Pravděpodobnost
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 4
Z čeho studovat čtvrtou lekci?
Povinná literatura: Mann (2016), kap. 04
Příprava na cvičení: Leaflet 05
Koncepty a procedury, cv. 05, kap. 04
Příprava na zkoušku: Mann (2016), kap. 04
Leaflet 05
Sbírka úloh, kap. 04
Koncepty a procedury, cv. 05, kap. 04
·Pravděpodobnost · 2 / 60
Obáváte se o svou váhu?
Průzkum Gallup, provedený mezi 1013 americkými dospělými ve věku
18 let a více ve dnech 7. až 10. července 2014, se jich zeptal: „Jak
často si děláte starosti o svou váhu?“ Podle údajů z přiloženého grafu
45 % dospělých ve vzorku uvedlo, že si dělají starosti. Při rozdělení
podle pohlaví bylo toto procento 35 % u mužů a 55 % u žen.
Jakou marketingovou strategii navrhnete společnosti vyrábějící Kolu?
·Pravděpodobnost · 3 / 60
Pravděpodobnost v inferenční statistice
Pravděpodobnost, která měří, jaká je šance, že dojde k určité události,
je důležitou součástí statistiky. Je základem inferenční statistiky.
V inferenční statistice děláme rozhodnutí za podmínek nejistoty.
Teorie pravděpodobnosti se používá k vyhodnocení nejistoty, která je
součástí těchto rozhodnutí.
Například odhad prodeje na příští rok pro společnost je založen na
mnoha předpokladech, z nichž některé mohou být pravdivé a jiné
nikoli. Teorie pravděpodobnosti nám pomůže učinit rozhodnutí za
těchto podmínek nedokonalých informací a nejistoty.
Kombinace pravděpodobnosti a rozdělení pravděpodobnosti (které
jsou probírány v kapitolách 5 až 7) s popisnou statistikou nám
pomůže činit rozhodnutí o populacích na základě informací získaných
z výběrových souborů. Kapitola 4 tedy představí základní pojmy
pravděpodobnosti a pravidla pro výpočet pravděpodobnosti.
·Pravděpodobnost · 4 / 60
Experiment, výsledek experimentu a výběrový prostor
Experiment, výsledek experimentu a výběrový prostor
Pravděpodobnost
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Průnik jevů a pravidlo násobení
Sjednocení jevů a pravidlo sčítání
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
·Pravděpodobnost · 5 / 60
Experiment, výsledek experimentu a výběrový prostor
Experiment, výsledek experimentu a výběrový
prostor
Experiment je proces, který, když je proveden, vede k jedinému z
mnoha pozorování. Takto získaná pozorování se nazývají výsledky
experimentu. Soubor všech výsledků pro daný experiment se nazývá
výběrový prostor.
Tabulka: Příklady experimentu, výsledků experimentu a výběrového prostoru
Experiment Výsledky Výběrový prostor
Hod mincí jednou Panna, Orel S = {Panna, Orel}
Hod kostkou jednou 1, 2, 3, 4, 5, 6 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Hod mincí dvakrát HH, HO, OH, OO S = {HH, HO, OH, OO}
Losování v loterii Výhra, Prohra S = {Výhra, Prohra}
Absolvování testu Prospěl, Neprospěl S = {Prospěl, Neprospěl}
·Pravděpodobnost · 6 / 60
Experiment, výsledek experimentu a výběrový prostor
Příklad 1
Zadání: Nakreslete stromový diagram pro experiment s jedním
hodem mincí. Nakreslete stromový diagram pro experiment s dvěma
hody mincí.
Řešení:
Obrázek: Jeden hod mincí Obrázek: Dva hody mincí
·Pravděpodobnost · 7 / 60
Experiment, výsledek experimentu a výběrový prostor
Příklad 2
Zadání: Předpokládejme, že náhodně vybereme dva pracovníky z
firmy a sledujeme, zda je vybraný pracovník pro každou volbu muž
nebo žena. Napište všechny možné výsledky tohoto experimentu.
Nakreslete stromový diagram pro tento experiment.
Řešení:
·Pravděpodobnost · 8 / 60
Experiment, výsledek experimentu a výběrový prostor
Jev, Elementární a složený jev
Jev je soubor jednoho nebo více výsledků experimentu.
Jev, který zahrnuje právě jeden z konečných výsledků experimentu, se
nazývá elementární jev a označuje se Ei. Elementární jev je
„nejjednodušší“ výsledek experimentu, který už nelze dále rozložit.
Složený jev je soubor více než jednoho výsledku experimentu.
·Pravděpodobnost · 9 / 60
Experiment, výsledek experimentu a výběrový prostor
Příklad 3
Zadání: Znovu zvažte Příklad 2. Zde lze chápat, že každý z čtyř
konečných výsledků (MM, MW, WM, WW) pro tento experiment je
elementární jev. Tyto čtyři jevy mohou být označeny E1, E2, E3 a E4.
Takže,
E1 = {MM}, E2 = {MW}, E3 = {WM}, E4 = {WW}.
Nechť jev A znamená, že byl vybrán nanejvýš jeden muž. Je jev A
elementární nebo složený jev?
·Pravděpodobnost · 10 / 60
Experiment, výsledek experimentu a výběrový prostor
Příklad 3: Řešení
Zde „nanejvýš jeden muž“ znamená, že je vybrán jeden nebo žádný
muž. Takže jev A nastane, pokud není vybrán žádný muž nebo jeden
muž. Jev A je tedy dán jako
A = {MW, WM, WW}
Protože jev A obsahuje více než jeden výsledek, je to složený jev.
Diagram na obrázku poskytuje grafickou prezentaci složeného jevu A.
·Pravděpodobnost · 11 / 60
Pravděpodobnost
Experiment, výsledek experimentu a výběrový prostor
Pravděpodobnost
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Průnik jevů a pravidlo násobení
Sjednocení jevů a pravidlo sčítání
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
·Pravděpodobnost · 12 / 60
Pravděpodobnost
Pravděpodobnost
Pravděpodobnost je číslo (číselná míra) vyjadřující očekávatelnost
určitého jevu, tzn. že určitý jev nastane.
Dvě vlastnosti pravděpodobnosti:
První vlastnost pravděpodobnosti Pravděpodobnost jevu vždy
leží v rozsahu od 0 do 1.
0 ≤ P(Ei) ≤ 1
0 ≤ P(A) ≤ 1
Druhá vlastnost pravděpodobnosti: Součet pravděpodobností
všech elementárních jevů (nebo konečných výsledků)
experimentu, označený P(Ei), je vždy 1.
P(Ei) = P(E1) + P(E2) + P(E3) + . . . = 1
·Pravděpodobnost · 13 / 60
Pravděpodobnost
Tři konceptuální přístupy k pravděpodobnosti.
1. Klasická pravděpodobnost
2. Pravděpodobnost založená na relativní četnosti
3. Subjektivní pravděpodobnost
·Pravděpodobnost · 14 / 60
Pravděpodobnost
1. Klasická pravděpodobnost
Dva nebo více výsledků, které mají stejnou pravděpodobnost výskytu,
se označují jako stejně očekávatelné výsledky.
Pravidlo pro výpočet klasické pravděpodobnosti:
P(Ei) =
1
Celkový počet možných výsledků experimentu
P(A) =
Počet příznivých výsledků pro jev A
Celkový počet možných výsledků experimentu
·Pravděpodobnost · 15 / 60
Pravděpodobnost
Příklady:
Příklad 3: Určete pravděpodobnost padnutí hlavy při 1 hodu mincí.
Řešení:
P(panna) = 1
Celkový počet možných výsledků = 1
2 = 0.50
Příklad 4: Určete pravděpodobnost padnutí sudého čísla při jednom
hodu kostkou.
Řešení:
A = sudé číslo je získáno = {2, 4, 6}. Pokud je získáno kterékoliv z
těchto tří čísel, událost A nastala.
P(sudé číslo) = Počet výsledků příznivých jevu A
Celkový počet možných výsledků = 3
6 = 0.50
·Pravděpodobnost · 16 / 60
Pravděpodobnost
2. Pravděpodobnost založená na relativní četnosti
Použití relativní četnosti jako aproximace pravděpodobnosti
Pokud je experiment opakován n krát a jev A je pozorován f krát, kde
f je četnost, pak podle konceptu relativní četnosti pravděpodobnosti
platí:
P(A) =
f
n
=
Četnost jevu A
Velikost vzorku
·Pravděpodobnost · 17 / 60
Pravděpodobnost
Příklad 6
Zadání: U deseti z 500 náhodně vybraných aut vyrobených v určité
automobilce bylo zjištěno, že jsou vadná. Předpokládáme-li, že vadná
auta jsou vyráběna náhodně, jaká je pravděpodobnost, že další
vyrobené auto v této automobilce bude vadné?
Řešení: Nechť n označuje celkový počet aut ve vzorku a f počet
vadných aut z n. Víme tedy že n = 500 a f = 10.
Použitím konceptu relativní četnosti pravděpodobnosti získáme
P(další auto je vadné) =
f
n
=
10
500
= 0.02
·Pravděpodobnost · 18 / 60
Pravděpodobnost
2. Pravděpodobnost založená na relativní četnosti
Zákon velkých čísel
Pokud je experiment opakován pořád dokola, pravděpodobnost jevu
získaná z relativní četnosti se blíží skutečné (nebo teoretické)
pravděpodobnosti.
Pozor! Když je experiment opakován pouze několikrát, získané pravděpodobnosti
nemusí být blízké skutečným pravděpodobnostem. S rostoucím počtem opakování
se pravděpodobnosti získaných výsledků stávají velmi blízkými skutečným
pravděpodobnostem.
·Pravděpodobnost · 19 / 60
Pravděpodobnost
Příklad 7
Zadání: Výzkumník chce určit pravděpodobnost, že náhodně vybraná
rodina v Brně vlastní dům. Jak může tuto pravděpodobnost určit?
Řešení: Existují dva možné výsledky pro náhodně vybranou rodinu z
Brna: „Tato rodina vlastní dům“ a „Tato rodina dům nevlastní“. Tyto dvě
události nemají stejnou pravděpodobnost. Proto nemůže být použito
klasické pravidlo pravděpodobnosti. Nicméně tento experiment
můžeme opakovat znovu a znovu. Proto budeme používat přístup
pravděpodobnosti založený na relativní četnosti.
·Pravděpodobnost · 20 / 60
Pravděpodobnost
3. Subjektivní pravděpodobnost
Subjektivní pravděpodobnost je pravděpodobnost přiřazená jevu na
základě subjektivního úsudku, zkušeností, informací a přesvědčení.
Neexistují žádná pevná pravidla pro přiřazení takovýchto
pravděpodobností.
·Pravděpodobnost · 21 / 60
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Experiment, výsledek experimentu a výběrový prostor
Pravděpodobnost
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Průnik jevů a pravidlo násobení
Sjednocení jevů a pravidlo sčítání
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
·Pravděpodobnost · 22 / 60
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Marginální pravděpodobnost je pravděpodobnost jednoho jevu bez
zohlednění jakéhokoli jiného jevu.
Podmíněná pravděpodobnost je pravděpodobnost, že jev nastane za
předpokladu, že jiný jev již nastal. Pokud A a B jsou dva jevy, pak zápis
P(A|B)
čteme jako „pravděpodobnost nastání jevu A za předpokladu, že jev B
již nastal“.
·Pravděpodobnost · 23 / 60
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Příklad 8
Zadání: Předpokládejme, že všech 100 zaměstnanců společnosti bylo
dotázáno, zda jsou pro nebo proti vysokým platum generálních
ředitelů amerických společností. Tabulka poskytuje dvourozměrnou
klasifikaci odpovědí těchto 100 zaměstnanců. Předpokládejme, že
každý zaměstnanec odpověděl buď pro nebo proti.
a) Určete marginální pravděpodobnosti.
b) Vypočítejte podmíněnou pravděpodobnost P (in favor | male) pro
data o 100 zaměstnancích uvedená v tabulce.
·Pravděpodobnost · 24 / 60
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Příklad 8: Řešení (a) Marginální pravděpodobnosti
Řešení:
·Pravděpodobnost · 25 / 60
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Příklad 8: Řešení (b) Podmíněná pravděpodobnost
Řešení:
P(in favor | male) =
Počet mužů, kteří jsou pro
Celkový počet mužů
=
15
60
= .25
·Pravděpodobnost · 26 / 60
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Související koncepty pravděpodobnosti
Jevy, které nemohou nastat společně, se nazývají neslučitelné jevy.
Dva jevy se považují za nezávislé, pokud výskyt jednoho neovlivňuje
pravděpodobnost výskytu druhého. Jinými slovy, A a B se nazývají
nezávislé jevy, pokud
P(A|B) = P(A) nebo P(B|A) = P(B).
Doplňkem jevu A, označeným ¯A a čteným jako „A doplněk“, je jev,
který zahrnuje všechny možné výsledky experimentu, které nejsou v
A. Jevy A a ¯A nazýváme jako komplementární jevy.
·Pravděpodobnost · 27 / 60
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Příklad 9- (neslučitelné jevy)
Zadání: Zvažte následující jevy pro jeden hod kostkou:
A = padne sudé číslo = {2, 4, 6}
B = padne liché číslo = {1, 3, 5}
C = padne číslo menší než 5 = {1, 2, 3, 4}
Jsou jevy A a B navzájem neslučitelné? Jsou jevy A a C navzájem
neslučitelné?
·Pravděpodobnost · 28 / 60
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Příklad 9: Řešení
Obrázek: Neslučitelné jevy A a B Obrázek: Slučitelné jevy A a C
Z definic jevů A a B a z obrázku vlevo můžeme pozorovat, že jevy A a B
nemají společné výsledky. Tedy jevy A a B jsou navzájem neslučitelné.
Z definic jevů A a C a z obrázku vpravo můžeme pozorovat, že jevy A a
C mají dva společné výsledky: dvojku a čtyřku. Pokud tedy hodíme
kostkou a obdržíme buď dvojku a čtyřku, pak se jevy A a C dějí ve
stejnou dobu. Tedy jevy A a C nejsou navzájem neslučitelné.
·Pravděpodobnost · 29 / 60
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Příklad 10- (nezávislé jevy)
Zadání: Opět se vraťme k anketě o názoru na vysoké platy ředitelů.
Jsou jevy „in favor“ a „male“ nezávislé?
·Pravděpodobnost · 30 / 60
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Příklad 10: Řešení
Pro ověření, zda jsou jevy „in favor“ a „male“ nezávislé, najdeme
(marginální) pravděpodobnost „in favor“ a poté podmíněnou
pravděpodobnost „in favor“ za předpokladu, že jev „male“ již nastal.
Pokud jsou tyto dvě pravděpodobnosti stejné, pak jsou tyto dva jevy
nezávislé, jinak jsou závislé. Z tabulky výše vypočítáváme následující
dvě pravděpodobnosti:
P(in favor) =
19
100
= 0.19
P(in favor | male) =
15
60
= 0.25
Protože tyto dvě pravděpodobnosti nejsou stejné, jevy jsou závislé.
·Pravděpodobnost · 31 / 60
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Příklad 11- (komplementární jevy)
Zadání: Ve skupině 2000 daňových poplatníků bylo 400 z nich
alespoň jednou prověřeno daňovým úřadem. Pokud je z této skupiny
náhodně vybrán jeden daňový poplatník, jaké mohou nastat výsledné
jevy pro tento experiment a jaké jsou jejich pravděpodobnosti? Jsou
tyto jevy k sobě komplementární?
·Pravděpodobnost · 32 / 60
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Příklad 11: Řešení
Jedná se o komplementární jevy, konkrétně:
A = vybraný daňový poplatník byl alespoň jednou prověřen
A = vybraný daňový poplatník nikdy nebyl prověřen
Pravděpodobnosti komplementárních jevů:
P(A) = 400
2000 = 0.20
P(A) = 1600
2000 = 0.80
·Pravděpodobnost · 33 / 60
Průnik jevů a pravidlo násobení
Experiment, výsledek experimentu a výběrový prostor
Pravděpodobnost
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Průnik jevů a pravidlo násobení
Sjednocení jevů a pravidlo sčítání
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
·Pravděpodobnost · 34 / 60
Průnik jevů a pravidlo násobení
Průnik jevů
Uvažujme A a B jako dva jevy definované v prostoru výsledků.
Průnik A a B představuje všechny výsledky, které jsou společné pro
oba jevy A a B, a je označován jako (A a zároveň B) = (A ∩ B).
·Pravděpodobnost · 35 / 60
Průnik jevů a pravidlo násobení
Pravděpodobnost průniku jevů a pravidlo násobení
Společná pravděpodobnost nastání dvou jevů se nazývá
pravděpodobnost průniku jevů A a B. Zapisuje se jako
P(A a zároveň B) = P(A ∩ B)
Pokud jsou navíc jevy A a B nezávislé, pak lze pravděpodobnost
průniku těchto dvou nezávislých jevů zapsat jako
P(A a zároveň B) = P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Pravděpodobnost průniku dvou závislých jevů A a B je
P(A a zároveň B) = P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) nebo P(B) · P(A|B)
·Pravděpodobnost · 36 / 60
Průnik jevů a pravidlo násobení
Příklad 12
Zadání: V kancelářské budově jsou dva požární detektory.
Pravděpodobnost, že jakýkoliv detektor tohoto typu při požáru selže,
je 0.02. Určete pravděpodobnost, že oba tyto požární detektory při
požáru selžou. Předpokládejme, že tyto dva požární detektory jsou
nezávislé.
Řešení: Definujme následující dva jevy:
A = první požární detektor během požáru selže
B = druhý požární detektor během požáru selže
Pak pravděpodobnost společného nastoupení nezávislých jevů A a B:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = (0.02) · (0.02) = 0.0004
·Pravděpodobnost · 37 / 60
Průnik jevů a pravidlo násobení
Příklad 13
Zadání: V skupině 20 vysokoškolských studentů má 7 z nich rádo
ledový čaj a ostatní ne. Dva studenti jsou náhodně vybráni z této
skupiny.
(a) Určete pravděpodobnost, že oba vybraní studenti mají rádi
ledový čaj.
(b) Určete pravděpodobnost, že první vybraný student má rád
ledový čaj a druhý ne.
·Pravděpodobnost · 38 / 60
Průnik jevů a pravidlo násobení
Příklad 13: Řešení (a)
Na základě daných informací:
P(první student má rád ledový čaj) = 7
20 = 0.35
P(druhý student má rád ledový čaj | první student má rád ledový čaj)
= 6
19 = 0.3158
Takže pravděpodobnost průniku obou jevů je:
P(oba studenti mají rádi ledový čaj)
= P(první student má rád ledový čaj)·
P(druhý student má rád ledový čaj | první student má rád ledový čaj)
= (0.35) · (0.3158) = 0.1105
·Pravděpodobnost · 39 / 60
Průnik jevů a pravidlo násobení
Příklad 13: Řešení (b)
Na základě daných informací:
P(první student má rád ledový čaj) = 7
20 = 0.35
P(druhý student nemá rád ledový čaj | první student má rád ledový čaj)
= 13
19 = 0.6842
Takže pravděpodobnost průniku obou jevů je:
P(první student má rád ledový čaj a druhý student nemá rád ledový čaj)
= P(první student má rád ledový čaj)
·P(druhý student nemá rád ledový čaj | první student má rád ledový čaj)
= (0.35) · (0.6842) = 0.2395
·Pravděpodobnost · 40 / 60
Průnik jevů a pravidlo násobení
Výpočet podmíněné pravděpodobnosti
Máme-li dva jevy A a B (za předpokladu, že P(A) ̸= 0 a P(B) ̸= 0),
pak platí
P(B|A) =
P(A a zároveň B)
P(A)
=
P(A ∩ B)
P(A)
,
a
P(A|B) =
P(A a zároveň B)
P(B)
=
P(A ∩ B)
P(B)
.
·Pravděpodobnost · 41 / 60
Průnik jevů a pravidlo násobení
Příklad 14
Zadání: Pravděpodobnost, že náhodně vybraný student z vysoké školy
je ve čtvrtém ročníku, je 0,20. Průnik pravděpodobnosti, že student je
hlavním oborem informatik a je ve čtvrtém ročníku, je 0,03. Určete
podmíněnou pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je
hlavním oborem informatik za předpokladu, že je ve čtvrtém ročníku.
Řešení:
Na základě daných informací:
P(čtvrťák) = 0.20 a P(čtvrťák ∩ hlavní obor informatika) = 0.03
Takže hledaná podmíněná pravděpodobnost je:
P(hlavní obor informatika|čtvrťák)
= P(čtvrťák ∩ hlavní obor informatika)
P(čtvrťák) = 0.03
0.20 = 0.15
·Pravděpodobnost · 42 / 60
Průnik jevů a pravidlo násobení
Společná pravděpodobnost u neslučitelných jevů
Společná pravděpodobnost nastání dvou neslučitelných jevů je vždy
nulová. Pokud jsou A a B dva neslučitelné jevy, pak
P(A a zároveň B) = P(A ∩ B) = 0
·Pravděpodobnost · 43 / 60
Průnik jevů a pravidlo násobení
Příklad 15
Zadání: Zvažte dva následující jevy popisující výsledek žádosti na
získání osobního úvěru na automobil:
A = jev, popisující že je žádost o úvěr schválena
R = jev, popisující že je žádost o úvěr zamítnuta
Jaká je pravděpodobnost, že jevy A a R nastanou zároveň?
Řešení: Tyto dva jevy A a R se navzájem vylučují, jsou tedy
neslučitelné. Buď bude žádost o úvěr schválena, nebo bude
zamítnuta. Tedy P(A a zároveň R) = 0.
·Pravděpodobnost · 44 / 60
Sjednocení jevů a pravidlo sčítání
Experiment, výsledek experimentu a výběrový prostor
Pravděpodobnost
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Průnik jevů a pravidlo násobení
Sjednocení jevů a pravidlo sčítání
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
·Pravděpodobnost · 45 / 60
Sjednocení jevů a pravidlo sčítání
Sjednocení jevů
Máme jevy A a B definované ve výběrovém prostoru.
Sjednocení jevů A a B je soubor všech výsledků, které patří buď k A,
nebo k B, nebo současně k A a B a označuje se (A nebo B) = (A ∪ B).
Pravděpodobnost sjednocení dvou slučitelných jevů A a B je
P(A nebo B) = P(A) + P(B) − P(A a zároveň B)
Pravděpodobnost sjednocení dvou neslučitelných jevů A a B je
P(A nebo B) = P(A) + P(B)
·Pravděpodobnost · 46 / 60
Sjednocení jevů a pravidlo sčítání
Příklad 16
Zadání: V skupině 2500 osob je 1400 žen a 600 vegetariánů. Z 600
vegetariánů je 400 žen vegetariánek. Jaká je pravděpodobnost, že
náhodně vybraná osoba z této skupiny je muž nebo vegetarián?
Vegetarián Není Vegetarián Celkem
Muž 200 900 1100
Žena 400 1000 1400
Celkem 600 1900 2500
·Pravděpodobnost · 47 / 60
Sjednocení jevů a pravidlo sčítání
Příklad 16: Řešení
Ze zadaných informací víme
P(muž) = 1100
2500 = 0.44
P(vegetarián) = 600
2500 = 0.24
P(muž a zároveň vegetarián) = 200
2500 = 0.08
Použitím pravidla sčítání dostáváme
P(muž nebo vegetarián)
= P(muž) + P(vegetarián) − P(muž a zároveň vegetarián)
= 0.44 + 0.24 − 0.08 = 0.60
·Pravděpodobnost · 48 / 60
Sjednocení jevů a pravidlo sčítání
Příklad 17
Zadání: Zvažte experiment s jedním hodem kostkou. Jaká je
pravděpodobnost, že padne číslo menší než 3 nebo číslo větší než 4?
·Pravděpodobnost · 49 / 60
Sjednocení jevů a pravidlo sčítání
Příklad 17: Řešení
Jev číslo menší než 3 nastane, pokud padne na kostce buď 1 nebo 2, a
jev číslo větší než 4 nastane, pokud na kostce padne buď 5 nebo 6.
Tyto dva jevy jsou navíc navzájem neslučitelné (jelikož nemají žádný
společný výsledek a nemohou nastat současně). Tedy jejich
pravděpodobnost průniku je nula.
P(číslo menší než 3) = 2/6
P(číslo větší než 4) = 2/6
Pravděpodobnost sjednocení těchto dvou jevů je:
P(číslo menší než 3 nebo číslo větší než 4) = 2
6 + 2
6 − 0 = 0.6667
·Pravděpodobnost · 50 / 60
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
Experiment, výsledek experimentu a výběrový prostor
Pravděpodobnost
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Průnik jevů a pravidlo násobení
Sjednocení jevů a pravidlo sčítání
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
·Pravděpodobnost · 51 / 60
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
Pravidlo pro počítání celkového počtu výsledků
Pokud experiment sestává ze tří kroků a první krok může mít m
výsledků, druhý krok n výsledků a třetí krok k výsledků, pak celkový
počet výsledků experimentu je m · n · k.
Příklad: Zvažte tři hody mincí. Kolik celkových výsledků tento
experiment má?
Řešení: Tento experiment hodu mincí třikrát má tři kroky: první hod,
druhý hod a třetí hod. Každý krok má dvě možnosti výsledku: panna a
orel. Takže, celkový počet výsledků pro tři hody mincí = 2 · 2 · 2 = 8.
Osm výsledků tohoto experimentu jsou:
{ HHH, HHO, HOH, HOO, OHH, OHO, OOH a OOO }
·Pravděpodobnost · 52 / 60
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
Faktoriál
Symbol n!, čtený jako n faktoriál, představuje součin všech celých
čísel od n do 1. Jinými slovy,
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · . . . · 3 · 2 · 1
Podle definice,
0! = 1
Příklady:
7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 3 628 800
(12 − 4)! = 8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40 320
(5 − 5)! = 0! = 1
·Pravděpodobnost · 53 / 60
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
Kombinace
Kombinace udávají počet způsobů, jak lze vybrat x prvků z n prvků.
Notace používaná k označení celkového počtu kombinací je Cx
n nebo
n
x což se čte jako „počet kombinací n prvků vybraných po x kusech“.
Počet kombinací pro výběr x z n různých prvků je dán vzorcem
Cx
n =
n
x
=
n!
x!(n − x)!
kde n!, x! a (n − x)! se čtou jako „n faktoriál“, „x faktoriál“, „n minus
x faktoriál“.
·Pravděpodobnost · 54 / 60
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
Příklad 18
Zadání: Tři členové komise budou náhodně vybráni z pěti lidí. Kolik
různých kombinací je možných?
Řešení: n = 5 a x = 3
5
3
=
5!
3!(5 − 3)!
=
5!
3!2!
=
5 · 4 · 3 · 2 · 1
3 · 2 · 1 · 2 · 1
=
120
6 · 2
= 10
·Pravděpodobnost · 55 / 60
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
Permutace
Permutace dávají celkový počet výběrů x prvku z n (různých) prvků
tak, že je důležité pořadí výběrů. Notace používaná k označení
permutací je Px
n což se čte jako „počet permutací při výběru x prvků z
n prvků“. Permutace jsou také nazývány uspořádání.
Počet permutací nebo uspořádání při výběru x prvků z n prvků je dán
jako
Px
n =
n!
(n − x)!
.
Poznamenejme, že zde musí být všechny prvky n rozdílné.
·Pravděpodobnost · 56 / 60
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
Příklad 19
Zadání: Klub má 5 členů. Mají na příští rok zvolit tři úředníky
předsedu, tajemníka a pokladníka. Tyto úředníky vždy vybírají
náhodným výběrem tří jmen ze všech členů. První vybraná osoba se
stává předsedou, druhá tajemníkem a třetí přebírá funkci pokladníka.
Pořadí, ve kterém jsou vybrána 3 jména ze 5, je tedy důležité. Najděte
celkový počet uspořádání 3 jmen z těchto 5 osob.
Řešení:
n = celkový počet členů klubu = 5
x = počet jmen k výběru = 3
Px
n = n!
(n−x)! = 5!
(5−3)! = 5!
2! = 5·4·3·2·1
2·1 = 60
Existuje 60 permutací nebo uspořádání pro výběr 3 jmen ze 5.
·Pravděpodobnost · 57 / 60
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
Shrnutí přednášky:
Experiment, výsledek experimentu a výběrový prostor
Pravděpodobnost
Marginální a podmíněná pravděpodobnost
Průnik jevů a pravidlo násobení
Sjednocení jevů a pravidlo sčítání
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
·Pravděpodobnost · 58 / 60
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
Co si nastudovat na následující týden?
Příprava na cvičení: Leaflet 05
Koncepty a procedury, cv. 05, kap. 04
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 5
·Pravděpodobnost · 59 / 60
Počet možných výsledků, faktoriál, kombinace a permutace
Děkuji za pozornost!
Source: Pinterest
·Pravděpodobnost · 60 / 60