Popisná statistika
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 3
Z čeho studovat třetí lekci?
Povinná literatura: Mann (2016), kap. 03
Příprava na cvičení: Leaflet 04
Koncepty a procedury, cv. 04, kap. 03
Příprava na zkoušku: Mann (2016), kap. 03
Leaflet 04
Sbírka úloh, kap. 03
Koncepty a procedury, cv. 04, kap. 03
·Popisná statistika · 2 / 76
Motivační vstup
Nástupní plat absolventů v prvním zaměstnání dle fakult MU (2022)
Fakulta Průměr Fakulta Průměr
FI 63 990 Kč FSS 29 339 Kč
LF 44 438 Kč PřF 26 165 Kč
ESF 32 529 Kč PdF 25 649 Kč
FSpS 31 250 Kč FF 25 023 Kč
PrF 31 602 Kč MU 32 586 Kč
Na základě výše uvedené tabulky, která vychází z dat Masarykovy
univerzity pro rok 2022, jsou uvedeny průměrné nástupní platy
absolventů jednotlivých fakult. Jak můžeme vidět, mezi těmito
fakultami měli absolventi Fakulty informatiky (FI) nejvyšší nástupní
plat ve výši 63 990 Kč, zatímco absolventi Pedagogické fakulty (PdF)
měli nejnižší nástupní plat ve výši 25 649 Kč. Je zřejmé, že mezi
nástupními platy absolventů různých fakult existují značné rozdíly.
·Popisná statistika · 3 / 76
Míry středu pro neseskupená data
Míry středu pro neseskupená data
Průměr, medián, modus
Alternativní výpočty průměru
Vztahy mezi průměrem, mediánem a modem
Ukazatele variability pro neseskupená data
Rozpětí
Rozptyl a směrodatná odchylka
Parametry populace a statistiky vzorku
Využití směrodatné odchylky
Chebyshevova věta
Empirické pravidlo
Charakteristiky polohy
Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Percentily a percentilové pořadí
Krabicový diagram
·Popisná statistika · 4 / 76
Míry středu pro neseskupená data Průměr, Medián, Modus
Průměr
Průměr pro neseskupená data je získán dělením součtu všech hodnot
počtem všech hodnot v datové sadě.
Průměr pro populaci:
µ =
x
N
Průměr pro vzorek:
¯x =
x
n
kde x je součet všech hodnot; N je velikost populace; n je velikost
vzorku; µ je průměr populace; a ¯x je průměr vzorku.
·Popisná statistika · 5 / 76
Míry středu pro neseskupená data Průměr, Medián, Modus
Příklad 1
Tabulka 3.1 udává celkový zisk (v milionech dolarů) 10 amerických
společností za rok 2014 (www.fortune.com). Určete průměrný zisk za
rok 2014 u těchto 10 společností.
·Popisná statistika · 6 / 76
Míry středu pro neseskupená data Průměr, Medián, Modus
Příklad 1: Řešení
x = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10
= 37 037 + 18 249 + 11 431 + 32 580 + 5 346 + 13 057
+ 5 113 + 5 385 + 16 483 + 16 022 = 160 703
x =
x
n
=
160 706
10
= 16, 070.3 = $16 070.3 milionu
Těchto 10 společností vydělalo v roce 2014 v průměru 16 070.3
milionu dolarů.
·Popisná statistika · 7 / 76
Míry středu pro neseskupená data Průměr, Medián, Modus
Příklad 2: Vliv odlehlé hodnoty na průměr
Máme seznam cen osmi náhodně vybraných domů ze všech domů
nabízených k prodeji:
Cena domu
$245 670 $176 200 $450 394 $310 160
$360 280 $272 440 $393 610 $3 874 480
Všimněte si, že cena posledního domu je $3 874 480, což je odlehlá
hodnota. Ukažte, jak zahrnutí této odlehlé hodnoty ovlivňuje hodnotu
průměru.
·Popisná statistika · 8 / 76
Míry středu pro neseskupená data Průměr, Medián, Modus
Příklad 2: Řešení
Pokud nezahrneme cenu nejdražšího domu (odlehlé hodnoty), průměr
cen ostatních sedmi domů je:
Průměr bez odlehlé hodnoty = 2 208 754
7 = $315 536.29
Nyní, abychom viděli vliv odlehlé hodnoty na hodnotu průměru,
zahrneme cenu nejdražšího domu a najdeme průměrnou cenu osmi
domů. Tento průměr je
Průměr s odlehlou hodnotou = 2 208 754+3 874 480
8 = $760 404.25
=> Takže když zahrneme cenu nejdražšího domu, průměr se více než
zdvojnásobí, protože vzroste z 315 536,29 dolarů na 760 404.25
dolarů.
·Popisná statistika · 9 / 76
Míry středu pro neseskupená data Průměr, Medián, Modus
Případová studie
Nástupní plat absolventů v prvním zaměstnání dle fakult MU (2022)
Fakulta Průměr Průměr bez odlehlých
pozorování
FI 63 990 Kč 56 656 Kč
LF 44 438 Kč 40 993 Kč
ESF 32 529 Kč 32 052 Kč
FSpS 31 250 Kč 30 500 Kč
PrF 31 602 Kč 30 078 Kč
MU 32 586 Kč 29 809 Kč
FSS 29 339 Kč 27 728 Kč
PřF 26 165 Kč 25 060 Kč
PdF 25 649 Kč 25 808 Kč
FF 25 023 Kč 24 730 Kč
·Popisná statistika · 10 / 76
Míry středu pro neseskupená data Průměr, Medián, Modus
Medián
Medián je hodnota, která dělí datový soubor, jenž byl seřazen
vzestupně, na dvě stejné poloviny.
=> Pokud má datový soubor lichý počet hodnot, medián je dán
hodnotou prostředního členu v seřazeném datovém souboru.
=> Pokud má datový soubor sudý počet hodnot, medián je dán
průměrem dvou prostředních hodnot v seřazeném datovém
souboru.
Výpočet mediánu se skládá ze dvou kroků:
1. Seřadit daný soubor dat vzestupně.
2. Najít hodnotu, která rozdělí seřazený soubor dat na dvě stejné
části. Tato hodnota poté určuje medián.
·Popisná statistika · 11 / 76
Míry středu pro neseskupená data Průměr, Medián, Modus
Příklad 3
Tabulka 3.2 uvádí odměny generálních ředitelek 11 amerických
společností za rok 2014 (USA TODAY, 1. května 2015).
Najděte medián těchto údajů.
·Popisná statistika · 12 / 76
Míry středu pro neseskupená data Průměr, Medián, Modus
Příklad 3: Řešení
Pro výpočet mediánu provádíme následující dva kroky.
Krok 1: Seřadíme daná data vzestupně takto:
16.2 16.9 19.3 19.3 19.6 21.0 22.2 22.5 28.7 33.7 42.1
Krok 2: Existuje 11 datových hodnot. Šestá hodnota dělí těchto 11
hodnot na dvě stejné části. Tedy šestá hodnota udává medián, jak je
ukázáno níže.
16.2 16.9 19.3 19.3 19.6 21.0 22.2 22.5 28.7 33.7 42.1
Medián
Medián kompenzací za rok 2014 pro těchto 11 generálních ředitelek
je 21.0 milionu dolarů.
·Popisná statistika · 13 / 76
Míry středu pro neseskupená data Průměr, Medián, Modus
Medián vs průměr
Medián udává střed histogramu, přičemž polovina datových hodnot je
vlevo od mediánu a polovina vpravo od mediánu.
=> Výhodou použití mediánu jako míry centrální tendence je, že
není ovlivněn odlehlými hodnotami.
=> V důsledku toho je medián upřednostňován před průměrem jako
míra středu pro datové soubory, které obsahují odlehlé hodnoty.
·Popisná statistika · 14 / 76
Míry středu pro neseskupená data Průměr, Medián, Modus
Případová studie
Nástupní plat absolventů v prvním zaměstnání dle fakult MU (2022)
Fakulta Průměr Průměr bez odlehlých Medián
pozorování
FI 63 990 Kč 56 656 Kč 47 500 Kč
LF 44 438 Kč 40 993 Kč 36 250 Kč
ESF 32 529 Kč 32 052 Kč 31 000 Kč
FSpS 31 250 Kč 30 500 Kč 31 250 Kč
PrF 31 602 Kč 30 078 Kč 28 750 Kč
MU 32 586 Kč 29 809 Kč 28 500 Kč
FSS 29 339 Kč 27 728 Kč 28 000 Kč
PřF 26 165 Kč 25 060 Kč 25 000 Kč
PdF 25 649 Kč 25 808 Kč 26 500 Kč
FF 25 023 Kč 24 730 Kč 25 500 Kč
·Popisná statistika · 15 / 76
Míry středu pro neseskupená data Průměr, Medián, Modus
Modus
Modus je hodnota, která se v datovém souboru vyskytuje s největší
frekvencí.
Zásadním nedostatkem modu je, že datová sada může mít žádný,
jeden, dva nebo více než jeden modus. Naproti tomu bude mít vždy
pouze jeden průměr a pouze jeden medián.
Unimodální - Datová sada s pouze jedním modem.
Bimodální - Datová sada se dvěma mody.
Multimodální - Datová sada s více než dvěma mody.
Poznámka: Jednou z výhod modu je, že lze vypočítat pro oba druhy
dat – kvantitativní i kvalitativní – zatímco průměr a medián lze
vypočítat pouze pro kvantitativní data.
·Popisná statistika · 16 / 76
Míry středu pro neseskupená data Průměr, Medián, Modus
Příklad 4
Zadání: Najděte modus. Následující data udávají rychlost (v km za
hodinu) osmi aut, která byla zastavena na vesnici pro překročení
rychlosti.
77 82 74 81 79 84 74 78
Řešení: V této datové sadě se hodnota 74 vyskytuje dvakrát a každá z
ostatních hodnot pouze jednou. Protože se 74 vyskytuje nejčastěji, je
to modus.
Modus = 74 km za hodinu
·Popisná statistika · 17 / 76
Míry středu pro neseskupená data Průměr, Medián, Modus
Příklad 5: (Dataset bez modu)
Zadání: Najděte modus. Příjmy pěti náhodně vybraných rodin v
loňském roce byly 76 150 dolarů, 95 750 dolarů, 124 985 dolarů, 87
490 dolarů a 53 740 dolarů.
Řešení: Datová sada nemá modus, protože každá hodnota v této
datové sadě se vyskytuje pouze jednou.
·Popisná statistika · 18 / 76
Míry středu pro neseskupená data Průměr, Medián, Modus
Příklad 6: (Modus u kvalitativních dat)
Zadání: Najděte modus. Hodnost pěti studentů, kteří jsou členy
studentského senátu na vysoké škole, jsou postupně: senior,
sophomore, senior, junior a senior.
Řešení: Protože kategorie senior se vyskytuje častěji než ostatní
kategorie, je to modus pro tuto datovou sadu. Pro tuto datovou sadu
nemůžeme vypočítat průměr a medián.
·Popisná statistika · 19 / 76
Míry středu pro neseskupená data Alternativní výpočty průměru
Oříznutý průměr
Po odstranění k % hodnot z každého konce seřazené datové sady je
průměr zbývajících hodnot nazýván k% oříznutý průměr.
Výpočet:
1. Pro výpočet oříznutého průměru datové sady nejprve seřadíme
daná data vzestupně.
2. Poté odstraníme k % hodnot z každého konce seřazené datové
sady, kde k je jakékoliv kladné číslo, jako je 5%, 10% a tak dále.
3. Průměr zbývajících hodnot se nazývá k% oříznutý průměr.
·Popisná statistika · 20 / 76
Míry středu pro neseskupená data Alternativní výpočty průměru
Příklad 7
Zadání: Vypočítejte 10% oříznutý průměr. Následující údaje uvádějí
utracené peníze deseti vybranými studenty za knihy v roce 2015.
890 1354 1861 1644 87 5403 1429 1993 938 2176
Řešení:
Pro výpočet ořezaného průměru nejprve seřadíme daná data:
87 890 938 1354 1429 1644 1861 1993 2176 5403
Pro výpočet 10% oříznutého průměru odstraníme 10% hodnot z
každého konce seřazených dat: 10% z 10 hodnot = 10*(0.10) = 1.
Tedy odstraníme jednu hodnotu z každého konce seřazených dat. Po
odstranění dvou hodnot, jedné z každého konce, nám zůstane
následujících osm hodnot:
890 938 1354 1429 1644 1861 1993 2176
·Popisná statistika · 21 / 76
Míry středu pro neseskupená data Alternativní výpočty průměru
Příklad 7: Řešení
x = 890+938+1354+1429+1644+1861+1993+2176 = 12 285
10% Ořezaný průměr =
12 285
8
= 1535.625
.
= 1535.63
Tedy, pokud odstraníme 10 % hodnot z každého konce seřazených dat
pro tento příklad, můžeme říci, že studenti za knihy v roce 2015
utratili v průměru $1535.63.
Vzhledem k tomu, že v této datové sadě lze považovat $87 a $5403
za odlehlé hodnoty, je rozumné tyto dvě hodnoty odstranit a
vypočítat ořezaný průměr pro zbývající hodnoty namísto výpočtu
průměru ze všech 10 hodnot.
·Popisná statistika · 22 / 76
Míry středu pro neseskupená data Alternativní výpočty průměru
Vážený průměr
Pokud má každá hodnota v datové sadě odlišnou četnost výskytu a
každé takové hodnotě je přiřazena určitá váha odpovídající jejímu
zastoupení v souboru dat, pak pro určení středu této datové sady
použijeme výpočet váženého průměru.
Výpočet:
1. Pro výpočet váženého průměru datové sady označíme
proměnnou x a váhy w.
2. Sečteme všechny váhy a tuto sumu označíme w. Poté
vynásobíme každou hodnotu x příslušnou hodnotou w.
3. Součet výsledných součinů dává xw. Dělení xw sumou w
dává vážený průměr.
=> Vážený průměr = (xw)
w
·Popisná statistika · 23 / 76
Míry středu pro neseskupená data Alternativní výpočty průměru
Příklad 8
Zadání: Aneta si letos v červnu čtyřikrát koupila benzín do svého auta.
Koupila 10 galonů za cenu 2.60 dolaru za galon, 13 galonů za cenu
2.80 dolaru za galon, 8 galonů za cenu 2.70 dolaru za galon a 15
galonů za cenu 2.75 dolaru za galon. Jaká je průměrná cena, kterou
Aneta letos v červnu zaplatila za benzín?
Řešení:
Tabulka: Ceny a množství zakoupeného benzínu
Cena Galony benzínu
x w xw
2.60 10 26.00
2.80 13 36.40
2.70 8 21.60
2.75 15 41.25
Σw = 46 Σxw = 125.25
·Popisná statistika · 24 / 76
Míry středu pro neseskupená data Alternativní výpočty průměru
Příklad 8: Řešení
Proměnná představuje cenu benzínu za galon, označíme ji x. Váhy
jsou množství zakoupených galonů, tyto váhy označíme w.
Vynásobíme každou hodnotu x příslušnou hodnotou w a sečtením
výsledných hodnot získáme xw. Nakonec dělíme xw sumou
w, abychom našli vážený průměr.
Vážený průměr =
xw
w
=
125.25
46
= $2.72
Aneta v červnu v průměru zaplatila 2.72 dolarů za galon benzínu.
·Popisná statistika · 25 / 76
Míry středu pro neseskupená data Vztahy mezi průměrem, mediánem a modem
Vztahy mezi průměrem, mediánem a modem
1. Pro symetrický histogram s jedním vrcholem (viz obrázek 3.2)
jsou hodnoty průměru, mediánu a modu shodné a nacházejí se
ve středu rozdělení.
2. U histogramu zešikmeného doprava (viz obrázek 3.3) je hodnota
průměru největší, hodnota modu nejmenší a hodnota mediánu
leží mezi těmito dvěma. (Všimněte si, že modus se vždy vyskytuje
v bodě vrcholu.) Hodnota průměru je v tomto případě největší,
protože je citlivá na odlehlé hodnoty, které se vyskytují v pravém
ocasu. Tyto odlehlé hodnoty táhnou průměr doprava.
3. Pokud je histogram zešikmen doleva (viz obrázek 3.4), je
hodnota průměru nejmenší a hodnota modu největší, přičemž
hodnota mediánu leží mezi těmito dvěma. V tomto případě
odlehlé hodnoty v levém ocasu táhnou průměr doleva.
·Popisná statistika · 26 / 76
Míry středu pro neseskupená data Vztahy mezi průměrem, mediánem a modem
Vztahy mezi průměrem, mediánem a modem
Obrázek: 3.2 Symetrický histogram s jedním vrcholem:
Obrázek: 3.3 Doprava zešikmený histogram:
Obrázek: 3.4 Doleva zešikmený histogram:
·Popisná statistika · 27 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Rozpětí
Míry středu pro neseskupená data
Průměr, medián, modus
Alternativní výpočty průměru
Vztahy mezi průměrem, mediánem a modem
Ukazatele variability pro neseskupená data
Rozpětí
Rozptyl a směrodatná odchylka
Parametry populace a statistiky vzorku
Využití směrodatné odchylky
Chebyshevova věta
Empirické pravidlo
Charakteristiky polohy
Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Percentily a percentilové pořadí
Krabicový diagram
·Popisná statistika · 28 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Rozpětí
Rozpětí
Nalezení rozpětí pro neseskupená data
Rozpětí = Největší hodnota – Nejmenší hodnota
Nevýhody:
Rozpětí, stejně jako průměr, má nevýhodu, že je ovlivněn
odlehlými hodnotami. V důsledku toho není rozpětí dobrým
ukazatelem míry rozptylu pro datový soubor, který obsahuje
odlehlé hodnoty.
Jeho výpočet je založen pouze na dvou hodnotách: největší a
nejmenší. Při výpočtu rozpětí se ignorují všechny ostatní
hodnoty v datovém souboru. Tím pádem není rozpětí velmi
uspokojivým ukazatelem rozptylu.
·Popisná statistika · 29 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Rozpětí
Příklad 9
Zadání: Tabulka udává celkové plochy ve čtverečních mílích čtyř států
USA. Najděte rozpětí pro tento soubor dat.
Stát Arkansas Louisiana Oklahoma Texas
Celková plocha 53 182 49 651 69 903 267 277
Řešení:
Rozpětí = Největší hodnota − Nejmenší hodnota
= 267 277 − 49 651
= 217 626 čtverečních mil
Celkové plochy těchto čtyř států se pohybují v rozpětí 217 626
čtverečních mil.
·Popisná statistika · 30 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Rozptyl a směrodatná odchylka
Rozptyl a směrodatná odchylka
Směrodatná odchylka - nejpoužívanější ukazatel rozptýlenosti dat.
Hodnota směrodatné odchylky ukazuje, jak úzce jsou hodnoty
datového souboru shlukovány kolem průměru.
Obecně platí, že nižší hodnota směrodatné odchylky u datového
souboru značí, že hodnoty tohoto souboru jsou rozloženy v relativně
menším rozpětí kolem průměru. Naopak, vyšší hodnota směrodatné
odchylky u datového souboru značí, že hodnoty tohoto souboru jsou
rozloženy v relativně větším rozpětí kolem průměru.
·Popisná statistika · 31 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Rozptyl a směrodatná odchylka
Rozptyl a směrodatná odchylka
Směrodatná odchylka je získána jako kladná část druhé odmocniny z
rozptylu.
Rozptyl vypočítaný pro data celé populace je označen σ2 (čte se jako
sigma na druhou), a rozptyl vypočítaný pro vzorek dat je označen s2.
Směrodatná odchylka vypočítaná pro data celé populace je označena
σ, a směrodatná odchylka vypočítaná pro vzorek dat je označena s.
·Popisná statistika · 32 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Rozptyl a směrodatná odchylka
Rozptyl a směrodatná odchylka
Základní vzorce pro výpočet rozptylu a směrodatné odchylky
σ2
=
(x − µ)2
N
a s2
=
(x − x)2
n − 1
σ =
(x − µ)2
N
a s =
(x − x)2
n − 1
kde σ2 je rozptyl populace, s2 je výběrový rozptyl, σ je směrodatná
odchylka populace a s je výběrová směrodatná odchylka.
·Popisná statistika · 33 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Rozptyl a směrodatná odchylka
Rozptyl a směrodatná odchylka
Upravené vzorce pro výpočet rozptylu a směrodatné odchylky
σ2
=
x2 − ( x)2
N
N
a s2
=
x2 − ( x)2
n
n − 1
σ =
x2 − ( x)2
N
N
a s =
x2 − ( x)2
n
n − 1
kde σ2 je rozptyl populace, s2 je výběrový rozptyl, σ je směrodatná
odchylka populace a s je výběrová směrodatná odchylka.
·Popisná statistika · 34 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Rozptyl a směrodatná odchylka
Rozptyl a směrodatná odchylka
Dvě fakta:
1. Hodnoty rozptylu a směrodatné odchylky nikdy nejsou záporné.
To znamená, že čitatel ve vzorci pro výpočet rozptylu by nikdy
neměl dát zápornou hodnotu. Obvykle jsou hodnoty rozptylu a
směrodatné odchylky kladné, ale pokud má datový soubor
nulovou variabilitu, pak jsou jak rozptyl, tak směrodatná
odchylka rovněž nula.
2. Měřící jednotky rozptylu jsou vždy kvadrátem (čtverečním
útvarem) měřicích jednotek původních dat. Důvodem je to, že
pro výpočet rozptylu jsou původní hodnoty umocňovány na
druhou. Měřicí jednotky směrodatné odchylky jsou stejné jako
měřicí jednotky původních dat, protože směrodatná odchylka je
získána druhou odmocninou rozptylu.
·Popisná statistika · 35 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Rozptyl a směrodatná odchylka
Rozptyl a směrodatná odchylka
Upozornění na numerické chyby:
Všimněte si, že Σx2 není totéž co (Σx)2. Hodnota Σx2 je získána
umocněním hodnot x a následným jejich sečtením. Hodnota
(Σx)2 je získána umocněním hodnoty Σx.
·Popisná statistika · 36 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Rozptyl a směrodatná odchylka
Příklad 10
Zadání: Nechť x označuje odměny (v milionech dolarů) pro ženy ve
funkci generální ředitelky amerických společností v roce 2014.
Výpočet Σx a Σx2 je uveden v tabulce 3.6.
Určete výběrový rozptyl a výběrovou směrodatnou odchylku pro x.
·Popisná statistika · 37 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Rozptyl a směrodatná odchylka
Příklad 10: Řešení
Krok 1. Určete Σx: Součet hodnot v 1. sloupci tabulky je 261.5.
Krok 2. Určete Σx2: Součet hodnot v 2. sloupci tabulky je 6 849.07.
Krok 3. Určete výběrový rozptyl:
s2 =
x2−
( x)2
n
n−1 =
6849.07−
(261.5)2
11
11−1 = 632.5018
10 = 63.2502
Krok 4. Získání výběrové směrodatné odchylky:
s =
x2−
( x)2
n
n−1 =
√
63.2502 = 7.952999 ≈ 7.95 milionů
=> Směrodatná odchylka odměn z roku 2014 těchto 11 žen ve
funkci generálních ředitelek amerických společností je 7.95
milionů dolarů.
·Popisná statistika · 38 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Rozptyl a směrodatná odchylka
Příklad 11
Zadání: Máme zaznamenány výdělky pro všech šest zaměstnanců
malé společnosti za rok 2015 (v tisících dolarech před zdaněním).
Vypočtěte rozptyl a směrodatnou odchylku těchto dat.
Řešení: Nechť x označuje výdělky před zdaněním zaměstnance této
společnosti za rok 2015. Hodnoty Σx a Σx2 jsou vypočítány v tabulce:
Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Σ
x 88.50 108.40 65.50 52.50 79.80 54.60 449.30
x2 7832.25 11750.56 4290.25 2756.25 6368.04 2981.16 35978.51
σ2 =
x2−
( x)2
N
N =
35 978.51−
(449.30)2
6
6 = 388.90
σ =
√
388.90 = 19.721 tisíc
Populační směrodatná odchylka výdělků za rok 2015 všech šesti
zaměstnanců této společnosti je 19.721 tisíc dolarů.
·Popisná statistika · 39 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Rozptyl a směrodatná odchylka
Koeficient variace
Jednou z nevýhod směrodatné odchylky jako míry rozptylu je, že
je to míra absolutní variability, a ne relativní variability.
Někdy můžeme potřebovat porovnat variabilitu dvou různých
datových souborů, které mají různé měrné jednotky. V takových
případech je preferována míra relativní variability. Jednou
takovou mírou je koeficient variace.
·Popisná statistika · 40 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Rozptyl a směrodatná odchylka
Koeficient variace
Koeficient variace vyjadřuje směrodatnou odchylku jako procento
průměru a vypočítává se následovně:
Pro data z populace:
CV =
σ
µ
· 100%
Pro data ze vzorku:
CV =
s
¯x
· 100%
Poznámka: Koeficient variace nemá žádné jednotky měření, protože je
vždy vyjádřen jako procento.
·Popisná statistika · 41 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Rozptyl a směrodatná odchylka
Příklad 12
Zadání: Roční platy všech zaměstnanců pracujících pro velkou
společnost mají průměr 72 350 USD a směrodatnou odchylku 12 820
USD. Počet let vzdělání stejných zaměstnanců má průměr 15 let a
směrodatnou odchylku 2 roky. Je relativní rozptýlenost dat v platech
vyšší nebo nižší než rozptýlenost dat u let vzdělání těchto
zaměstnanců? Odpovězte na otázku výpočtem koeficientu variace pro
každou proměnnou.
Řešení:
CV pro platy = σ
µ · 100% = 12 820
72 350 · 100% = 17.72%
CV pro roky vzdělání = σ
µ · 100% = 2
15 · 100% = 13.33%
Vzhledem k tomu, že koeficient variace pro plat (17.72%) má vyšší
hodnotu než koeficient variace pro roky vzdělání (13.33%), mají platy
vyšší relativní variaci než roky vzdělání.
·Popisná statistika · 42 / 76
Ukazatele variability pro neseskupená data Parametry populace a statistiky vzorku
Parametry populace a statistiky vzorku
Číselná míry, jako je průměr, medián, modus, rozpětí, rozptyl nebo
směrodatná odchylka, vypočítaná pro soubor dat populace, se nazývá
parametr populace, nebo jednoduše parametr.
Shrnutá míra vypočítaná pro vzorek dat se nazývá statistika vzorku,
nebo jednoduše statistika.
·Popisná statistika · 43 / 76
Využití směrodatné odchylky
Míry středu pro neseskupená data
Průměr, medián, modus
Alternativní výpočty průměru
Vztahy mezi průměrem, mediánem a modem
Ukazatele variability pro neseskupená data
Rozpětí
Rozptyl a směrodatná odchylka
Parametry populace a statistiky vzorku
Využití směrodatné odchylky
Chebyshevova věta
Empirické pravidlo
Charakteristiky polohy
Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Percentily a percentilové pořadí
Krabicový diagram
·Popisná statistika · 44 / 76
Využití směrodatné odchylky Chebyshevova věta
Chebyshevova věta
Pro libovolné číslo k větší než 1, leží alespoň (1 − 1
k2 ) hodnot datové
sady do vzdálenosti k směrodatných odchylek od průměru.
Tabulka: Plochy pod distribuční křivkou dle Chebyshevovy věty
Minimální plocha v rámci
k Interval 1 − 1
k2 k směrodatných odchylek
1.5 µ ± 1.5σ 1 − 1
1.52 = 1 − .44 = .56 56%
2.0 µ ± 2σ 1 − 1
22 = 1 − .25 = .75 75%
2.5 µ ± 2.5σ 1 − 1
2.52 = 1 − .16 = .84 84%
3.0 µ ± 3σ 1 − 1
3.02 = 1 − .11 = .89 89%
·Popisná statistika · 45 / 76
Využití směrodatné odchylky Chebyshevova věta
Chebyshevova věta
Obrázek: 3.5 Chebyshevova věta
Obrázek: 3.6 Chebyshevova věta: 2x směrodatná odchylka
Obrázek: 3.7 Chebyshevova věta: 3x směrodatná odchylka
·Popisná statistika · 46 / 76
Využití směrodatné odchylky Chebyshevova věta
Příklad 13
Zadání: Průměrný systolický krevní tlak u 4000 testovaných žen byl
stanoven na 187 mm Hg se směrodatnou odchylkou 22. Použitím
Chebyshevovy věty zjistěte, alespoň kolik procent žen v této skupině
má systolický krevní tlak mezi 143 a 231 mm Hg.
Řešení:
Nechť µ = 187 a σ = 22 jsou průměr a směrodatná odchylka
systolického krevního tlaku těchto žen.
|143 − µ| = |143 − 187| = −44 ↔ |231 − µ| = |231 − 187| = 44
Hodnota k je získána dělením vzdálenosti mezi průměrem a každým
bodem a směrodatnou odchylkou. Tedy k = 44
22 = 2
1 −
1
k2
= 1 −
1
22
= 1 −
1
4
= .75 nebo 75%
Takže podle Chebyshevovy věty má alespoň 75% žen systolický krevní
tlak mezi 143 a 231 mm Hg.
·Popisná statistika · 47 / 76
Využití směrodatné odchylky Chebyshevova věta
Příklad 13: Grafické řešení
·Popisná statistika · 48 / 76
Využití směrodatné odchylky Empirické pravidlo
Empirické pravidlo
Pro distribuci s tvarem zvonu platí přibližně:
68% pozorování leží do jedné směrodatné odchylky od průměru.
95% pozorování leží do dvou směrodatných odchylek od
průměru.
99.7% pozorování leží do tří směrodatných odchylek od průměru.
·Popisná statistika · 49 / 76
Využití směrodatné odchylky Empirické pravidlo
Empirické pravidlo graficky
Interval Aproximativní plocha
µ ± 1σ 68%
µ ± 2σ 95%
µ ± 3σ 99.7%
·Popisná statistika · 50 / 76
Využití směrodatné odchylky Empirické pravidlo
Příklad 14
Zadání: Distribuce věku vzorku 5000 osob má tvar zvonu s průměrem
40 let a směrodatnou odchylkou 12 let. Určete přibližné procento
osob, které jsou ve věku 16 až 64 let.
Řešení:
Z poskytnutých informací známe tvar rozdělení a jeho parametry
¯x = 40 a s = 12 let. Dále jsme schopni dopočítat, že každý z obou
bodů, 16 a 64, je od průměru vzdálen 24 jednotek. Spočteme
konstantu k jako k = 24/12 = 2.
Protože plocha (pod křivkou ve tvaru zvonu) je ve vzdálenosti dvou
směrodatných odchylek od průměru přibližně 95 %, tak přibližně 95
% lidí ve vzorku je ve věku 16 až 64 let.
·Popisná statistika · 51 / 76
Využití směrodatné odchylky Empirické pravidlo
Příklad 14: Grafické řešení
·Popisná statistika · 52 / 76
Charakteristiky polohy
Míry středu pro neseskupená data
Průměr, medián, modus
Alternativní výpočty průměru
Vztahy mezi průměrem, mediánem a modem
Ukazatele variability pro neseskupená data
Rozpětí
Rozptyl a směrodatná odchylka
Parametry populace a statistiky vzorku
Využití směrodatné odchylky
Chebyshevova věta
Empirické pravidlo
Charakteristiky polohy
Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Percentily a percentilové pořadí
Krabicový diagram
·Popisná statistika · 53 / 76
Charakteristiky polohy Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Kvartily jsou tři shrnující ukazatele, které dělí seřazený soubor dat na
čtyři stejné části. Druhý kvartil je to samé co medián datového
souboru. První kvartil je hodnota středního členu mezi pozorováními,
která jsou menší než medián, a třetí kvartil je hodnota středního
členu mezi pozorováními, která jsou větší než medián.
·Popisná statistika · 54 / 76
Charakteristiky polohy Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Rozdíl mezi třetím a prvním kvartilem udává mezikvartilové rozpětí.
Výpočet mezikvartilového rozpětí
IQR = Mezikvartilové rozpětí = Q3 – Q1
·Popisná statistika · 55 / 76
Charakteristiky polohy Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Příklad 15
Byl vybrán vzorek 12 studentů dojíždějících z koleje na vysokou
školu. Následující data udávají typickou jednosměrnou dobu
dojíždění (v minutách) pro těchto 12 studentů:
29, 14, 39, 17, 7, 47, 63, 37, 42, 18, 24, 55
(a) Najděte hodnoty tří kvartilů.
(b) Kde spadá doba dojíždění 47 minut ve vztahu ke třem kvartilům?
(c) Najděte mezikvartilové rozpětí.
·Popisná statistika · 56 / 76
Charakteristiky polohy Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Příklad 15: Řešení a)
Krok 1. Nejdříve seřadíme daná data vzestupně takto:
7, 14, 17, 18, 24, 29, 37, 39, 42, 47, 55, 63
Krok 2. Najdeme druhý kvartil, který je zároveň mediánem. V celkovém
počtu 12 datových hodnot je medián mezi šestým a sedmým
členem. Tedy medián a tím pádem druhý kvartil je dán
průměrem šestého a sedmého hodnoty v seřazené datové sadě,
to je průměr 29 a 37. Druhý kvartil (medián) je tedy:
Q2 =
29 + 37
2
= 33
·Popisná statistika · 57 / 76
Charakteristiky polohy Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Příklad 15: Řešení a)
Krok 3. Najdeme medián hodnot dat, které jsou menší než Q2, a to nám
dá hodnotu prvního kvartilu. Hodnoty, které jsou menší než Q2,
jsou: 7, 14, 17, 18, 24, 29. Hodnota, která dělí těchto šest
datových hodnot na dvě stejné části, je dána průměrem dvou
prostředních hodnot, 17 a 18. Tedy první kvartil je:
Q1 =
17 + 18
2
= 17.5
Krok 4. Najdeme medián hodnot dat, které jsou větší než Q2, a to nám
dá hodnotu třetího kvartilu. Hodnoty, které jsou větší než Q2,
jsou: 37, 39, 42, 47, 55, 63. Hodnota, která dělí těchto šest
datových hodnot na dvě stejné části, je dána průměrem dvou
prostředních hodnot, 42 a 47. Tedy třetí kvartil je:
Q3 =
42 + 47
2
= 44.5
·Popisná statistika · 58 / 76
Charakteristiky polohy Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Příklad 15: Řešení a)
Řešení a) Nyní můžeme shrnout výpočet všech tří kvartilů:
Hodnota Q1 = 17.5 minut indikuje, že 25% z 12 studentů v tomto
vzorku dojíždí za méně než 17.5 minut a 75% z nich dojíždí za více
než 17.5 minut. Podobně, Q2 = 33 naznačuje, že polovina z 12
studentů dojíždí za méně než 33 minut a druhá polovina za více než
33 minut. Hodnota Q3 = 44.5 minut ukazuje, že 75% těchto 12
studentů v tomto vzorku dojíždí za méně než 44.5 minut a 25% z nich
dojíždí za více než 44.5 minut.
·Popisná statistika · 59 / 76
Charakteristiky polohy Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Příklad 15: Řešení b) + c)
Řešení b) Pohledem na pozici měření 47 minut můžeme konstatovat,
že tato hodnota spadá do nejvyšších 25% dob dojíždění.
Řešení c) Mezikvartilové rozpětí je dáno rozdílem mezi hodnotami
třetího a prvního kvartilu. Tedy
IQR = Mezikvartilové rozpětí = Q3 − Q1 = 44.5 − 17.5 = 27 minut
·Popisná statistika · 60 / 76
Charakteristiky polohy Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Percentily a percentilové pořadí
Percentil dělí seřazené hodnoty v datové sadě na sto stejně velkých
částí. Existují percentily od 1 do 99, které poskytují detailní pohled
na rozdělení dat.
Výpočet percentilů
Aproximativní hodnota k-tého percentilu, označovaného Pk, je
Pk = Hodnota k·n
100 -tého členu v seřazeném datovém souboru,
kde k označuje číslo percentilu a n reprezentuje velikost vzorku.
·Popisná statistika · 61 / 76
Charakteristiky polohy Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Příklad 16
Zadání: Vyjděme ze zadání Příkladu 15. Mějme opět 12 studentů a
jejich čas dojíždění na vysokou školu:
29, 14, 39, 17, 7, 47, 63, 37, 42, 18, 24, 55.
Najděte hodnotu 70. percentilu. Stručně vysvětlete, co 70. percentil
znamená.
·Popisná statistika · 62 / 76
Charakteristiky polohy Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Příklad 16: Řešení
Krok 1. Nejprve seřadíme zadaná data vzestupně takto:
7, 14, 17, 18, 24, 29, 37, 39, 42, 47, 55, 63
Krok 2. Najdeme k·n
100 -tý prvek.
k · n
100
=
(70) · (12)
100
= 8.4 → 9-tý prvek
Zde n=12 a k=70, protože chceme najít 70. percentil u 12
pozorování. Náš hledaný 70. percentil, P70, je dán hodnotou 9.
prvku v seřazené datové sadě. Poznamenejme, že jsme 8.4
zaokrouhlili nahoru na 9, což je standardní postup při výpočtu
percentilu.
·Popisná statistika · 63 / 76
Charakteristiky polohy Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Příklad 16: Řešení
Krok 3. Najdeme hodnotu 9. prvku v seřazených datech. To nám dá
hodnotu 70. percentilu, P70.
7, 14, 17, 18, 24, 29, 37, 39, 42, 47, 55, 63
P70 = Hodnota 9. prvku = 42 minuty
=> Můžeme konstatovat, že přibližně 70 % z těchto 12 studentů
dojíždí za méně nebo rovno 42 minutám.
·Popisná statistika · 64 / 76
Charakteristiky polohy Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Percentily a percentilové pořadí
Percentilové pořadí je hodnota vyjadřující pozici daného pozorování
ve vztahu k ostatním hodnotám v datové sadě, kdy data jsou
uspořádána od nejmenší po největší. Konkrétně percentilové pořadí
určitého pozorování ukazuje, jaké procento hodnot v datové sadě je
menší než dané pozorování.
Nalezení hodnoty percentilového pořadí
Percentilové pořadí xi =
Počet hodnot menších než xi
Celkový počet hodnot v datové sadě
· 100%
·Popisná statistika · 65 / 76
Charakteristiky polohy Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Příklad 17
Zadání: Vyjděme ze zadání Příkladu 15. Mějme opět 12 studentů a
jejich čas dojíždění na vysokou školu:
29, 14, 39, 17, 7, 47, 63, 37, 42, 18, 24, 55.
Najděte percentilové pořadí 42 minut. Stručně interpretujte co tato
hodnota věcně znamená.
·Popisná statistika · 66 / 76
Charakteristiky polohy Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Příklad 17: Řešení
Krok 1. Nejprve seřadíme zadaná data vzestupně:
7, 14, 17, 18, 24, 29, 37, 39, 42, 47, 55, 63
Krok 2. Zjistíme, kolik datových hodnot je menších než 42. V seřazených
datech výše je osm datových hodnot, které jsou menší než 42.
Krok 3. Nalezneme percentilové pořadí 42 minut. Vzhledem k tomu, že 8
z 12 hodnot v dané datové sadě je menších než 42:
Percentilové pořadí 42 =
8
12
· 100% = 66.67%
=> Zaokrouhlením této odpovědi na nejbližší celé číslo můžeme
konstatovat, že asi 67% studentů v tomto vzorku dojíždí méně
než 42 minut.
·Popisná statistika · 67 / 76
Krabicový diagram
Míry středu pro neseskupená data
Průměr, medián, modus
Alternativní výpočty průměru
Vztahy mezi průměrem, mediánem a modem
Ukazatele variability pro neseskupená data
Rozpětí
Rozptyl a směrodatná odchylka
Parametry populace a statistiky vzorku
Využití směrodatné odchylky
Chebyshevova věta
Empirické pravidlo
Charakteristiky polohy
Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Percentily a percentilové pořadí
Krabicový diagram
·Popisná statistika · 68 / 76
Krabicový diagram
Krabicový diagram (Boxplot)
Krabicový diagram (Boxplot) je grafické znázornění rozdělení datové
sady, které ukazuje její střed, rozptyl a šikmost. Je užitečný pro
vizuální identifikaci rozpětí dat, mediánu, kvartilů a odlehlých
pozorování.
Krabice (box): Vnitřní krabice zobrazuje rozpětí mezikvartilového
rozpětí (IQR), který je rozdílem mezi třetím kvartilem (Q3) a
prvním kvartilem (Q1). Střed krabice označuje medián (druhý
kvartil, Q2) datové sady.
Vousy (whiskers): Čáry, které se táhnou z krabice směrem ven k
extrémním hodnotám dat. Obvykle končí na hodnotě, která je v
rámci 1.5x IQR od prvního nebo třetího kvartilu. Hodnoty ležící
mimo toto rozpětí jsou často považovány za outliery.
Odlehlé pozorování: Jednotlivé body, které leží mimo vousy,
mohou být označeny jako potenciální odlehlé pozorování.
·Popisná statistika · 69 / 76
Krabicový diagram
Příklad 18
Následující data zahrnují příjmy (v tisících dolarů) pro vzorek 12
domácností.
75, 69, 84, 112, 74, 104, 81, 90, 94, 144, 79, 98
Sestavte krabicový diagram pro tato data.
·Popisná statistika · 70 / 76
Krabicový diagram
Příklad 18: Řešení
Krok 1. Nejprve seřadíme data vzestupně a vypočítáme medián, prvního
kvartil, třetí kvartil a mezikvartilové rozpětí. Seřazená data jsou:
69, 74, 75, 79, 81, 84, 90, 94, 98, 104, 112, 144.
Medián = 84+90
2 = 87
Q1 = 75+79
2 = 77
Q3 = 98+104
2 = 101
IQR = Q3 − Q1 = 101 − 77 = 24
Krok 2. Určíme body, které jsou 1.5·IQR pod Q1 a 1.5·IQR nad Q3.
1.5 krát IQR = 1.5 · 24 = 36
Dolní mez vousů = Q1 − 36 = 77 − 36 = 41
Horní mez vousů = Q3 + 36 = 101 + 36 = 137
·Popisná statistika · 71 / 76
Krabicový diagram
Příklad 18: Řešení
Krok 3. Určete nejmenší a největší hodnoty v daném datovém souboru
mezi dvěma vnitřními vousy.
Nejmenší hodnota mezi dolní a horní mezí vousů = 69
Největší hodnota mezi dolní a horní mezí vousů = 112
Krok 4. Nakreslete vodorovnou čáru a označte na ní úrovně příjmů tak,
aby byly pokryty všechny hodnoty v dané datové sadě. Výsledek
tohoto kroku je znázorněn na obrázku:
·Popisná statistika · 72 / 76
Krabicový diagram
Příklad 18: Řešení
Krok 5. Nakreslete dvě čáry, které spojí body nejmenší a největší
hodnoty mezi dolní a horní mezí vousů s krabicí. V tomto
příkladu jsou tyto hodnoty 69 a 112. Tím je krabicový diagram
dokončen, výsledek je znázorněn na obrázku
·Popisná statistika · 73 / 76
Shrnutí přednášky:
Míry středu pro neseskupená data
Průměr, medián, modus
Alternativní výpočty průměru
Vztahy mezi průměrem, mediánem a modem
Ukazatele variability pro neseskupená data
Rozpětí
Rozptyl a směrodatná odchylka
Parametry populace a statistiky vzorku
Využití směrodatné odchylky
Chebyshevova věta
Empirické pravidlo
Charakteristiky polohy
Kvartily a mezikvartilové rozpětí
Percentily a percentilové pořadí
Krabicový diagram
·Popisná statistika · 74 / 76
Co si nastudovat na následující týden?
Příprava na cvičení: Leaflet 04
Koncepty a procedury, cv. 04, kap. 03
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 4
·Popisná statistika · 75 / 76
Děkuji za pozornost!
·Popisná statistika · 76 / 76