inflexní
bod;
b) funkce je konvexní na
󰀓
−∞, − 1√
2
󰀔
∪
󰀓
1√
2
, ∞
󰀔
a konkávní na intervalu
󰀓
− 1√
2
, 1√
2
󰀔
, v bodech
󰁫
− 1√
2
, 3
4
󰁬
a
󰁫
1√
2
, 3
4
󰁬
jsou inflexní body.
Příklad 3:
P(20) = 140, P′
(20) = 2, P′′
(20) = −
1
2
.
Jde o zisk při daném počtu zákazníků. Zisk roste, ale růst zpomaluje.
Příklad 4: Q′
(L) = 12 − 1
10
L. Z rovnice Q′
(L) = 0 dostaneme stacionární bod L = 120. Porovnáním
hodnot Q(0) = 0, Q(120) = 720 a Q(200) = 400 zjistíme, že absolutní maximum je pro 120
pracovníků.