Diskrétní náhodné veličiny a jejich
pravděpodobnostní rozdělení
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 5
Z čeho studovat pátou lekci?
Povinná literatura: Mann (2016), kap. 05
Příprava na cvičení: Leaflet 06
Koncepty a procedury, cv. 06, kap. 05
Příprava na zkoušku: Mann (2016), kap. 05
Leaflet 06
Sbírka úloh, kap. 05
Koncepty a procedury, cv. 06, kap. 05
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 2 / 74
Motivační vstup - Celostátní loterie
V hypotetické zemi existuje okamžitá loterie s názvem Celostátní
loterie, kde každý los stojí 5 dolarů. Hráči mohou vyhrát výhry ve výši
500 000, 10 000, 1 000, 100, 50, 20 a 10 dolarů. Každý los má sedm
políček – horní políčko Výhra a šest Hráčových políček. Hráč vyhraje,
pokud některé z jeho políček obsahuje částku shodující se s výherní
částkou v horním políčku. V opačném případě prohrává.
Výhra (v dolarech) Počet losů Výhra (v dolarech) Počet losů
0 18 000 000 100 5 000
10 1 620 000 1 000 730
20 364 000 10 000 200
50 10 000 500 000 70
Pokud si koupíte 1 los, jaký očekáváte zisk?
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 3 / 74
Náhodná veličina
Náhodná veličina (NV)
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní NV
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Binomické rozdělení pravděpodobnosti
Binomický experiment
Binomické rozdělení a binomický vzorec
Použití tabulky binomických pravděpodobností
Pravděpodobnost úspěchu a tvar binomického rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka BR
Hypergeometrické rozdělení
Poissonovo rozdělení
Tabulka pravděpodobností Poissonova rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka PR
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 4 / 74
Náhodná veličina
Náhodná veličina
Náhodná veličina je proměnná, jejíž hodnota je určena výsledkem
náhodného experimentu.
Proměnná, která nabývá spočetné množství hodnot, se nazývá
diskrétní náhodná veličina.
Proměnná, která může nabývat jakékoli hodnoty obsažené v jednom
nebo více intervalech, se nazývá spojitá náhodná veličina.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 5 / 74
Náhodná veličina
Náhodná veličina - Příklady
Diskrétní náhodná veličina.
1. Počet prodaných aut v autosalonu během určitého měsíce
2. Počet domů v určitém bloku
3. Počet stížností přijatých u letecké společnosti v určitý den
4. Počet zákazníků, kteří navštíví banku během libovolné hodiny
5. Počet padlých hlav při třech hodech mincí
Spojitá náhodná veličina.
1. Délka místnosti
2. Doba cesty z domova do práce
3. Množství mléka v cisterně
4. Hmotnost dopisu
5. Cena domu
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 6 / 74
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní NV
Náhodná veličina (NV)
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní NV
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Binomické rozdělení pravděpodobnosti
Binomický experiment
Binomické rozdělení a binomický vzorec
Použití tabulky binomických pravděpodobností
Pravděpodobnost úspěchu a tvar binomického rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka BR
Hypergeometrické rozdělení
Poissonovo rozdělení
Tabulka pravděpodobností Poissonova rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka PR
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 7 / 74
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní NV
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní náhodné
veličiny
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní náhodné veličiny uvádí
všechny možné hodnoty, které může náhodná veličina nabývat, a
jejich odpovídající pravděpodobnosti.
Dvě vlastnosti pravděpodobnostního rozdělení
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní náhodné proměnné má dvě
následující vlastnosti.
1. 0 ≤ P(x) ≤ 1 pro každou hodnotu x
2. P(x) = 1
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 8 / 74
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní NV
Příklad 1
Zadání: Mějme tabulkou zadánu četnost a relativní četnost počtu
vozidel vlastněných rodinami. Nechť x je počet vozidel vlastněných
náhodně vybranou rodinou. Napište pravděpodobnostní rozdělení x a
vytvořte histogram pro toto pravděpodobnostní rozdělení.
Number of Vehicles Owned Frequency Relative Frequency
0 30 0.015
1 320 0.160
2 910 0.455
3 580 0.290
4 160 0.080
N = 2000 Sum = 1.000
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 9 / 74
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní NV
Příklad 1: Řešení
Obrázek: Rozdělení
Number of Vehicles Owned Probability
x P(x)
0 0.015
1 0.160
2 0.455
3 0.290
4 0.080
Sum = 1.000
Obrázek: Histogram
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 10 / 74
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní NV
Příklad 2
Zadání: Pomocí pravděpodobnostního rozdělení uvedeného v tabulce
najděte pravděpodobnost, že
(a) náhodně vybraná rodina vlastní dvě vozidla.
(b) náhodně vybraná rodina vlastní alespoň dvě vozidla.
(c) náhodně vybraná rodina vlastní nejvýše jedno vozidlo.
(d) náhodně vybraná rodina vlastní tři nebo více vozidel.
Number of Vehicles Owned Probability
x P(x)
0 0.015
1 0.160
2 0.455
3 0.290
4 0.080
Sum = 1.000
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 11 / 74
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní NV
Příklad 2: Řešení
a) Pravděpodobnost, že náhodně vybraná rodina vlastní dvě
vozidla, je P(2) = 0.455
b) Pravděpodobnost, že náhodně vybraná rodina vlastní alespoň
dvě vozidla, je P(2 nebo 3 nebo 4) = P(2) + P(3) + P(4) =
0.455 + 0.290 + 0.080 = 0.825
c) Pravděpodobnost, že náhodně vybraná rodina vlastní nejvýše
jedno vozidlo, je
P(0 nebo 1) = P(0) + P(1) = 0.015 + 0.160 = 0.175
d) Pravděpodobnost, že náhodně vybraná rodina vlastní tři nebo
více vozidel, je
P(3 nebo 4) = P(3) + P(4) = 0.290 + 0.080 = 0.370
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 12 / 74
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní NV
Příklad 3
Zadání: Každá z následujících tabulek uvádí určité hodnoty x a jejich
příslušné pravděpodobnosti. Určete, zda každá tabulka představuje
platné pravděpodobnostní rozdělení.
Řešení:
(a) Ne, protože součet všech pravděpodobností není roven 1.
(b) Ano.
(c) Ne, protože jedna z pravděpodobností je záporná.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 13 / 74
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Náhodná veličina (NV)
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní NV
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Binomické rozdělení pravděpodobnosti
Binomický experiment
Binomické rozdělení a binomický vzorec
Použití tabulky binomických pravděpodobností
Pravděpodobnost úspěchu a tvar binomického rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka BR
Hypergeometrické rozdělení
Poissonovo rozdělení
Tabulka pravděpodobností Poissonova rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka PR
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 14 / 74
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Střední hodnota a směrodatná odchylka diskrétní
náhodné veličiny
Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny x je hodnota, která se v
průměru očekává při každém jednom opakování experimentu, pokud
je tento experiment opakován velký počet krát. Je označena µ a
vypočítává se jako
µ = xP(x).
Střední hodnota diskrétní náhodné proměnné x je také nazývána její
očekávaná hodnota a je označena E(x); to znamená,
E(x) = xP(x).
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 15 / 74
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Střední hodnota a směrodatná odchylka diskrétní
náhodné veličiny
Směrodatná odchylka diskrétní náhodné proměnné x měří variabilitu
jejího pravděpodobnostního rozdělení a vypočítává se jako
σ = x2P(x) − µ2.
Poznámka: Směrodatná odchylka diskrétní náhodné veličiny může být
interpretována nebo používána stejným způsobem jako směrodatná
odchylka datového souboru v sekci 3.4 kapitoly 3.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 16 / 74
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Příklad 4
Zadání: Společnost Věda&Krása plánuje uvést na trh nový kosmetický
výrobek. Podle analýzy finančního oddělení společnosti, pokud tento
produkt dosáhne vysokých prodejů, vydělá ročně 4.5 milionu dolarů,
pokud budou prodeje průměrné, vydělá ročně 1.2 milionu dolarů a
pokud budou prodeje nízké přijde o 2.3 milionu dolarů ročně.
Pravděpodobnosti těchto tří scénářů jsou postupně 0.32, 0.51 a 0.17.
a) Nechť x označuje zisk (v milionech dolarů) vydělaný společností
z tohoto produktu za rok. Zapište pravděpodobnostní rozdělení x.
b) Vypočítejte střední hodnotu a směrodatnou odchylku x.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 17 / 74
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Příklad 4: Řešení a)
Tabulka níže uvádí pravděpodobnostní rozdělení x. Poznamenejme,
že protože x označuje zisk vydělaný společností, je ztráta v tabulce
zapsána jako negativní zisk.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 18 / 74
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Příklad 4: Řešení b)
(a) Tabulka vpravo uvádí pravděpodobnostní
rozdělení x. Poznamenejme, že protože x
označuje zisk vydělaný společností, je ztráta
v tabulce zapsána jako negativní zisk.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 19 / 74
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Příklad 4: Řešení b)
(b) Tabulka ukazuje všechny údaje potřebné pro výpočet střední
hodnoty a směrodatné odchylky x.
µ = xP(x) = 1.661 milionů dolarů
σ = x2P(x) − µ2 = 8.1137 − (1.661)2 = 2.314 milionů dolarů
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 20 / 74
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Motivační vstup - Celostátní loterie
V hypotetické zemi existuje okamžitá loterie s názvem Celostátní
loterie, kde každý los stojí 5 dolarů. Hráči mohou vyhrát výhry ve výši
500 000, 10 000, 1 000, 100, 50, 20 a 10 dolarů. Každý los má sedm
políček – horní políčko Výhra a šest Hráčových políček. Hráč vyhraje,
pokud některé z jeho políček obsahuje částku shodující se s výherní
částkou v horním políčku. V opačném případě prohrává.
Výhra (v dolarech) Počet losů Výhra (v dolarech) Počet losů
0 18 000 000 100 5 000
10 1 620 000 1 000 730
20 364 000 10 000 200
50 10 000 500 000 70
Pokud si koupíte 1 los, jaký očekáváte zisk?
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 21 / 74
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Celostátní loterie
Čistá výhra hráče pro každý výherní tiket je rovna výši výhry minus 5
dolarů, což je cena tiketu. Čistý zisk pro každý nevýherní tiket je tedy
-5 dolarů, což je cena tiketu. Označme:
x = čistá částka, kterou hráč vyhraje při hraní této loterie
Tabulka na následujícím slidu ukazuje pravděpodobnostní rozdělení x
a všechny výpočty potřebné k určení střední hodnoty x pro toto
pravděpodobnostní rozdělení. Pravděpodobnost výsledku (čisté
výhry) se vypočítá tak, že se počet tiketů s daným výsledkem (výhrou)
vydělí celkovým počtem tiketů.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 22 / 74
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Celostátní loterie
x (dolarů) P(x) xP(x)
-5 18 000 000/20 000 000 = 0.9000000 -4.5000000
5 1 620 000/20 000 000 = 0.0810000 0.4050000
15 364 000/20 000 000 = 0.0182000 0.2730000
45 10 000/20 000 000 = 0.0005000 0.0225000
95 5 000/20 000 000 = 0.0002500 0.0237500
995 730/20 000 000 = 0.0000365 0.0363175
9995 200/20 000 000 = 0.0000100 0.0999500
499 995 70/20 000 000 = 0.0000035 1.7499825
xP(x) -1.8895000
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 23 / 74
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Celostátní loterie
Proto je střední hodnota nebo očekávaná hodnota x rovna:
µ = xP(x) = −1.8895000 ≈ −1.89 dolarů.
Tato hodnota představuje očekávanou hodnotu náhodné proměnné x,
tedy E(X) = xP(x) = −1.89 dolarů.
Střední hodnota čistých výher z loterie je -1.89 dolarů. Jinými slovy,
všichni hráči dohromady ztratí v průměru 1.89 dolaru na každý tiket.
To znamená, že z každých 5 dolarů (cena tiketu) se 3.11 dolaru vrátí
hráčům ve formě výher a 1.89 dolaru půjde státu, který pokryje
náklady na provoz loterie, provize vyplacené agentům a zisk pro stát.
Všimněte si, že 1.89 dolaru představuje 37.8 % z 5 dolarů. Můžeme
tedy také uvést, že 37.8 % z celkové částky, kterou hráči utratí za tuto
loterii, půjde státu a 100 − 37.8 = 62.2% bude vráceno hráčům ve
formě výher.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 24 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti
Náhodná veličina (NV)
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní NV
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Binomické rozdělení pravděpodobnosti
Binomický experiment
Binomické rozdělení a binomický vzorec
Použití tabulky binomických pravděpodobností
Pravděpodobnost úspěchu a tvar binomického rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka BR
Hypergeometrické rozdělení
Poissonovo rozdělení
Tabulka pravděpodobností Poissonova rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka PR
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 25 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Binomický experiment
Binomický experiment
Binomický experiment musí splňovat čtyři následující podmínky.
1. Existuje n identických pokusů.
2. Každý pokus má pouze dva možné výsledky (nebo jevy).
3. Pravděpodobnosti obou výsledků (nebo jevů) zůstávají pro každý
pokus neměnné.
4. Pokusy jsou nezávislé.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 26 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Binomický experiment
Příklad 5
Zadání: Zvažte experiment, který se skládá z 10 hodů mincí. Určete,
zda se jedná o binomický experiment.
Řešení:
Existuje celkem n = 10 pokusů (hodů) a všechny jsou identické.
Každý pokus (hod) má pouze dva možné výsledky: panna a orel.
Pravděpodobnost získání hlavy (úspěchu) je 1
2 a orla (neúspěchu)
je 1
2 pro jakýkoliv hod. Tzn., p = P(H) = 1
2 a q = P(O) = 1
2.
Pokusy (hody) jsou nezávislé.
Experiment skládající se z 10 hodů je tedy binomický experiment.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 27 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Binomický experiment
Příklad 6
Zadání:
(a) Sedmdesát pět procent studentů na vysoké škole (s velkým
počtem studentů) používá Instagram. Je vybrán vzorek pěti
studentů z této vysoké školy a ti jsou dotázáni, zda Instagram
používají. Je tento experiment binomickým experimentem?
(b) Ve skupině 12 studentů na vysoké škole jich 9 používá
Instagram. Je vybráno pět studentů z této skupiny a ti dotázáni,
zda Instagram používají. Je tento experiment binomickým
experimentem?
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 28 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Binomický experiment
Příklad 6: Řešení (a)
Zkontrolujeme, zda jsou splněny všechny čtyři podmínky
binomického pravděpodobnostního rozdělení.
1. Tento příklad se skládá z pěti identických pokusů.
2. Každý pokus má dva možné výsledky: student používá Instagram
nebo student nepoužívá Instagram.
3. Pravděpodobnost p, že student používá Instagram je .75.
Pravděpodobnost q, že student nepoužívá Instagram je .25.
4. Každý pokus (student) je nezávislý.
Protože jsou splněny všechny čtyři podmínky binomického
experimentu, jedná se o příklad binomického experimentu.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 29 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Binomický experiment
Příklad 6: Řešení (b)
Zkontrolujeme, zda jsou splněny všechny čtyři podmínky
binomického pravděpodobnostního rozdělení.
1. Tento příklad se skládá z pěti identických pokusů.
2. Každý pokus má dvě možné výsledky: student používá Instagram
nebo student nepoužívá Instagram.
3. Pravděpodobnost p je, že student používá Instagram.
Pravděpodobnost q je, že student nepoužívá Instagram. Tyto
pravděpodobnosti nezůstávají konstantní pro každý výběr.
Pravděpodobnost každého výsledku se mění s každým výběrem v
závislosti na tom, co se stalo v předchozích výběrech.
4. Protože pravděpodobnosti p a q nezůstávají stálé pro každý
výběr, pokusy nejsou nezávislé.
Vzhledem k tomu, že třetí a čtvrtá podmínka binomického
experimentu není splněna, nejedná se o příklad binomického
experimentu.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 30 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení a binomický vzorec
Binomické rozdělení a binomický vzorec
Pro binomický experiment je pravděpodobnost přesně x úspěchů z n
pokusů dána binomickým vzorcem
P(x) = Cn
x px
qn−x
kde
n = celkový počet pokusů
p = pravděpodobnost úspěchu
q = 1 − p = pravděpodobnost neúspěchu
x = počet úspěchů v n pokusech
n − x = počet neúspěchů v n pokusech
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 31 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení a binomický vzorec
Příklad 7
Zadání: Sedmdesát pět procent studentů vysoké školy s velkým
počtem studentů používá sociální síť Instagram. Tři studenti z této
vysoké školy jsou náhodně vybráni. Jaká je pravděpodobnost, že
přesně dva z těchto tří studentů používají Instagram?
Řešení: Ze zadání víme, že: n = 3, x = 2, a p = 0.75.
Pravděpodobnost dvou úspěchů je označena P(x = 2) nebo P(2).
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 32 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení a binomický vzorec
Příklad 8
Zadání: Společnost Express House Delivery Service klade důraz na
poskytování kvalitních služeb a garantuje vrácení všech poplatků,
pokud balík není doručen včas. Z minulých dat vyplývá, že 2 % balíků
nejsou doručeny včas. Předpokládejme, že firma v daný den odesílá
10 balíků.
(a) Najděte pravděpodobnost, že přesně jeden z těchto 10 balíků
nedorazí do svého určení v stanoveném čase.
(b) Najděte pravděpodobnost, že nejvýše jeden z těchto 10 balíků
nedorazí do svého určení v stanoveném čase.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 33 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení a binomický vzorec
Příklad 8: Řešení (a)
Ze zadání víme:
n = celkový počet odeslaných balíků = 10
p = P(úspěch) = 0.02
q = P(neúspěch) = 1 − 0.02 = 0.98
x = počet úspěchů = 1
n − x = počet neúspěchů = 10 − 1 = 9
Řešení: (a)
P(x = 1) = C10
1 (.02)1
(.98)9
=
10!
1!(10 − 1)!
(.02)1
(.98)9
= (10)(.02)(.83374776) = .1667
Existuje .1667 pravděpodobnost, že přesně jeden z 10 odeslaných
balíků nedorazí do svého určení ve stanoveném čase.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 34 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení a binomický vzorec
Příklad 8: Řešení (b)
Řešení: (b) Pravděpodobnost, že nejvýše jeden ze deseti balíků
nebude doručen, je dána součtem pravděpodobností x = 0 a x = 1
P(x ≤ 1) = P(x = 0) + P(x = 1)
= C10
0 (.02)0
(.98)10
+ C10
1 (.02)1
(.98)9
= (1)(1)(.81707281) + (10)(.02)(.83374776)
= .8171 + .1667 = .9838
Tedy pravděpodobnost, že nejvýše jeden z deseti odeslaných balíků
nedorazí do svého určení v daném čase, je .9838.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 35 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení a binomický vzorec
Příklad 9
Zadání: Podle průzkumu neplánuje 33 % amerických zaměstnanců v
blízké budoucnosti změnit své pracovní místo. Nechť x označuje
počet zaměstnanců v náhodném vzorku tří amerických zaměstnanců,
kteří neplánují v blízké budoucnosti změnit své pracovní místo.
Napište pravděpodobnostní rozdělení x a nakreslete histogram pro
toto pravděpodobnostní rozdělení.
n = celkový počet zaměstnanců ve vzorku = 3
p = P(zaměstnanec neplánuje v blízké budoucnosti změnit práci) = .33
q = P(zaměstnanec plánuje v blízké budoucnosti změnit práci) = 1 − .33
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 36 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení a binomický vzorec
Příklad 9: Řešení
P(0) = C3
0(.33)0
(.67)3
= (1)(1)(.300763) = .3008
P(1) = C3
1(.33)1
(.67)2
= (3)(.33)(.4489) = .4444
P(2) = C3
2(.33)2
(.67)1
= (3)(.1089)(.67) = .2189
P(3) = C3
3(.33)3
(.67)0
= (1)(.035937)(1) = .0359
Obrázek: Rozdělení Obrázek: Histogram
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 37 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Použití tabulky binomických pravděpodobností
Použití tabulky binomických pravděpodobností
V rámci programu Excel lze k získání pravděpodobnosti využít příkaz
= BINOM.DIST(x, n, p, cumul)
kde:
x : Počet úspěchů, pro které chcete vypočítat pravděpodobnost.
n : Počet pokusů.
p : Pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu.
cumul : Logická hodnota. Pokud je TRUE, vrátí kumulativní
pravděpodobnost, že dojde k nanejvýš x úspěchům. Pokud je
FALSE, vrátí pravděpodobnost, že dojde přesně k x úspěchům.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 38 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Použití tabulky binomických pravděpodobností
Použití tabulky binomických pravděpodobností
Pravděpodobnosti pro binomický experiment lze také vyčíst z tabulky
I v příloze B učebnice Mann, popřípadě z jiných zdrojů kde jsou
vypsány tabulky binomických pravděpodobností.
Tato tabulka uvádí pravděpodobnosti x pro n od 1 do 25.
Tato tabulka uvádí pravděpodobnosti x pro vybrané hodnoty p.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 39 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Použití tabulky binomických pravděpodobností
Příklad 10
Zadání: Podle průzkumu 30 % vysokoškolských studentů uvedlo, že
tráví příliš mnoho času na Facebooku. Předpokládejme, že to platí pro
celou populaci studentů. Je vybrán náhodný vzorek šesti studentů.
Pomocí tabulky I v příloze B zodpovězte následující otázky:
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 40 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Použití tabulky binomických pravděpodobností
Příklad 10
Zadání:
(a) Určete pravděpodobnost, že přesně tři z těchto šesti studentů VŠ
uvedou, že tráví na Facebooku příliš mnoho času.
(b) Určete pravděpodobnost, že nejvýše dva z těchto šesti studentů
VŠ uvedou, že tráví na Facebooku příliš mnoho času.
(c) Určete pravděpodobnost, že alespoň tři z těchto šesti studentů
VŠ uvedou, že tráví na Facebooku příliš mnoho času.
(d) Určete pravděpodobnost, že jeden až tři z těchto šesti studentů
VŠ řeknou, že tráví příliš mnoho času na Facebooku.
(e) Ať x označuje počet osob z náhodného vzorku šesti studentů VŠ,
kteří řeknou, že tráví příliš mnoho času na Facebooku. Napište
pravděpodobnostní rozdělení x a nakreslete histogram pro toto
pravděpodobnostní rozdělení.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 41 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Použití tabulky binomických pravděpodobností
Příklad 10
Tabulka rozdělení: Příklad nalezení P(x = 3) pro n = 6 a p = 0.30
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 42 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Použití tabulky binomických pravděpodobností
Příklad 10: Řešení
Tabulka rozdělení: Část tabulky I pro n = 6 a p = 0.30
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 43 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Použití tabulky binomických pravděpodobností
Příklad 10: Řešení
(a) P(3) = .1852
(b) P(nejvýše dva 2) = P(0 nebo 1 nebo 2)
= P(0) + P(1) + P(2)
= .1176 + .3025 + .3241 = .7442
(c) P(alespoň tři 3) = P(3 nebo 4 nebo 5 nebo 6)
= P(3) + P(4) + P(5) + P(6)
= .1852 + .0595 + .0102 + .0007 = .2556
(d) P(1 až 3) = P(1) + P(2) + P(3)
= .3025 + .3241 + .1852 = .8118
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 44 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Použití tabulky binomických pravděpodobností
Příklad 10: Řešení (e)
Rozdělení pravděpodobnosti: náhodné veličiny x pro n = 6 a p = 0.30
Obrázek: Rozdělení Obrázek: Histogram
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 45 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Pravděpodobnost úspěchu a tvar binomického rozdělení
Pravděpodobnost úspěchu a tvar binomického
rozdělení
Pro libovolný počet pokusů n:
1. Binomické pravděpodobnostní rozdělení je symetrické, pokud
p = .50.
2. Binomické pravděpodobnostní rozdělení je zešikmené doprava,
pokud p je menší než .50.
3. Binomické pravděpodobnostní rozdělení je zešikmené doleva,
pokud p je větší než .50.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 46 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Pravděpodobnost úspěchu a tvar binomického rozdělení
Tvar binomického rozdělení náhodné veličiny x
pro
n = 4
p = 0.50
pro
n = 4
p = 0.30
pro
n = 6
p = 0.80
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 47 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Střední hodnota a směrodatná odchylka BR
Střední hodnota a směrodatná odchylka
binomického rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka binomického rozdělení lze
vypočítat jako:
µ = np
a
σ =
√
npq
kde n je celkový počet pokusů, p je pravděpodobnost úspěchu a q je
pravděpodobnost neúspěchu.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 48 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Střední hodnota a směrodatná odchylka BR
Příklad 11
Zadání:
Podle průzkumu Pew Research Center z května 2015 se 22.8 %
dospělých Američanů nehlásí k žádnému náboženství.
Předpokládejme, že zjištění platí pro celou populaci dospělých.
Je vybrán náhodný vzorek 50 dospělých Američanů. Označme x jako
počet těch, kteří se nehlásí k žádnému náboženství. Určete střední
hodnotu a směrodatnou odchylku pravděpodobnostního rozdělení x.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 49 / 74
Binomické rozdělení pravděpodobnosti Střední hodnota a směrodatná odchylka BR
Příklad 11: Řešení
Ze zadání známe: n = 50, p = .228, a q = .772.
Použitím vzorců pro střední hodnotu a směrodatnou odchylku
binomického rozdělení získáme:
µ = np = 50(0.228) = 11.4
σ =
√
npq = (50)(0.228)(0.772) = 2.9666
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 50 / 74
Hypergeometrické rozdělení
Náhodná veličina (NV)
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní NV
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Binomické rozdělení pravděpodobnosti
Binomický experiment
Binomické rozdělení a binomický vzorec
Použití tabulky binomických pravděpodobností
Pravděpodobnost úspěchu a tvar binomického rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka BR
Hypergeometrické rozdělení
Poissonovo rozdělení
Tabulka pravděpodobností Poissonova rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka PR
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 51 / 74
Hypergeometrické rozdělení
Hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti
Pravděpodobnost x, že při výběru n prvků z množiny o velikosti N, v
níž má r prvků požadovanou vlastnost, bude mít právě x prvků tuto
vlastnost.
P(x) =
Cr
x · CN−r
n−x
CN
n
kde
N = celkový počet prvků v populaci
r = počet úspěchů v populaci
N − r = počet neúspěchů v populaci
n = počet pokusů (velikost vzorku)
x = počet úspěchů v n pokusech
n − x = počet neúspěchů v n pokusech
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 52 / 74
Hypergeometrické rozdělení
Použití tabulky binomických pravděpodobností
V rámci programu Excel lze k získání pravděpodobnosti využít příkaz
= HYPGEOM.DIST(x, n, K, N, cumul)
kde:
x : Počet úspěchů ve výběru (počet požadovaných úspěchů).
n : Počet položek ve výběru (velikost vzorku).
K : Počet úspěchů v populaci.
N : Velikost celé populace..
cumul : Logická hodnota. Pokud je TRUE, vrátí kumulativní
pravděpodobnost, že dojde k nanejvýš x úspěchům. Pokud je
FALSE, vrátí pravděpodobnost, že dojde přesně k x úspěchům.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 53 / 74
Hypergeometrické rozdělení
Příklad 12
Zadání: Společnost Brown Manufacturing vyrábí autodíly, které se
prodávají auto dealerům. Minulý týden společnost dodala dealerovi
25 autodílů. Později zjistila, že 5 z těchto dílů bylo vadných. Do té
doby, než manažer společnosti kontaktoval dealera, byly již 4 autodíly
z této zásilky prodány. Jaká je pravděpodobnost, že 3 z těch 4 dílů
byly dobré a 1 byl vadný?
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 54 / 74
Hypergeometrické rozdělení
Příklad 12: Řešení
Ze zadání známe:
N = 25, r = 20, N − r = 5, n = 4, x = 3, n − x = 1
P(x) =
Cr
x·CN−r
n−x
CN
n
=
C20
3 ·C5
1
C25
4
=
20!
3!(20−3)!
· 5!
1!(5−1)!
25!
4!(25−4)!
= (1140)(5)
12 650 = .4506
Takže pravděpodobnost, že tři ze čtyř prodaných dílů jsou dobré a
jeden je vadný, je .4506.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 55 / 74
Hypergeometrické rozdělení
Příklad 13
Zadání: Společnost Dawn Corporation má 12 zaměstnanců na
manažerských pozicích. Z toho 7 je žen a 5 mužů. Společnost plánuje
poslat 3 z těchto 12 manažerů na konferenci. Určete
pravděpodobnost, pokud jsou náhodně vybráni 3 manažeři z 12,
(a) že všichni 3 jsou ženy.
(b) že maximálně 1 z nich je žena.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 56 / 74
Hypergeometrické rozdělení
Příklad 13: Řešení (a)
Ze zadání známe:
N = 12, r = 7, N − r = 5, n = 3, x = 3, n − x = 0
P(3) =
Cr
x·CN−r
n−x
CN
n
=
C7
3 ·C5
0
C12
3
= (35)(1)
220 = .1591
Pravděpodobnost, že všechny 3 vybraní manažeři jsou ženy je .1591.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 57 / 74
Hypergeometrické rozdělení
Příklad 13: Řešení (b)
Ze zadání známe:
N = 12, r = 7, N − r = 5, n = 3, x = 0 a 1, n − x = 3 a 2
P(0) =
Cr
x · CN−r
n−x
CN
n
=
C7
0 · C5
3
C12
3
=
(1)(10)
220
= 0.0455
P(1) =
Cr
x · CN−r
n−x
CN
n
=
C7
1 · C5
2
C12
3
=
(7)(10)
220
= 0.3182
P(x ≤ 1) = P(0) + P(1) = 0.0455 + 0.3182 = 0.3637
Pravděpodobnost, že maximálně 1 ze 3 vybraných manažerů je žena,
je .3637.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 58 / 74
Poissonovo rozdělení
Náhodná veličina (NV)
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní NV
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Binomické rozdělení pravděpodobnosti
Binomický experiment
Binomické rozdělení a binomický vzorec
Použití tabulky binomických pravděpodobností
Pravděpodobnost úspěchu a tvar binomického rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka BR
Hypergeometrické rozdělení
Poissonovo rozdělení
Tabulka pravděpodobností Poissonova rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka PR
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 59 / 74
Poissonovo rozdělení
Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti
Pro použití Poissonova rozdělení musí být splněny tři podmínky.
1. x je diskrétní náhodná veličina.
2. Výskyty jsou náhodné.
3. Výskyty jsou nezávislé.
Příklady Poissonova rozdělení pravděpodobnosti
1. Počet nehod, ke kterým dojde na určité dálnici během jednoho
týdne.
2. Počet zákazníků vstupujících do potravin během jednoho
hodinového intervalu.
3. Počet prodaných televizorů v obchodním domě během jednoho
týdne.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 60 / 74
Poissonovo rozdělení
Vzorec Poissonova rozdělení pravděpodobnosti
Podle Poissonova rozdělení pravděpodobnosti je pravděpodobnost x
výskytů na daném intervalu dána jako
P(x) =
e−λλx
x!
kde λ (vyslovuje se lambda) je průměrný počet výskytů v daném
intervalu a hodnota e je přibližně 2.71828.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 61 / 74
Poissonovo rozdělení
Příklad 14
Zadání: Domácnost dostává průměrně 9.5 telefonních hovorů od
telemarketingu za týden. Pomocí vzorce Poissonova rozdělení určete
pravděpodobnost, že náhodně vybraná domácnost obdrží přesně 6
telemarketingových hovorů během daného týdne.
Řešení:
P(6) =
λxe−λ
x!
=
(9.5)6e−9.5
6!
=
(735091.8906)(.00007485)
720
= 0.0764
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 62 / 74
Poissonovo rozdělení
Příklad 15
Zadání: Pračka v prádelně se průměrně pokazí třikrát za měsíc.
Použitím vzorce Poissonova rozdělení pravděpodobnosti naleznete
pravděpodobnost, že během příštího měsíce bude mít tato pračka
(a) přesně dvě poruchy
(b) nejvýše jednu poruchu
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 63 / 74
Poissonovo rozdělení
Příklad 15
(a) P(přesně dvě poruchy)
P(x = 2) =
λ2e−λ
2!
=
32e−3
2
= 9 · 0.04978707
= 0.2240
(b) P(nejvýše jedna porucha)
P(0 nebo 1 porucha) = P(x = 0) + P(x = 1)
=
30e−3
0!
+
31e−3
1!
= 1 · 0.04978707 + 3 · 0.04978707
= 0.0498 + 0.1494
= 0.1992
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 64 / 74
Poissonovo rozdělení
Příklad 16
Zadání: Martin poskytuje 7denní bezplatné vyzkoušení produktů s
možností vrácení a plnou náhradou, pokud zákazník není spokojen.
Na základě minulých dat jsou v průměru 2 z 10 prodaných produktů
vráceny. Pomocí Poissonova rozdělení vypočítejte pravděpodobnost,
že přesně 6 z 40 prodaných produktů v daný den bude vráceno a
náhrada bude vyplacena.
Řešení: λ = 8, x = 6
P(6) = λxe−λ
x! = 86e−8
6! = (262 144)(0.00033546)
720 = 0.1221
Pravděpodobnost, že přesně 6 produktů ze 40 prodaných v daný den
bude vráceno, je 0.1221.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 65 / 74
Poissonovo rozdělení Tabulka pravděpodobností Poissonova rozdělení
Tabulky pravděpodobností Poissonova rozdělení
V rámci programu Excel lze k získání pravděpodobnosti využít příkaz
= POISSON.DIST(x, mean, cumul)
kde:
x : Počet událostí, pro které chcete vypočítat pravděpodobnost.
mean : Očekávaný počet událostí na intervalu (střední hodnota).
cumul : Logická hodnota. Pokud je TRUE, vrátí kumulativní
pravděpodobnost, že dojde k nanejvýš x událostem. Pokud je
FALSE, vrátí pravděpodobnost, že dojde přesně k x událostem.
Pravděpodobnosti pro Poissonovo rozdělení mohou být také přečteny
z tabulky III v příloze B, tabulky Poissonových pravděpodobností.
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 66 / 74
Poissonovo rozdělení Tabulka pravděpodobností Poissonova rozdělení
Příklad 17
V průměru jsou v pobočce komerční banky otevřeny dva nové účty
denně. Použitím tabulky III v příloze B najděte pravděpodobnost, že v
daný den bude počet nově otevřených účtů v této bance:
(a) přesně 6
(b) nejvýše 3
(c) alespoň 7
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 67 / 74
Poissonovo rozdělení Tabulka pravděpodobností Poissonova rozdělení
Příklad 17: Řešení
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 68 / 74
Poissonovo rozdělení Tabulka pravděpodobností Poissonova rozdělení
Příklad 17: Řešení
(a) P(6) = 0.0120
(b) P(nejvýše 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)
= 0.1353 + 0.2707 + 0.2707 + 0.1804
= 0.8571
(c) P(alespoň 7) = P(7) + P(8) + P(9)
= 0.0034 + 0.0009 + 0.0002
= 0.0045
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 69 / 74
Poissonovo rozdělení Střední hodnota a směrodatná odchylka PR
Střední hodnota a směrodatná odchylka Poissonova
rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka Poissonova rozdělení
pravděpodobnosti lze vypočítat jako:
µ = λ
a
σ2
= λ
σ =
√
λ
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 70 / 74
Poissonovo rozdělení Střední hodnota a směrodatná odchylka PR
Příklad 18
Zadání: Prodavač aut prodává průměrně 0.9 auta za den. Označme x
počet aut prodaných tímto prodejcem v daný den. Najděte střední
hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku.
Řešení:
µ = λ = 0.9 aut
σ2
= λ = 0.9
σ =
√
λ =
√
0.9 ≈ 0.949 aut
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 71 / 74
Poissonovo rozdělení Střední hodnota a směrodatná odchylka PR
Shrnutí přednášky:
Náhodná veličina (NV)
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní NV
Střední hodnota a směrodatná odchylka DNV
Binomické rozdělení pravděpodobnosti
Binomický experiment
Binomické rozdělení a binomický vzorec
Použití tabulky binomických pravděpodobností
Pravděpodobnost úspěchu a tvar binomického rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka BR
Hypergeometrické rozdělení
Poissonovo rozdělení
Tabulka pravděpodobností Poissonova rozdělení
Střední hodnota a směrodatná odchylka PR
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 72 / 74
Poissonovo rozdělení Střední hodnota a směrodatná odchylka PR
Co si nastudovat na následující týden?
Příprava na cvičení: Leaflet 06
Koncepty a procedury, cv. 06, kap. 05
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 6
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 73 / 74
Poissonovo rozdělení Střední hodnota a směrodatná odchylka PR
Děkuji za pozornost!
Source: ‘Alea Acta Est’ by Enrico Chavez
·Diskrétní náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 74 / 74