Analýza rozptylu
Povinná literatura: Mann (2016), Kapitola 12
Z čeho studovat desátou lekci?
Povinná literatura: Mann (2016), kap. 12
Příprava na zkoušku: Mann (2016), kap. 12
·Analýza rozptylu · 2 / 33
Proč se zabývat Analýzou rozptylu (ANOVA)?
Odhalování skrytých rozdílů: ANOVA nám umožňuje zjistit, zda
mezi více skupinami existují významné rozdíly, aniž bychom
museli provádět opakované párové testy.
Praktické využití:
Posuzování efektivity různých výukových metod.
Testování produktivity v pracovním prostředí.
Porovnávání efektů různých léků nebo terapií.
Jednoduchý princip: Pomocí F-testu porovnáváme rozptyl mezi
skupinami a uvnitř skupin.
Univerzálnost: Používá se v mnoha oblastech – od vzdělávání,
přes ekonomii až po medicínu.
·Analýza rozptylu · 3 / 33
Obsah
F rozdělení
Jednofaktorová ANOVA
·Analýza rozptylu · 4 / 33
F rozdělení
Vlastnosti F rozdělení
1. Rozdělení F je spojité a má kladnou šikmost (je zešikmené
doprava).
2. Rozdělení F má dva stupně volnosti: df pro čitatel a df pro
jmenovatel.
3. Hodnoty rozdělení F, označované jako F, jsou vždy nezáporné.
·Analýza rozptylu · 5 / 33
F rozdělení
Tvar tří křivek F rozdělení
·Analýza rozptylu · 6 / 33
F rozdělení
Příklad 1
Zadání: Najděte hodnotu F pro 8 stupňů volnosti v čitateli, 14 stupňů
volnosti ve jmenovateli a pravděpodobnost 0.05 v pravém konci F
rozdělení.
Řešení:
·Analýza rozptylu · 7 / 33
F rozdělení
Příklad 1: Řešení
Řešení graficky:
·Analýza rozptylu · 8 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Obsah
F rozdělení
Jednofaktorová ANOVA
·Analýza rozptylu · 9 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Jednofaktorová ANOVA
ANOVA (analýza rozptylu) je statistická metoda používaná k testování
nulové hypotézy, že střední hodnoty tří nebo více populací jsou si
rovny.
Předpoklady pro jednofaktorovou ANOVA
1. Populace, ze kterých jsou vzorky vybírány, mají přibližně
normální rozdělení.
2. Populace, ze kterých jsou vzorky vybírány, mají stejný rozptyl
(nebo směrodatnou odchylku).
3. Vzorky odebrané z různých populací jsou náhodné a nezávislé.
·Analýza rozptylu · 10 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Testovací statistika F pro jednofaktorovou ANOVA
Hodnota testovací statistiky F pro jednofaktorovou ANOVA se
vypočítá jako:
F =
Rozptyl mezi vzorky
Rozptyl uvnitř vzorků
nebo F =
MSB
MSW
Poznámka: Výpočet hodnot MSB (Mean Square Between) a MSW (Mean Square
Within) je vysvětlen v Příkladu 2.
·Analýza rozptylu · 11 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 2
Zadání: Patnáct žáků čtvrté třídy bylo náhodně rozděleno do tří
skupin, aby vyzkoušeli tři různé metody výuky aritmetiky. Na konci
semestru všichni studenti absolvovali stejný test. Tabulka uvádí
výsledky testů studentů ve třech skupinách.
Vypočítejte hodnotu testovací statistiky F. Předpokládejte, že všechny
požadované předpoklady uvedené na slidu 10 jsou splněny.
·Analýza rozptylu · 12 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 2: Řešení
Označme
x = skóre studenta
k = počet různých vzorků (nebo treatmentů)
ni = velikost i-tého vzorku
Ti = součet hodnot v i-tém vzorku
n = počet hodnot ve všech vzorcích
n = n1 + n2 + n3 + . . .
Σx = součet všech hodnot ve všech vzorcích
Σx = T1 + T2 + T3 + . . .
Σx2 = součet druhých mocnin všech hodnot ve všech vzorcích
·Analýza rozptylu · 13 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 2: Řešení
Pro výpočet MSB a MSW nejprve vypočítáme:
Součet čtverců mezi vzorky (between-samples sum of squares),
označený jako SSB,
Součet čtverců uvnitř vzorků (within-samples sum of squares),
označený jako SSW.
Součet SSB a SSW se nazývá celkový součet čtverců (total sum of
squares) a je označen jako SST, tedy:
SST = SSB + SSW
Hodnoty SSB a SSW se počítají pomocí následujících vzorců.
·Analýza rozptylu · 14 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 2: Řešení
Součet čtverců mezi vzorky (between-samples sum of squares),
označený jako SSB, se vypočítá jako:
SSB =
T2
1
n1
+
T2
2
n2
+
T2
3
n3
+ . . . −
(Σx)2
n
Součet čtverců uvnitř vzorků (within-samples sum of squares),
označený jako SSW, se vypočítá jako:
SSW = Σx2
−
T2
1
n1
+
T2
2
n2
+
T2
3
n3
+ . . .
·Analýza rozptylu · 15 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 2: Řešení
Výpočty dodatečných potřebných hodnot
Σx = T1 + T2 + T3 = 324 + 369 + 388 = 1081
n = n1 + n2 + n3 = 5 + 5 + 5 = 15
Σx2
= (48)2
+ (73)2
+ (51)2
+ (65)2
+ (87)2
+ (55)2
+ (85)2
+ (70)2
+ (69)2
+
(90)2
+ (84)2
+ (68)2
+ (95)2
+ (74)2
+ (67)2
= 80 709
·Analýza rozptylu · 16 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 2: Řešení
Výpočet součtů čtverců:
SSB =
(324)2
5
+
(369)2
5
+
(388)2
5
−
(1081)2
15
= 432.1333
SSW = 80 709 −
(324)2
5
+
(369)2
5
+
(388)2
5
= 2372.80
SST = SSB + SSW = 432.1333 + 2372.8000 = 2804.9333
·Analýza rozptylu · 17 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 2: Řešení
Výpočet MSB a MSW:
MSB =
SSB
k − 1
a MSW =
SSW
n − k
kde k − 1 a n − k představují stupně volnosti (df) pro čitatele a
jmenovatele ve F-rozdělení. Pamatujte, že k je počet různých vzorků.
Konkrétní realizace a F statistika:
MSB =
SSB
k − 1
=
432.1333
3 − 1
= 216.0667
MSW =
SSW
n − k
=
2372.8000
15 − 3
= 197.7333
F =
MSB
MSW
=
216.0667
197.7333
= 1.09
·Analýza rozptylu · 18 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 2: Řešení
Vše lze zapsat do přehledné tabulky:
A to i s konkrétními realizacemi:
·Analýza rozptylu · 19 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 3
Zadání: Zvažte znovu Příklad 2 týkající se výsledků 15 žáků čtvrté
třídy, kteří byli náhodně rozděleni do tří skupin za účelem
experimentování se třemi různými metodami výuky aritmetiky.
Můžeme na hladině významnosti 1 % zamítnout nulovou hypotézu, že
průměrné skóre z aritmetiky všech žáků čtvrté třídy, vyučovaných
těmito třemi metodami, je stejné?
Předpokládejte, že všechny požadavky potřebné pro použití
jednofaktorové ANOVA jsou splněny.
·Analýza rozptylu · 20 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 3: Řešení
Krok 1 H0 : µ1 = µ2 = µ3 (průměrné skóre tří skupin je stejné)
H1 : Alespoň jeden průměr je rozdílný
Krok 2 Protože porovnáváme průměry tří normálně rozdělených
populací a všechny předpoklady potřebné pro použití procedury
ANOVA jsou splněny, použijeme F-rozdělení pro tento test.
Krok 3
Jednofaktorový ANOVA test je vždy
jednostranný (pravostranný). Jelikož
α = 0.01, pak plocha v pravém
chvostu je 0.01.
Stupně volnosti pro:
čitatel: df = k − 1 = 3 − 1 = 2
jmenovatel: df = n − k = 15 − 3 = 12
Kritická hodnota F = 6.93
·Analýza rozptylu · 21 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 3: Řešení
Krok 4 Hodnota testové statistiky je vypočítána jako F = 1.09. Viz Excel.
Krok 5 Hodnota testové statistiky F = 1.09 je menší než kritická
hodnota F = 6.93. Spadá do oblasti nezamítnutí. Proto
nezamítáme nulovou hypotézu.
Vyvozujeme, že průměry tří populací jsou stejné. Jinými slovy, tři
různé metody výuky aritmetiky nemají vliv na průměrné skóre
studentů. Rozdíly v průměrných skórech našich tří vzorků mohou
být způsobeny pouze chybou výběru vzorků.
·Analýza rozptylu · 22 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 4
Zadání: Čas od času, aniž by o tom zaměstnanci věděli, výzkumné
oddělení banky Post Bank sleduje různé zaměstnance kvůli jejich
pracovní produktivitě. Nedávno chtělo toto oddělení zjistit, zda čtyři
pokladní na jedné z poboček této banky obslouží v průměru stejný
počet zákazníků za hodinu. Výzkumný manažer pozoroval každého ze
čtyř pokladních po určitý počet hodin.
Tabulka na následujícím slidu uvádí počet zákazníků, které čtyři
pokladní obsloužili během jednotlivých pozorovaných hodin.
Na hladině významnosti 5 % otestujte nulovou hypotézu, že průměrný
počet zákazníků obsloužených za hodinu každým ze čtyř pokladních
je stejný. Předpokládejte, že jsou splněny všechny požadavky
potřebné pro použití jednofaktorové analýzy rozptylu (ANOVA).
·Analýza rozptylu · 23 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 4
·Analýza rozptylu · 24 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 4: Řešení
Krok 1 H0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 (Průměrný počet zákazníků obsloužených za
hodinu u každého ze čtyř pokladních je stejný.)
H1 : Alespoň jeden průměr je rozdílný.
Krok 2 Protože porovnáváme průměry tří normálně rozdělených
populací a všechny předpoklady potřebné pro použití procedury
ANOVA jsou splněny, použijeme F-rozdělení pro tento test.
Krok 3
Jednofaktorový ANOVA test je vždy
jednostranný (pravostranný). Jelikož
α = 0.05, pak plocha v pravém
chvostu je 0.05.
Stupně volnosti pro:
čitatel: df = k − 1 = 4 − 1 = 3
jmenovatel: df = n − k = 22 − 4 = 18
Kritická hodnota F = 3.16
·Analýza rozptylu · 25 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 4: Řešení
Krok 4 Hodnota testové statistiky je postupně vypočítána jako:
·Analýza rozptylu · 26 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 4: Řešení
Σx = T1 + T2 + T3 + T4 = 108 + 87 + 93 + 110 = 398
n = n1 + n2 + n3 + n4 = 5 + 6 + 6 + 5 = 22
Σx2
= (19)2
+ (21)2
+ · · · + (26)2
+ (20)2
= 7614
SSB =
T2
1
n1
+
T2
2
n2
+
T2
3
n3
+
T2
4
n4
−
(Σx)2
n
=
(108)2
5
+
(87)2
6
+
(93)2
6
+
(110)2
5
−
(398)2
22
= 255.6182
SSW = Σx2
−
T2
1
n1
+
T2
2
n2
+
T2
3
n3
+
T2
4
n4
= 7614 −
(108)2
5
+
(87)2
6
+
(93)2
6
+
(110)2
5
= 158.2000
MSB =
SSB
k − 1
=
255.6182
4 − 1
= 85.2061 MSW =
SSW
n − k
=
158.2000
22 − 4
= 8.7889
F =
MSB
MSW
=
85.2061
8.7889
= 9.69
·Analýza rozptylu · 27 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 4: Řešení
Krok 4 Hodnota testové statistiky je vypočítána jako F = 9.69.
·Analýza rozptylu · 28 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Příklad 4: Řešení
Krok 5 Hodnota testové statistiky F = 9.69 je menší než kritická
hodnota F = 3.16. Spadá do oblasti zamítnutí. Proto zamítáme
nulovou hypotézu.
Závěrem je, že průměrný počet zákazníků obsloužených za
hodinu každým ze čtyř pokladníků není stejný.
·Analýza rozptylu · 29 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Shrnutí přednášky:
F rozdělení
Jednofaktorová ANOVA
·Analýza rozptylu · 30 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Z čeho studovat na zkoušku?
Učebnice Mann (2016), Kapitola 1-12
Přednášky Mann (2016), Kapitola 1-12
Leaflety Materiály ke cvičení 1-12
Koncepty a procedury Materiály ke cvičení 2-12
Sbírky úloh Materiály ke cvičení 2-12
·Analýza rozptylu · 31 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Děkuji za pozornost!
·Analýza rozptylu · 32 / 33
Jednofaktorová ANOVA
Nabídka navazujících kurzů
Bakalářské kurzy
ZAEK Základy ekonometrie
STAF Statistics for finance
CARA Časové řady
Magisterské kurzy
AVED Analýza a vizualizace ekonomických dat
APIS Aplikované identifikační strategie
AIIF AI in Finance
APFE Applied financial econometrics
BAAN Bayesiánská analýza
EKON Ekonometrie
VSM Vícerozměrné statistické metody
... a další :)
·Analýza rozptylu · 33 / 33