Testování hypotéz: Dvě populace
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 10
Z čeho studovat desátou lekci?
Povinná literatura: Mann (2016), kap. 10
Příprava na cvičení: Leaflet 11
Koncepty a procedury, cv. 11, kap. 10
Příprava na zkoušku: Mann (2016), kap. 10
Leaflet 11
Sbírka úloh, kap. 10
Koncepty a procedury, cv. 11, kap. 10
·Testování hypotéz: Dvě populace · 2 / 77
Motivace
Rozhodování v ekonomii často vyžaduje porovnání dvou skupin
– například porovnání efektivity mezi různými metodami,
analýza vlivu intervence na ekonomický ukazatel, nebo testování
rozdílů mezi dvěma trhy.
Nepárový t-test je vhodný pro porovnání dvou nezávislých skupin.
Příklady:
Porovnání platů v různých odvětvích.
Rozdíly v útratách mezi zákazníky v různých regionech.
Párový t-test nám umožňuje porovnávat stejnou skupinu před a
po určité změně nebo zásahu. Příklady:
Měření dopadu vzdělávacího programu na znalosti zaměstnanců.
Změna spotřebního chování po ekonomické reformě.
Cíl přednášky: Naučíme se, jak a kdy použít t-test k zodpovězení
ekonomických otázek, jak interpretovat výsledky a jak přemýšlet
o statistické významnosti v kontextu ekonomického výzkumu.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 3 / 77
Obsah
Nezávislé versus závislé vzorky
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 ̸= σ2 neznámé
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Odhady podílu, dvě NZV populace
·Testování hypotéz: Dvě populace · 4 / 77
Nezávislé versus závislé vzorky Nezávislé versus závislé vzorky
Nezávislé versus závislé vzorky
Dva vzorky získané ze dvou populací jsou nezávislé, pokud výběr
jednoho vzorku z jedné populace neovlivňuje výběr druhého vzorku z
druhé populace. V opačném případě jsou vzorky závislé.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 5 / 77
Nezávislé versus závislé vzorky Nezávislé versus závislé vzorky
Nezávislé versus závislé vzorky
Příklad 1: Předpokládejme, že chceme odhadnout rozdíl mezi
průměrnými platy všech mužských a všech ženských manažerů. K
tomu získáme dva vzorky, jeden z populace mužských manažerů a
druhý z populace ženských manažerů. Tyto dva vzorky jsou nezávislé,
protože jsou získány z dvou různých populací a navzájem se
neovlivňují.
Příklad 2: Předpokládejme, že chceme odhadnout rozdíl mezi
průměrnými hmotnostmi všech účastníků před a po absolvování
programu hubnutí. K tomu si vezmeme vzorek 40 účastníků a
změříme jejich hmotnost před a po dokončení tohoto programu.
Všimněte si, že tyto dva vzorky zahrnují tytéž 40 účastníků. To je
příklad dvou závislých vzorků.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 6 / 77
Nezávislé versus závislé vzorky Nezávislé versus závislé vzorky
Obsah
Nezávislé versus závislé vzorky
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 ̸= σ2 neznámé
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Odhady podílu, dvě NZV populace
·Testování hypotéz: Dvě populace · 7 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé
Odhady rozdílu mezi průměry dvou populací pro
nezávislé vzorky: σ1 a σ2 známy
Průměr, směrodatná odchylka a rozdělení ¯x1 − ¯x2
Intervalový odhad µ1 − µ2
Testování hypotéz o µ1 − µ2
·Testování hypotéz: Dvě populace · 8 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé Průměr, směrodatná odchylka a rozdělení ¯x1 − ¯x2
Průměr, směrodatná odchylka a rozdělení ¯x1 − ¯x2
Pokud platí tři podmínky:
1. Oba vzorky jsou nezávislé.
2. Směrodatné odchylky σ1 a σ2 obou populací jsou známy.
3. Splněna je alespoň jedna z následujících podmínek:
i. Oba vzorky jsou velké (tj. n1 ≥ 30 a n2 ≥ 30).
ii. Jsou-li oba vzorky malé, pak populace, z nichž byly vzorky získány,
jsou normálně rozděleny.
Pak je vzorkovací rozdělení ¯x1 − ¯x2 přibližně normálně rozděleno.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 9 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé Průměr, směrodatná odchylka a rozdělení ¯x1 − ¯x2
Průměr, směrodatná odchylka a rozdělení ¯x1 − ¯x2
Když jsou splněny podmínky uvedené na předchozím snímku,
rozdělení ¯x1 − ¯x2 je přibližně normální s
průměrem
µ¯x1−¯x2
= µ1 − µ2
a
směrodatnou odchylkou
σ¯x1−¯x2
=
σ2
1
n1
+
σ2
2
n2
·Testování hypotéz: Dvě populace · 10 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé Interval spolehlivosti pro µ1 − µ2
Interval spolehlivosti pro µ1 − µ2
S využitím normálního rozdělení je (1 − α)100% interval
spolehlivosti pro µ1 − µ2 vyjádřen jako:
(¯x1 − ¯x2) ± zσ¯x1−¯x2
Hodnota z je získána z tabulky normálního rozdělení pro danou
úroveň spolehlivosti. Hodnota σ¯x1−¯x2
je vypočítána, jak bylo
vysvětleno dříve.
Poznámka: Zde ¯x1 − ¯x2 je bodový odhad µ1 − µ2.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 11 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé Interval spolehlivosti pro µ1 − µ2
Příklad 3
Zadání: Podle průzkumu činil průměrný příspěvek zaměstnavatele na
zdravotní pojištění 16 834 dolarů v roce 2014 a 15 745 dolarů v roce
2012. Předpokládejme, že tyto průměry byly založeny na náhodných
vzorcích 250 a 200 zaměstnanců, kteří měli takové zdravotní
pojištění v letech 2014 a 2012 domluvené. Dále předpokládejme, že
směrodatné odchylky populace pro roky 2014 a 2012 byly 2160
dolarů a 1990 dolarů.
Nechť µ1 a µ2 jsou příslušné populační průměry ročních příspěvků
pro roky 2014 a 2012.
(a) Jaký je bodový odhad µ1 − µ2?
(b) Sestrojte 97% interval spolehlivosti pro µ1 − µ2.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 12 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé Interval spolehlivosti pro µ1 − µ2
Příklad 3: Řešení
(a) Bodový odhad µ1 − µ2 je hodnota
¯x1 − ¯x2 = $16 834 − $15 745 = $1 089
(b) 97% interval spolehlivosti => kritická hodnota z je 2.17.
σ¯x1−¯x2
=
σ2
1
n1
+
σ2
2
n2
=
(2160)2
250
+
(1990)2
200
= 196.1196
(¯x1 − ¯x2) ± zσ¯x1−¯x2
= ($16 834 − $15 745) ± 2.17 · (196.1196)
= 1089 ± 425.58 = $663.42 až $1514.58
Takže s 97% jistotou můžeme říci, že rozdíl mezi průměrnými
ročními příspěvky na zdravotní pojištění v letech 2014 a 2012 je
mezi $663.42 a $1514.58.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 13 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé Testování hypotéz o µ1 − µ2
Testování hypotéz o µ1 − µ2
1. Testování alternativní hypotézy, že průměry dvou populací jsou
rozdílné, je ekvivalentní k µ1 ̸= µ2, což je totéž jako µ1 − µ2 ̸= 0.
2. Testování alternativní hypotézy, že průměr první populace je
větší než průměr druhé populace, je ekvivalentní µ1 > µ2, což je
to samé jako µ1 − µ2 > 0.
3. Testování alternativní hypotézy, že průměr první populace je
menší než průměr druhé populace, je ekvivalentní µ1 < µ2, což
je to samé jako µ1 − µ2 < 0.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 14 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé Testování hypotéz o µ1 − µ2
Testování hypotéz o µ1 − µ2
Při použití normálního rozdělení se hodnota testovací statistiky z pro
¯x1 − ¯x2 vypočítá jako:
z =
(¯x1 − ¯x2) − (µ1 − µ2)
σ¯x1−¯x2
Hodnota µ1 − µ2 je nahrazena z H0.
Poznámka: Hodnota σ¯x1−¯x2
je vypočítána tak, jak bylo vysvětleno
dříve v této přednášce.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 15 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé Testování hypotéz o µ1 − µ2
Příklad 4
Zadání: Vraťme se k Příkladu 3 o průměrných ročních příspěvcích na
zdravotní pojištění v letech 2014 a 2012. Testujte na hladině
významnosti 1 %, zda se populační průměry pro oba roky liší.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 16 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé Testování hypotéz o µ1 − µ2
Příklad 4: Řešení
Krok 1: Stanovíme hypotézy
H0 : µ1 − µ2 = 0 (Populační průměry nejsou rozdílné.)
H1 : µ1 − µ2 ̸= 0 (Populační průměry jsou rozdílné.)
Krok 2: Směrodatné odchylky populace, σ1 a σ2, jsou známé. Oba vzorky
jsou velké; n1 > 30 a n2 > 30. Proto používáme normální
rozdělení k provedení testu hypotézy.
Krok 3: α = 0.01. Znak ̸= v alternativní hypotéze naznačuje, že test je
oboustranný. Oblast v každém konci → α/2 = 0.01/2 = 0.005
Kritické hodnoty z jsou 2.58 a -2.58.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 17 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé Testování hypotéz o µ1 − µ2
Příklad 4: Řešení
·Testování hypotéz: Dvě populace · 18 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé Testování hypotéz o µ1 − µ2
Příklad 4: Řešení
Krok 4:
σ¯x1−¯x2
=
σ2
1
n1
+
σ2
2
n2
=
(2160)2
250
+
(1990)2
200
= 196.1196064
z =
(¯x1 − ¯x2) − (µ1 − µ2)
σ¯X1−¯X2
=
($16834 − $15745) − 0
196.1196064
= 5.55
Krok 5: Protože hodnota testovací statistiky z = 5.55 spadá do oblasti
zamítnutí, zamítáme nulovou hypotézu H0. Tudíž konstatujeme,
že průměrné roční příspěvky na zdravotní pojištění sponzorované
zaměstnavatelem pro rodinné krytí byly v letech 2014 a 2012
rozdílné.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 19 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé Testování hypotéz o µ1 − µ2
Obsah
Nezávislé versus závislé vzorky
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 ̸= σ2 neznámé
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Odhady podílu, dvě NZV populace
·Testování hypotéz: Dvě populace · 20 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé
Odhady rozdílu mezi průměry dvou populací pro
nezávislé vzorky: σ1 a σ2 neznámé, ale σ1 = σ2
Intervalový odhad µ1 − µ2
Testování hypotéz o µ1 − µ2
·Testování hypotéz: Dvě populace · 21 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé Intervalový odhad µ1 − µ2
Vážená směrodatná odchylka pro dva vzorky
Vážená směrodatná odchylka pro dva vzorky se vypočítá jako:
sp =
(n1 − 1)s2
1 + (n2 − 1)s2
2
n1 + n2 − 2
kde n1 a n2 jsou velikosti vzorků a s2
1 a s2
2 jsou rozptyly těchto vzorků.
Zde sp je estimátor pro σ.
Estimátor směrodatné odchylky pro ¯x1 − ¯x2 je:
s¯x1−¯x2
= sp
1
n1
+
1
n2
·Testování hypotéz: Dvě populace · 22 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé Intervalový odhad µ1 − µ2
Interval spolehlivosti µ1 − µ2
(1 − α)100% interval spolehlivosti pro µ1 − µ2 je:
(¯x1 − ¯x2) ± ts¯x1−¯x2
kde hodnota t je získána z tabulky rozdělení t pro danou úroveň
spolehlivosti a n1 + n2 − 2 stupňů volnosti a s¯x1−¯x2
je vypočítána, jak
bylo vysvětleno dříve.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 23 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé Intervalový odhad µ1 − µ2
Příklad 5
Zadání: Agentura spotřebitelské ochrany chtěla odhadnout rozdíl v
průměrných množstvích kofeinu u dvou značek kávy. Agentura vzala
vzorek 15 jednolitrových sklenic kávy značky I, který ukázal, že
průměrné množství kofeinu v těchto sklenicích je 80 miligramů na
sklenici se směrodatnou odchylkou 5 miligramů. Další vzorek 12
jednolitrových sklenic kávy značky II poskytl průměrné množství
kofeinu rovné 77 miligramů na sklenici se směrodatnou odchylkou 6
miligramů.
Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl mezi průměrným
množstvím kofeinu v jednolitrových sklenicích těchto dvou značek
kávy. Předpokládejte, že obě populace mají normální rozdělení a že
směrodatné odchylky obou populací jsou stejné.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 24 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé Intervalový odhad µ1 − µ2
Příklad 5: Řešení
Ssp =
(n1 − 1)s2
1 + (n2 − 1)s2
2
n1 + n2 − 2
=
(15 − 1)52 + (12 − 1)62
15 + 12 − 2
= 5.4626
s¯X1−¯X2
= sp
1
n1
+
1
n2
= 5.4626
1
15
+
1
12
= 2.1155
Plocha v každém ocasu = α/2 = 0.5 − (0.95/2) = 0.025
Stupně volnosti = n1 + n2 − 2 = 25
t = 2.060
(¯x1 − ¯x2) ± ts¯x1−¯x2
= (80 − 77) ± 2.060(2.11565593)
= 3 ± 4.36 = −1.36 až 7.36 miligramů
·Testování hypotéz: Dvě populace · 25 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé Intervalový odhad µ1 − µ2
Testování hypotézy o µ1 − µ2
Hodnota testovací statistiky t pro ¯x1 − ¯x2 je vypočítána jako:
t =
(¯x1 − ¯x2) − (µ1 − µ2)
s¯x1−¯x2
Hodnota µ1 − µ2 v tomto vzorci je nahrazena z nulové hypotézy a
s¯x1−¯x2
je vypočítán, jak bylo vysvětleno dříve.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 26 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé Intervalový odhad µ1 − µ2
Příklad 6
Zadání: Vzorek 14 plechovek dietní sody Brand I dává průměrný počet
kalorií 23 na plechovku se směrodatnou odchylkou 3 kalorie. Další
vzorek 16 plechovek dietní sody Brand II dává průměrný počet kalorií
25 na plechovku se směrodatnou odchylkou 4 kalorie.
Můžeme při zvolené hladině významnosti 1 % vyvodit, že se
průměrný počet kalorií na plechovku pro tyto dvě značky dietní
sodovky liší? Předpokládejme, že kalorický obsah dietní sodovky na
plechovku je normálně rozložený pro obě značky a že směrodatné
odchylky pro obě populace jsou stejné.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 27 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé Intervalový odhad µ1 − µ2
Příklad 6: Řešení
Krok 1: Stanovíme hypotézy
H0 : µ1 − µ2 = 0 (Průměrný počet kalorií není rozdílný.)
H1 : µ1 − µ2 ̸= 0 (Průměrný počet kalorií je rozdílný.)
Krok 2: Oba vzorky jsou nezávislé. Směrodatné odchylky σ1 a σ2 jsou
neznámé, ale rovné. Velikosti vzorků jsou malé, ale obě populace
jsou normálně rozděleny. Použijeme t-rozdělení.
Krok 3: α = 0.01. Znak ̸= v alternativní hypotéze naznačuje, že test je
oboustranný. Oblast v každém konci → α/2 = 0.01/2 = 0.005.
Stupně volnosti df = n1 + n2 − 2 = 14 + 16 − 2 = 28. Kritické
hodnoty t jsou 2.763 a -2.763.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 28 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé Intervalový odhad µ1 − µ2
Příklad 6: Řešení
·Testování hypotéz: Dvě populace · 29 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé Intervalový odhad µ1 − µ2
Příklad 6: Řešení
Krok 4:
sp =
(n1 − 1)s2
1 + (n2 − 1)s2
2
n1 + n2 − 2
= 3.5707,
s¯x1−¯x2
= sp
1
n1
+
1
n2
= 3.5707
1
14
+
1
16
= 1.3067,
t =
(¯x1 − ¯x2) − (µ1 − µ2)
s¯x1−¯x2
=
(23 − 25) − 0
1.3067
= −1.531.
Krok 5: Hodnota testovací statistiky t = 1.531 se nachází v oblasti
nezamítnutí. Proto nezamítáme nulovou hypotézu. Důsledkem je,
že docházíme k závěru, že neexistuje rozdíl v průměrném počtu
kalorií na plechovku mezi oběma značkami dietních sodovek.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 30 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé Intervalový odhad µ1 − µ2
Příklad 7
Zadání: Vzorek 40 dětí z Prahy ukázal, že průměrný čas, který tráví
sledováním instagramu, je 28.50 hodin týdně se směrodatnou
odchylkou 4 hodiny. Další vzorek 35 dětí z Brna ukázal, že průměrný
čas, který tráví sledováním instagramu, je 23.25 hodin týdně se
směrodatnou odchylkou 5 hodin.
Můžete usoudit, s využitím hladiny významnosti 2.5 %, že průměrný
čas, který děti tráví sledováním instagramu v Praze, je větší než ten
pro děti v Brně? Předpokládejme, že směrodatné odchylky pro obě
populace jsou stejné.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 31 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé Intervalový odhad µ1 − µ2
Příklad 7: Řešení
Krok 1: Stanovíme hypotézy
H0 : µ1 − µ2 = 0
H1 : µ1 − µ2 > 0
Krok 2: Oba vzorky jsou nezávislé. Směrodatné odchylky σ1 a σ2 jsou
neznámé, ale rovné. Velikosti vzorků jsou velké. Použijeme
t-rozdělení.
Krok 3: α = 0.025. Znak > v alternativní hypotéze naznačuje, že test je
pravostranný. Oblast v pravém konci → α = 0.025. Stupně
volnosti df = n1 + n2 − 2 = 40 + 35 − 2 = 73. Kritická hodnota t
je 1.993.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 32 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé Intervalový odhad µ1 − µ2
Příklad 7: Řešení
·Testování hypotéz: Dvě populace · 33 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé Intervalový odhad µ1 − µ2
Příklad 7: Řešení
Krok 4:
sp =
(n1 − 1)s2
1 + (n2 − 1)s2
2
n1 + n2 − 2
= 4.4935,
s¯x1−¯x2
= sp
1
n1
+
1
n2
= 4.4935
1
40
+
1
35
= 1.0400,
t =
(¯x1 − ¯x2) − (µ1 − µ2)
s¯x1−¯x2
=
(28.50 − 23.25) − 0
1.0400
= 5.048.
Krok 5: Hodnota testovací statistiky t = 5.048 se nachází v oblasti
zamítnutí. Proto zamítáme nulovou hypotézu. Důsledkem je, že
docházíme k závěru, že děti v Praze stráví na Instagramu více
času než děti v Brně.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 34 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé Intervalový odhad µ1 − µ2
Obsah
Nezávislé versus závislé vzorky
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 ̸= σ2 neznámé
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Odhady podílu, dvě NZV populace
·Testování hypotéz: Dvě populace · 35 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 ̸= σ2 neznámé
Odhady rozdílu mezi průměry dvou populací pro
nezávislé vzorky: σ1 a σ2 neznámé a σ1 ̸= σ2
Intervalový odhad µ1 − µ2
Testování hypotéz o µ1 − µ2
·Testování hypotéz: Dvě populace · 36 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 ̸= σ2 neznámé
Odhady rozdílu mezi průměry dvou populací pro
nezávislé vzorky: σ1 a σ2 neznámé a σ1 ̸= σ2
Stupně volnosti
Pokud:
1. jsou oba vzorky nezávislé.
2. σ1 a σ2 obou populací jsou neznámé a rozdílné.
3. a je splněna alespoň jedna z následujících podmínek
i. Oba vzorky jsou velké (tj. n1 ≥ 30 a n2 ≥ 30)
ii. Pokud jsou jedna nebo obě velikosti vzorků malé, pak jsou obě
populace, z nichž byly vzorky odebrány, normálně rozdělené.
pak se k vyvození závěrů o µ1 − µ2 používá t-rozdělení a stupně
volnosti pro t-rozdělení jsou dány vzorcem:
df =
s2
1
n1
+
s2
2
n2
2
(s2
1/n1)2
n1−1 +
(s2
2/n2)2
n2−1
Číslo df určené tímto vzorcem je vždy zaokrouhleno dolů.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 37 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 ̸= σ2 neznámé Intervalový odhad µ1 − µ2
Intervalový odhad µ1 − µ2
(1 − α)100% interval spolehlivosti pro µ1 − µ2 je dán:
(¯x1 − ¯x2) ± ts¯x1−¯x2
kde hodnota t je získána z tabulky t-rozdělení pro danou úroveň
spolehlivosti a stupně volnosti jsou dány dle dříve zmíněného vzorce
a s¯x1−¯x2
odpovídá vzorci
s¯x1−¯x2
=
s2
1
n1
+
s2
2
n2
·Testování hypotéz: Dvě populace · 38 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 ̸= σ2 neznámé Testování hypotéz o µ1 − µ2
Testování hypotéz o µ1 − µ2
Hodnota testové statistiky t pro ¯x1 − ¯x2 je vypočítána jako:
t =
(¯x1 − ¯x2) − (µ1 − µ2)
s¯x1−¯x2
Hodnota µ1 − µ2 v tomto vzorci je nahrazena z nulové hypotézy a
s¯x1−¯x2
je vypočítána jak bylo vysvětleno dříve.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 39 / 77
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 ̸= σ2 neznámé Testování hypotéz o µ1 − µ2
Obsah
Nezávislé versus závislé vzorky
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 ̸= σ2 neznámé
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Odhady podílu, dvě NZV populace
·Testování hypotéz: Dvě populace · 40 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Testování rozdílů dvou závislých vzorků (párových
pozorování)
Intervalový odhad µd
Testování hypotéz o µd
·Testování hypotéz: Dvě populace · 41 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Závislé vzorky
Dva vzorky se označují jako závislé, když pro každou hodnotu dat
získanou z jednoho vzorku existuje odpovídající hodnota dat získaná
ze druhého vzorku, přičemž obě tyto hodnoty dat jsou získány ze
stejného zdroje.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 42 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Průměr a směrodatná odchylka rozdílu dvou
závislých výběrů
Hodnoty průměru a směrodatné odchylky, ¯d a sd, rozdílu dvou
závislých výběrů jsou vypočítány následovně:
¯d =
d
n
,
sd =
d2 − ( d)2
n
n − 1
.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 43 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Rozdělení, průměr a směrodatná odchylka ¯d
Pokud je známa σd a buď je velikost vzorku velká (n ≥ 30) nebo je
populace normálně rozdělená, pak je rozdělení ¯d přibližně normální s
průměrem a směrodatnou odchylkou:
µ¯d = µd,
σ¯d =
σd
√
n
.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 44 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Rozdělení ¯d
Odhad směrodatné odchylky párových rozdílů
Pokud:
1. je směrodatná odchylka σd populace rozdílů neznámá.
2. je splněna alespoň jedna z následujících podmínek:
Velikost vzorku je velká (tj. n ≥ 30)
Velikost vzorku je malá, ale populace rozdílů je normálně
rozdělená.
Pak se používá t-rozdělení k vyvození závěrů o µd.
Směrodatná odchylka σ¯d odhadu ¯d je odhadována pomocí s¯d, což je
vypočítáno jako:
s¯d =
sd
√
n
·Testování hypotéz: Dvě populace · 45 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Interval spolehlivosti µd
(1 − α)100% interval spolehlivosti pro µd vypočítáme jako:
¯d ± ts¯d
kde hodnota t je získána z tabulky t-rozdělení pro danou hladinu
významnosti a n − 1 stupňů volnosti, a s¯d je vypočítána jak bylo
vysvětleno dříve.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 46 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Příklad 8
Zadání: Výzkumník chtěl zjistit účinek speciální diety na systolický
krevní tlak. Vybral si vzorek sedmi dospělých a na dobu 3 měsíců je
umístil na tento dietní plán. Následující tabulka uvádí systolický
krevní tlak (v mm Hg) sedmi dospělých před a po dokončení tohoto
plánu.
Nechť µd je průměrné snížení systolického krevního tlaku díky tomuto
speciálnímu dietnímu plánu pro populaci všech dospělých. Sestrojte
95% interval spolehlivosti pro µd. Předpokládejte, že populace
rozdílů je (přibližně) normálně rozdělená.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 47 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Příklad 8: Řešení
·Testování hypotéz: Dvě populace · 48 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Příklad 8: Řešení
¯d =
d
n
=
35
7
= 5.00,
sd =
d2 − ( d)2
n
n − 1
=
873 − (35)2
7
7 − 1
= 10.7857.
s¯d =
sd
√
n
=
10.7857
√
7
= 4.0766,
Oblast v každém ocasu = α/2 = 0.5 − (0.95/2) = 0.025,
stupně volnosti = df = n − 1 = 7 − 1 = 6,
t = 2.447,
¯d ± ts¯d = 5.00 ± 2.447(4.0766) = 5.00 ± 9.98
= −4.98 do 14.98.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 49 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Testování hypotéz o µd
Hodnota testové statistiky t pro ¯d je vypočítána následovně:
t =
¯d − µd
s¯d
·Testování hypotéz: Dvě populace · 50 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Příklad 9
Zadání: Společnost chtěla zjistit, zda účast na kurzu „jak být
úspěšným obchodníkem“ může zvýšit průměrný obrat jejích
zaměstnanců. Společnost poslala šest svých obchodníků na tento
kurz. Následující tabulka uvádí týdenní obraty těchto obchodníků
před a po účasti na kurzu.
S využitím hladiny významnosti 1 %, zjistěte, zda vzrostl průměrný
týdenní obrat všech obchodníků v důsledku účasti na tomto kurzu.
Předpokládejte, že populace rozdílů má normální rozdělení.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 51 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Příklad 9: Řešení
·Testování hypotéz: Dvě populace · 52 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Příklad 9: Řešení
¯d =
d
n
=
−25
6
= −4.17,
sd =
d2 − ( d)2
n
n − 1
=
139 − (−25)2
6
6 − 1
= 2.6394,
s¯d =
sd
√
n
=
2.6394
√
6
= 1.0775.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 53 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Příklad 9: Řešení
Krok 1: Stanovíme hypotézy
H0 : µd = 0 (µ1 − µ2 = 0 průměrné týdenní tržby se nezměnily)
H1 : µd < 0 (µ1 − µ2 < 0 průměrné týdenní tržby se zvýšily)
Krok 2: Oba vzorky jsou závislé. Směrodatná odchylka σ je neznámá.
Populace rozdílů je normálně rozdělena. Použijeme t-rozdělení.
Krok 3: α = 0.01. Znak < v alternativní hypotéze naznačuje, že test je
levostranný. Oblast v levém konci → α = 0.01. Stupně volnosti
df = n − 1 = 6 − 1 = 5. Kritická hodnota t je -3.365.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 54 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Příklad 9: Řešení
·Testování hypotéz: Dvě populace · 55 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Příklad 9: Řešení
Krok 4: t =
¯d−µd
S¯d
= −4.17−0
1.0775 = −3.870
Krok 5: Hodnota testovací statistiky t = 3.870 se nachází v oblasti
zamítnutí. Proto zamítáme nulovou hypotézu. Důsledkem je, že
docházíme k závěru, že absolvování kurzu zvyšuje průměrné
týdenní tržby.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 56 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Příklad 10
Zadání: Výzkumník chtěl zjistit účinek speciální diety na systolický
krevní tlak. Vybral si vzorek sedmi dospělých a na dobu 3 měsíců je
umístil na tento dietní plán. Následující tabulka uvádí systolický
krevní tlak (v mm Hg) sedmi dospělých před a po dokončení tohoto
plánu.
Nechť µd je průměr rozdílů mezi systolickým krevním tlakem před a
po dokončení tohoto speciálního dietního plánu pro populaci všech
dospělých. Pokud použijeme hladinu významnosti 5%, můžeme
usuzovat, že průměrná hodnota rozdílů µd se liší od nuly?
Předpokládejme, že populace rozdílů je (přibližně) normálně
rozdělená.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 57 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Příklad 10: Řešení
·Testování hypotéz: Dvě populace · 58 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Příklad 10: Řešení
¯d =
d
n
=
35
7
= 5.00,
sd =
d2 − ( d)2
n
n − 1
=
873 − (35)2
7
6
= 10.7857,
s¯d =
sd
√
n
=
10.7857
√
7
= 4.0766.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 59 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Příklad 10: Řešení
Krok 1: Stanovíme hypotézy
H0 : µd = 0 (průměrný rozdíl není různý od nuly)
H1 : µd ̸= 0 (průměrný rozdíl je různý od nuly)
Krok 2: Oba vzorky jsou závislé. Směrodatná odchylka σ je neznámá.
Velikost vzorku je malá, nicméně populace rozdílů je normálně
rozdělena. Použijeme t-rozdělení.
Krok 3: α = 0.05. Znak ̸= v alternativní hypotéze naznačuje, že test je
oboustranný. Oblast v každém konci → α/2 = 0.025. Stupně
volnosti df = n − 1 = 7 − 1 = 6. Kritická hodnota t je -2.447 a
2.447.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 60 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Příklad 10: Řešení
·Testování hypotéz: Dvě populace · 61 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Příklad 10: Řešení
Krok 4: t =
¯d−µd
S¯d
= 5.00−0
4.0766 = 1.226
Krok 5: Hodnota testovací statistiky t = 1.226 se nachází v oblasti
nezamítnutí. Proto nezamítáme nulovou hypotézu. Důsledkem je,
že docházíme k závěru, že populační průměrný rozdíl není různý
od nuly a že speciální dieta nemá na systolický krevní tlak účinek.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 62 / 77
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Obsah
Nezávislé versus závislé vzorky
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 ̸= σ2 neznámé
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Odhady podílu, dvě NZV populace
·Testování hypotéz: Dvě populace · 63 / 77
Odhady podílu, dvě NZV populace
Závěry o rozdílu mezi dvěma populačními podíly pro
velké a nezávislé vzorky
Průměr, směrodatná odchylka a rozdělení ˆp1 − ˆp2
Intervalový odhad p1 − p2
Testování hypotéz o p1 − p2
·Testování hypotéz: Dvě populace · 64 / 77
Odhady podílu, dvě NZV populace Průměr, směrodatná odchylka a rozdělení ˆp1 − ˆp2
Průměr, směrodatná odchylka a rozdělení ˆp1 − ˆp2
Pro dva velké a nezávislé vzorky je rozdělení ˆp1 − ˆp2 (přibližně)
normální s průměrem
µˆp1−ˆp2
= p1 − p2
a směrodatnou odchylkou
σˆp1−ˆp2
=
p1q1
n1
+
p2q2
n2
kde q1 = 1 − p1 a q2 = 1 − p2.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 65 / 77
Odhady podílu, dvě NZV populace Intervalový odhad p1 − p2
Intervalový odhad p1 − p2
(1 − α)100% interval spolehlivosti pro p1 − p2 je:
(ˆp1 − ˆp2) ± zsˆp1−ˆp2
kde hodnota z je získána z tabulky normálního rozdělení pro danou
hladinu významnosti a sˆp1−ˆp2
je vypočítána jako:
sˆp1−ˆp2
=
p1q1
n1
+
p2q2
n2
kde q1 = 1 − p1 a q2 = 1 − p2.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 66 / 77
Odhady podílu, dvě NZV populace Intervalový odhad p1 − p2
Příklad 11
Zadání: Výzkumník chtěl odhadnout rozdíl mezi procenty uživatelů
dvou zubních past, kteří nikdy nepřejdou na jinou zubní pastu. Ve
vzorku 500 uživatelů zubní pasty A, který výzkumník provedl, 100
uživatelů uvedlo, že nikdy nepřejdou na jinou zubní pastu. Ve druhém
vzorku 400 uživatelů zubní pasty B, který provedl tentýž výzkumník,
68 uživatelů uvedlo, že nikdy nepřejdou na jinou zubní pastu.
(a) Nechť p1 a p2 jsou podíly všech uživatelů zubních past A a B,
kteří nikdy nepřejdou na jinou zubní pastu. Jaký je bodový odhad
rozdílu p1 − p2?
(b) Sestrojte 97% interval spolehlivosti pro rozdíl mezi podíly všech
uživatelů obou zubních past, kteří nikdy nepřejdou na jinou
zubní pastu.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 67 / 77
Odhady podílu, dvě NZV populace Intervalový odhad p1 − p2
Příklad 11: Řešení
Oba podíly jsou vypočítány následovně:
ˆp1 =
x1
n1
=
100
500
= 0.20 → ˆq1 = 1 − 0.20 = 0.80
ˆp2 =
x2
n2
=
68
400
= 0.17 → ˆq2 = 1 − 0.17 = 0.83
Ověření předpokladů:
n1ˆp1 = 500(0.20) = 100 n1ˆq1 = 500(0.80) = 400
n2ˆp2 = 400(0.17) = 68 n2ˆq2 = 400(0.83) = 332
Každá z těchto hodnot je větší než 5. Velikosti obou vzorků jsou velké.
V důsledku toho používáme normální rozdělení k vytvoření intervalu
spolehlivosti pro p1 − p2.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 68 / 77
Odhady podílu, dvě NZV populace Intervalový odhad p1 − p2
Příklad 11: Řešení
(a) Bodový odhad:
p1 − p2 = ˆp1 − ˆp2 = 0.20 − 0.17 = 0.03
(b) Intervalový odhad
Směrodatná odchylka ˆp1 − ˆp2 je:
sˆp1−ˆp2
=
ˆp1ˆq1
n1
+
ˆp2ˆq2
n2
= 0.0259
S využitím z = 2.17,
(ˆp1 − ˆp2) ± zsˆp1−ˆp2
= (.20 − .17) ± 2.17(0.0259)
= 0.03 ± 0.056 = −0.026 až 0.086
·Testování hypotéz: Dvě populace · 69 / 77
Odhady podílu, dvě NZV populace Testování hypotéz o p1 − p2
Testování hypotéz o p1 − p2
Hodnota testové statistiky z pro ˆp1 − ˆp2 je vypočítána jako:
z =
(ˆp1 − ˆp2) − (p1 − p2)
sˆp1−ˆp2
Hodnota p1 − p2 je nahrazena z H0, která je obvykle nula.
Výraz sˆp1−ˆp2
lze spočítat jako:
sˆp1−ˆp2
= ¯p¯q
1
n1
+
1
n2
,
kde ¯p = n1ˆp1+n2ˆp2
n1+n2
a ¯q = 1 − ¯p.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 70 / 77
Odhady podílu, dvě NZV populace Testování hypotéz o p1 − p2
Příklad 12
Zadání: Výzkumník chtěl odhadnout rozdíl mezi procenty uživatelů
dvou zubních past, kteří nikdy nepřejdou na jinou zubní pastu.
Ve vzorku 500 uživatelů zubní pasty A, který výzkumník provedl, 100
uživatelů uvedlo, že nikdy nepřejdou na jinou zubní pastu. Ve druhém
vzorku 400 uživatelů zubní pasty B, který provedl tentýž výzkumník,
68 uživatelů uvedlo, že nikdy nepřejdou na jinou zubní pastu.
Na hladině významnosti 1 %, ověřte, že podíl uživatelů zubní pasty A,
kteří nikdy nepřejdou na jinou zubní pastu, je vyšší než podíl
uživatelů zubní pasty B, kteří nikdy nepřejdou na jinou zubní pastu.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 71 / 77
Odhady podílu, dvě NZV populace Testování hypotéz o p1 − p2
Příklad 12: Řešení
ˆp1 =
x1
n1
=
100
500
= 0.20 ˆp2 =
x2
n2
=
68
400
= 0.17
Krok 1: Stanovíme hypotézy
H0 : p1 − p2 = 0 (p1 není větší než p2)
H1 : p1 − p2 > 0 (p1 je větší než p2)
Krok 2: Hodnoty n1ˆp1, n1ˆq1, n2ˆp2, a n2ˆq2 jsou všechny větší než 5.
Velikost vzorku je velká. Použijeme normální rozdělení.
Krok 3: α = 0.01. Znak > v alternativní hypotéze naznačuje, že test je
pravostranný. Oblast v pravém konci → α = 0.01. Kritická
hodnota z je 2.33.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 72 / 77
Odhady podílu, dvě NZV populace Testování hypotéz o p1 − p2
Příklad 12: Řešení
·Testování hypotéz: Dvě populace · 73 / 77
Odhady podílu, dvě NZV populace Testování hypotéz o p1 − p2
Příklad 12: Řešení
Krok 4:
¯p =
x1 + x2
n1 + n2
=
100 + 68
500 + 400
= 0.187,
¯q = 1 − ¯p = 1 − 0.187 = 0.813,
sˆp1−ˆp2
= ¯p¯q
1
n1
+
1
n2
= 0.0261,
z =
(ˆp1 − ˆp2) − (p1 − p2)
sˆp1−ˆp2
=
(0.20 − 0.17) − 0
0.0261
= 1.15.
Krok 5: Hodnota testovací statistiky z = 1.15 se nachází v oblasti
nezamítnutí. Proto nezamítáme nulovou hypotézu a dospíváme k
závěru, že podíl uživatelů zubní pasty A, kteří nikdy nepřejdou na
jinou zubní pastu, není vyšší než podíl uživatelů zubní pasty B,
kteří nikdy nepřejdou na jinou zubní pastu.
·Testování hypotéz: Dvě populace · 74 / 77
Odhady podílu, dvě NZV populace Testování hypotéz o p1 − p2
Shrnutí přednášky:
Nezávislé versus závislé vzorky
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 a σ2 známé
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 = σ2 neznámé
Odhady rozdílu, dvě NZV populace, σ1 ̸= σ2 neznámé
Testování rozdílů dvou závislých vzorků
Odhady podílu, dvě NZV populace
·Testování hypotéz: Dvě populace · 75 / 77
Odhady podílu, dvě NZV populace Testování hypotéz o p1 − p2
Co si nastudovat na příští týden?
Příprava na cvičení: Leaflet 11
Koncepty a procedury, cv. 11, kap. 10
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 11
·Testování hypotéz: Dvě populace · 76 / 77
Odhady podílu, dvě NZV populace Testování hypotéz o p1 − p2
Děkuji za pozornost!
·Testování hypotéz: Dvě populace · 77 / 77