Spojité náhodné veličiny a jejich
pravděpodobnostní rozdělení
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 6
Z čeho studovat šestou lekci?
Povinná literatura: Mann (2016), kap. 06
Příprava na cvičení: Leaflet 07
Koncepty a procedury, cv. 07, kap. 06
Příprava na zkoušku: Mann (2016), kap. 06
Leaflet 07
Sbírka úloh, kap. 06
Koncepty a procedury, cv. 07, kap. 06
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 2 / 62
Motivační vstup - využití normálního rozdělení
Modelování výnosů z investic: Odhad rozložení výnosů akcií,
dluhopisů a jiných finančních nástrojů.
Posuzování rizik a nejistot: Predikce rizik spojených s investicemi
a výkyvy na finančních trzích.
Analýza spotřebitelských preferencí: Studium spotřebitelského
chování a rozložení výdajů mezi různými skupinami populace.
Statistické testování ekonomických hypotéz: Ověřování
ekonomických teorií pomocí analýzy dat a normálních rozdělení.
Makroekonomická data: Analýza distribuce makroekonomických
ukazatelů, jako je inflace, nezaměstnanost či HDP.
Finanční plánování a analýza: Predikce rozpočtů, tržeb a výdajů
na základě historických dat a jejich rozložení.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 3 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení
Spojitá pravděpodobnostní rozdělení
Normální rozdělení
Standardizované normální rozdělení
Standardizované a normální rozdělení
Aplikace normálního rozdělení
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou NR
Aproximace binomického rozdělení normálním rozdělením
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 4 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Spojitá pravděpodobnostní rozdělení
Spojitá pravděpodobnostní rozdělení
Dvě vlastnosti:
1. Pravděpodobnost, že náhodná veličina x nabývá hodnoty v
jakémkoli intervalu, je v rozmezí 0 až 1.
2. Celková pravděpodobnost všech (neslučitelných) intervalů, ve
kterých může náhodná veličina x nabývat hodnoty, je 1.0.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 5 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Spojitá pravděpodobnostní rozdělení
Plocha pod křivkou rozdělení
Obrázek: Plocha mezi dvěma body
Obrázek: Plocha pod celou křivkou
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 6 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Spojitá pravděpodobnostní rozdělení
Plocha pod křivkou rozdělení
Obrázek: Plocha mezi dvěma body vyjádřená jako pravděpodobnost
Obrázek: Pravděpodobnost, že x leží od 65 do 68
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 7 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Spojitá pravděpodobnostní rozdělení
Plocha pod křivkou rozdělení
Obrázek: Pravděpodobnost jedné konkrétní hodnoty x je nulová
Obrázek: Pravděpodobnost, že x leží od 65 do 68 a mezi 65 a 68 je stejná
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 8 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Normální rozdělení
Normální rozdělení
Normální rozdělení pravděpodobnosti N(µ, σ2) v grafickém zobrazení
vytváří zvonovitou křivku (Gaussovu křivku), pro kterou platí:
1. Celková plocha pod křivkou je 1.0.
2. Křivka je symetrická vzhledem k střední hodnotě (průměru).
3. Oba chvosty (konce) křivky se nekonečně rozšiřují.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 9 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Normální rozdělení
Normální rozdělení
Obrázek: Normální rozdělení pravděpodobnosti N(µ, σ2
)
Obrázek: Celková plocha pod křivkou
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 10 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Normální rozdělení
Normální rozdělení
Obrázek: Normální rozdělení N(µ, σ2
) je symetrické
Obrázek: Konce rozdělení N(µ, σ2
)
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 11 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Normální rozdělení
Normální rozdělení
Obrázek: Tři normální rozdělení se stejným µ a rozdílným σ2
Obrázek: Tři normální rozdělení s rozdílným µ a stejným σ2
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 12 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Standardizované normální rozdělení
Standardizované normální rozdělení
Normální rozdělení se střední hodnotou µ = 0 a směrodatnou
odchylkou σ = 1 se nazývá standardizované normální rozdělení.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 13 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Standardizované normální rozdělení
Z-hodnota nebo Z-skóre
Jednotky označené na horizontální ose standardizované křivky
normálního rozdělení jsou vyjádřeny pomocí z a nazývají se
z-hodnoty nebo z-skóre.
Konkrétní hodnota z udává vzdálenost mezi průměrem a bodem
reprezentovaným hodnotou z ve směrodatných odchylkách.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 14 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Standardizované normální rozdělení
Příklad 1
Zadání: Určete obsah plochy pod křivkou standardizovaného
normálního rozdělení nalevo od z = a = 1.95.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 15 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Standardizované normální rozdělení
Příklad 1: Řešení
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 16 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Standardizované normální rozdělení
Příklad 1: Řešení
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 17 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Standardizované normální rozdělení
Příklad 2
Zadání: Určete obsah plochy pod křivkou standardizovaného
normálního rozdělení od z = -2.17 do z = 0.
Řešení:
Abychom našli obsah plochy od z = −2.17 do z = 0, nejprve určíme
obsahy vlevo od z = 0 a vlevo od z = −2.17 např. v tabulce IV.
Jak je uvedeno v tabulce na následujícím slidu, tyto dva obsahy jsou
.5 a .0150. Hledaný obsah získáme odečtením .0150 od .5.
Obsah plochy od -2.17 do 0 lze zapsat jako
P(−2.17 ≤ z ≤ 0) = .5000 − .0150 = .4850
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 18 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Standardizované normální rozdělení
Příklad 2: Řešení
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 19 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Standardizované normální rozdělení
Příklad 2: Řešení graficky
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 20 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Standardizované normální rozdělení
Příklad 3
Zadání: Určete následující pravděpodobnosti (plochy pod křivkou) pro
standardizované normální rozdělení.
a) P(−1.56 < z < 2.31)
b) P(z > −0.75)
c) P(z < −5.35)
Řešení:
a) P(−1.56 < z < 2.31) = Oblast mezi -1.56 a 2.31
= .9896 − .0594 = .9302
b) P(z > −0.75) = Oblast vpravo od − 0.75
= 1.00 − .2266 = .7734
c) P(z < −5.35) = Oblast vlevo od − 5.35
= 0.00 přibližně
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 21 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Standardizované normální rozdělení
Příklad 3: Řešení graficky
Obrázek: Řešení a)
Obrázek: Řešení b)
Obrázek: Řešení c)
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 22 / 62
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení Standardizované normální rozdělení
Plocha v okolí střední hodnoty
Obrázek: Okolí: ± 1x směrodatná odchylka
Obrázek: Okolí: ± 2x směrodatná odchylka
Obrázek: Okolí: ± 3x směrodatná odchylka
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 23 / 62
Standardizované a normální rozdělení
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení
Spojitá pravděpodobnostní rozdělení
Normální rozdělení
Standardizované normální rozdělení
Standardizované a normální rozdělení
Aplikace normálního rozdělení
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou NR
Aproximace binomického rozdělení normálním rozdělením
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 24 / 62
Standardizované a normální rozdělení
Standardizované a normální rozdělení
Převod náhodné veličiny x na náhodnou veličinu z
Pro náhodnou veličinu x z normálního rozdělení, lze určitou hodnotu
x převést na odpovídající hodnotu z použitím vzorce:
z =
x − µ
σ
kde µ a σ jsou střední hodnota (průměr) a směrodatná odchylka
normálního rozdělení náhodné veličiny x .
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 25 / 62
Standardizované a normální rozdělení
Příklad 4
Zadání: Nechť x je spojitá náhodná veličina, která má normální
rozdělení se střední hodnotou 50 a směrodatnou odchylkou 10.
Převeďte následující hodnoty x na hodnoty z a najděte
pravděpodobnost nalevo od bodu x = 55.
Řešení:
z =
x − µ
σ
=
55 − 50
10
= .50
P(x < 55) = P(z < .50) = .6915
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 26 / 62
Standardizované a normální rozdělení
Příklad 5
Zadání: Nechť x je spojitá náhodná veličina řídící se normálním
rozdělením s parametry µ = 50 a σ = 8. Určete P(30 ≤ x ≤ 39).
Řešení:
Pro x = 30: z = 30−50
8 = −2.50
Pro x = 39: z = 39−50
8 = −1.38
P(30 ≤ x ≤ 39) = P(−2.50 ≤ z ≤ −1.38) = .0838 − .0062 = .0776
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 27 / 62
Aplikace normálního rozdělení
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení
Spojitá pravděpodobnostní rozdělení
Normální rozdělení
Standardizované normální rozdělení
Standardizované a normální rozdělení
Aplikace normálního rozdělení
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou NR
Aproximace binomického rozdělení normálním rozdělením
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 28 / 62
Aplikace normálního rozdělení
Aplikace normálního rozdělení
V předcházejících oddílech jsme se zabývali normálním rozdělením,
způsoby převodu normálního rozdělení na standardizované normální
rozdělení a metodami pro určení obsahu pod křivkou normálního
rozdělení.
V této části jsou uvedeny příklady, které demonstrují použití
normálního rozdělení.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 29 / 62
Aplikace normálního rozdělení
Příklad 6
Zadání: Dle Zprávy o kompenzaci lékařů za rok 2015 si američtí
internisté v roce 2014 vydělali v průměru 196 000 dolarů.
Předpokládejme, že příjmy všech amerických internistů za rok 2014
mají normální rozdělení se střední hodnotou 196 000 dolarů a
směrodatnou odchylkou 20 000 dolarů.
Určete pravděpodobnost, že příjmy náhodně vybraného amerického
internisty za rok 2014 jsou mezi 169 400 dolarů a 206 800 dolarů.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 30 / 62
Aplikace normálního rozdělení
Příklad 6: Řešení
Graficky: Pro x = 169 400:
z =
169 400 − 196 000
20 000
= −1.33
Pro x = 206 800:
z =
206 800 − 196 000
20 000
= .54
P(169 400 ≤ x ≤ 206 800) = P(−1.33 ≤ z ≤ 0.54)
= 0.7054 − 0.0918
= 0.6136 = 61.36%
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 31 / 62
Aplikace normálního rozdělení
Příklad 7
Zadání: Závodní automobil je jednou z mnoha hraček, které vyrábí
společnost Mack Corporation. Doba montáže této hračky se řídí
normálním rozdělením se střední hodnotou 55 minut a směrodatnou
odchylkou 4 minuty. Firma ukončuje svou činnost vždy v 17:00. Pokud
pracovník začne sestavovat závodní automobil v 16:00, jaká je
pravděpodobnost, že práci stihne dokončit před koncem pracovní
doby?
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 32 / 62
Aplikace normálního rozdělení
Příklad 7: Řešení
Graficky:
Pro x = 60 : z = 60−55
4 = 1.25
P(x ≤ 60) = P(z ≤ 1.25) = .8944
Pravděpodobnost, že tento pracovník dokončí sestavení závodního
auta před uzavřením firmy, je .8944.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 33 / 62
Aplikace normálního rozdělení
Příklad 8
Zadání: Společnost Bublinky s.r.o vyrábí mnoho druhů nápojů, včetně
Oranžové limonády. Plnicí stroje jsou nastaveny tak, aby do každé 12
uncové plechovky Oranžové limonády nalily 12 uncí sodovky.
Avšak skutečné množství nalité sodovky do každé plechovky není
přesně 12 uncí; liší se od plechovky k plechovce. Bylo zjištěno, že
čisté množství sodovky v takové plechovce má normální rozdělení se
střední hodnotou 12 uncí a směrodatnou odchylkou 0.015 unce.
(a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná plechovka
Oranžové limonády obsahuje mezi 11.97 a 11.99 uncí sodovky?
(b) Kolik procent plechovek Oranžové limonády obsahuje mezi
12.02 a 12.07 uncí sodovky?
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 34 / 62
Aplikace normálního rozdělení
Příklad 8: Řešení a)
Graficky:
x = 11.97 : z = 11.97−12
0.015 = −2.00
x = 11.99 : z = 11.99−12
0.015 = −0.67
P(11.97 ≤ x ≤ 11.99) = P(−2.00 ≤ z ≤ −0.67)
= .2514 − .0228
= .2286
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 35 / 62
Aplikace normálního rozdělení
Příklad 8: Řešení b)
Graficky:
x = 12.02 : z = 12.02−12
0.015 = 1.33
x = 12.07 : z = 12.07−12
0.015 = 4.67
P(12.02 ≤ x ≤ 12.07) = P(1.33 ≤ z ≤ 4.67)
= 1.0 − .9082
= .0918
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 36 / 62
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou NR
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení
Spojitá pravděpodobnostní rozdělení
Normální rozdělení
Standardizované normální rozdělení
Standardizované a normální rozdělení
Aplikace normálního rozdělení
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou NR
Aproximace binomického rozdělení normálním rozdělením
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 37 / 62
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou NR
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou
normálního rozdělení
Doposud jsme se zabývali způsobem, jak určit plochu pod křivkou
normálního rozdělení pro určitý interval hodnot z nebo x.
Teď si ukážeme opačný postup a vysvětlíme si, jak zjistit příslušné
hodnoty z nebo x, pokud je známa plocha pod křivkou normálního
rozdělení.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 38 / 62
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou NR
Příklad 9
Zadání : Určete hodnotu z tak, aby obsah pod křivkou
standardizovaného normálního rozdělení vlevo od z byl 0.9251.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 39 / 62
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou NR
Příklad 9: Řešení
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 40 / 62
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou NR
Příklad 10
Zadání : Určete hodnotu z tak, aby obsah pod křivkou
standardizovaného normálního rozdělení v pravém chvostu (konci)
byl 0.0050.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 41 / 62
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou NR
Příklad 10: Řešení
Pro nalezení hodnoty z, nejprve najdeme oblast nalevo od z tak, že
Oblast nalevo od z = 1.0 − .0050 = .9950
Nyní hledáme číslo .9950 v těle tabulky normálního rozdělení.
Tabulka IV neobsahuje .9950. Takže najdeme hodnotu nejbližší k
.9950, která je buď .9949 nebo .9951. Pokud zvolíme .9951, pak
z = 2.58
Pokud zvolíme .9949, pak
z = 2.57
Můžeme použít libovolnou z těchto dvou hodnot.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 42 / 62
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou NR
Hledání hodnoty x u normálního rozdělení
Pokud známe střední hodnotu µ a směrodatnou odchylku σ
normálního rozdělení a máme zadanou oblast pod křivkou na levé
straně bodu x, hodnotu x vypočteme pomocí vzorce
x = µ + zσ
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 43 / 62
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou NR
Příklad 11
Zadání : Je známo, že životnost kalkulačky vyrobené společností
Calculators Corporation se řídí normálním rozdělením se střední
hodnotou 54 měsíců a směrodatnou odchylkou 8 měsíců.
Jak dlouhá by měla být záruční doba na výměnu nefunkční kalkulačky,
pokud společnost nechce vyměnit více než 1 % všech prodaných
kalkulaček?
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 44 / 62
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou NR
Příklad 11: Řešení
Nechť x je životnost kalkulačky. Oblast nalevo od x je .01 nebo 1%.
Najdeme hodnotu z z tabulky normálního rozdělení pro .0100.
Tabulka IV neobsahuje hodnotu, která je přesně .0100 a tak je
hodnota nejbližší k .0100 v tabulce .0099. Tedy z = -2.33.
x = µ + zσ = 54 + (−2.33)(8) = 54 − 18.64 = 35.36
Společnost, aby nemusela vyměňovat více než 1 % kalkulaček, by tedy
měla vyměňovat všechny kalkulačky, které začnou vykazovat poruchy
do 35.36 měsíce (což lze zaokrouhlit na 35 měsíců) od data nákupu.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 45 / 62
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou NR
Příklad 11: Řešení graficky
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 46 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Aproximace binomického rozdělení normálním
rozdělením
1. Binomické rozdělení se aplikuje na diskrétní náhodnou veličinu.
2. Každé opakování, nazývané pokus, binomického experimentu
vede k jednomu ze dvou možných výsledků (nebo jevů), a to buď
úspěchu nebo neúspěchu.
3. Pravděpodobnosti obou možných výsledků (nebo jevů) zůstávají
stejné pro každé opakování experimentu.
4. Pokusy jsou nezávislé.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 47 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Aproximace binomického rozdělení normálním
rozdělením
Binomický vzorec, který udává pravděpodobnost x úspěchů v n
pokusech, je
P(x) =
n
x
px
qn−x
.
Normální rozdělení se používá jako aproximace binomického
rozdělení, když jsou obě hodnoty np a nq větší než 5, tzn. když
np > 5 a nq > 5.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 48 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Aproximace binomického rozdělení normálním
rozdělením
Ukázka : n = 12 a p = 0.50
Binomické rozdělení
pravděpodobnosti
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 49 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Příklad 12
Zadání: Podle odhadu má 50 % lidí v USA alespoň jednu kreditní
kartu. Jaká je pravděpodobnost, že z náhodného vzorku 30 osob bude
mít alespoň jednu kreditní kartu 19 lidí?
Řešení (přesné):
n = 30, p = 0.50, q = 1 − p = 0.50
x = 19, n − x = 30 − 19 = 11
Podle binomického vzorce je přesná pravděpodobnost
P(19) =
30
19
(0.5)19
(0.5)11
= 0.0509
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 50 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Příklad 12: Řešení aproximací
Zadání (rozšířeno): Vyřešme tento problém s využitím normálního
rozdělení jako aproximací binomického rozdělení.
Prvně ověříme, zda lze vůbec aproximaci provést
np = 30(0.50) = 15 > 5,
nq = 30(0.50) = 15 > 5.
Jelikož obě hodnoty podmínek jsou větší než 5, můžeme použít
normální rozdělení jako aproximaci k vyřešení tohoto binomického
problému.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 51 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Příklad 12: Řešení aproximací
Krok 1. Vypočítejte µ a σ pro binomické rozdělení.
µ = np = 30(0.50) = 15
σ =
√
npq = 30(0.50)(0.50) = 2.73861279
Krok 2. Převeďte diskrétní náhodnou veličinu na spojitou náhodnou
náhodou veličinu (provedením opravy na spojitost).
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 52 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Vsuvka - Oprava na spojitost
Faktorem opravy na spojitost chápeme přičtení 0.5 a/nebo odečtení
0.5 od hodnot(y) x při použití normálního rozdělení jako aproximace
binomického rozdělení, kde x představuje počet úspěchů v n počtu
pokusů.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 53 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Příklad 12: Řešení aproximací
Krok 3. Spočítejte požadovanou pravděpodobnost pomocí
normálního rozdělení.
Graficky: Pro x = 18.5:
z =
18.5 − 15
2.73861279
= 1.28
Pro x = 19.5:
z =
19.5 − 15
2.73861279
= 1.64
P(18.5 ≤ x ≤ 19.5) = P(1.28 ≤ z ≤ 1.64) = 0.9495−0.8997 = 0.0498
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 54 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Příklad 12: Řešení aproximací
Na základě aproximace normálním rozdělením je pravděpodobnost,
že bude mít alespoň jednu kreditní kartu 19 osob ze vzorku 30,
přibližně 0.0498.
Použitím binomického vzorce získáme přesnou pravděpodobnost
0.0509.
Chyba způsobená použitím aproximace normálním rozdělením je
0.0509 - 0.0498 = 0.0011.
Tedy přesná pravděpodobnost je podhodnocena o 0.0011, pokud se
použije aproximace normálním rozdělením.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 55 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Příklad 13
Zadání: Podle průzkumu 32 % lidí pracujících z domova uvedlo, že
největší výhodou práce z domova je absence dojíždění.
Předpokládejme, že tento výsledek platí pro celou současnou
populaci lidí pracujících z domova.
Jaká je pravděpodobnost, že v náhodném vzorku 400 lidí pracujících z
domova 108 až 122 lidí uvede, že největší výhodou práce z domova
je, že nemusí dojíždět?
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 56 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Příklad 13: Řešení aproximací
Krok 1. n = 400, p = .32, q = 1 − .32 = .68
µ = np = 400(.32) = 128
σ =
√
npq = 400(.32)(.68) = 9.32952303
Krok 2.
x = 107.5: z = 107.5−128
9.32952303 = −2.20
x = 122.5: z = 122.5−128
9.32952303 = −0.59
Graficky:
Krok 3.
P(107.5 ≤ x ≤ 122.5) = P(−2.20 ≤ z ≤ −0.59)
= .2776 − .0139 = .2637
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 57 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Příklad 14
Zadání: Podle průzkumu mezi americkými dospělými 61 % žen
podporuje umístění semaforů na křižovatkách. Předpokládejme, že
tento procentní podíl platí pro současnou populaci amerických
dospělých žen.
Jaká je pravděpodobnost, že 500 nebo více takových žen v náhodném
vzorku 800 žen bude podporovat umístění semaforů na křižovatkách?
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 58 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Příklad 14: Řešení aproximací
Krok 1. n = 800, p = .61, q = 1 − .61 = .39
µ = np = 800(.61) = 488
σ =
√
npq = 800(.61)(.39) = 13.79565149
Krok 2.
x = 499.5: z = 499.5−488
13.79565149 = .83
Graficky:
Krok 3.
P(x ≥ 499.5) = P(z ≥ .83) = 1.0 − .7967 = .2033
Pravděpodobnost, že 500 nebo více dospělých amerických žen z
náhodného vzorku 800 žen bude podporovat umístění semaforů na
křižovatkách, je přibližně .2033.
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 59 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Shrnutí přednášky:
Spojité NV a jejich pravděpodobnostní rozdělení
Spojitá pravděpodobnostní rozdělení
Normální rozdělení
Standardizované normální rozdělení
Standardizované a normální rozdělení
Aplikace normálního rozdělení
Stanovení hodnot z a x při známé ploše pod křivkou NR
Aproximace binomického rozdělení normálním rozdělením
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 60 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Co si nastudovat na přespříští týden?
Příprava na cvičení: Leaflet 07
Koncepty a procedury, cv. 07, kap. 06
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 7
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 61 / 62
Aproximace binomického normálním rozdělením
Děkuji za pozornost!
·Spojité náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostní rozdělení · 62 / 62