χ2
chí-kvadrát test
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 11
Z čeho studovat desátou lekci?
Povinná literatura: Mann (2016), kap. 11
Příprava na cvičení: Leaflet 12
Koncepty a procedury, cv. 12, kap. 11
Příprava na zkoušku: Mann (2016), kap. 11
Leaflet 12
Sbírka úloh, kap. 11
Koncepty a procedury, cv. 12, kap. 11
·χ2
chí-kvadrát test · 2 / 59
Proč je χ2
rozdělení důležité pro ekonomy?
Testy dobré shody
Chcete ověřit, zda vaše data odpovídají předpokladům trhu?
χ2 test to zvládne.
Příklad: Sleduje spotřebitelské preference, které mají odpovídat
teoretickému modelu.
Test nezávislosti a test homogenity
Odhaluje vazby mezi kategoriemi, jako je vzdělání vs. pohlaví.
Pomáhá zodpovědět otázky typu: „Ovlivňuje místo pobytu naše
příjmy?“
Testy o populačním rozptylu
Nezbytné pro měření rizik: Volatilita na akciovém trhu, fluktuace
cen nemovitostí.
·χ2
chí-kvadrát test · 3 / 59
Obsah
χ2 rozdělení
Testy dobré shody
Test nezávislosti, test homogenity
Testy o populačním rozptylu
·χ2
chí-kvadrát test · 4 / 59
χ2
rozdělení
Rozdělení chí-kvadrát
Rozdělení chí-kvadrát má pouze jeden parametr nazývaný stupně
volnosti. Tvar křivky rozdělení chí-kvadrát je pro malé stupně volnosti
zešikmené doprava a pro velké stupně volnosti se stává symetrickým.
Celá křivka rozdělení chí-kvadrát leží napravo od vertikální osy.
Rozdělení chí-kvadrát předpokládá pouze nezáporné hodnoty, které
jsou označeny symbolem χ2 (čteno jako “chí-kvadrát”).
·χ2
chí-kvadrát test · 5 / 59
χ2
rozdělení
Příklad 1
Zadání: Najděte hodnotu χ2 pro 7 stupňů volnosti a plochu 0.10 v
pravém ocase křivky rozdělení chí-kvadrát.
Řešení:
·χ2
chí-kvadrát test · 6 / 59
χ2
rozdělení
Příklad 1: Řešení
·χ2
chí-kvadrát test · 7 / 59
χ2
rozdělení
Příklad 2
Zadání: Najděte hodnotu χ2 pro 12 stupňů volnosti a plochu 0.05 v
levém ocase křivky rozdělení chí-kvadrát.
Řešení:
Plocha v pravém ocase = 1 - plocha v levém ocase = 1 - 0.05 = 0.95
·χ2
chí-kvadrát test · 8 / 59
χ2
rozdělení
Příklad 2: Řešení
·χ2
chí-kvadrát test · 9 / 59
Testy dobré shody
Obsah
χ2 rozdělení
Testy dobré shody
Test nezávislosti, test homogenity
Testy o populačním rozptylu
·χ2
chí-kvadrát test · 10 / 59
Testy dobré shody
Testy dobré shody
Experiment s následujícími charakteristikami se nazývá multinomický
experiment.
1. Experiment se skládá z n identických pokusů (opakování).
2. Každý pokus má jeden z k možných výsledků (nebo kategorií),
kde k > 2.
3. Pokusy jsou nezávislé.
4. Pravděpodobnosti různých výsledků zůstávají pro každý pokus
konstantní.
·χ2
chí-kvadrát test · 11 / 59
Testy dobré shody
Pozorované a očekávané frekvence
Frekvence získané z provedení experimentu se nazývají pozorované
frekvence a jsou označeny jako O. Očekávané frekvence, označené
jako E, jsou frekvence, které očekáváme, že získáme, pokud platí
nulová hypotéza. Očekávaná frekvence pro kategorii se vypočítá jako
E = np
kde n je velikost vzorku a p je pravděpodobnost, že prvek patří do
této kategorie, pokud platí nulová hypotéza.
·χ2
chí-kvadrát test · 12 / 59
Testy dobré shody
Stupně volnosti pro testy dobré shody
V testu dobré shody jsou stupně volnosti definovány jako
df = k − 1
kde k označuje počet možných výsledků (nebo kategorií) experimentu.
·χ2
chí-kvadrát test · 13 / 59
Testy dobré shody
Testová statistika pro testy dobré shody
Testová statistika pro test dobré shody je označována χ2 a její
hodnota je spočítána jako
χ2
=
(O − E)2
E
kde
O = pozorovaná frekvence pro kategorii
E = očekávaná frekvence pro kategorii = np
Poznámka: Pamatujte, že test dobré shody pomocí χ2 je vždy
jednostranný test.
·χ2
chí-kvadrát test · 14 / 59
Testy dobré shody
Příklad 3
Zadání: V jedné bance je umístěn bankomat, který je zákazníkům
dostupný pouze v pracovní dny od pondělí do pátku od 7:00 do 18:00.
Manažerka banky chtěla zjistit, zda je procento transakcí provedených
na tomto bankomatu stejné pro každý z 5 pracovních dnů v týdnu.
Náhodně vybrala jeden týden a spočítala počet transakcí
provedených na tomto bankomatu každý den během tohoto týdne.
Informace, které získala, jsou uvedeny v následující tabulce, kde
počet uživatelů představuje počet transakcí na tomto bankomatu v
jednotlivých dnech. Pro jednoduchost budeme tyto transakce
označovat jako „lidé“ nebo „uživatelé“.
·χ2
chí-kvadrát test · 15 / 59
Testy dobré shody
Příklad 3
Zadání: Můžeme, na hladině významnosti 1 %, zamítnout nulovou
hypotézu, že počet lidí, kteří využívají tento bankomat, je stejný pro
každý z 5 dnů v týdnu? Předpokládejme, že tento týden je
reprezentativní pro všechny týdny, pokud jde o využívání tohoto
bankomatu.
·χ2
chí-kvadrát test · 16 / 59
Testy dobré shody
Příklad 3: Řešení
Krok 1 H0 : p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = 0.20
H1 : Alespoň dva z pěti poměrů nejsou rovny 0.20
Krok 2 Existuje 5 kategorií - 5 dnů, ve kterých je bankomat používán
(multinomický experiment), pro test používáme rozdělení χ2.
Krok 3
α = 0.01
k = počet kategorií = 5
df = k − 1 = 5 − 1 = 4
Kritická hodnota χ2 = 13.277
·χ2
chí-kvadrát test · 17 / 59
Testy dobré shody
Příklad 3: Řešení
Krok 4 Všechny potřebné výpočty k určení hodnoty testové statistiky χ2
jsou uvedeny v tabulce:
χ2
=
(O − E)2
E
= 23.184
·χ2
chí-kvadrát test · 18 / 59
Testy dobré shody
Příklad 3: Řešení
Krok 5 Hodnota testové statistiky χ2 = 23.184 je větší než kritická
hodnota χ2 = 13.277, tedy spadá do oblasti zamítnutí. Proto
zamítáme nulovou hypotézu.
Tvrdíme, že počet osob, které používají tento bankomat, se v
průběhu 5 dnů v týdnu liší.
·χ2
chí-kvadrát test · 19 / 59
Testy dobré shody
Příklad 4
Zadání: V průzkumu provedeném 3.–6. dubna 2023 byli dotazováni
občané Evropy ve věku 18 a více let, zda si myslí, že lidé s vyššími
příjmy „platí svůj spravedlivý podíl na daních, platí příliš mnoho nebo
platí příliš málo.“
Z respondentů 61 % uvedlo, že platí příliš málo, 24 % uvedlo
spravedlivý podíl, 13 % uvedlo příliš mnoho a 2 % nemělo názor.
Předpokládejme, že tato procenta odrážejí názor populace Evropanů
ve věku 18 a více let v roce 2023. Nedávno bylo na stejnou otázkou
dotázáno 1000 náhodně vybraných Evropanů ve věku 18 a více let.
Následující tabulka uvádí počet Evropanů v tomto vzorku, kteří patřili
do každé kategorie odpovědí.
·χ2
chí-kvadrát test · 20 / 59
Testy dobré shody
Příklad 4
Zadání: Na hladině významnosti 2.5 % testujte, zda se současné
rozložení názorů od roku 2023 liší.
·χ2
chí-kvadrát test · 21 / 59
Testy dobré shody
Příklad 4: Řešení
Krok 1 H0 : Současné procentní rozložení názorů je stejné jako v 2023.
H1 : Současné procentní rozložení názorů je rozdílné oproti 2023.
Krok 2 Existují 4 kategorie - multinomický experiment; pro test
používáme rozdělení χ2.
Krok 3
α = 0.025
k = počet kategorií = 4
df = k − 1 = 4 − 1 = 3
Kritická hodnota χ2 = 9.348
·χ2
chí-kvadrát test · 22 / 59
Testy dobré shody
Příklad 4: Řešení
Krok 4 Všechny potřebné výpočty k určení hodnoty testové statistiky χ2
jsou uvedeny v tabulce:
χ2
=
(O − E)2
E
= 4.188
·χ2
chí-kvadrát test · 23 / 59
Testy dobré shody
Příklad 4: Řešení
Krok 5 Hodnota testové statistiky χ2 = 4.188 je menší než kritická
hodnota χ2 = 9.348, tedy spadá do oblasti nezamítnutí. Proto
nezamítáme nulovou hypotézu.
Tvrdíme, že současné procentuální rozložení názorů se neliší od
rozložení v roce 2023.
·χ2
chí-kvadrát test · 24 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Obsah
χ2 rozdělení
Testy dobré shody
Test nezávislosti, test homogenity
Testy o populačním rozptylu
·χ2
chí-kvadrát test · 25 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Test nezávislosti, test homogenity
Často máme informace o více než jedné proměnné pro každý prvek.
Takové informace mohou být shrnuty a prezentovány pomocí tabulky
dvojrozměrné klasifikace, která se nazývá kontingenční tabulka nebo
křížová tabulka.
·χ2
chí-kvadrát test · 26 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Test nezávislosti
Test nezávislosti zahrnuje test nulové hypotézy, že dva atributy
populace nejsou vzájemně závislé.
Hodnota testové statistiky χ2 pro test nezávislosti je vypočítána jako
χ2
=
(O − E)2
E
kde O a E jsou pozorované a očekávané frekvence pro danou buňku.
Stupně volnosti pro test nezávislosti jsou
df = (R − 1)(C − 1)
kde R a C jsou počet řádků a počet sloupců v dané kontingenční
tabulce.
·χ2
chí-kvadrát test · 27 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Příklad 5
Zadání: Nedostatek kázně se stal hlavním problémem ve školách v
USA. Byl vybrán náhodný vzorek 300 dospělých, kteří byli dotázáni,
zda podporují větší svobodu pro učitele při trestání studentů za
nedostatek kázně. Dvojrozměrná klasifikace odpovědí těchto
dospělých je uvedena v následující tabulce.
Spočítejte očekávané frekvence pro tuto tabulku za předpokladu, že
tyto dva atributy, pohlaví a názory na danou otázku, jsou nezávislé.
·χ2
chí-kvadrát test · 28 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Příklad 5: Řešení
Očekávaná frekvence E pro buňku = (počet v řádku)(počet v sloupci)
velikost vzorku
·χ2
chí-kvadrát test · 29 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Příklad 6
Zadání: Znovu zvažte klasifikační tabulku uvedenou v příkladu 11-5. V
tomto příkladu byla náhodně vybrána skupina 300 dospělých, kteří
odpovídali, zda podporují poskytnutí větší svobody učitelům k
trestání studentů za nedisciplinovanost. Na základě výsledků
průzkumu byla připravena a prezentována klasifikační tabulka v
příkladu 11-5. Poskytuje vzorek dostatečné informace k závěru, že
tyto dva atributy, pohlaví a názory dospělých, jsou závislé? Při
testování použijte hladinu významnosti 1 %.
·χ2
chí-kvadrát test · 30 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Příklad 6: Řešení
Krok 1 H0 : Pohlaví a názory dospělých jsou nezávislé.
H1 : Pohlaví a názory dospělých jsou závislé.
Krok 2 Pro provedení testu nezávislosti pro kontingenční tabulku
používáme rozdělení χ2.
Krok 3
α = 0.01
df = (R − 1)(C − 1)
= (2 − 1)(3 − 1) = 2
Kritická hodnota χ2 = 9.210
·χ2
chí-kvadrát test · 31 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Příklad 6: Řešení
Krok 4 Všechny potřebné výpočty k určení hodnoty testové statistiky χ2
jsou uvedeny v Tabulce:
χ2
=
(O − E)2
E
=
(93 − 105)2
105
+
(70 − 59.5)2
59.5
+
(12 − 10.5)2
10.5
+
+
(87 − 75)2
75
+
(32 − 42.5)2
42.5
+
(6 − 7.5)2
7.5
=
= 1.371 + 1.853 + 0.214 + 1.92 + 2.594 + 0.3 =
= 8.252
·χ2
chí-kvadrát test · 32 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Příklad 6: Řešení
Krok 5 Hodnota testové statistiky χ2 = 8.252 je menší než kritická
hodnota χ2 = 9.210, a proto spadá do oblasti nezamítnutí. Proto
nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu.
Tvrdíme, že z dostupného vzorku nemáme dostatečný důkaz pro
závěr, že pohlaví a názory dospělých jsou pro tuto otázku závislé.
·χ2
chí-kvadrát test · 33 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Příklad 7
Zadání: Výzkumník chtěl studovat vztah mezi pohlavím a vlastnictvím
smartphone v dospělé populaci, která vlastní mobilní telefony. Vzal
vzorek 2000 dospělých a získal informace uvedené v následující
tabulce.
Own Smart Phones Do Not Own Smart Phones
Men 640 450
Women 440 470
Můžete na hladině významnosti 5 % dospět k závěru, že pohlaví a
vlastnictví chytrého telefonu jsou u všech dospělých provázané?
·χ2
chí-kvadrát test · 34 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Příklad 7: Řešení
Krok 1 H0 : Pohlaví a vlastnictví chytrého telefonu nejsou závislé.
H1 : Pohlaví a vlastnictví chytrého telefonu jsou závislé.
Krok 2 Provádíme test nezávislosti. Používáme rozdělení χ2 k provedení
tohoto testu.
Krok 3
α = 0.05
df = (R − 1)(C − 1)
= (2 − 1)(2 − 1) = 1
Kritická hodnota χ2 = 3.841
·χ2
chí-kvadrát test · 35 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Příklad 7: Řešení
Krok 4 Hodnoty k určení testové statistiky χ2 jsou uvedeny v Tabulce:
Own Do Not Own
Smart Phones (Y) Smart Phones (N) Row Totals
Men (M) 640 (588.60) 450 (501.40) 1090
Women (W) 440 (491.40) 470 (418.60) 910
Column Totals 1080 920 2000
χ2
=
(O − E)2
E
=
(640 − 588.60)2
588.60
+
(450 − 501.40)2
501.40
+
+
(440 − 491.40)2
491.40
+
(470 − 418.60)2
481.60
=
= 4.489 + 5.269 + 5.376 + 6.311
= 21.445
·χ2
chí-kvadrát test · 36 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Příklad 7: Řešení
Krok 5 Hodnota testové statistiky χ2 = 21.445 je větší než kritická
hodnota χ2 = 3.841, a proto spadá do oblasti zamítnutí. Proto
zamítáme nulovou hypotézu.
Tvrdíme, že vzorek poskytuje silný důkaz pro závěr, že pohlaví a
vlastnictví chytrých telefonů jsou u všech dospělých provázané.
·χ2
chí-kvadrát test · 37 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Test homogenity
Test homogenity zahrnuje testování nulové hypotézy, že podíly prvků
s určitými charakteristikami ve dvou nebo více různých populacích
jsou stejné, oproti alternativní hypotéze, že tyto podíly nejsou stejné.
·χ2
chí-kvadrát test · 38 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Příklad 8
Zadání: Zvažte data o rozdělení příjmů domácností v Kalifornii a
Wisconsinu uvedená v Tabulce.
Na hladině významnosti 2.5 % otestujte, zda se rozdělení domácností
s ohledem na úrovně příjmů mezi těmito dvěma státy liší (není
homogenní).
·χ2
chí-kvadrát test · 39 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Příklad 8: Řešení
Krok 1 H0 : Podíly domácností, které patří do různých příjmových
skupin, jsou v obou státech stejné.
H1 : Podíly domácností, které patří do různých příjmových
skupin, nejsou v obou státech stejné.
Krok 2 Používáme χ2 rozdělení k provedení testu homogenity.
Krok 3
α = 0.025
df = (R − 1)(C − 1)
= (3 − 1)(2 − 1) = 2
Kritická hodnota χ2 = 7.378
·χ2
chí-kvadrát test · 40 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Příklad 8: Řešení
χ2
=
(O − E)2
E
=
(70 − 65)2
65
+
(34 − 39)2
39
+
(80 − 75)2
75
+
(40 − 45)2
45
+
(100 − 110)2
110
+
(76 − 66)2
66
= 0.385 + 0.641 + 0.333 + 0.566 + 0.909 + 1.515 = 4.339
·χ2
chí-kvadrát test · 41 / 59
Test nezávislosti, test homogenity
Příklad 8: Řešení
Krok 4 Hodnota testové statistiky χ2 = 4.339 je menší než kritická
hodnota χ2 = 7.378, a proto nespadá do oblasti zamítnutí. Proto
nezamítáme nulovou hypotézu.
Tvrdíme, že neexistuje důkaz, že se rozdělení domácností na základě
příjmů mezi Kalifornií a Wisconsinem liší.
·χ2
chí-kvadrát test · 42 / 59
Testy o populačním rozptylu
Obsah
χ2 rozdělení
Testy dobré shody
Test nezávislosti, test homogenity
Testy o populačním rozptylu
·χ2
chí-kvadrát test · 43 / 59
Testy o populačním rozptylu
Testy o populačním rozptylu
Odhad rozptylu populace
Testování hypotéz o rozptylu populace
·χ2
chí-kvadrát test · 44 / 59
Testy o populačním rozptylu
Výběrové rozdělení (n − 1)s2
/σ2
Pokud je populace, ze které byl vzorek vybrán, (přibližně) normálně
rozdělená, pak statistika
(n − 1)s2
σ2
má chí-kvadrát rozdělení s n − 1 stupni volnosti.
·χ2
chí-kvadrát test · 45 / 59
Testy o populačním rozptylu Odhad populačního rozptylu
Interval spolehlivosti pro rozptyl populace σ2
Za předpokladu, že populace, ze které byl vzorek získán, má
(přibližně) normální rozdělení, můžeme získat (1 − α)100% interval
spolehlivosti pro rozptyl populace σ2 jako
(n − 1)s2
χ2
α/2
až
(n − 1)s2
χ2
1−α/2
kde χ2
α/2 a χ2
1−α/2 jsou hodnoty získané z chí-kvadrát rozdělení pro
plochy α/2 a 1 − α/2 v pravém chvostu křivky chí-kvadrát rozdělení
při n − 1 stupních volnosti. Interval spolehlivosti pro směrodatnou
odchylku populace lze získat jako druhé odmocniny obou hranic
intervalu spolehlivosti pro rozptyl populace.
·χ2
chí-kvadrát test · 46 / 59
Testy o populačním rozptylu Odhad populačního rozptylu
Příklad 9
Zadání: Jedním z typů sušenek vyráběných společností Danovy
čočkové sušenky jsou kakaové sušenky. Stroj, který plní balení
sušenek, je nastaven tak, aby průměrná čistá hmotnost balení byla 32
uncí s rozptylem 0.015 čtvereční unce.
Kontrolor kvality občas vybere vzorek několika balení, vypočítá
rozptyl jejich čisté hmotnosti a sestaví 95% interval spolehlivosti pro
rozptyl populace. Pokud se jeden nebo oba konce tohoto intervalu
nacházejí mimo rozmezí 0.008 až 0.030, je stroj zastaven a znovu
nastaven.
Nedávno byl náhodným výběrem odebrán vzorek 25 balení z výrobní
linky, u kterého byl zjištěn výběrový rozptyl 0.029 čtvereční unce.
Myslíte, na základě těchto informací, že stroj potřebuje úpravu?
Předpokládejte, že čistá hmotnost sušenek ve všech baleních má
normální rozdělení.
·χ2
chí-kvadrát test · 47 / 59
Testy o populačním rozptylu Odhad populačního rozptylu
Příklad 9: Řešení
Krok 1 n = 25 a s2 = 0.029
Krok 2
α = 1 − 0.95 = 0.05
α/2 = 0.05/2 = 0.025
1 − α/2 = 1 − 0.025 = 0.975
df = n − 1 = 25 − 1 = 24
Kritická hodnota χ2 pro 24
stupňů volnosti a plochu 0.025
v pravém chvostu = 39.364
Kritická hodnota χ2 pro 24
stupňů volnosti a plochu 0.975
v pravém chvostu = 12.401
·χ2
chí-kvadrát test · 48 / 59
Testy o populačním rozptylu Odhad populačního rozptylu
Příklad 9: Řešení
Krok 3
(n − 1)s2
χ2
α/2
až
(n − 1)s2
χ2
1−α/2
(25 − 1)(0.029)
39.364
až
(25 − 1)(0.029)
12.401
0.0177 až 0.0561
S 95% spolehlivostí tvrdíme, že rozptyl všech balení kakaových
sušenek leží mezi 0.0177 a 0.0561 čtvereční unce.
Interval spolehlivosti pro směrodatnou odchylku populace σ můžeme
získat jako kladné druhé odmocniny obou hranic výše uvedeného
intervalu spolehlivosti pro rozptyl populace. Tedy 95% interval
spolehlivosti pro směrodatnou odchylku populace je 0.133 až 0.237.
·χ2
chí-kvadrát test · 49 / 59
Testy o populačním rozptylu Testování hypotéz o rozptylu populace
Testová statistika pro test hypotézy o σ2
Hodnota testové statistiky χ2 se vypočítá jako
χ2
=
(n − 1)s2
σ2
kde s2 je výběrový rozptyl, σ2 je předpokládaná hodnota rozptylu
populace a n − 1 představuje počet stupňů volnosti. Populace, ze
které byl výběr proveden, se předpokládá jako (přibližně) normálně
rozdělená.
·χ2
chí-kvadrát test · 50 / 59
Testy o populačním rozptylu Testování hypotéz o rozptylu populace
Příklad 10
Zadání: Jedním z typů sušenek vyráběných společností Haddad Food
Company jsou kakaové sušenky. Stroj, který plní balení těchto
sušenek, je nastaven tak, aby průměrná čistá hmotnost balení byla 32
uncí s rozptylem 0.015 čtvereční unce.
Kontrolor kvality občas vybere vzorek několika těchto balení,
vypočítá rozptyl jejich čisté hmotnosti a provede test hypotézy o
rozptylu populace. Vždy používá hladinu významnosti α = 0.01.
Přijatelná hodnota rozptylu populace je 0.015 čtvereční unce nebo
méně. Pokud závěr testu ukazuje, že rozptyl populace není v rámci
přijatelných hodnot, je stroj zastaven a upraven.
Nedávný náhodný vzorek 25 balení z výrobní linky ukázal výběrový
rozptyl 0.029 čtvereční unce. Myslíte si, na základě těchto informací,
že je potřeba stroj upravit? Předpokládejte, že čistá hmotnost
sušenek ve všech baleních má normální rozdělení.
·χ2
chí-kvadrát test · 51 / 59
Testy o populačním rozptylu Testování hypotéz o rozptylu populace
Příklad 10: Řešení
Krok 1 H0 : σ2 ≤ 0.015 (Rozptyl populace je v rámci přijatelné hodnoty)
H1 : σ2 > 0.015 (Rozptyl pop. překračuje přijatelnou hodnotu)
Krok 2 Používáme χ2 rozdělení k provedení testu rozptylu σ2.
Krok 3
α = 0.01
df = n − 1 = 25 − 1 = 24
Kritická hodnota χ2 = 42.980
·χ2
chí-kvadrát test · 52 / 59
Testy o populačním rozptylu Testování hypotéz o rozptylu populace
Příklad 10: Řešení
Krok 4
χ2
=
(n − 1)s2
σ2
=
(25 − 1)(0.029)
0.015
= 46.400
Krok 5 Hodnota testové statistiky χ2 = 46.400 je větší než kritická
hodnota χ2 = 42.980, a proto spadá do oblasti zamítnutí. Proto
zamítáme nulovou hypotézu.
Docházíme k závěru, že by stroj měl být zastaven a upraven, protože
rozptyl populace není v přijatelných hodnotách.
·χ2
chí-kvadrát test · 53 / 59
Testy o populačním rozptylu Testování hypotéz o rozptylu populace
Příklad 11
Zadání: Je známo, že rozptyl známek všech studentů na velké
univerzitě byl v roce 2014 roven 0.24.
Profesorka chce zjistit, zda se rozptyl známek současných studentů na
této univerzitě liší od hodnoty 0.24.
Odebrala náhodný vzorek 20 studentů a zjistila, že rozptyl jejich
známek je 0.27. Můžeme na hladině významnosti 5 % dojít k závěru,
že současný rozptyl známek studentů na této univerzitě je jiný než
0.24? Předpokládejte, že rozptyl známek všech současných studentů
na této univerzitě má (přibližně) normální rozdělení.
·χ2
chí-kvadrát test · 54 / 59
Testy o populačním rozptylu Testování hypotéz o rozptylu populace
Příklad 11: Řešení
Krok 1 H0 : σ2 = 0.24 (Rozptyl populace není rozdílný od 0.24)
H1 : σ2 ̸= 0.24 (Rozptyl populace je rozdílný od 0.24)
Krok 2 Používáme χ2 rozdělení k provedení testu rozptylu σ2.
Krok 3
α = 0.05
Plocha v chvostech = 0.025
df = n − 1 = 20 − 1 = 19
Kritické hodnoty:
χ2 = 32.852 a χ2 = 8.907
·χ2
chí-kvadrát test · 55 / 59
Testy o populačním rozptylu Testování hypotéz o rozptylu populace
Příklad 11: Řešení
Krok 4
χ2
=
(n − 1)s2
σ2
=
(20 − 1)(0.27)
0.24
= 21.375
Krok 5 Hodnota testové statistiky χ2 = 21.375 leží mezi kritickými
hodnotami χ2 = 8.907 a χ2 = 32.852, a proto spadá do oblasti
nezamítnutí. Proto nezamítáme nulovou hypotézu.
Docházíme k závěru, že rozptyl populace současných známek
studentů na této univerzitě se zřejmě neliší od hodnoty 0.24.
·χ2
chí-kvadrát test · 56 / 59
Testy o populačním rozptylu Testování hypotéz o rozptylu populace
Shrnutí přednášky:
χ2 rozdělení
Testy dobré shody
Test nezávislosti, test homogenity
Testy o populačním rozptylu
·χ2
chí-kvadrát test · 57 / 59
Testy o populačním rozptylu Testování hypotéz o rozptylu populace
Co si nastudovat na příští týden?
Příprava na cvičení: Leaflet 12
Koncepty a procedury, cv. 12, kap. 11
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 12
·χ2
chí-kvadrát test · 58 / 59
Testy o populačním rozptylu Testování hypotéz o rozptylu populace
Děkuji za pozornost!
X
·χ2
chí-kvadrát test · 59 / 59