BPM_MAEK
Příklady k procvičení
Funkce více proměnných
Příklad 1: Vypočítejte parciální derivace druhého řádu daných funkcí
a) f(x, y) = x2
+ 2y2
+ 2xy − 3x − 3y + 1,
b) f(x, y) = 3xy
x+y
,
c) f(x, y) = xex−y
,
d) f(x, y) = ln(x2
+ y).
Příklad 2: Určete lokální extrémy funkce
a) f(x, y) = x3
+ y3
− 3xy,
b) f(x, y) = xy2
+ 4xy − 2x2
.
BPM_MAEK
Výsledky
Příklad 1:
a) fx = 2x + 2y − 3, fy = 4y + 2x − 3, fxx = 2, fyy = 4, fxy = 2;
b) fx = 3y2
(x+y)2 , fy = 3x2
(x+y)2 , fxx = −6y2
(x+y)3 , fyy = −6x2
(x+y)3 , fxy = 6xy
(x+y)3 ;
c) fx = (x + 1)ex−y
, fy = −xex−y
, fxx = (x + 2)ex−y
, fyy = xex−y
, fxy = −(x + 1)ex−y
;
d) fx = 2x
x2+y
, fy = 1
x2+y
, fxx = −2(x2−y)
(x2+y)2 , fyy = − 1
(x2+y)2 , fxy = − 2x
(x2+y)2 .
Příklad 2:
a) lokální minimum v bodě [0, 0] hodnoty 0 a v bodě [1, 1] je stacionární bod, ve kterém není
extrém,
b) lokální maximum v bodě [−1, −2] hodnoty 2.