Odhady středních hodnot
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 8
Z čeho studovat osmou lekci?
Povinná literatura: Mann (2016), kap. 08
Příprava na cvičení: Leaflet 09
Koncepty a procedury, cv. 09, kap. 08
Příprava na zkoušku: Mann (2016), kap. 08
Leaflet 09
Sbírka úloh, kap. 08
Koncepty a procedury, cv. 09, kap. 08
·Odhady středních hodnot · 2 / 58
Případové studie
Obsah
Případové studie
Odhad, bodový a intervalový odhad
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Odhad podílu populace
·Odhady středních hodnot · 3 / 58
Případové studie
TÉMA: Jaké jsou roční platy zdravotních sester v
USA?
·Odhady středních hodnot · 4 / 58
Případové studie
Průměrné výdělky zdravotních sester v USA
Podle zprávy Occupational Employment and Wages za květen 2014 od
amerického úřadu pro statistiku práce činil průměrný roční výdělek
registrovaných zdravotních sester ve Spojených státech v roce 2014
69 790 dolarů.
Průměrné výdělky se výrazně lišily mezi jednotlivými státy.
V Kalifornii činil průměrný výdělek 98 400 dolarů.
V Jižní Dakotě to bylo pouze 53 970 dolarů (not in graf).
·Odhady středních hodnot · 5 / 58
Případové studie
Regionální rozdíly
Průměrné výdělky registrovaných sester se také značně lišily mezi
různými metropolitními oblastmi:
V oblasti San Francisco-San Mateo-Redwood City (Kalifornie)
činil průměrný výdělek 128 190 dolarů.
V oblasti Los Angeles-Long Beach-Glendale to bylo 94 140
dolarů.
V oblasti Greenville, Severní Karolína, to bylo 63 130 dolarů.
Otázka: Jak mohou statistické metody, jako je výpočet intervalu
spolehlivosti, pomoci odhadnout skutečný průměrný výdělek
registrovaných zdravotních sester v různých státech USA, pokud
máme k dispozici pouze vzorková data?
·Odhady středních hodnot · 6 / 58
Případové studie
TÉMA: Zaostává úsilí Američanů o hubnutí za jejich
přáními zhubnout?
·Odhady středních hodnot · 7 / 58
Případové studie
Průzkum agentury Gallup
Agentura Gallup provedla průzkum mezi 828 americkými dospělými
ve věku 18 a více let na téma hmotnosti. Tito dospělí byli dotázáni:
zda chtějí zhubnout,
zda vážně usilují o hubnutí.
Výsledky:
51 % dospělých uvedlo, že chtějí zhubnout,
26 % uvedlo, že se vážně snaží zhubnout.
Průzkum byl proveden od 6. do 9. listopadu 2014.
Otázka: Jak nám výpočet intervalu spolehlivosti může pomoci lépe
porozumět rozdílu mezi tím, kolik lidí chce zhubnout, a kolik lidí se
skutečně snaží vážně zhubnout?
·Odhady středních hodnot · 8 / 58
Případové studie
Případové studie
Odhad, bodový a intervalový odhad
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Odhad podílu populace
·Odhady středních hodnot · 9 / 58
Odhad, bodový a intervalový odhad
Odhad
Přiřazení hodnot(y) parametru populace na základě hodnoty
odpovídající statistiky vzorku se nazývá odhad.
Statistická veličina použitá k odhadu parametru populace se nazývá
estimátor.
Postup odhadu zahrnuje následující kroky:
1. Vyberte vzorek.
2. Sbírejte potřebné informace od členů vzorku.
3. Vypočítejte hodnotu statistiky vzorku.
4. Přiřaďte hodnoty odpovídajícímu parametru populace.
·Odhady středních hodnot · 10 / 58
Odhad, bodový a intervalový odhad
Bodový a intervalový odhad
Hodnota statistiky vzorku, která se používá k odhadu parametru
populace, se nazývá bodový odhad.
V intervalovém odhadu je kolem bodového odhadu konstruován
interval, a je deklarováno, že tento interval obsahuje odpovídající
parametr populace s určitou mírou spolehlivosti.
Číslo, které přičteme a odečteme od bodového odhadu, se nazývá
chybové rozpětí (margin of error) nebo maximální chyba odhadu.
Následující obrázek ilustruje koncept intervalového odhadu.
·Odhady středních hodnot · 11 / 58
Odhad, bodový a intervalový odhad
Intervalový odhad
·Odhady středních hodnot · 12 / 58
Odhad, bodový a intervalový odhad
Intervalový odhad
Každý interval je konstruován s ohledem na určitou hladinu
spolehlivosti a je nazýván interval spolehlivosti.
Interval spolehlivosti je vyjádřen jako:
Bodový odhad ± Chybové rozpětí
Hladina spolehlivosti je spojená s intervalovým odhadem a udává, jak
velkou máme jistotu, že tento interval obsahuje skutečný parametr
populace. Hladina spolehlivosti je vyjádřena (1 − α)100%.
·Odhady středních hodnot · 13 / 58
Odhad, bodový a intervalový odhad
Obsah
Případové studie
Odhad, bodový a intervalový odhad
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Odhad podílu populace
·Odhady středních hodnot · 14 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Tři možné případy
Případ I. Pokud jsou splněny následující tři podmínky:
1. Směrodatná odchylka populace σ je známa.
2. Velikost vzorku je malá (tj. n < 30).
3. Populace, ze které byl vzorek vybrán, je přibližně normálně
rozdělená.
Případ II. Pokud jsou splněny následující dvě podmínky:
1. Směrodatná odchylka populace σ je známa.
2. Velikost vzorku je velká (tj. n ≥ 30).
Případ III. Pokud jsou splněny následující tři podmínky:
1. Směrodatná odchylka populace σ je známa.
2. Velikost vzorku je malá (tj. n < 30).
3. Populace, ze které byl vzorek vybrán, není normálně rozdělená
(nebo její rozdělení není známo).
·Odhady středních hodnot · 15 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Tři možné případy
·Odhady středních hodnot · 16 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Interval spolehlivosti pro µ
Interval spolehlivosti (1 − α)100% pro µ v případech I a II je
¯x ± zσ¯x, kde σ¯x =
σ
√
n
Použitá hodnota z je získána z tabulky standardizovaného
normálního rozdělení (viz například Tabulka IV z Přílohy B) pro danou
hladinu spolehlivosti, případně využití vhodných funkcí v Excelu.
Chybové rozpětí odhadu pro µ, označované E, je veličina, která je
odečítána a přičítána k hodnotě ¯x k získání intervalu spolehlivosti pro
µ. Tedy,
E = zσ¯x
·Odhady středních hodnot · 17 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
z-hodnoty pro 95% interval spolehlivosti a plocha v
chvostech
·Odhady středních hodnot · 18 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
z-hodnoty (kvantily) pro běžně používané úrovně
spolehlivosti
·Odhady středních hodnot · 19 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Příklad 1
Zadání: Vydavatelství právě publikovalo novou vysokoškolskou
učebnici. Než se společnost rozhodne za jakou cenu učebnici
prodávat, chce znát průměrnou cenu všech obdobných učebnic na
trhu.
Výzkumné oddělení společnosti vzalo vzorek 25 srovnatelných
učebnic a shromáždilo informace o jejich cenách. Tyto informace
poskytly průměrnou cenu 145 dolarů pro tento vzorek. Je známo, že
směrodatná odchylka cen všech takových učebnic je 35 dolarů a
populace těchto cen je normálně rozdělena.
a) Jaký je bodový odhad průměrné ceny všech takových učebnic?
b) Sestavte 90% interval spolehlivosti pro průměrnou cenu všech
takových vysokoškolských učebnic.
·Odhady středních hodnot · 20 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Příklad 1: Řešení
Řešení (a): n = 25, ¯x = $145, a σ = $35
Bodový odhad pro µ je ¯x = $145
Řešení (b): Hladina spolehlivosti je 90 % nebo 0.90.
Díky tomu víme, že oblast v každém konci normální distribuční křivky
je α/2 = (1 − 0.90)/2 = 0.05. Prvně nalezneme kvantil z = 1.65 a
dále dopočítáme σ¯x = σ√
n
= 35√
25
= $7.00.
¯x ± zσ¯x = 145 ± 1.65(7.00)
= 145 ± 11.55
= (145 − 11.55) do (145 + 11.55)
= $133.45 do $156.55
Můžeme říci, že máme 90% jistotu, že průměrná cena všech takových
vysokoškolských učebnic je mezi 133.45 a 156.55 dolarů.
·Odhady středních hodnot · 21 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Intervaly spolehlivosti získané ze tří různých vzorků
·Odhady středních hodnot · 22 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Příklad 2
Zadání: Podle studie společnosti Moebs Services Inc. z roku 2013
náklady na individuální běžné účty u předních amerických bank
převyšují 380 dolarů na účet ročně.
Nedávný náhodně provedený výběr 600 takových běžných účtů
ukázal průměrnou roční nákladovost 500 dolarů pro tyto banky.
Za předpokladu, že směrodatná odchylka ročních nákladů pro tyto
banky ze všech běžných účtů je 40 dolarů, sestavte 99% interval
spolehlivosti pro aktuální průměrné roční náklady předních
amerických bank na tyto běžné účty.
·Odhady středních hodnot · 23 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Příklad 2: Řešení
Míra spolehlivosti 99 % nebo 0.99
Velikost vzorku je velká (n ≥ 30)
Proto používáme normální rozdělení ⇒ z = 2.58
σ¯x =
σ
√
n
=
40
√
600
= 1.63299316
¯x ± zσ¯x = 500 ± 2.58(1.63299316)
= 500 ± 4.21
= $495.79 až $504.21
Můžeme tedy s 99% jistotou říci, že současné průměrné roční náklady
hlavních amerických bank na všechny individuální běžné účty jsou
mezi $495.79 a $504.21.
·Odhady středních hodnot · 24 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Šířka intervalu spolehlivosti
Šířka intervalu spolehlivosti závisí na velikosti chybového rozpětí
Zσ¯x, které závisí na hodnotách z, σ a n, protože σ¯x = σ√
n
.
Hodnota σ však není pod kontrolou vyšetřovatele.
Proto lze šířku intervalu spolehlivosti kontrolovat pomocí
1. hodnoty z, která závisí na hladině spolehlivosti,
2. velikosti vzorku, n.
·Odhady středních hodnot · 25 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Určení velikosti vzorku pro odhad µ
Vzhledem k hladině spolehlivosti a směrodatné odchylce populace je
velikost vzorku, která vyprodukuje předem stanovenou chybu rozpětí
E u konfidenčního intervalu odhadu µ, dána vzorcem:
n =
z2σ2
E2
,
kde z je hodnota kvantilu z odpovídající zadané hladině spolehlivosti,
σ je směrodatná odchylka populace a E je požadovaná chyba rozpětí.
·Odhady středních hodnot · 26 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Příklad 3
Zadání: Asociace absolventů chce odhadnout průměrný dluh
letošních vysokoškolských absolventů. Je známo, že směrodatná
odchylka dluhů letošních absolventů je 11 800 dolarů. Jak velký
vzorek by měl být vybrán, aby odhad s 99% hladinou spolehlivosti byl
v rozmezí 800 dolarů od průměru populace?
Řešení:
Maximální velikost chybového rozpětí odhadu má být $800; to
znamená, E = ±$800.
Hodnota kvantilu z pro 99% hladinu spolehlivosti je z = 2.58.
Hodnota σ je udána jako $11 800.
n =
z2σ2
E2
=
(2.58)2(11800)2
(800)2
= 1448.18 ≈ 1449
Tedy minimální požadovaná velikost vzorku je 1449.
·Odhady středních hodnot · 27 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Obsah
Případové studie
Odhad, bodový a intervalový odhad
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Odhad podílu populace
·Odhady středních hodnot · 28 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Tři možné případy
Případ I. Pokud jsou splněny následující tři podmínky:
1. Směrodatná odchylka populace σ je neznáma.
2. Velikost vzorku je malá (tj. n < 30).
3. Populace, ze které byl vzorek vybrán, je přibližně normálně
rozdělená.
Případ II. Pokud jsou splněny následující dvě podmínky:
1. Směrodatná odchylka populace σ je neznáma.
2. Velikost vzorku je velká (tj. n ≥ 30).
Případ III. Pokud jsou splněny následující tři podmínky:
1. Směrodatná odchylka populace σ je neznáma.
2. Velikost vzorku je malá (tj. n < 30).
3. Populace, ze které byl vzorek vybrán, není normálně rozdělená
(nebo její rozdělení není známo).
·Odhady středních hodnot · 29 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Tři možné případy
·Odhady středních hodnot · 30 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Studentovo t-rozdělení
Studentovo t-rozdělení je specifický typ zvonovitého rozdělení s nižší
výškou a větším rozpětím než standardní normální rozdělení. Jak
velikost vzorku narůstá, t-rozdělení se blíží standardizovanému
normálnímu rozdělení. Studentovo t-rozdělení má pouze jeden
parametr, nazývaný stupně volnosti (df ).
df = n − 1
Střední hodnota t-rozdělení je rovna 0 a jeho směrodatná odchylka je
df
(df − 2)
.
·Odhady středních hodnot · 31 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Studentovo t-rozdělení
·Odhady středních hodnot · 32 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Příklad 4
Zadání: Najděte hodnotu t pro 16 stupňů volnosti a plochu 0.05 v
pravé části t-distribuční křivky.
Řešení:
·Odhady středních hodnot · 33 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Hodnotu t pro 16 stupňů volnosti a plochu 0.05 v
pravé/levé části t-distribuční křivky
·Odhady středních hodnot · 34 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Interval spolehlivosti pro µ s využitím studentova
t-rozdělení
(1 − α)100% interval spolehlivosti pro µ je
¯x ± ts¯x, kde s¯x =
s
√
n
.
Hodnota t je získána z t-distribuční tabulky pro n − 1 stupňů volnosti
a danou hladinu spolehlivosti. Zde ts¯x je chybové rozpětí odhadu; to
znamená, že v tomto případě
E = ts¯x.
·Odhady středních hodnot · 35 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Příklad 5
Zadání: Náhodný vzorek 25 zaměstnanců z New Yorku, kteří měli
zdravotní pojištění poskytnuté zaměstnavatelem, platil průměrný
příspěvek 6600 dolarů za rodinné zdravotní pojištění se směrodatnou
odchylkou 800 dolarů.
Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro aktuální průměrnou
pojistnou částku platby za rodinné zdravotní pojištění, kterou platí
všichni pracovníci v New York City. Předpokládejte, že rozdělení
pojistných částek zaplacených za rodinné zdravotní pojištění všemi
pracovníky v New York City je přibližně normálně rozděleno.
·Odhady středních hodnot · 36 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Příklad 5: Řešení
Směrodatná odchylka populace není známá, n < 30, a populace
je normálně rozdělená (Případ I). Použijeme studentovo
t-rozdělení k vytvoření intervalu spolehlivosti pro µ
n = 25, ¯x = $6600, s = $800, hladina spolehlivosti = 95%
Stupně volnosti df = n − 1 = 25 − 1 = 24
Plocha v každém konci = .5 - (.95/2) = .5 - .4750 = .025
Hodnota t v pravém konci je 2.064
s¯x = s√
n
= 800√
25
= $160
¯x ± ts¯x = 6600 ± 2.064(160) = 6600 ± 330.24 =
$6269.76 až $6930.24
Můžeme s 95% jistotou říci, že aktuální průměrná pojistná částka
platby za rodinné zdravotní pojištění, kterou platí všichni pracovníci v
New York City, je mezi 6269.76 dolaru a 6930.24 dolaru.
·Odhady středních hodnot · 37 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Příklad 6
Zadání: Šedesát čtyři náhodně vybraných dospělých, kteří si kupují
knihy ke čtení, bylo dotázáno, kolik obvykle ročně utratí za knihy.
Vzorek ukázal průměrné roční výdaje 1450 dolarů a směrodatnou
odchylku 300 dolarů.
Určete 99% interval spolehlivosti pro průměr výdajů v odpovídající
populaci.
·Odhady středních hodnot · 38 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Příklad 6: Řešení
Směrodatná odchylka σ není známá, ale velikost vzorku je
n > 30 (Případ II). Použijeme studentovo t-rozdělení k vytvoření
intervalu spolehlivosti pro µ
n = 64, ¯x = 1450, s = 300, hladina spolehlivosti je 99 %
Stupně volnosti df = n − 1 = 64 − 1 = 63
Plocha v každém konci = .5 - (.99/2) = .5 - .4950 = .005
Hodnota t v pravém konci je 2.656
s¯x = s√
n
= 300√
64
= 37, 50
¯x ± ts¯x = 1450 ± 2.656(37.50) = 1450 ± 99.60 =
$1350.40 až $1549.60
Můžeme s 99% jistotou tvrdit, že na základě tohoto vzorku je
průměrný roční výdaj na knihy od všech dospělých, kteří si kupují
knihy, mezi 1350.40 dolarů a 1549.60 dolarů.
·Odhady středních hodnot · 39 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
TÉMA: Jaké jsou roční platy registrovaných
zdravotních sester?
·Odhady středních hodnot · 40 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
TÉMA: Jaké jsou roční platy registrovaných
zdravotních sester?
Výpočet intervalu spolehlivosti
Pokud známe velikost vzorku a směrodatnou odchylku populace,
můžeme spočítat interval spolehlivosti pro průměrné výdělky.
Chceme najít 98% interval spolehlivosti pro průměrné výdělky všech
registrovaných sester v Texasu.
Pokud jsou průměrné výdělky v Texasu založeny na vzorku 1600
sester a směrodatná odchylka populace je 6 240 dolarů, pak je
interval vypočítán takto:
X ± z
σ
√
n
= 68590 ± 2.33 × 156.00 = 68 226.52 až 68 953.48
S 98% spolehlivostí můžeme říci, že průměrný výdělek všech sester v
Texasu v roce 2014 byl mezi 68 226.52 a 68 953.48 dolary.
·Odhady středních hodnot · 41 / 58
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Interval spolehlivosti pro µ s využitím t-rozdělení
Co když je velikost vzorku příliš velká?
1. Použijte hodnotu t z posledního řádku (řádek ∞) v Tabulce V.
2. Použijte normální distribuci jako aproximaci t-distribuce.
·Odhady středních hodnot · 42 / 58
Odhad podílu populace
Obsah
Případové studie
Odhad, bodový a intervalový odhad
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Odhad podílu populace
·Odhady středních hodnot · 43 / 58
Odhad podílu populace
Podíl populace ˆp a estimátor jeho směrodatné
odchylky
Odhad podílu populace p získaný ze vzorku značíme ˆp.
Hodnota sˆp, která poskytuje bodový odhad σˆp, je vypočítána
následovně
sˆp =
ˆp(1 − ˆp)
n
.
Zde sˆp je estimátorem σˆp.
·Odhady středních hodnot · 44 / 58
Odhad podílu populace
Interval spolehlivosti pro podíl populace, p,
Pro velký vzorek je (1 − α)100% interval spolehlivosti pro podíl
populace p:
ˆp ± zsˆp.
Hodnota z je získána z tabulky standardizovaného normálního
rozdělení pro danou hladinu spolehlivosti, a
sˆp =
ˆp(1 − ˆp)
n
Chybové rozpětí zsˆp opět označujeme E.
·Odhady středních hodnot · 45 / 58
Odhad podílu populace
Příklad 7
Zadání: Organizace PolicyInteractive z Eugene v Oregonu provedla v
dubnu 2014 studii zkoumající naplnění amerického snu.
Studie zahrnovala vzorek 1821 amerických dospělých. Sedmdesát pět
procent lidí zahrnutých do této studie uvedlo, že mít pokryté základní
potřeby je velmi nebo extrémně důležité pro jejich vizi amerického
snu.
(a) Jaký je bodový odhad podílu populace?
(b) Stanovte s 99% hladinou spolehlivosti procento všech
amerických dospělých, kteří uvedou, že mít pokryté základní
potřeby je pro jejich vizi amerického snu velmi nebo extrémně
důležité. Jaké je chybové rozpětí tohoto odhadu?
·Odhady středních hodnot · 46 / 58
Odhad podílu populace
Příklad 7: Řešení
Vzorek má velikost 1821, odhadovaný podíl ˆp je 0.75
Směrodatná odchylka odhadovaného podílu ˆp, je vypočítána jako
sˆp =
ˆp(1 − ˆp)
n
=
(.75)(.25)
1821
= .010147187
Poznamenejme, že nˆp a n(1 − ˆp) jsou obě větší než 5.
Řešení (a): Bodový odhad p = ˆp = .75
Řešení (b): Hladina spolehlivosti je 99 %, nebo .99, z = 2.58.
IS = ˆp ± zsˆp = .75 ± 2.58(.010147187) = .75 ± .026
= .724 až .776 nebo 72.4 % až 77.6 %
Chybové rozpětí = ±2.58sˆp = ±2.58(.010147187)
= ± .026 nebo ± 2.6 %
·Odhady středních hodnot · 47 / 58
Odhad podílu populace
Příklad 8
Zadání: Podle studie o absolventech vysokých škol, provedené od 4.
února do 7. března 2014, uvedlo 63 % dotázaných absolventů
vysokých škol, že měli alespoň jednoho profesora, který je nadchnul
pro studium.
Předpokládejme, že tato studie byla založena na náhodném vzorku
2000 absolventů.
Sestavte 97% interval spolehlivosti pro odpovídající podíl populace.
·Odhady středních hodnot · 48 / 58
Odhad podílu populace
Příklad 8: Řešení
Hladina spolehlivosti = 97 %
Směrodatná chyba sˆp se rovná
sˆp =
ˆpˆq
n
=
(.63)(.37)
2000
= .01079583
Příslušná hodnota z je 2.17.
ˆp ± zSˆp = .63 ± 2.17(.01079583)
= .63 ± .023
= .607 do .653 nebo 60.7 % do 65.3 %
Můžeme s 97% jistotou tvrdit, že podíl všech absolventů vysokých
škol, kteří by řekli, že měli alespoň jednoho profesora, který je
nadchnul pro studium je mezi .607 a .653. Tento interval
spolehlivosti lze převést na procentní interval jako 60.7 % až 65.3 %.
·Odhady středních hodnot · 49 / 58
Odhad podílu populace
Stanovení velikosti vzorku pro odhad podílu
Vzhledem k hladině spolehlivosti a hodnotám ˆp a ˆq = 1 − ˆp, velikost
vzorku, která vyprodukuje předem stanovenou maximální chybu E
intervalu spolehlivosti pro odhad podílu p, je
n =
z2ˆpˆq
E2
V případě, že hodnoty ˆp a ˆq nejsou známy:
1. Použijeme nejkonzervativnější odhad velikosti vzorku n s
použitím ˆp = .5 a ˆq = .5.
2. Vezmeme předběžný vzorek (o libovolně určené velikosti) a
spočítáme ˆp a ˆq z tohoto vzorku. Pak použijeme tyto hodnoty k
nalezení n.
·Odhady středních hodnot · 50 / 58
Odhad podílu populace
Příklad 9
Zadání: Společnost právě nainstalovala nový stroj, který vyrábí
součástky používané v hodinách. Společnost chce odhadnout podíl
součástek vyrobených tímto strojem, které jsou vadné.
(a) Manažer společnosti chce, aby byl odhad v rozmezí .02 od podílu
populace s 95% hladinou spolehlivosti. Jaký je
nejkonzervativnější odhad velikosti vzorku, který omezí
maximální chybu na rozmezí ±0.02 od podílu populace?
(b) Předpokládejme, že předběžný vzorek 200 dílů vyrobených tímto
strojem ukázal, že 7 % z nich je vadných. Jak velký vzorek by
měla společnost vybrat, aby byl 95% interval spolehlivosti pro p
v rozmezí ±0.02 populace podílu?
·Odhady středních hodnot · 51 / 58
Odhad podílu populace
Příklad 9
Řešení (a): Hodnota z je pro 95% hladinu spolehlivosti 1.96.
ˆp = .50 a ˆq = .50
n =
z2ˆpˆq
E2
=
(1.96)2(.50)(.50)
(.02)2
= 2401
Pokud společnost vezme náhodný vzorek 2401 dílů, existuje 95%
šance, že odhad p bude v rozmezí .02 od podílu populace.
Řešení (b):
ˆp = 0.07 a ˆq = 0.93
n =
z2ˆpˆq
E2
=
(1.96)2(0.07)(0.93)
(0.02)2
≈ 625.22 ≈ 626
·Odhady středních hodnot · 52 / 58
Odhad podílu populace
TÉMA: Zaostává úsilí Američanů o hubnutí za jejich
přáními zhubnout?
·Odhady středních hodnot · 53 / 58
Odhad podílu populace
Intervaly spolehlivosti
Procenta z průzkumu jsou založena na vzorku. Pomocí metody
naučené v této sekci můžeme vypočítat intervaly spolehlivosti pro
podíly populace:
Kategorie: Dospělí, Podíl vzorku Interval spolehlivosti
kteří chtějí zhubnout 0.51 0.51 ± zsp
kteří vážně usilují o hubnutí 0.26 0.26 ± zsp
Příklad: Chceme najít 96% interval spolehlivosti pro podíl dospělých,
kteří chtějí zhubnout.
·Odhady středních hodnot · 54 / 58
Odhad podílu populace
Výpočet intervalu spolehlivosti
Výpočet:
Sp =
(0.51)(0.49)
828
= 0.01737
p ± zSp = 0.51 ± 2.05 × 0.01737 = 0.51 ± 0.036
Interval = 0.474 až 0.546
S 96% spolehlivostí můžeme říci, že 47.4 % až 54.6 % všech dospělých
uvede, že chtějí zhubnout. Chyba odhadu je 3.6 %.
Stejným způsobem lze spočítat interval pro dospělé, kteří vážně
usilují o hubnutí.
·Odhady středních hodnot · 55 / 58
Odhad podílu populace
Shrnutí přednášky:
Případové studie
Odhad, bodový a intervalový odhad
Odhad střední hodnoty populace: σ je známo
Odhad střední hodnoty populace: σ je neznámo
Odhad podílu populace
·Odhady středních hodnot · 56 / 58
Odhad podílu populace
Co si nastudovat na příští týden?
Příprava na cvičení: Leaflet 09
Koncepty a procedury, cv. 09, kap. 08
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 9
·Odhady středních hodnot · 57 / 58
Odhad podílu populace
Děkuji za pozornost!
Source: Pinterest
·Odhady středních hodnot · 58 / 58