Výběrové rozdělení
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 7
Z čeho studovat sedmou lekci?
Povinná literatura: Mann (2016), kap. 07
Příprava na cvičení: Leaflet 08
Koncepty a procedury, cv. 08, kap. 07
Příprava na zkoušku: Mann (2016), kap. 07
Leaflet 08
Sbírka úloh, kap. 07
Koncepty a procedury, cv. 08, kap. 07
·Výběrové rozdělení · 2 / 66
Motivační vstup
Chápání výběrových rozdělení a statistických charakteristik, jako je
střední hodnota a směrodatná odchylka, nám umožňuje porozumět
chování populací na základě malých vzorků dat.
Tento přístup je nepostradatelný při analýze dat v oblastech jako
ekonomie, marketing, zdravotnictví nebo finance.
Pochopení těchto základních konceptů vám nejen pomůže správně
interpretovat výsledky průzkumů a experimentů, ale také se vyhnout
častým chybám a zkreslením v datech.
·Výběrové rozdělení · 3 / 66
Obsah
Výběrové rozdělení
Pravděpodobnostní rozdělení populace a výběru
Výběrová chyba a Chyby nezpůsobené výběrem
Střední hodnota a směrodatná odchylka ¯x
Tvar výběrového rozdělení ¯x
Výběr z populace, která má normální rozdělení
Výběr z populace, která nemá normální rozdělení
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Podíly populace a vzorku
Výběrové rozdělení podílu ˆp
Střední hodnota s směrodatná odchylka ˆp
Tvar výběrového rozdělení ˆp
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
·Výběrové rozdělení · 4 / 66
Výběrové rozdělení Pravděpodobnostní rozdělení populace a výběru
Pravděpodobnostní rozdělení populace a výběru
Pravděpodobnostní rozdělení populace je pravděpodobnostní
rozdělení dat celé populace.
Obecně se pravděpodobnostní rozdělení statistického údaje
získaného ze vzorku dat nazývá výběrové rozdělení.
Pravděpodobnostní rozdělení výběrového průměru ¯x je získané ze
všech možných vzorků stejné velikosti vybraných z populace. Toto
pravděpodobnostní rozdělení ¯x udává různé hodnoty, které může ¯x
nabývat a také pravděpodobnost realizace každé z těchto hodnot.
·Výběrové rozdělení · 5 / 66
Výběrové rozdělení Pravděpodobnostní rozdělení populace a výběru
Pravděpodobnostní rozdělení populace
Ukázka: Předpokládejme, že ve třídě pokročilé statistiky je pouze pět
studentů a výsledky jejich půlsemestrálních zkoušek jsou následující:
70, 78, 80, 80, 95. Nechť x označuje skóre studenta.
Četnost populace a relativní četnostní rozdělení (vlevo) a
pravděpodobnostní rozdělení populace (vpravo)
·Výběrové rozdělení · 6 / 66
Výběrové rozdělení Pravděpodobnostní rozdělení populace a výběru
Výběrové rozdělení
Znovu se podívejme na soubor půlsemestrálních výsledků pěti
studentů. Uvažujme všechny možné vzorky tří výsledků z této
skupiny, které lze vybrat bez vracení.
Celkový počet možných výběrů je
5
3
=
5!
3!(5 − 3)!
=
5 · 4 · 3
3 · 2 · 1
= 10.
Předpokládejme, že přiřadíme písmena A, B, C, D a E k výsledkům pěti
studentů tak, že: A = 70, B = 78, C = 80, D = 80, E = 95.
Pak deset možných výběru tří výsledků jsou:
ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE
·Výběrové rozdělení · 7 / 66
Výběrové rozdělení Pravděpodobnostní rozdělení populace a výběru
Všechny možné výběry a jejich průměry, když je
velikost vzorku 3
·Výběrové rozdělení · 8 / 66
Výběrové rozdělení Pravděpodobnostní rozdělení populace a výběru
Pravděpodobnostní rozdělení výběru z populace
Četnost výběru a relativní četnostní rozdělení ¯x (vlevo) a
pravděpodobnostní rozdělení ¯x (vpravo)
·Výběrové rozdělení · 9 / 66
Výběrové rozdělení Výběrová chyba a Chyby nezpůsobené výběrem
Výběrová chyba a Chyby nezpůsobené výběrem
Výběrová chyba je rozdíl mezi hodnotou statistického údaje
získaného ze vzorku a hodnotou odpovídajícího parametru populace.
V případě průměru platí:
Výběrová chyba = ¯x − µ,
za předpokladu, že výběr je náhodný a nebyla učiněna žádná chyba
ve vzorkování.
Chyby, které nastanou při sběru, zaznamenávání a tabulaci dat, se
nazývají chyby nezpůsobené náhodným výběrem.
·Výběrové rozdělení · 10 / 66
Výběrové rozdělení Výběrová chyba a Chyby nezpůsobené výběrem
Důvody výskytu chyb nezpůsobených náhodným
výběrem
1. Pokud je výběr nenáhodný (a tudíž nejpravděpodobněji
nereprezentativní), mohou být výsledky ze získaného vzorku
příliš odlišné od výsledků sčítání lidu.
2. Otázky mohou být formulovány tak, že nejsou plně pochopeny
členy vzorku nebo populace.
3. Respondenti mohou úmyslně poskytovat falešné informace v
reakci na některé citlivé otázky.
4. Osoba provádějící průzkum může udělat chybu a zadat
nesprávné číslo do záznamů nebo udělat chybu při zadávání dat
do počítače.
·Výběrové rozdělení · 11 / 66
Výběrové rozdělení Výběrová chyba a Chyby nezpůsobené výběrem
Příklad 1
Zadání: Znovu se podívejme na soubor pěti hodnocení studentů.
Předpokládejme, že z této sady byl vybrán jeden vzorek tří hodnocení,
a tento vzorek obsahuje hodnocení 70, 80 a 95. Vypočtěte výběrovou
chybu.
Řešení:
µ =
70 + 78 + 80 + 80 + 95
5
= 80.60
¯x =
70 + 80 + 95
3
= 81.67
Výběrová chyba = ¯x − µ = 81.67 − 80.60 = 1.07
To znamená, že odhadnuté průměrné skóre ze vzorku je o 1.07 vyšší
než průměrné skóre populace. Poznamenejme, že k tomuto rozdílu
došlo náhodně, protože jsme použili vzorek místo celé populace.
·Výběrové rozdělení · 12 / 66
Výběrové rozdělení Výběrová chyba a Chyby nezpůsobené výběrem
Výběrová chyba a Chyby nezpůsobené výběrem
Předpokládejme nyní, že vybereme vzorek tří hodnocení a omylem
zaznamenáme druhé hodnocení jako 82 místo 80. V důsledku toho
vypočítáme průměr vzorku jako
¯x =
70 + 82 + 95
3
= 82.33.
Rozdíl mezi tímto průměrem vzorku a průměrem populace je
¯x − µ = 82.33 − 80.60 = 1.73.
Tento rozdíl nepředstavuje výběrovou chybu. Pouze 1.07 tohoto
rozdílu je způsobeno výběrovou chybou.
·Výběrové rozdělení · 13 / 66
Výběrové rozdělení Výběrová chyba a Chyby nezpůsobené výběrem
Výběrová chyba a Chyby nezpůsobené výběrem
Zbývající část představuje chybu nezpůsobenou výběrem. Tato chyba
je rovna 1.73 - 1.07 = .66 a stala se kvůli chybě, kterou jsme udělali
při zaznamenávání druhého skóre ve vzorku.
Chyba nezpůsobená výběrem = Nesprávné ¯x − Správné ¯x
= 82.33 − 81.67 = .66
·Výběrové rozdělení · 14 / 66
Střední hodnota a směrodatná odchylka ¯x
Výběrové rozdělení
Pravděpodobnostní rozdělení populace a výběru
Výběrová chyba a Chyby nezpůsobené výběrem
Střední hodnota a směrodatná odchylka ¯x
Tvar výběrového rozdělení ¯x
Výběr z populace, která má normální rozdělení
Výběr z populace, která nemá normální rozdělení
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Podíly populace a vzorku
Výběrové rozdělení podílu ˆp
Střední hodnota s směrodatná odchylka ˆp
Tvar výběrového rozdělení ˆp
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
·Výběrové rozdělení · 15 / 66
Střední hodnota a směrodatná odchylka ¯x
Střední hodnota a směrodatná odchylka ¯x
Střední hodnotu a směrodatnou odchylku výběrového rozdělení ¯x
budeme v tomto kurzu označovat µ¯x a σ¯x.
Střední hodnota výběrového rozdělení ¯x je vždy rovna střední
hodnotě populace. Platí:
µ¯x = µ.
Směrodatná odchylka výběrového rozdělení ¯x je
σ¯x =
σ
√
n
,
kde σ je směrodatná odchylka populace a n je velikost vzorku. Tento
vzorec se používá, když n
N ≤ .05, kde N je velikost populace.
·Výběrové rozdělení · 16 / 66
Střední hodnota a směrodatná odchylka ¯x
Vsuvka
Pokud není splněna podmínka n
N ≤ .05, používáme následující vzorec
pro výpočet σ¯x:
σ¯x =
σ
√
n
N − n
N − 1
kde faktor N−n
N−1 se nazývá korekční faktor pro konečnou populaci.
·Výběrové rozdělení · 17 / 66
Střední hodnota a směrodatná odchylka ¯x
Dvě důležité charakteristiky
1. Rozptyl výběrového rozdělení ¯x je menší než rozptyl
odpovídajícího rozdělení populace, tzn.
σ¯x < σx
2. Směrodatná odchylka výběrového rozdělení ¯x klesá s rostoucí
velikostí vzorku.
·Výběrové rozdělení · 18 / 66
Střední hodnota a směrodatná odchylka ¯x
Příklad 2
Zadání: Střední hodnota hodinové mzdy pro všech 5000 zaměstnanců
pracujících ve velké společnosti je 27.50 dolarů a směrodatná
odchylka je 3.70 dolarů. Nechť ¯x je hodnota průměrné hodinové mzdy
pro vzorek určitých zaměstnanců vybraných z této společnosti
náhodným výběrem.
Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku ¯x pro následující
velikosti vzorku: (a) 30 (b) 75 (c) 200.
·Výběrové rozdělení · 19 / 66
Střední hodnota a směrodatná odchylka ¯x
Příklad 2: Řešení
N = 5000, µ = $27.50, σ = $3.70.
Řešení (a) V tomto případě, n
N = 30
5000 = .006 < .05.
µ¯x = µ = $27.50 σ¯x =
σ
√
n
=
3.70
√
30
= $ .676
Řešení (b) V tomto případě, n
N = 75
5000 = .015 < .05.
µ¯x = µ = $27.50 σ¯x =
σ
√
n
=
3.70
√
75
= $ .427
Řešení (c) V tomto případě, n
N = 200
5000 = .04 < .05.
µ¯x = µ = $27.50 σ¯x =
σ
√
n
=
3.70
√
200
= $ .262
·Výběrové rozdělení · 20 / 66
Tvar výběrového rozdělení ¯x
Obsah
Výběrové rozdělení
Pravděpodobnostní rozdělení populace a výběru
Výběrová chyba a Chyby nezpůsobené výběrem
Střední hodnota a směrodatná odchylka ¯x
Tvar výběrového rozdělení ¯x
Výběr z populace, která má normální rozdělení
Výběr z populace, která nemá normální rozdělení
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Podíly populace a vzorku
Výběrové rozdělení podílu ˆp
Střední hodnota s směrodatná odchylka ˆp
Tvar výběrového rozdělení ˆp
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
·Výběrové rozdělení · 21 / 66
Tvar výběrového rozdělení ¯x
Tvar výběrového rozdělení ¯x
Tvar výběrového rozdělení ¯x souvisí s následujícími dvěma případy:
1. Populace, ze které jsou vzorky čerpány, má normální rozdělení.
2. Populace, ze které jsou vzorky čerpány, nemá normální rozdělení.
·Výběrové rozdělení · 22 / 66
Tvar výběrového rozdělení ¯x Výběr z populace, která má normální rozdělení
Výběr z populace, která má normální rozdělení
Pokud je populace, ze které jsou odebírány vzorky, normálně
rozdělena se střední hodnotou µ a směrodatnou odchylkou σ, pak
bude výběrové rozdělení průměru ¯x získaného ze vzorku také
normálně rozděleno s následující střední hodnotou a směrodatnou
odchylkou (a to bez ohledu na velikost vzorku):
µ¯x = µ a σ¯x =
σ
√
n
·Výběrové rozdělení · 23 / 66
Tvar výběrového rozdělení ¯x Výběr z populace, která má normální rozdělení
Výběr z populace, která má normální rozdělení
·Výběrové rozdělení · 24 / 66
Tvar výběrového rozdělení ¯x Výběr z populace, která má normální rozdělení
Příklad 3
Podle Zprávy o odměňování lékařů za rok 2015 vydělávali v roce
2014 američtí internisté v průměru 196 000 dolarů.
Předpokládejme, že příjmy všech amerických internistů v roce 2014
jsou normálně rozděleny se střední hodnotou 196 000 dolarů a
směrodatnou odchylkou 20 000 dolarů. Nechť ¯x je průměr příjmů
náhodného vzorku amerických internistů za rok 2014.
Spočtěte střední hodnotu a směrodatnou odchylku ¯x a popište tvar
jejího výběrového rozdělení pro velikost vzorku (a) 16 (b) 50 (c) 1000.
·Výběrové rozdělení · 25 / 66
Tvar výběrového rozdělení ¯x Výběr z populace, která má normální rozdělení
Příklad 3: Řešení
Řešení (a)
µ¯x = µ = 196 000 USD a σ¯x =
σ
√
n
=
20 000 USD
√
16
= 5 000 USD
Řešení (b)
µ¯x = µ = 196 000 USD a σ¯x =
σ
√
n
=
20 000 USD
√
50
= 2 828.427 USD
Řešení (c)
µ¯x = µ = 196 000 USD a σ¯x =
σ
√
n
=
$20, 000
√
1000
= 632.456 USD
Protože roční příjmy všech amerických internistů za rok 2014 jsou
normálně rozdělené, rozdělení průměru ¯x pro vzorky 16, 50 a 1000
takových lékařů jsou také přibližně normálně rozdělené.
·Výběrové rozdělení · 26 / 66
Tvar výběrového rozdělení ¯x Výběr z populace, která má normální rozdělení
Příklad 3: Řešení graficky
Řešení (a):
Řešení (b):
Řešení (c):
·Výběrové rozdělení · 27 / 66
Tvar výběrového rozdělení ¯x Výběr z populace, která nemá normální rozdělení
Výběr z populace, která nemá normální rozdělení
Centrální limitní věta
Podle centrální limitní věty, v případě velkého rozsahu vzorku1, je
pravděpodobnostní rozdělení ¯x přibližně normální, a to bez ohledu
na tvar rozdělení populace, na které je vzorkování provedeno. Střední
hodnota a směrodatná odchylka rozdělení ¯x jsou
µ¯x = µ a σ¯x =
σ
√
n
.
1
Velikost vzorku je obvykle považována za velkou, pokud n ≥ 30.
·Výběrové rozdělení · 28 / 66
Tvar výběrového rozdělení ¯x Výběr z populace, která nemá normální rozdělení
Výběr z populace, která nemá normální rozdělení
·Výběrové rozdělení · 29 / 66
Tvar výběrového rozdělení ¯x Výběr z populace, která nemá normální rozdělení
Příklad 4
Zadání: Průměrná výše nájemného, kterou platí všichni nájemci v
malém městě, je 1550 dolarů a směrodatná odchylka činí 225 dolarů.
Rozdělení nájemného všech nájemců v tomto městě je však
zešikmené doprava.
Spočítejte střední hodnotu a směrodatnou odchylku rozdělení ¯x a
popište jeho tvar, v případech, kdy je velikost vzorku: (a) 30 (b) 100.
·Výběrové rozdělení · 30 / 66
Tvar výběrového rozdělení ¯x Výběr z populace, která nemá normální rozdělení
Příklad 4: Řešení
Řešení (a) Nechť ¯x je střední hodnota nájemného zaplacená vzorkem
30 nájemců
µ¯x = µ = $1550
σ¯x =
σ
√
n
=
225
√
30
= $41.079
Řešení (b) Nechť ¯x je střední hodnota nájemného zaplacená vzorkem
100 nájemců
µ¯x = µ = $1550
σ¯x =
σ
√
n
=
225
√
100
= $22.500
Ačkoliv rozdělení nájemného placeného všemi nájemci není
normální, velikost vzorku je velká (n ≥ 30), proto podle centrální
limitní věty je tvar rozdělení ¯x přibližně normální.
·Výběrové rozdělení · 31 / 66
Tvar výběrového rozdělení ¯x Výběr z populace, která nemá normální rozdělení
Příklad 4: Řešení graficky
Řešení (a):
Řešení (b):
·Výběrové rozdělení · 32 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Obsah
Výběrové rozdělení
Pravděpodobnostní rozdělení populace a výběru
Výběrová chyba a Chyby nezpůsobené výběrem
Střední hodnota a směrodatná odchylka ¯x
Tvar výběrového rozdělení ¯x
Výběr z populace, která má normální rozdělení
Výběr z populace, která nemá normální rozdělení
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Podíly populace a vzorku
Výběrové rozdělení podílu ˆp
Střední hodnota s směrodatná odchylka ˆp
Tvar výběrového rozdělení ˆp
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
·Výběrové rozdělení · 33 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
1. Pokud z populace vezmeme všechny možné vzorky stejné
velikosti a vypočteme průměr pro každý z těchto vzorků, pak
bude asi 68.26 % průměrů v rozmezí jedné směrodatné odchylky
od střední hodnoty (průměru) populace.
2. Pokud z populace vezmeme všechny možné vzorky stejné
velikosti a vypočteme průměr pro každý z těchto vzorků, pak
bude asi 95.44 % průměrů v rozmezí dvou směrodatných
odchylek od střední hodnoty (průměru) populace.
3. Pokud z populace vezmeme všechny možné vzorky stejné
velikosti a vypočteme průměr pro každý z těchto vzorků, pak
bude asi 99.74 % průměrů v rozmezí tří směrodatných odchylek
od střední hodnoty (průměru) populace.
·Výběrové rozdělení · 34 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
µ ± 1 · σ
µ ± 2 · σ
µ ± 3 · σ
·Výběrové rozdělení · 35 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Příklad 5
Zadání: Předpokládejme, že hmotnosti všech balení určité značky
sušenek jsou normálně rozdělené se střední hodnotou 32 unce a
směrodatnou odchylkou 0.3 unce. Určete pravděpodobnost, že
průměrná hmotnost ¯x náhodně vybraného vzorku 20 balení těchto
sušenek bude mezi 31.8 a 31.9 unce.
Řešení:
µ¯x = µ = 32 unce
σ¯x =
σ
√
n
=
.3
√
20
≈ 0.06708204 unce
!!! Pro výpočet pravděpodobnosti je nutné definovat příslušné
z-skóre!
·Výběrové rozdělení · 36 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Z-skóre pro hodnotu ¯x
Z-skóre pro hodnotu ¯x se vypočítá jako
Z =
¯x − µ
σ¯x
·Výběrové rozdělení · 37 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Příklad 5: Řešení
Pro ¯x = 31.8: z = 31.8−32
.06708204 = −2.98
Pro ¯x = 31.9: z = 31.9−32
.06708204 = −1.49
P(31.8 < ¯x < 31.9) = P(−2.98 < Z < −1.49)
= P(Z < −1.49) − P(Z < −2.98)
= .0681 − .0014 = .0667
·Výběrové rozdělení · 38 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Příklad 6
Zadání: Podle společnosti Moebs Services Inc. stojí individuální běžný
účet u amerických bank ročně mezi 350 a 450 dolary.
Předpokládejme, že současná střední hodnota ročního nákladu na
všechny běžné účty u amerických bank je 400 dolarů s odchylkou 30
dolarů. Nechť ¯x je současný průměrný roční náklad na náhodně
vybraný vzorek 225 individuálních běžných účtů těchto bank.
(a) Jaká je pravděpodobnost, že průměrný roční náklad na běžné
účty v tomto vzorku je do 4 dolarů od střední hodnoty populace?
(b) Jaká je pravděpodobnost, že průměrný roční náklad na běžné
účty v tomto vzorku je minimálně o 2.70 dolaru menší než
střední hodnota populace?
·Výběrové rozdělení · 39 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Příklad 6: Řešení
Střední hodnota µ je 400 dolarů a směrodatná odchylka σ je 30
dolarů. Tvar rozdělení pravděpodobnosti populace je neznámý.
Nicméně, rozdělení vzorku ¯x je přibližně normální, protože velikost
vzorku je dostatečně velká (n > 30).
µ¯x = µ = $400
σ¯x =
σ
√
n
=
$30
√
225
= $2.00
·Výběrové rozdělení · 40 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Příklad 6: Řešení Graficky
Řešení (a):
Řešení (b):
·Výběrové rozdělení · 41 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Příklad 6: Řešení výpočtem
Řešení (a)
Pro ¯x = 396 z = ¯x−µ
σ¯x
= 396−400
2.00 = −2.00
Pro ¯x = 404 z = ¯x−µ
σ¯x
= 404−400
2.00 = 2.00
P(396 ≤ ¯x ≤ 404) = P(−2.00 ≤ z ≤ 2.00) = .9772 − .0228 = .9544
Pst, že průměrný roční náklad 225 běžných účtů v tomto vzorku je v
rozmezí 4 dolarů od střední hodnoty populace, je .9544.
Řešení (b)
Pro ¯x = 397.30 z = ¯x−µ
σ¯x
= 397.30−400
2.00 = −1.35
P(¯x ≤ $397.50) = P(z ≤ −1.35) = .0885
Pst, že průměrný roční náklad na běžné účty ve vzorku je minimálně o
2.70 dolarů nižší než střední hodnota populace, je .0885.
·Výběrové rozdělení · 42 / 66
Podíly populace a vzorku
Obsah
Výběrové rozdělení
Pravděpodobnostní rozdělení populace a výběru
Výběrová chyba a Chyby nezpůsobené výběrem
Střední hodnota a směrodatná odchylka ¯x
Tvar výběrového rozdělení ¯x
Výběr z populace, která má normální rozdělení
Výběr z populace, která nemá normální rozdělení
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Podíly populace a vzorku
Výběrové rozdělení podílu ˆp
Střední hodnota s směrodatná odchylka ˆp
Tvar výběrového rozdělení ˆp
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
·Výběrové rozdělení · 43 / 66
Podíly populace a vzorku
Podíly populace a vzorku
Podíly populace a vzorku, označované jako p a ˆp, se vypočítají jako
p =
X
N
a ˆp =
x
n
,
kde
N = celkový počet prvků v populaci,
n = celkový počet prvků ve vzorku,
X = počet prvků v populaci, které vykazují určitou charakteristiku,
x = počet prvků ve vzorku, které vykazují určitou charakteristiku.
·Výběrové rozdělení · 44 / 66
Podíly populace a vzorku
Příklad 7
Zadání: Předpokládejme, že ve městě žije celkem 789 654 rodin a
563 282 z nich vlastní domy. Z tohoto města je vybrán vzorek 240
rodin a 158 z nich vlastní domy.
Určete v populaci a ve vzorku podíly rodin, které vlastní domy.
Řešení:
p =
X
N
=
563 282
789 654
= .71
ˆp =
x
n
=
158
240
= .66
·Výběrové rozdělení · 45 / 66
Podíly populace a vzorku Výběrové rozdělení podílu ˆp
Výběrové rozdělení podílu ˆp
Pravděpodobnostní rozdělení podílu ˆp získaného ze vzorku, se nazývá
výběrové rozdělení podílu. Rozdělení poskytuje různé hodnoty, které
může ˆp nabývat, a jejich příslušné pravděpodobnosti.
·Výběrové rozdělení · 46 / 66
Podíly populace a vzorku Výběrové rozdělení podílu ˆp
Příklad 8
Zadání: Společnost Boe Consultant Associates má pět zaměstnanců.
Tabulka uvádí jména těchto pěti zaměstnanců a informace týkající se
jejich znalosti statistiky.
·Výběrové rozdělení · 47 / 66
Podíly populace a vzorku Výběrové rozdělení podílu ˆp
Příklad 8: Řešení
Pokud definujeme podíl populace p jako podíl zaměstnanců, kteří
rozumí statistice, pak platí:
p =
3
5
= 0.60.
Nyní předpokládejme, že vyberme všechny možné vzorky tří
zaměstnanců a pro každý vzorek vypočítáme podíl zaměstnanců, kteří
rozumí statistice.
Celkový počet vzorků = C5
3 = 5!
3!(5−3)! = 5·4·3·2·1
3·2·1·2·1 = 10.
·Výběrové rozdělení · 48 / 66
Podíly populace a vzorku Výběrové rozdělení podílu ˆp
Příklad 8: Řešení
Všechny možné vzorky o velikosti 3 a hodnota ˆp pro každý vzorek.
·Výběrové rozdělení · 49 / 66
Podíly populace a vzorku Výběrové rozdělení podílu ˆp
Příklad 7-8 Řešení
Četnost výběru a relativní četnostní rozdělení ˆp (vlevo) a
pravděpodobnostní rozdělení ˆp (vpravo)
·Výběrové rozdělení · 50 / 66
Podíly populace a vzorku Střední hodnota s směrodatná odchylka ˆp
Střední hodnota s směrodatná odchylka ˆp
Střední hodnota výběrového rozdělení podílu ˆp, je označena µˆp a je
rovna podílu populace p. Tudíž,
µˆp = p
Směrodatná odchylka výběrového rozdělení podílu ˆp, je označena σˆp
a je dána vzorcem
σˆp =
pq
n
kde p je podíl populace, q = 1 − p, a n je velikost vzorku. Tento vzorec
se používá, když n/N ≤ .05, kde N je velikost populace.
·Výběrové rozdělení · 51 / 66
Podíly populace a vzorku Střední hodnota s směrodatná odchylka ˆp
Vsuvka
Pokud n/N > 0.05, pak se směrodatná odchylka ˆp vypočítá jako:
σˆp =
pq
n
N − n
N − 1
kde faktor N−n
N−1 nazýváme korekční faktor konečné populace.
·Výběrové rozdělení · 52 / 66
Podíly populace a vzorku Tvar výběrového rozdělení ˆp
Centrální limitní věta pro výběrové rozdělení podílu
Centrální limitní věta pro výběrové rozdělení podílu
Podle centrální limitní věty je výběrové rozdělení ˆp pro dostatečně
velký vzorek přibližně normální. V případě podílu se velikost vzorku
považuje za dostatečně velkou, pokud jsou np a nq obě větší než 5 to
znamená, pokud
np > 5 a nq > 5.
·Výběrové rozdělení · 53 / 66
Podíly populace a vzorku Tvar výběrového rozdělení ˆp
Příklad 9
Zadání: Podle průzkumu New York Times/CBS News 55 % dospělých
uvedlo, že vlastnictví domu je velmi důležitou součástí amerického
snu. Předpokládejme, že tento výsledek platí pro současnou populaci
amerických dospělých.
Nechť ˆp je podíl amerických dospělých v náhodném vzorku 2000
osob, kteří řeknou, že vlastnictví domu je velmi důležitou součástí
amerického snu.
Určete průměr a směrodatnou odchylku ˆp a popište tvar jeho
výběrového rozdělení.
·Výběrové rozdělení · 54 / 66
Podíly populace a vzorku Tvar výběrového rozdělení ˆp
Příklad 9: Řešení
p = .55, ⇒ q = 1 − p = 1 − .55 = .45,
n = 2000,
µˆp = p = .55,
σˆp =
pq
n
=
(.55)(.45)
2000
= .0111,
np = 2000(.55) = 1100 a nq = 2000(.45) = 900.
Výběrové rozdělení ˆp je přibližně
normální (podle centrální limitní věty
– np a nq jsou oba větší než 5) s
průměrem .55 a směrodatnou
odchylkou .0111.
·Výběrové rozdělení · 55 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
Obsah
Výběrové rozdělení
Pravděpodobnostní rozdělení populace a výběru
Výběrová chyba a Chyby nezpůsobené výběrem
Střední hodnota a směrodatná odchylka ¯x
Tvar výběrového rozdělení ¯x
Výběr z populace, která má normální rozdělení
Výběr z populace, která nemá normální rozdělení
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Podíly populace a vzorku
Výběrové rozdělení podílu ˆp
Střední hodnota s směrodatná odchylka ˆp
Tvar výběrového rozdělení ˆp
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
·Výběrové rozdělení · 56 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
Když provádíme studii, obvykle z populace odebíráme pouze jeden
vzorek a všechna rozhodnutí nebo závěry činíme na základě výsledků
tohoto jednoho vzorku.
K určení pravděpodobnosti, že hodnota ˆp vypočítaná z jednoho
vzorku spadne do daného intervalu, používáme koncepty průměru,
směrodatné odchylky a výběrového rozdělení ˆp .
·Výběrové rozdělení · 57 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
Příklad 10
Zadání: V nedávném celoamerickém telefonním průzkumu 75 %
dospělých uvedlo, že vysokoškolské vzdělání je nyní pro většinu lidí
příliš drahé. Předpokládejme, že tento výsledek odpovídá současné
situaci mezi americkými dospělými.
Nechť ˆp je podíl v náhodně vybraném vzorku 1400 dospělých
Američanů, kteří sdílejí tento názor.
Určete pravděpodobnost, že podíl dospělých v tomto vzorku, kteří
budou tento názor zastávat je mezi mezi 76.5 % až 78 %.
·Výběrové rozdělení · 58 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
Příklad 10: Řešení
p = .75, ⇒ q = 1 − p = 1 − .75 = .25,
n = 1400,
µˆp = p = .75,
σˆp =
pq
n
=
(0.75)(0.25)
1400
= 0.01157275,
np = 1400(0.75) = 1050 a nq = 1400(0.25) = 350.
Výběrové rozdělení ˆp je přibližně
normální (podle centrální limitní věty
– np a nq jsou oba větší než 5) s
průměrem .75 a směrodatnou
odchylkou .0115.
·Výběrové rozdělení · 59 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
Z skóre pro hodnotu ˆp
Z-skóre pro hodnotu ˆp se vypočítá jako
z =
ˆp − p
σˆp
·Výběrové rozdělení · 60 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
Příklad 10: Řešení
ˆp = .765 z = .765−.75
.01157275 = 1.30
ˆp = .780 z = .78−.75
.01157275 = 2.59
P(.765 < ˆp < .78) = P(1.30 < z < 2.59)
= .9952 − .9032
= .0920
Pravděpodobnost, že 76.5 % až 78 % amerických dospělých z
náhodného vzorku 1400 osob řekne, že vysokoškolské vzdělání se
stalo pro většinu lidí příliš drahým, je 0.0920.
·Výběrové rozdělení · 61 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
Příklad 11
Zadání: Zastánkyně práv obyvatel Pravdová, která kandiduje na post
primátora ve velkém městě, tvrdí, že ji podporuje 53 % všech
oprávněných voličů toho města. Předpokládejme, že toto tvrzení je
pravdivé.
Jaká je pravděpodobnost, že v náhodném vzorku 400 registrovaných
voličů z tohoto města bude Pravdovou podporovat méně než 49 %?
·Výběrové rozdělení · 62 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
Příklad 11: Řešení
Máme n = 400, p = .53, a q = 1 − p = 1 − .53 = .47.
Střední hodnota a směrodatná odchylka jsou
µˆp = .53 σˆp =
pq
n
=
(.53)(.47)
400
= .02495496
Určíme z-skóre
z =
0.49 − 0.53
0.02495496
= −1.60
Dopočítáme pravděpodobnost
P(ˆp < .49) = P(z < −1.60) = .0548
Pravděpodobnost, že v náhodném vzorku 400 osob bude Pravdovou
preferovat méně než 49 % voličů, je .0548.
·Výběrové rozdělení · 63 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
Shrnutí přednášky:
Výběrové rozdělení
Pravděpodobnostní rozdělení populace a výběru
Výběrová chyba a Chyby nezpůsobené výběrem
Střední hodnota a směrodatná odchylka ¯x
Tvar výběrového rozdělení ¯x
Výběr z populace, která má normální rozdělení
Výběr z populace, která nemá normální rozdělení
Aplikace výběrového rozdělení ¯x
Podíly populace a vzorku
Výběrové rozdělení podílu ˆp
Střední hodnota s směrodatná odchylka ˆp
Tvar výběrového rozdělení ˆp
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
·Výběrové rozdělení · 64 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
Co si nastudovat na příští týden?
Příprava na cvičení: Leaflet 08
Koncepty a procedury, cv. 08, kap. 07
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 8
·Výběrové rozdělení · 65 / 66
Aplikace výběrového rozdělení ˆp
Děkuji za pozornost!
Source: Casey Dunn & Creature Cast
·Výběrové rozdělení · 66 / 66